칼라비-야우 다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다른 정의들
3. 특수 라그랑주 부분 다양체
4. 모듈러스
5. 예시
- 5.1. 대수 곡선으로부터의 구성
- 5.2. 대수 곡면으로부터의 구성
6. 끈 이론에서의 응용
7. 칼라비-야우 대수
8. 대중 문화
참조

1. 개요

칼라비-야우 다양체는 켈러 다양체의 일종으로, 리만 구조, 복소 구조, 심플렉틱 구조를 모두 가지며, 콤팩트하고 SU(n)의 부분군인 홀로노미를 가진다. 이 다양체는 정칙 부피 형식의 존재, 복소 구조의 구조군이 SU(n)의 부분군이라는 조건 등과 동등하며, 리치 곡률이 0이거나 표준 선다발을 충분히 거듭제곱하면 자명해지는 조건과도 같다. 칼라비-야우 다양체의 정의에는 여러 가지가 있으며, 리치 곡률이 0인 정의는 칼라비 가설 또는 야우 정리에 의해 다른 성질들과 동등함이 증명되었다. 끈 이론에서는 시공간의 축소화에 사용되며, 입자 및 물리 법칙을 결정하는 역할을 한다. 또한, 칼라비-야우 다양체는 칼라비-야우 대수와 같은 수학적 개념과 대중문화에서도 언급된다.

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칼라비-야우 다양체
개요
종류	켈러 다양체
차원	짝수 차원
홀로노미 그룹	SU(n)
관련 개념	칼라비-야우 다양체 (SU(n) 홀로노미를 갖는 콤팩트 켈러 다양체)
정의
성질
역사
칼라비 추측	에우제니오 칼라비가 1954년과 1957년에 제시
야우의 증명	싱퉁 야우가 1978년에 증명
물리적 중요성	끈 이론에서 칼라비-야우 다양체의 중요성이 강조 (1985년 이후)

2. 정의

켈러 다양체는 리만 구조, 복소 구조, 심플렉틱 구조를 모두 갖춘 다양체이다. 일반적으로 복소 ''n''차원의 켈러 다양체는 U(''n'')의 부분군인 홀로노미를 갖는다. 칼라비-야우 다양체는 콤팩트하고 SU(''n'')의 부분군인 (대역적) 홀로노미를 지닌다. SU(''n'') 홀로노미를 가져야 한다는 조건은 다음 중 하나와 동등하다.

어디서도 0이 아닌 $n$ 차 정칙 복소 미분 형식 $\Omega$ 가 다양체 위에 존재한다. (이를 '''정칙 부피 형식'''(holomorphic volume form^영어)이라고 한다.)
복소 구조의 구조군(structure group^영어)이 SU(n)의 부분군이다. (일반적 켈러 다양체의 구조군은 U(''n'')이다.)
자명한 표준 선다발을 지닌다.

일부 학자들은 칼라비-야우 다양체를 좀 더 일반적으로 정의하기도 하는데, 대역적 홀로노미 대신 SU(''n'')의 부분군인 국소적 홀로노미를 지닌 콤팩트 켈러 다양체로 정의한다. 이 조건은 다음 중 하나와 동등하다.

다양체의 리치 곡률이 0이다.
다양체의 복소 구조의 첫 번째 실수 천 류 $c_1(M;\mathbb R)\in H^{1,1}(M;\mathbb R)$ 이 0이다.
표준 선다발을 충분히 거듭제곱하면 자명해진다.
자명한 표준 선다발을 지닌 유한 피복 공간이 존재한다.

이 정의들 가운데, 리치 곡률이 0인 성질과 다른 성질들이 동등하다는 사실은 증명하기가 쉽지 않다. 이는 에우제니오 칼라비가 가설을 제시한 뒤 야우싱퉁이 증명하였고, '''칼라비 가설''' 또는 '''야우 정리'''라 불린다.

초타원 곡면(hyperelliptic surface^영어)는 첫 번째 정의는 만족하지 않지만 두 번째 정의는 만족하는 예시이다. (첫 번째 정의를 만족시키려면 그 이중 피복 공간인 K3 곡면을 취하면 된다.) 다만 단일 연결된 다양체의 경우 두 정의는 동등하다.

이 밖에도 실수 천 류 대신 정수 천 류

c_1(M,\mathbb Z)

을 쓰거나, 콤팩트함을 요구하지 않거나, 홀로노미가 SU(''n'')의 부분군이 아니라 SU(''n'') 자체임을 요구하는 등 약간 다른 정의를 쓰는 학자도 있다.

두 정의 모두, 고다이라 차원(Kodaira dimension^영어)이 0이고, 첫 번째 실수 및 정수 천 류가 0이다. 슁퉁 야우(Shing-Tung Yau)가 제시한 동기 부여적 정의는 첫 번째 체른 클래스가 소멸하고 리치 평탄인 콤팩트한 켈러 다양체이다.

2. 1. 다른 정의들

칼라비-야우 다양체에 대한 정의는 여러 가지가 있으며, 서로 동치가 아닌 경우도 있다. 이 섹션에서는 몇 가지 일반적인 정의와 그 관계를 요약한다.

복소 차원이

n

인 칼라비-야우

n

겹 다양체 또는 칼라비-야우 다양체는 다음의 동치 조건을 만족하는 콤팩트

n

차원 켈러 다양체

M

으로 정의되기도 한다.

$M$ 의 표준 번들이 자명하다.
$M$ 은 어디에서도 사라지지 않는 정칙 $n$ -형식을 갖는다.
$M$ 의 접번들의 구조군은 단위군 $U(n)$ 에서 특수 유니타리군 $SU(n)$ 으로 축소될 수 있다.
$M$ 은 $SU(n)$ 에 포함된 전역 홀로노미를 갖는 켈러 계량을 갖는다.

이 조건들은

M

의 첫 번째 정수 천 류

c_1(M)

이 소멸됨을 의미하지만, 역은 성립하지 않는다. 이러한 현상의 예로는 타원 곡면이 있는데, 이는 첫 번째 정수 천 류가 소멸하지만 자명하지 않은 표준 번들을 갖는 복소수 차원 2의 복소 토러스의 유한 몫이다.

콤팩트

n

차원 켈러 다양체

M

에 대해 다음 조건들은 서로 동치이지만, 위의 조건들보다 약하며, 때로는 칼라비-야우 다양체의 정의로 사용된다.

$M$ 은 첫 번째 실수 천 류가 소멸한다.
$M$ 은 리치 곡률이 소멸하는 켈러 계량을 갖는다.
$M$ 은 $SU(n)$ 에 포함된 국소 홀로노미를 갖는 켈러 계량을 갖는다.
$M$ 의 표준 번들의 양의 거듭제곱은 자명하다.
$M$ 은 자명한 표준 번들을 갖는 유한한 덮개를 갖는다.
$M$ 은 토러스와 단일 연결 다양체의 곱으로, 자명한 표준 번들을 갖는 유한한 덮개를 갖는다.

콤팩트 켈러 다양체가 단일 연결이면 위의 약한 정의는 더 강력한 정의와 동치이다. 엔리케스 곡면은 리치 평탄한 계량을 갖지만 표준 번들이 자명하지 않은 복소 다양체의 예시를 제공하는데, 이는 위의 두 번째 정의에 따르면 칼라비-야우 다양체이지만 첫 번째 정의에 따른 칼라비-야우 다양체는 아니다. 반면에, 이들의 이중 덮개는 두 정의 모두에 대해 칼라비-야우 다양체이다(사실, K3 곡면).

위의 다양한 속성 간의 동치성을 증명하는 데 가장 어려운 부분은 리치 평탄 계량의 존재를 증명하는 것이다. 이는 칼라비 추측에 대한 야우의 증명에서 비롯되며, 이는 첫 번째 실수 천 류가 소멸하는 콤팩트 켈러 다양체가 리치 곡률이 소멸하는 동일한 클래스의 켈러 계량을 갖는다는 것을 의미한다. 칼라비는 그러한 계량이 유일하다는 것을 보였다.

칼라비-야우 다양체에 대해 다른 여러 동치적이지 않은 정의가 있으며, 이는 다음 방식으로 다르다.

첫 번째 천 류는 정수 클래스로 소멸하거나 실수 클래스로 소멸할 수 있다.
대부분의 정의는 칼라비-야우 다양체가 콤팩트하다고 주장하지만, 일부는 비콤팩트함을 허용한다. 비콤팩트 다양체로 일반화하면, 차이 $(\Omega\wedge\bar\Omega - \omega^n/n!)$ 가 점근적으로 소멸해야 한다. 여기서 $\omega$ 는 켈러 계량 $g$ 와 관련된 켈러 형식이다.^[1]
일부 정의는 칼라비-야우 다양체의 기본군에 제한을 가하며, 유한하거나 자명해야 한다고 요구하는 경우가 있다. 모든 칼라비-야우 다양체는 토러스와 단일 연결된 칼라비-야우 다양체의 곱인 유한 덮개를 갖는다.
일부 정의는 홀로노미가 $SU(n)$ 의 부분군이 아닌 정확히 $SU(n)$ 과 같아야 함을 요구하며, 이는 호지 수 $h^{i,0}$ 이 $0 < i < \dim(M)$ 에 대해 소멸함을 의미한다. 아벨 곡면은 $SU(2)$ 보다 엄격하게 작은 (실제로는 자명한) 홀로노미를 갖는 리치 평탄 계량을 가지므로 그러한 정의에 따르면 칼라비-야우 다양체가 아니다.
대부분의 정의는 칼라비-야우 다양체가 리만 계량을 갖는다고 가정하지만, 일부는 계량 없이 복소 다양체로 취급한다.
대부분의 정의는 다양체가 비특이하다고 가정하지만, 일부는 약간의 특이성을 허용한다. 천 류는 특이 칼라비-야우에 대해 잘 정의되지 않지만, 표준 번들과 표준 클래스는 모든 특이성이 고렌스타인이면 여전히 정의될 수 있으며, 따라서 매끄러운 칼라비-야우 다양체의 정의를 잠재적으로 특이한 칼라비-야우 다양체로 확장하는 데 사용될 수 있다.

3. 특수 라그랑주 부분 다양체

칼라비-야우 다양체의 정칙 부피 형식 $\Omega$ 는 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 '''특수 라그랑주 부분 다양체'''라고 한다.^[14] 즉, 칼라비-야우 다양체 $M$ 속의 특수 라그랑주 다양체 $N\subset M$ 는 다음 조건을 만족하는 부분 다양체이다.

: $\operatorname{Re}\Omega|_N=\omega|_N$

: $\operatorname{Im}\Omega|_N=0$

여기서 $\omega$ 는 리만 계량에 따른 부피 형식이다.

정칙 부피 형식 $\Omega$ 는 복소 위상에 따라 다음과 같이 재정의할 수 있다.

: $\Omega\to\exp(i\theta)\Omega$

이에 따라 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념도 달라진다. 일부 문헌에서는 적어도 한 복소 위상의 정칙 부피 형식에 대하여 측정 부분 다양체를 이루는 부분 다양체를 특수 라그랑주 부분 다양체라고 정의하기도 한다.

특수 라그랑주 다양체는 거울 대칭 가설의 여러 서술 가운데 하나인 Strominger-Yau-Zaslow 가설을 서술하는 데 등장한다.

4. 모듈러스

n^영어차원 칼라비-야우 다양체 $(M,J,\omega)$ 는 켈러 구조 $\omega$ 와 복소 구조 $J$ 를 지녔으므로, 켈러 모듈러스와 복소 모듈러스를 가진다.

켈러 모듈러스 공간의 접공간은 무한소의 (1,1)차 형식 $\epsilon\delta\omega_{i\bar\jmath}dz^i\wedge d\bar z^{\bar\jmath}$ 의 꼴이다. 리치 텐서가 0이라는 조건에 의하여, 이는 $O(\epsilon^2)$ 항을 제외하고는 조화형식을 이룬다. 따라서 켈러 모듈러스 공간의 차원은 그 (1,1)차 조화형식 공간의 차원과 같다. 호지 이론에 따라서, 이는 돌보 코호몰로지의 차원인 호지 수 $h^{1,1}(M)=\dim H^{(1,1)}(M)$ 으로 주어진다. 또한, 켈러 형식들의 집합은 볼록 뿔을 이루는데, 이는 켈러 형식들의 집합이 볼록 선형결합에 대하여 닫혀 있기 때문이다. (볼록 선형결합으로 국한하는 이유는 $\omega^n$ 이 부피 형식을 이뤄야 하기 때문이다.) 이를 '''켈러 뿔'''(Kähler cone^영어)이라고 한다.

3차원 칼라비-야우 다양체의 경우, 복소 모듈러스 공간의 차원은 호지 수 $h^{2,1}(M)=\dim H^{(2,1)}(M)$ 에 의하여 주어진다.

5. 예시

복소 1차원 칼라비-야우 다양체는 원환면뿐이다. 복소 2차원에서 단일 연결된 것은 K3 곡면뿐이다. 복소 3차원 칼라비-야우 다양체는 유한한지 무한한지도 알려지지 않았다.

일반적으로, ''n''차원 복소 사영 공간 ℂℙ_''n''에서 (''n''+1)차 동차다항식의 해는 (''n''−1)차원 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

사영 공간에 매립된 매끄러운 대수적 다양체는 푸비니-스터디 계량을 통해 켈러 다양체가 된다. 켈러 다양체 X의 표준 번들 K_X가 자명하면, X는 칼라비-야우 다양체이다. 또한, [''ω''₀] = [''ω''] ∈ ''H''²(''X'','''R''')인 고유한 켈러 계량 ω₀가 존재하는데, 이는 에우제니오 칼라비가 추측하고 야우가 증명하였다(칼라비 추측).

1차원 복소 공간에서 콤팩트한 예시는 토러스이며, 이는 1개의 매개변수를 갖는 집합을 이룬다. 토러스 위의 리치 평탄 계량은 평탄 계량이므로, 홀로노미는 자명군 SU(1)이다. 따라서 1차원 칼라비-야우 다양체는 복소 타원 곡선이며, 대수적 다양체이다.

3차원 복소 공간에서 가능한 칼라비-야우 다양체의 분류는 미해결 문제이지만, 야우는 유한 개의 패밀리가 있을 것으로 추정한다. 마일스 리드는 칼라비-야우 3-겹체의 위상적 유형의 수가 무한하며, 모두 콘폴드와 같은 특정 경미한 특이점 처리를 통해 서로 연속적으로 변환될 수 있다고 추측했다.^[3] 3차원 칼라비-야우 다양체의 한 예는 '''CP'''⁴의 균질 좌표에서 균질 5차 다항식의 모든 근으로 구성된 대수다양체인 비특이 5차 3중체이다. 또 다른 예는 바르트-니에토 5차 곡면의 매끄러운 모형이다.

모든 양의 정수 ''n''에 대해, 복소 사영 공간 '''CP'''^''n''+1의 균질 좌표에서, ''n''+2 변수의 비특이 균질 차수 ''n'' + 2 다항식의 영점 집합은 콤팩트 칼라비-야우 ''n''-겹체이다. ''n'' = 1인 경우는 타원 곡선을, ''n'' = 2인 경우는 K3 곡면을 나타낸다.

더 일반적으로, 칼라비-야우 다양체/오비폴드는 가중 사영 공간에서 가중 완비 교차로 발견될 수 있다. 이러한 공간을 찾는 주요 도구는 인접 공식이다.

모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이다.

5. 1. 대수 곡선으로부터의 구성

대수 곡선

C

에 대해, 칼라비-야우 다양체는

V = \text{Tot}(\mathcal{L}_1\oplus\mathcal{L}_2)

로 구성될 수 있는데, 여기서

\mathcal{L}_1\otimes\mathcal{L}_2 \cong \omega_C

이다.^[4] 표준 투영

p: V \to C

에 대해, 상대 접선 다발

T_{V/C}

은 상대 접선 시퀀스를 사용하여

p^*(\mathcal{L}_1\oplus\mathcal{L}_2)

이다.

>

0 \to T_{V/C} \to T_V \to p^*T_C \to 0

그리고

p^*T_C

의 역상에 없는 섬유 내의 유일한 접선 벡터는 벡터 다발의 섬유와 표준적으로 연관되어 있음을 관찰한다. 이를 사용하여, 상대 여접선 시퀀스

>

0 \to p^*\Omega_C \to \Omega_V \to \Omega_{V/C} \to 0

와 쐐기 거듭제곱의 성질

>

\omega_V = \bigwedge^3\Omega_V \cong f^*\omega_C\otimes\bigwedge^2\Omega_{V/C}

및

\Omega_{V/C} \cong \mathcal{L}_1^*\oplus\mathcal{L}_2^*

를 사용하여

\omega_V

의 자명성을 얻을 수 있다.

5. 2. 대수 곡면으로부터의 구성

K3 곡면은 유일한 콤팩트 단일 연결 칼라비-야우 다양체이다. 이는

\mathbb{P}^3

에서 4차 곡면으로 구성될 수 있으며, 다음과 같은 소멸 궤적으로 정의되는 복소 대수 다양체와 같다.

$[x_0:x_1:x_2:x_3] \in \mathbb{P}^3$ 에 대해 $x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = 0$

다른 예시로는 타원 섬유화,^[1] 아벨 곡면의 몫,^[2] 또는 완전 교차로 구성될 수 있다.

단일 연결이 아닌 예시로는 복소 다양체 구조가 갖춰진 4차원 실수 아벨 곡면

\mathbb{T}^4

이 있다. 엔리케스 곡면과 초타원 곡면은 실수 코호몰로지 군의 원소로서 첫 번째 천 지표가 0이지만, 정수 코호몰로지 군의 원소로서는 그렇지 않다. 따라서 리치 평탄 계량의 존재에 대한 야우의 정리가 여전히 이 곡면들에 적용되지만, 때때로 칼라비-야우 다양체로 간주되지 않기도 한다. 아벨 곡면은 때때로 칼라비-야우로 분류되지 않는데, 그들의 홀로노미(역시 자명한 군)가 SU(2)와 동형이 아닌 SU(2)의 진부분군이기 때문이다. 그러나, 엔리케스 곡면 부분군은 끈 이론 환경에서 SU(2) 부분군에 완전히 부합하지 않는다.

대수 곡선

C

에 대해, 칼라비-야우 다양체는

V = \text{Tot}(\mathcal{L}_1\oplus\mathcal{L}_2)

로 구성될 수 있는데, 여기서

\mathcal{L}_1\otimes\mathcal{L}_2 \cong \omega_C

이다.^[4] 표준 투영

p: V \to C

에 대해, 상대 접선 다발

T_{V/C}

은 상대 접선 시퀀스를 사용하여

p^*(\mathcal{L}_1\oplus\mathcal{L}_2)

이다.

>

0 \to T_{V/C} \to T_V \to p^*T_C \to 0

그리고

p^*T_C

의 역상에 없는 섬유 내의 유일한 접선 벡터는 벡터 다발의 섬유와 표준적으로 연관되어 있음을 관찰한다. 이를 사용하여, 상대 여접선 시퀀스

>

0 \to p^*\Omega_C \to \Omega_V \to \Omega_{V/C} \to 0

와 쐐기 거듭제곱의 성질

>

\omega_V = \bigwedge^3\Omega_V \cong f^*\omega_C\otimes\bigwedge^2\Omega_{V/C}

및

\Omega_{V/C} \cong \mathcal{L}_1^*\oplus\mathcal{L}_2^*

를 사용하여

\omega_V

의 자명성을 얻을 수 있다.

6. 끈 이론에서의 응용

끈 이론에서 칼라비-야우 다양체는 시공의 축소화를 나타내는 데 사용된다. 끈 이론은 10차원의 시공을 필요로 하는데, 이를 실제 세계와 연결하기 위해 $\mathbb R^4\times X$ 형태(여기서 $X$ 는 콤팩트 다양체)로 축소해야 한다. 손지기 페르미온을 표현하려면 초대칭이 2개 이상 존재할 수 없고, 현상론적으로 하나의 초대칭을 가진 모형이 유력하므로, 4차원에서 초대칭을 하나만 남기고 나머지는 파괴하는 축소 방법을 찾아야 한다. 칼라비-야우 다양체는 이러한 조건을 만족시킨다.^[15] 축소되는 칼라비-야우 다양체에 따라 4차원 우주에 나타나는 입자와 물리 법칙이 달라진다. 이 사실은 1985년 필립 칸델라스, 게리 호로위츠, 앤드루 스트로민저, 에드워드 위튼이 발견했다.^[15]

칼라비-야우 다양체는 초끈 이론에서 중요한 역할을 한다. 대부분의 초끈 모델에서는 10차원이 우리가 인지하는 4차원과 6차원의 형태로 존재한다고 가정한다. 칼라비-야우 n차원 다양체에서의 차원 축소는 초기 초대칭성의 일부를 보존하기 때문에 중요하다. 구체적으로, (플럭스)가 없는 경우, 홀로노미가 정확히 SU(3)인 칼라비-야우 3차원 다양체(실제 차원은 6)는 차원 축소 전 초대칭성의 1/4을 보존한다.

더욱 일반적으로, 홀로노미가 SU(n)인 n차원 다양체에서 플럭스 없이 차원 축소를 하면 원래 초대칭성의 2^1-n이 깨진다. 이는 타입 II 끈 이론의 차원 축소에서는 슈퍼차지 2^6-n개, 타입 I 에서는 2^5-n개에 해당한다. 플럭스가 있는 경우, 초대칭성 조건은 차원 축소 다양체가 일반화된 칼라비-야우 다양체가 되어야 한다는 것을 의미한다. 이러한 모델들을 플럭스 차원 축소라고 하며, 이 개념은 나이절 히친에 의해 도입되었다.

칼라비-야우 다양체는 끈 이론에서 "숨겨진" 6차원(공간 차원)을 형성한다. 이 차원들은 현재 관측 가능한 길이보다 작기 때문에 감지할 수 없다. 브레인 월드 모델에서는 칼라비-야우 다양체가 크지만, 우리가 D-브레인을 가로지르는 교차 부분에 갇혀 있다는 것을 의미한다.

F-이론의 다양한 칼라비-야우 4차원 다양체에서의 차원 축소는 끈 이론 랜드스케이프에서 다양한 고전 해를 찾는 방법을 제공한다.

저에너지 끈의 진동 패턴은 칼라비-야우 공간의 각 구멍과 관련되어 있다. 끈 이론에서 기본 입자는 저에너지 끈의 진동에 해당하므로, 여러 개의 구멍이 존재하면 끈의 패턴이 여러 그룹, 즉 세대로 나뉜다. 예를 들어, 칼라비-야우 공간에 3개의 구멍이 있으면 3가지 진동 패턴의 세대가 발생하고, 실험적으로 3세대의 입자가 관찰된다.

끈의 진동은 모든 차원에서 감기는 횟수를 변화시키므로 진동수, 즉 관찰되는 기본 입자의 성질에 영향을 미친다. 앤드루 스트로민저와 에드워드 위튼은 입자의 질량이 칼라비-야우 공간 속 구멍들의 교차 방식에 의존한다는 것을 발견했다. 즉, 구멍과 칼라비-야우 공간 물질의 상대적 위치가 입자의 질량에 영향을 준다.^[10]

7. 칼라비-야우 대수

칼라비-야우 대수는 빅토르 긴즈버그가 도입하였으며, 비가환 대수 기하학을 통해 칼라비-야우 다양체의 기하학을 설명하기 위해 사용된다.^[6]^[7]

8. 대중 문화

셸던 쿠퍼가 공동 저술한 논문의 주제는 칼라비-야우 다양체였으며, 이는 영 셸던 시즌 7 에피소드 2에 등장한다.
TV 시리즈 삼체의 5화에는 칼라비-야우 다양체를 기반으로 한 이미지가 사용되어 삼체 외계 문명의 고차원 능력을 묘사했다.
하프라이프 2에서 닥터 모스만은 텔레포터가 '칼라비-야우 모델'을 사용하여 '끈 기반' 기술을 통해 작동한다고 설명한다.

참조

_[1] arXiv Constructing explicit K3 spectra 2019-05-22
_[2] 학술지 K3 spectra 2020-02-12
_[3] 학술지 The Moduli space of 3-folds with ''K'' = 0 may nevertheless be irreducible
_[4] arXiv Cohomological Donaldson-Thomas theory 2016-04-27
_[5] 웹사이트 The Shape of Curled-Up Dimensions http://library.think[...]
_[6] arXiv Calabi-Yau algebras
_[7] arXiv Deformations of algebras in noncommutative geometry
_[8] 문서 리ッチ曲率がゼロである多様体をリッチ平坦な多様体と言う．[[アインシュタイン多様体]]の特別な例となる。物理的には宇宙定数がゼロとなることを意味する。
_[9] 논문 The Moduli Space of 3-Folds with K = 0 May Nevertheless be Irreducible 1987
_[10] 웹사이트 The Shape of Curled-Up Dimensions http://library.think[...] 2012-12-27
_[11] 저널 Calabi-Yau manifold
_[12] 서적 Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001 Springer
_[13] 서적 Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists http://physics1.howa[...] World Scientific 1992-03
_[14] 저널 Lectures on special Lagrangian geometry 2001
_[15] 저널 Vacuum configurations for superstrings

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