2차원 실수 특수선형군

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1. 개요

2차원 실수 특수선형군(SL(2, ℝ))은 2x2 실수 행렬 중 행렬식이 1인 모든 행렬의 집합으로 정의되는 리 군이다. 이 군은 심플렉틱 군 Sp(2, ℝ), 특수 유니타리 군 SU(1,1), 3차원 스핀 군 Spin⁺(2,1)과 동형이며, 단위 분할 사원수의 곱셈군과도 동형이다. SL(2, ℝ)은 ℝ²의 선형 변환 중 방향을 보존하는 모든 선형 변환들의 군이며, 몫군 PSL(2, ℝ)은 사영 변환, 자기 동형 사상, 등거리 변환, 로렌츠 군 등으로 묘사된다. PSL(2, ℝ)은 뫼비우스 변환을 통해 복소 평면에 작용하며, 상반평면의 등각 자기 동형 사상 군이자 쌍곡 공간의 등거리 변환으로 작용한다. SL(2, ℝ)의 원소는 타원형, 포물선형, 쌍곡선형으로 분류되며, 유한 차원 표현은 SU(2)와 동형이고 무한 차원 표현은 이산열, 주열 표현으로 분류된다.

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2차원 실수 특수선형군
SL2(R)
분류	위상군
군	특수선형군 SL(2, R) 2차원 실수 특수선형군
속성
닫힘	닫힘
연관성	연관성 있음
항등원	항등원 있음
가역성	가역적임
정의
설명	행렬식이 1인 모든 실수 2×2 행렬의 군
기호	SL(2, R)
군 연산	행렬 곱셈
항등원	단위행렬 I = $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 nd{bmatrix}$
역원	A = $egin{bmatrix} a & b \ c & d nd{bmatrix}$ 에 대해, A^-1 = $egin{bmatrix} d & -b \ -c & a nd{bmatrix}$
추가 정보
위상수학적 속성	비콤팩트 리 군
중요도	수학, 물리학에서 중요한 역할
관련 항목	사원수, 뫼비우스 변환

2. 정의

2차원 실수 특수선형군 $\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 은 행렬식이 1인 2×2 실수 행렬들로 구성된 리 군이다. 이는 실수 2차원 벡터 공간 $\mathbb{R}^2$ 에서 면적과 방향을 보존하는 선형 변환들의 모임이다. 이 군은 2차원 실수 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)$ , 부정부호 특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(1,1)$ , 단위 분할 사원수(split-quaternion^영어)들의 곱셈군, 3차원 스핀 군 $\operatorname{Spin}^+(2,1)$ 등 여러 중요한 리 군과 동형이다.

2차원 실수 사영 특수선형군 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 은 $\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 을 그 중심 $\{\pm1_{2\times2}\}$ 으로 나눈 몫군이다. 이 군 역시 다양한 리 군들과 동형이며, 실수 사영 직선 $\mathbb{RP}^1$ 의 방향 보존 사영 변환들의 군, 복소수 단위 원판 $\mathbb D$ 의 등각 자기 동형군, 복소수 상반평면 $\mathbb H$ 를 보존하는 뫼비우스 변환의 부분군, 3차원 로런츠 군의 연결 성분 $\operatorname{SO}^+(2,1)$ 등 여러 중요한 기하학적 해석을 갖는다.

2. 1. SL(2, ℝ)

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

은 실수 2차원 벡터 공간

\mathbb{R}^2

의 선형 변환 중 행렬식이 1인, 즉 면적과 방향을 보존하는 변환들의 군이다.

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

2×2 실수 특수선형군 $\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$
2×2 실수 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)$
부정부호 특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(1,1)$
분할 사원수(split-quaternion^영어) 대수에서 절댓값( $|a+ib+jc+kd|^2=a^2+b^2-c^2-d^2$ )이 1인 원소들의 곱셈군
3차원 스핀 군 $\operatorname{Spin}^+(2,1)$

따라서

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

은 군 동형사상을 통해 심플렉틱 군

\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)

, 특수 유니터리 군

\operatorname{SU}(1,1)

, 단위 분할 사원수의 군, 그리고 스핀 군

\operatorname{Spin}^+(2,1)

과 동형이다.

몫군인 2×2 실수 사영 특수선형군

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

에서 중심

\{\pm1_{2\times2}\}

에 대한 몫군이다.

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은 다음과 같은 리 군들과 동형이며, 여러 기하학적 해석을 갖는다.

복소수 단위 원판 $\mathbb D=\{z\in\mathbb C\colon|z|<1\}$ 의 등각 자기 동형군 $\operatorname{Aut}(\mathbb D)$
뫼비우스 변환 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$ 가운데, 복소수 상반평면 $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}$ 을 보존하는 부분군
실수 사영 직선 $\mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\}$ 의 방향 보존 사영 변환군
3차원 민코프스키 공간의 제한된 로런츠 군인 $\operatorname{SO}^+(2,1)$ (이는 부정 직교 군 $\operatorname{SO}^+(1,2)$ 와 동형이다)
쌍곡 평면의 방향을 보존하는 등거리 변환의 군

2. 2. PSL(2, ℝ)

2×2 실수 사영 특수선형군

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은 특수선형군

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

에서, 중심

\{\pm1_{2\times2}\}

에 대한 몫군이다.

다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.

2×2 실수 사영 특수선형군 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$
복소수 단위 원판 $\mathbb D=\{z\in\mathbb C\colon|z|<1\}$ 의 등각 자기 동형군 $\operatorname{Aut}(\mathbb D)$
뫼비우스 변환 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$ 가운데, 복소수 상반평면 $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}$ 을 보존하는 부분군
실수 사영 직선 $\mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\}$ 의 방향 보존 사영 변환군
3차원 로런츠 군의 연결 성분 $\operatorname{SO}^+(2,1)$

따라서

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은 다음과 같이 다양하게 해석될 수 있다.

실수 사영 직선 $\mathbb{RP}^1$ 에 작용하는 방향 보존 사영 변환의 군
단위 원판에 작용하는 등각 사상인 자기 동형 사상의 군
쌍곡 공간의 방향 보존 등거리 변환의 군
3차원 민코프스키 공간의 제한된 로런츠 군. 이는 부정 직교 군 $\operatorname{SO}^+(1,2)$ 와 동형이다.

이러한 동형 관계를 통해

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

은 스핀 군

\operatorname{Spin}^+(2,1)

과 동형 관계에 있음을 알 수 있다.

3. 작용

$\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 은 여러 중요한 수학적 공간 위에서 작용을 정의한다. 대표적으로 실수 사영 직선 $\mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\}$ 과 복소수 상반평면 $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}$ 위에 선형 분수 변환 (또는 뫼비우스 변환)의 형태로 작용한다. 이러한 작용들은 쌍곡기하학의 푸앵카레 반평면 모형이나 푸앵카레 원반 모형에서의 등거리 변환과 깊은 관련이 있다.

$\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 은 3차원 리 군이기도 하며, 그 구조를 이해하는 데 중요한 딸림표현을 가진다. 이 딸림표현은 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 을 3차원 벡터 공간 $\mathbb R^3$ 에 작용하는 행렬군으로 나타내는 방법이다. 또한, 리 대수 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb R)$ 위의 킬링 형식을 통해 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 이 로런츠 군 $\operatorname{SO}^+(2,1)$ 과 동형이라는 사실이 밝혀지는데, 이는 민코프스키 공간에서의 작용과 관련된다.^[1]

3. 1. 실수 사영 직선 위의 작용

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은 실수 사영 직선

\mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\}

위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.

:

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon \mathbb R\cup\{\infty\}\to\mathbb R\cup\{\infty\}

:

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

의 원소는 호모그래피이며, 이는 실수 사영 직선

\mathbb R\cup\{\infty\}

에 작용한다. 동차좌표를 이용한 표현은 다음과 같다.

:

[x,1] \mapsto [x,\ 1] \begin{pmatrix}a & c \\ b & d \end{pmatrix} \ = \ [ax + b,\ cx + d] \ = \, \left[\frac{ax+b}{cx+d},\ 1\right] .

이러한 사영 변환들은

\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

의 부분군을 형성하며,

\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

는 리만 구에 뫼비우스 변환으로 작용한다.

실수 직선을 쌍곡 평면의 경계로 간주할 때,

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은 쌍곡 운동을 나타낸다.

3. 2. 상반평면 위의 작용

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

는 복소수 상반평면

\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}

위에 다음과 같은 선형 분수 변환으로 작용한다.

:

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon\mathbb H\to\mathbb H

:

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}

여기서

a, b, c, d

는 실수이다.

이 변환은 뫼비우스 변환의 일종으로, 정확히 상반평면을 자기 자신으로 보내는(보존하는) 뫼비우스 변환들의 집합과 같다. 따라서

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

는 상반평면의 등각 자기 동형 사상 군이다. 리만 사상 정리에 의해, 이 군은 단위 원판의 등각 자기 동형 사상 군과도 동형이다.

또한, 이 뫼비우스 변환은 쌍곡 기하학의 푸앵카레 상반평면 모형에서 등거리 변환으로 작용한다. 유사하게, 단위 원판에서의 해당 뫼비우스 변환은 푸앵카레 원반 모형의 쌍곡 등거리 변환이 된다.

만약 이 작용을 상반평면의 경계인 실수축에 제한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻게 된다.

위 공식은 이중수와 분할 복소수에 대한 뫼비우스 변환을 정의하는 데에도 사용될 수 있으며, 이는 로바체프스키 기하학과 관련된 기하학적 구조를 가진다.^[1]

3. 3. 딸림표현

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은 3차원 리 군이므로, 3차원 벡터 공간

\mathbb R^3

위에 딸림표현을 가진다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 단사 함수인 표현으로 주어진다.

:

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{GL}(3;\mathbb R)

:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a^2 & 2ac & c^2 \\ ab & ad+bc & cd \\ b^2 & 2bd & d^2 \end{pmatrix}

또한, SL(2, ℝ)은 자신의 리 대수

\mathfrak{sl}(2, \mathbb R)

에 공액 작용을 통해 작용한다. 이 작용은 PSL(2, ℝ)의 충실한 3차원 선형 표현을 생성하며, 이는 PSL(2, ℝ)이

\mathbb R^2

위의 이차 형식 공간에 작용하는 것으로도 설명될 수 있다. 결과적으로 얻어지는 표현 행렬은 위와 동일하다.

\mathfrak{sl}(2, \mathbb R)

위의 킬링 형식은 부호수 (2,1)을 가지며, 이는 PSL(2, ℝ)과 로런츠 군

\operatorname{SO}^+(2,1)

사이의 동형 사상을 유도한다. PSL(2, ℝ)의 이 작용은 민코프스키 공간에 작용하며, 쌍곡 평면의 쌍곡면 모형 위에서 PSL(2, ℝ)의 등거리 작용으로 나타난다.

4. 성질

SL(2,ℝ)은 다양한 대수적, 위상수학적 성질을 가지며, 그 원소들은 특정 기준에 따라 분류될 수 있다.

SL(2,ℝ)의 원소는 그 대각합의 값에 따라 크게 세 가지 유형으로 나뉜다: 타원형 원소(elliptic element^영어), 포물선형 원소(parabolic element^영어), 쌍곡선형 원소(hyperbolic element^영어). 각 원소는 이 세 유형 중 정확히 하나에 속하며, 해당 유형의 특정 표준 형태와 켤레 관계에 있다. 이러한 분류는 원소의 고유값 및 기하학적 작용과 밀접하게 연관된다. (자세한 내용은 #켤레류 참조)

대수적으로, SL(2,ℝ)은 원소 개수가 무한히 많은 비가산 군이며, 연산 순서가 중요한 비아벨 군이다. 군의 중심은 $\{\pm I\}$ 이며, 이를 이용한 몫군 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 은 단순군이다. $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 의 이산 부분군은 푹스 군이라 불린다. (자세한 내용은 #대수적 성질 참조)

위상수학적으로, SL(2,ℝ)과 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 는 모두 연결된 3차원 매끄러운 다양체이지만 콤팩트 공간은 아니다. 두 군 모두 원 $\mathbb S^1$ 과 호모토피 동치이며, 따라서 기본군은 무한 순환군 $\mathbb Z$ 이고 고차 호모토피 군은 자명하다. $\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ 는 상반평면의 단위 접선 다발과 위상동형이다. (자세한 내용은 #위상수학적 성질 참조)

4. 1. 켤레류

특수선형군

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 원소

M

은 그 대각합

\operatorname{tr}M

의 값에 따라 세 가지 유형으로 분류될 수 있다. 이 분류는 원소의 고유값 및 기하학적 작용과 밀접한 관련이 있다.

M

의 고유값

\lambda

는 다음 특성 다항식의 해이다.

:

\lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(M)\,\lambda \,+\, \det(M) \,=\, 0

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

에서 행렬식

\det(M) = 1

이므로, 특성 다항식은 다음과 같다.

:

\lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(M)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0

따라서 고유값은 다음과 같이 구해진다.

:

\lambda = \frac{\mathrm{tr}(M) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(M)^2 - 4}}{2}

이 고유값의 성질에 따라

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 원소는 다음과 같이 분류된다. 각 원소는 아래 분류에 해당하는 표준 형태의 원소 중 하나와 켤레 관계이다.

타원형 원소 (en): $|\mathrm{tr}(M)| < 2$ 인 경우이다.
이 경우 $\mathrm{tr}(M)^2 - 4 < 0$ 이므로, 고유값은 크기가 1인 켤레 복소수 한 쌍이다. ( $\lambda = e^{\pm i\theta}$ )
표준 형태: $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ , ( $\theta\in(0, 2\pi)$ , $\theta \ne \pi$ ). 여기서 $\mathrm{tr}(M) = 2\cos\theta$ 이다.
기하학적 의미: 유클리드 평면에서의 회전 변환과 켤레이다. 특수 직교군 SO(2)의 원소와 켤레 관계이다.
SL(2) 켤레류: 같은 대각합을 갖더라도 회전 방향(시계 방향/반시계 방향)에 따라 2개의 켤레류로 나뉜다.

포물선형 원소 (en): $|\mathrm{tr}(M)| = 2$ 인 경우이다. 즉, $\mathrm{tr}(M) = \pm 2$ 이다.
이 경우 $\mathrm{tr}(M)^2 - 4 = 0$ 이므로, 고유값은 1 또는 -1인 중근을 갖는다.
표준 형태: $\pm\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}$ , $s\in\{-1, 0, +1\}$ .
$s=0$ 일 때, 즉 $\pm I$ (항등원 또는 음의 항등원)도 이 분류에 속하지만, 종종 별도로 취급된다. 이들은 대각화 가능하지만, $s \ne 0$ 인 포물선형 원소는 대각화 불가능하다.
기하학적 의미: 유클리드 평면에서의 전단 변환과 켤레이다.
SL(2) 켤레류: 대각합이 +2일 때 3개의 켤레류(항등원 $I$ , $s=1$ 인 경우, $s=-1$ 인 경우)가 존재하고, 대각합이 -2일 때도 3개의 켤레류( $-I$ , $s=1$ 인 경우, $s=-1$ 인 경우)가 존재한다. 즉, 같은 대각합을 갖더라도 $s$ 의 부호(양의 전단/음의 전단) 및 항등원 여부에 따라 켤레류가 나뉜다.

쌍곡선형 원소 (en): $|\mathrm{tr}(M)| > 2$ 인 경우이다.
이 경우 $\mathrm{tr}(M)^2 - 4 > 0$ 이므로, 고유값은 서로 역수 관계에 있는 두 개의 실수이다. ( $\lambda, 1/\lambda$ )
표준 형태: $\pm\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}$ , ( $t\in\mathbb R^+$ ). 여기서 $|\mathrm{tr}(M)| = 2\cosh t$ 이다.
기하학적 의미: 유클리드 평면에서의 수축 변환(압착 매핑)과 켤레이다.
SL(2) 켤레류: 주어진 대각합에 대해 1개의 켤레류만 존재한다.

이 분류는 원뿔 곡선의 이심률에 따른 분류와 유사하다. 이심률을

\epsilon = \frac{1}{2} |\mathrm{tr}(M)|

로 정의하면,

\epsilon < 1

은 타원형,

\epsilon = 1

은 포물선형,

\epsilon > 1

은 쌍곡선형에 해당한다.

SL(2, ℝ) 원소 분류 요약
분류	조건	표준 형태 (켤레 원소)	고유값 ( $\lambda$ )	기하학적 작용 (유클리드 평면)	SL(2) 켤레류 수 (대각합 $T$ 당)
타원형 (en)	>\mathrm{tr}(M)\| < 2	$\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ ( $\theta \in (0, \pi) \cup (\pi, 2\pi)$ )	e^{\pm i\theta} (켤레 복소수, $>\lambda\|=1$ )	회전 변환	2
포물선형 (en)	>\mathrm{tr}(M)\| = 2	$\pm I$ (항등원/음의 항등원) $\pm\begin{pmatrix}1&\pm 1\\0&1\end{pmatrix}$	$\pm 1$ (중근)	전단 변환	3
쌍곡선형 (en)	>\mathrm{tr}(M)\| > 2	$\pm\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}$ ( $t > 0$ )	$\pm e^t, \pm e^{-t}$ (실수, 서로 역수)	수축 변환 (압착 매핑)	1

켤레류의 세부 사항

타원형 원소: 고유값은 단위 원 위에 있으며, 유클리드 평면의 회전에 해당한다. PSL(2,R)에서는 쌍곡 평면과 민코프스키 공간의 회전으로 작용한다. 모듈러 군의 타원형 원소는 유한 차수를 가지며, 토러스에서 주기적인 미분 동형으로 작용한다. 대각합이 0인 원소는 고유값 $\pm i$ 를 가지며 90° 회전과 켤레이고, 제곱하면 $-I$ 가 된다. 이는 PSL(2)에서 항등원이 아닌 대합이다.
포물선형 원소: 고유값은 1 또는 -1이다. 유클리드 평면의 전단 변환에 해당하며, PSL(2,R)에서는 쌍곡 평면의 극한 회전이나 민코프스키 공간의 영 회전으로 작용한다. 모듈러 군의 포물선형 원소는 토러스의 Dehn 트위스트로 작용한다. 항등원 $\pm I$ 는 다른 포물선형 원소와 켤레가 아니다. 이는 조르당 분해에서 차이가 나기 때문이다(항등원은 대각 행렬, 다른 포물선형 원소는 비대각 성분이 있는 조르당 블록을 가짐).
쌍곡선형 원소: 고유값은 서로 역수인 실수이다. 유클리드 평면의 압착 매핑에 해당하며, PSL(2,R)에서는 쌍곡 평면의 평행 이동이나 민코프스키 공간의 로렌츠 부스트로 작용한다. 모듈러 군의 쌍곡선형 원소는 토러스의 아노소프 미분 동형 사상으로 작용한다. 쌍곡선 회전의 쌍곡선 각도는 $\mathrm{arcosh}(|\mathrm{tr}(M)|/2)$ 로 주어진다.

부분군 및 위상적 성질타원형, 포물선형, 쌍곡선형 원소 각각에 항등원과 음의 항등원을 포함시킨 집합을 기반으로 '''타원형 부분군''', '''포물선형 부분군''', '''쌍곡선형 부분군'''을 정의할 수 있다. 특히 포물선형 부분군은 보렐 부분군과 관련이 깊다. 하지만 이 세 분류 자체는 부분군을 형성하지 않는다. 예를 들어, 두 포물선형 원소의 곱이 항상 포물선형인 것은 아니다.

위상적으로 보면, 대각합 함수는 연속적이므로, 항등원

\pm I

를 제외한 타원형 원소들의 집합과 쌍곡선형 원소들의 집합은 각각 열린 집합을 형성한다. 반면, 항등원

\pm I

를 포함한 포물선형 원소들의 집합은 닫힌 집합을 형성한다.
SL(2)에서의 켤레 관계GL(2, ℂ)에서는 대각합이 같으면 대부분 켤레 관계이지만, SL(2, ℝ)에서는 더 세분화된다. 특히 고유값이 같은 경우에도 켤레가 아닐 수 있다 (예:

I

와

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

는 둘 다 대각합이 2지만 켤레가 아님). 또한 SL(2)에서는 방향성(회전 방향, 전단 방향)이 켤레 관계에 영향을 미친다. 예를 들어 시계 방향 회전과 반시계 방향 회전은 GL(2)에서는 켤레이지만 SL(2)에서는 켤레가 아니다. 이로 인해 위 표에서 보듯이 타원형과 포물선형의 경우 대각합이 같아도 여러 개의 켤레류가 존재하게 된다.

4. 2. 대수적 성질

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

는 원소의 개수가 무한히 많고 셀 수 없는 비가산 군이며, 연산의 순서가 결과에 영향을 미치는 비아벨 군이다.

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 중심은 단위 행렬

I

에 ±1을 곱한 두 행렬, 즉

\{\pm I\}

로 구성된 군이다. 이 중심에 대한 몫군인

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R) = \operatorname{SL}(2;\mathbb R) / \{\pm I\}

는 더 이상 자명하지 않은 정규 부분군을 갖지 않는 단순군이다.

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

의 이산 부분군은 푹스 군이라고 불린다. 이는 쌍곡 평면의 등거리변환군과 관련된 중요한 개념으로, 유클리드 기하학에서의 벽지군이나 프리즈 군과 유사한 역할을 한다. 가장 잘 알려진 푹스 군의 예시로는 모듈러 군

\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

가 있다.

원군

\operatorname{SO}(2)

는

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 극대 콤팩트 부분군이며, 원군

\operatorname{SO}(2) / \{\pm I\}

는

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

의 극대 콤팩트 부분군이다.

4. 3. 위상수학적 성질

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

와

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

는 모두 연결된 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다.

위상수학적으로,

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

는 상반평면

\mathbb H

의 접다발

T\mathbb H

속 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다. 또한,

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

은 쌍곡 평면의 단위 접선 다발로도 설명될 수 있으며, 이 다발은 원 다발으로서 쌍곡 평면의 심플렉틱 구조로부터 유도되는 자연스러운 접촉 구조를 갖는다.

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

는

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

의 2겹 피복 공간이며, 쌍곡 평면의 스피너 다발로 생각할 수 있다.

상반평면

\mathbb H

는 축약 가능 공간이므로,

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

와

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

는 원

\mathbb S^1

과 호모토피 동치이다. 따라서 이들의 호모토피 군은 다음과 같다.

:

\pi_n(\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\pi_n(\operatorname{SL}(2;\mathbb R))\cong\begin{cases}1&n\ne1\\\mathbb Z&n=1\end{cases}

즉, 기본군은 무한 순환군

\mathbb Z

이고, 고차 호모토피 군은 자명하다.

범피복 공간

\widetilde{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)}

에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여하면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다. 전체 피복군은

\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}

으로 표기하며, 이는 행렬군이 아닌 유한 차원 리 군의 한 예이다. 즉,

\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}

은 충실한 유한 차원 표현을 허용하지 않는다.

위상 공간으로서

\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}

은 쌍곡 평면 위의 선 다발이다. 왼쪽 불변 계량을 부여하면, 3-다양체

\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}

은 8개의 서스턴 기하학 중 하나가 된다. 예를 들어,

\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}

은 임의의 쌍곡 곡면에 대한 단위 접선 다발의 전체 피복이다.

\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}

을 모델로 하는 모든 다양체는 가향 가능하며, 2차원 쌍곡선 오비폴드 (자이페르트 섬유 공간) 위의 원 다발이다.

전체 피복 사상

\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})} \to \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R})

아래에서, 모듈러 군 PSL(2, '''Z''')의 원상(preimage)은 3개의 생성자를 갖는 땋임군 ''B''₃이다. 이는 모듈러 군의 전체 중심 확대이며, 관련 대수적 군 내의 격자에 해당한다.

2겹 피복군은 SL(2, '''R''')을 심플렉틱 군 Sp(2, '''R''')으로 간주하여 메타플렉틱 군 Mp(2, '''R''')으로 식별될 수 있다.

앞서 언급된 군들은 다음과 같은 피복 사상들의 수열을 형성한다.

:

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})} \to \cdots \to \mathrm{Mp}(2,\mathbf{R}) \to \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R})

또한, 모든 양의 정수 ''n''에 대해 PSL(2, '''R''')의 다른 피복군들이 존재한다. 이는 기본군

\pi_1 (\mathrm{PSL}(2, \mathbf{R})) \cong \mathbf{Z}

의 부분군 ''n'''''Z'''에 해당하며, 가분성에 의해 피복군의 격자를 형성한다. 이러한 피복군들은 ''n''이 짝수일 경우에만 SL(2, '''R''')을 피복한다.

5. 표현론

$\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 은 실수체 위의 2차원 특수선형군으로, 비-콤팩트 단순 리 군이다. 이 군의 리 대수 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb R)$ 은 트레이스가 0인 모든 실수 2 × 2 행렬로 구성되며, 이는 VIII형의 비앙키 대수에 해당한다.

$\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 의 표현론은 유한 차원 표현과 무한 차원 표현으로 나눌 수 있다. 유한 차원 표현론은 $\operatorname{SU}(2)$ 의 표현론과 동일하며, 자명 표현을 제외하고는 유니터리 표현이 존재하지 않는다. 이는 $\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 이 연결된 단순 비-콤팩트 리 군이기 때문에 나타나는 일반적인 특징이다.

반면, $\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 의 무한 차원 표현론은 $\operatorname{SU}(2)$ 의 경우와는 매우 다르며, 다양한 종류의 유니터리 표현을 포함하고 있어 중요한 연구 주제가 되었다. 이러한 무한 차원 표현들은 겔판트와 나이마르크(1946), V. 바르그만(1947), 하리쉬-찬드라(1952) 등에 의해 자세히 연구되었다. 무한 차원 기약 허용 표현(admissible representation^영어)은 이산열 표현, 주열 표현 등으로 분류되며, 이 중 일부는 유니터리 표현이다.

5. 1. 유한 차원 표현

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 유한 차원 표현론은

\operatorname{SU}(2)

의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각각의 음이 아닌 정수

n=0,1,\dots

에 대하여

2n+1

차원의 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은

n=0

인 자명 표현을 제외하면 모두 유니터리 표현이 아니다.

특히

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

은 자명하지 않은 유한 차원 유니타리 표현을 갖지 않는데, 이는 모든 연결된 단순 비-콤팩트 리 군의 특징이다.

5. 2. 무한 차원 표현

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 무한 차원 표현론은 SU(2)의 경우와는 상당히 다르다.

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 무한 차원 기약 허용 표현(admissible representation^영어)은 완전히 분류되었으며, 다음과 같다.

모든 0이 아닌 정수 $\mu\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ 에 대하여, '''이산열 표현'''(離散列表現, discrete series representation^영어) $D_\mu$
이산열 표현의 극한 $D_{+0}$ , $D_{-0}$
'''주열 표현'''(主列表現, principal series representation^영어) $I_{\epsilon,\mu}$ , 여기서 $\mu\in\mathbb C$ , $\epsilon\in\{\pm1\}$ 이며, $\epsilon\ne-(-1)^\mu$ 조건을 만족한다. $I_{\epsilon,\mu}$ 는 $I_{\epsilon,-\mu}$ 와 동형이다.

이러한 표현들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.

모든 이산열 표현 $D_\mu$ 및 그 극한 $D_{\pm0}$
주열 표현 $I_{\pm,i\mu}$ , 여기서 $\mu\in\mathbb R$ (실수)
주열 표현 $I_{+,\mu}$ , 여기서 $0<|\mu|<1$

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 무한 차원 표현론은 매우 흥미로운 주제로, 여러 종류의 유니터리 표현을 가진다. 이는 겔판트와 나이마르크(1946), V. 바르그만(1947), 하리쉬-찬드라(1952) 등에 의해 상세하게 연구되었다.

6. 추가 설명 (영어 원문 기반)

SL(2, '''R''')은 '''R'''²의 선형 변환 중 방향을 보존하는 모든 변환들의 군이다. 이 군은 군 동형사상을 통해 심플렉틱 군 Sp(2, '''R''') 및 SU(1, 1)과 동형이며, 단위 길이를 갖는 분할 사원수의 군과도 동형이다. 방향을 보존하지 않지만 면적을 보존하는 변환까지 포함하는 군은 SL^±(2, '''R''')이다.

몫군 PSL(2, '''R''')은 여러 중요한 해석을 갖는다. 예를 들어, 이는 실수 사영 직선 '''R''' ∪ {∞}에 작용하는 방향 보존 사영 변환들의 군, 단위 원판의 등각 사상인 자기 동형 사상 군, 쌍곡 공간의 방향 보존 등거리 변환 군으로 볼 수 있다. 또한, 3차원 민코프스키 공간의 제한된 로렌츠 군 (SO⁺(1,2))과 동형이며, 이로부터 SL(2, '''R''')이 스핀 군 Spin(2,1)⁺와 동형 관계임을 알 수 있다.

모듈라 군 PSL(2, '''Z''')의 원소는 SL(2, '''R''')의 일반 이론에 비추어 추가적인 해석을 갖는다.

6. 1. 호모그래피

PSL(2, '''R''')의 원소는 호모그래피이며, 이는 실수 투사선 '''R''' ∪ {∞}에 다음과 같이 작용한다.

:

[x,1] \mapsto [x,\ 1] \begin{pmatrix}a & c \\ b & d \end{pmatrix} \ = \ [ax + b,\ cx + d] \ = \, \left[\frac{ax+b}{cx+d},\ 1\right] .

이러한 사영 변환들은 PSL(2, '''C''')의 부분군을 이루며, 리만 구 위에서는 뫼비우스 변환으로 작용한다.

실수 투사선을 쌍곡면의 경계로 생각할 경우, PSL(2, '''R''')은 쌍곡 운동을 나타낸다.

6. 2. 뫼비우스 변환

PSL(2, '''R''')의 원소는 복소평면에 다음과 같은 뫼비우스 변환으로 작용한다.

:

z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;\;\mbox{ (여기서 }a,b,c,d\in\mathbf{R}\mbox{)}.

이 변환은 정확히 상반평면을 보존하는 뫼비우스 변환들의 집합이다. 따라서 PSL(2, '''R''')는 상반평면의 등각 자기 동형 사상 군이다. 리만 사상 정리에 따라, 이는 단위 원판의 등각 자기 동형 사상 군과도 동형이다.

이 뫼비우스 변환은 쌍곡 공간의 푸앵카레 상반평면 모형에서는 등거리 변환으로 작용하며, 단위 원판에서의 해당 뫼비우스 변환은 푸앵카레 원반 모형의 쌍곡 등거리 변환이다.

위의 공식은 이중수와 분할 복소수에 대한 뫼비우스 변환을 정의하는 데에도 사용될 수 있다. 이와 관련된 기하학은 쌍곡기하학과 중요한 관계를 갖는다.^[1]

6. 3. 원소 분류

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 원소

A

는 대각합

\operatorname{tr}(A)

의 값을 기준으로 분류할 수 있다. 원소의 고유값

\lambda

는 다음 특성 방정식을 만족한다.

:

\lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, \det(A) \,=\, 0

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 경우 행렬식

\det(A) = 1

이므로, 방정식은 다음과 같다.

:

\lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0

따라서 고유값은 다음과 같이 구해진다.

:

\lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}.

이 고유값의 성질과 대각합의 값에 따라

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 원소는 다음과 같이 세 가지 유형으로 분류된다. 이 분류는 원뿔 곡선의 이심률에 따른 분류와 유사하다. 이심률을 대각합 절댓값의 절반(

\epsilon = \frac{1}{2} |\operatorname{tr}(A)|

)으로 정의하면 (

\epsilon < 1

: 타원형,

\epsilon = 1

: 포물선형,

\epsilon > 1

: 쌍곡선형), 각 유형은 다음과 같다.

=== 타원형 원소 ===

조건: $|\operatorname{tr}(A)| < 2$
켤레 원소: $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ ( $\theta\in(0, \pi) \cup (\pi, 2\pi)$ ). 즉, 회전 변환과 켤레 관계이다. $\theta = 0, \pi$ 인 경우는 항등원 $I$ 와 $-I$ 에 해당하며, 이는 보통 포물선형으로 분류되거나 별도로 취급된다.
고유값: 단위 원 위에 있는 한 쌍의 켤레 복소수 $e^{\pm i\theta}$ .
기하학적 의미: 유클리드 평면에서 원점을 중심으로 하는 회전 변환으로 작용한다. 쌍곡 평면에서는 타원 변환(elliptic transformation)으로 작용하며, 고정점을 가진다.
명칭: elliptic element^영어
부분군: 타원형 원소와 $\pm I$ 를 포함하는 부분군을 '''타원형 부분군'''이라 하며, 이는 특수 직교군 $\operatorname{SO}(2)$ 와 켤레 관계이다. 회전 각도는 대각합 절반의 아크코사인으로 주어진다.
모듈러 군: 모듈러 군의 타원형 원소는 유한 차수를 가지며, 토러스 위에서 주기적인 미분 동형 사상으로 작용한다.

=== 포물선형 원소 ===

조건: $|\operatorname{tr}(A)| = 2$
켤레 원소: $\pm\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}$ ( $s \in \{-1, +1\}$ ). $s=0$ 인 경우는 항등원 $\pm I$ 에 해당한다. 항등원 $I$ 와 $-I$ 는 대각합이 각각 2, -2이므로 이 분류에 속하지만, 종종 별도로 취급된다.
고유값: 1 또는 -1 (중근).
기하학적 의미: 유클리드 평면에서 전단 변환으로 작용한다. 쌍곡 평면에서는 포물선 변환(parabolic transformation)으로 작용하며, 무한대에 고정점을 하나 가진다. 이는 쌍곡 평면의 극한 회전(horocycle rotation)에 해당한다. 민코프스키 공간에서는 널 회전(null rotation)으로 작용한다.
명칭: parabolic element^영어
부분군: 포물선형 원소와 $\pm I$ 를 포함하는 부분군을 '''포물선형 부분군'''이라 한다.
모듈러 군: 모듈러 군의 포물선형 원소는 토러스 위에서 Dehn 트위스트로 작용한다.

=== 쌍곡선형 원소 ===

조건: $|\operatorname{tr}(A)| > 2$
켤레 원소: $\pm\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}$ ( $t \in \mathbb R, t \ne 0$ ). 즉, 수축 변환(squeeze mapping)과 켤레 관계이다.
고유값: 서로 역수인 두 개의 실수 $\lambda, \lambda^{-1}$ ( $\lambda \ne \pm 1$ ).
기하학적 의미: 유클리드 평면에서 수축 변환으로 작용한다. 쌍곡 평면에서는 쌍곡 변환(hyperbolic transformation)으로 작용하며, 무한대에 두 개의 고정점을 가진다. 이는 쌍곡 평면의 평행 이동에 해당한다. 민코프스키 공간에서는 로렌츠 부스트(Lorentz boost)로 작용한다.
명칭: hyperbolic element^영어
부분군: 쌍곡선형 원소와 $\pm I$ 를 포함하는 부분군을 '''쌍곡선형 부분군'''이라 한다. 쌍곡선 회전의 쌍곡선각은 대각합 절반의 역쌍곡 코사인으로 주어진다.
모듈러 군: 모듈러 군의 쌍곡선형 원소는 토러스 위에서 아노소프 미분 동형 사상(Anosov diffeomorphism)으로 작용한다.

이 분류는

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

을 세 개의 서로소 집합(타원형, 포물선형, 쌍곡선형)으로 나누는 것이며, 항등원

I

와

-I

는 포물선형에 포함되거나 별도로 취급된다. 이 집합들은 곱셈에 대해 닫혀 있지 않으므로, 이는 군을 부분군으로 분할하는 것이 아니라 단순히 ''부분 집합''으로서의 분류이다. 예를 들어, 두 포물선형 원소의 곱이 반드시 포물선형인 것은 아니다.

위상적으로, 대각합 함수는 연속이므로, 타원형 원소들의 집합(

\pm I

제외)과 쌍곡선형 원소들의 집합(

\pm I

제외)은 각각 열린 집합을 형성한다. 반면, 포물선형 원소들의 집합(

\pm I

포함)은 닫힌 집합이지만 내부는 비어 있다.

동일한 분류 체계가

\operatorname{SL}(2, \mathbb C)

,

\operatorname{PSL}(2, \mathbb C)

(뫼비우스 변환),

\operatorname{PSL}(2, \mathbb R)

(실수 뫼비우스 변환)에도 적용되며, 복소수의 경우 "록소드롬 변환"이라는 유형이 추가된다.

6. 4. 이와사와 분해

이와사와 분해는 리 군을 세 개의 부분군 ''K'', ''A'', ''N''의 곱으로 나타내는 방법이다.

\mbox{SL}(2,\mathbf{R})

에 대한 이와사와 분해는 다음과 같은 부분군으로 구성된다.

$\mathbf{K} = \left\{$

\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \ \theta\in\mathbf{R} \right\} \cong SO(2) (회전 변환, SO(2)와 동형)

\mathbf{A} = \left\{\begin{pmatrix}r & 0 \\0 & r^{-1}\end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \ r > 0 \right\} (스케일링 변환)

\mathbf{N} = \left\{\begin{pmatrix}1 & x \\0 & 1\end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{R}) \ | \ x\in\mathbf{R} \right\} (전단 변환)

이 세 부분군 K, A, N은 각각 타원형, 쌍곡선형, 포물선형 부분 집합의 생성자에 해당한다.

6. 5. 위상 및 범피복군

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

와

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

는 둘 다 연결된 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다.

위상수학적으로

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

는 상반평면

\mathbb H

의 단위 접선 다발과 위상동형이다.

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 스피너 다발로 생각할 수 있다.

상반평면

\mathbb H

는 축약 가능 공간이므로,

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

와

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

는 원

\mathbb S^1

과 호모토피 동치이다. 즉, 이들의 호모토피 군은 다음과 같다.

:

\pi_n(\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)) \cong \pi_n(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)) \cong \begin{cases} 1 & n \ne 1 \\ \mathbb Z & n = 1 \end{cases}

따라서

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 기본군은 무한 순환군

\mathbb Z

이다.

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 범피복군

\widetilde{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)}

(또는

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)}

로 표기)은 행렬군이 아닌 유한 차원 리 군의 한 예이다. 즉,

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)}

은 충실한 유한 차원 표현을 허용하지 않는다. 위상 공간으로서

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)}

은 쌍곡 평면 위의 선 다발이다. 여기에 왼쪽 불변 리만 계량을 부여하면, 3-다양체

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)}

은 8개의 서스턴 기하학 중 하나를 이룬다. 예를 들어,

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)}

은 임의의 쌍곡 곡면에 대한 단위 접선 다발의 범피복군이다.

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)}

을 모델로 하는 모든 다양체는 가향 가능하며, 2차원 쌍곡선 오비폴드 (자이페르트 섬유 공간) 위의 원 다발이다.

범피복 사상

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)} \to \mathrm{PSL}(2,\mathbb R)

아래에서, 모듈러 군

\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

의 원상은 3개의 생성자에 대한 땋임군 ''B''₃이다. 이는 모듈러 군의 범중심 확대이며, 관련된 대수적 군 내의 격자이며, 위상수학적 범피복군에 대수적으로 대응한다.

또한,

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 2겹 피복군은 심플렉틱 군

\operatorname{Sp}(2, \mathbb R)

으로 간주될 때 메타플렉틱 군

\operatorname{Mp}(2, \mathbb R)

으로 식별될 수 있다.

언급된 군들은 다음 피복 사상의 수열을 형성한다.

:

\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)} \to \cdots \to \mathrm{Mp}(2,\mathbb R) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb R) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbb R)

그러나

\pi_1(\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)) \cong \mathbb Z

의 부분군

n\mathbb Z

(

n \in \mathbb{Z}^+

)에 대응하는

\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)

의 다른 피복군들이 존재하며, 이들은 피복군들의 격자를 형성한다. 이 피복군은 ''n''이 짝수일 때만

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

을 피복한다.

6. 6. 대수적 구조

\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})

은 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다.

\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})

의 중심은 항등행렬과 그 음수 행렬, 즉

\{\pm I\}

(여기서

I

는 2x2 항등행렬)로 이루어진 두 원소 군이다. 이 중심에 대한 몫군인

\operatorname{PSL}(2, \mathbb{R}) = \operatorname{SL}(2, \mathbb{R}) / \{\pm I\}

는 단순군이다.

\operatorname{PSL}(2, \mathbb{R})

의 이산 부분군은 푹스 군이라고 불린다. 이는 쌍곡 평면의 등거리변환군 중에서 이산적인 성질을 가지는 중요한 군들을 의미한다. 대표적인 예로는 모듈라 군

\operatorname{PSL}(2, \mathbb{Z})

가 있다. 모듈라 군은 쌍곡 평면을 이상적 삼각형으로 테셀레이션하는 작용과 관련이 깊다.

원군

\operatorname{SO}(2)

(2차원 특수직교군)는

\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})

의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 몫군

\operatorname{PSL}(2, \mathbb{R})

의 극대 콤팩트 부분군은

\operatorname{SO}(2) / \{\pm I\}

이다.

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