리만 곡면 자기 동형군

3. 후르비츠 자기 동형군 정리

'''후르비츠 자기 동형군 정리'''(Hurwitz automorphism theorem^영어)에 따르면, 종수 $g\backslash ge2$인 연결 콤팩트 리만 곡면 $\backslash Sigma\_g$의 자기 동형군의 크기는 다음과 같은 상계를 따른다.^[1]

:$|\backslash operatorname\{Aut\}(\backslash Sigma\_g)|\backslash le\; 84(g-1)$

이 상계를 포화시키는 연결 콤팩트 리만 곡면을 '''후르비츠 곡면'''(Hurwitz surface^영어)이라고 하며, 그 자기 동형군을 '''후르비츠 군'''(Hurwitz group^영어)이라고 한다.

종수 $g\; \backslash ge\; 2$인 매끄러운 연결 리만 곡면 $X$의 자기 동형군 $\backslash operatorname\{Aut\}(X)$의 크기는 최대 $84(g-1)$이다. $G\; =\; \backslash operatorname\{Aut\}(X)$가 유한하다고 가정하고, 몫 사상 $X\; \backslash to\; X/G$를 고려하면, $G$가 정칙 함수에 의해 작용하므로 몫은 국소적으로 $z\; \backslash to\; z^n$ 형태를 가지며, 몫 $X/G$는 매끄러운 리만 곡면이 된다. 몫 사상 $X\; \backslash to\; X/G$는 분지 피복이고, 분기점은 비자명한 안정자를 갖는 궤도에 해당한다. $g\_0$를 $X/G$의 종수라고 하면, 리만-휘르비츠 공식에 의해 다음이 성립한다.

$$2g-2\; \backslash \; =\; \backslash \; |G|\; \backslash cdot\; \backslash left(\; 2g\_0-2\; +\; \backslash sum\_\{i\; =\; 1\}^k\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{e\_i\}\backslash right)\backslash right)$$

여기서 합은 몫 사상 $X\; \backslash to\; X/G$에 대한 $k$개의 분기점 $p\_i\; \backslash in\; X/G$에 걸쳐 있다. $p\_i$에서의 분기 지수 $e\_i$는 안정자 그룹의 차수이며, $e\_i\; f\_i\; =\; \backslash deg(X/\backslash ,\; X/G)$이다. 여기서 $f\_i$는 $p\_i$의 역상 개수(궤도의 점 개수)이고, $\backslash deg(X/\backslash ,\; X/G)\; =\; |G|$이다. 분기점의 정의에 의해 모든 $k$ 분기 지수에 대해 $e\_i\; \backslash ge\; 2$이다.

우변을 $|G|\; R$이라고 부르고 $g\; \backslash ge\; 2$이므로 $R>0$이어야 한다. 방정식을 정리하면 다음과 같다.

• $g\_0\; \backslash ge\; 2$이면 $R\; \backslash ge\; 2$이고, $|G|\; \backslash le\; (g-1)$
• $g\_0\; =\; 1$이면 $k\; \backslash ge\; 1$ 이고 $R\backslash ge\; 1/2$이므로 $|G|\; \backslash le\; 4(g-1)$
• $g\_0\; =\; 0$이면 $k\; \backslash ge\; 3$이고
• * $k\; \backslash ge\; 5$이면 $R\; \backslash ge\; 1/2$이므로 $|G|\; \backslash le\; 4(g-1)$
• * $k=4$이면 $R\; \backslash ge\; 1/6$이므로 $|G|\; \backslash le\; 12(g-1)$
• * $k=3$이면 $e\_1\; =\; p,\backslash ,\; e\_2\; =\; q,\; \backslash ,\; e\_3\; =\; r$로 쓴다. $2\; \backslash le\; p\backslash le\; q\backslash \; \backslash le\; r$이라고 가정할 수 있다.
• ** $p\; \backslash ge\; 3$이면 $R\; \backslash ge\; 1/12$이므로 $|G|\; \backslash le\; 24(g-1)$
• ** $p\; =\; 2$이면

• 특히, $V=H^\{0,1\}(X,\backslash mathbf\{C\})$에서의 작용은 이산 이미지를 갖는 준동형사상 $h:\; G\; \backslash to\; \backslash operatorname\{GL\}(V)$를 제공한다.
• 또한, 이미지 $h(G)$는 $V$에 대한 자연적인 비퇴화 에르미트 내적 $(\backslash omega,\backslash eta)=\; i\; \backslash int\backslash bar\{\backslash omega\}\backslash wedge\backslash eta$을 보존한다. 특히 이미지 $h(G)$는 유니타리 군 $\backslash operatorname\{U\}(V)\; \backslash subset\; \backslash operatorname\{GL\}(V)$에 포함되며, 이는 콤팩트하다. 따라서 이미지 $h(G)$는 이산적일 뿐만 아니라 유한하다.
• 이제 $h$가 단사임을 증명한다. $\backslash varphi\; \backslash in\; G$가 $V$에 항등원으로 작용한다고 가정하자. 만약 $\backslash operatorname\{fix\}(\backslash varphi)$가 유한하면, 레프셰츠 고정점 정리에 의해 이다.

3. 1. 증명

3. 2. 후르비츠 군

4. 쌍곡선의 관점에서 해석

미분기하학의 기본 주제 중 하나는 양의 곡률, 영의 곡률, 음의 곡률 ''K''를 갖는 리만 다양체 사이의 삼분법이다. 이는 다양한 상황과 여러 수준에서 나타난다. 콤팩트한 리만 곡면 ''X''의 맥락에서 리만 균일화 정리를 통해 이는 서로 다른 위상의 곡면 간의 구별로 볼 수 있다. 처음 두 경우에서 곡면 ''X''는 무한히 많은 등각 자기동형사상을 허용하지만(사실 등각 자기동형군은 구의 경우 3차원이고 원환체의 경우 1차원의 복소 리 군이다), 쌍곡선 리만 곡면은 이산형만 허용한다. 자기 동형 집합. 후르비츠의 정리는 실제로 더 많은 것이 사실이라고 주장한다. 이는 속의 함수로서 자기 동형군의 차수에 대한 균일한 경계를 제공하고 경계가 날카로운 리만 곡면을 특성화한다.

균등화 정리에 따르면, 가우스 곡률이 모든 점에서 -1과 같은 쌍곡면 ''X''는 쌍곡 평면에 의해 덮인다. 표면의 등각 사상은 쌍곡 평면의 방향 보존 자기 동형 사상에 해당한다. 가우스-보넷 정리에 의해 표면의 면적은 다음과 같다.

: A(''X'') = − 2π χ(''X'') = 4π(''g'' − 1).

''X''의 자기 동형군 ''G''를 가능한 한 크게 만들기 위해, 이 작용에 대한 기본 영역 ''D''의 면적을 가능한 한 작게 만들고 싶다. 기본 영역이 쌍곡 평면의 타일링을 정의하는 꼭짓각이 π/p, π/q 및 π/r인 삼각형이면, ''p'', ''q'', ''r''은 1보다 큰 정수이고, 면적은 다음과 같다.

: A(''D'') = π(1 − 1/''p'' − 1/''q'' − 1/''r'').

따라서 다음 식을

:1 − 1/''p'' − 1/''q'' − 1/''r''

엄격하게 양수이고 가능한 한 작게 만드는 정수를 찾고 있다. 이 최솟값은 1/42이며,

:1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

는 그러한 정수의 고유한 삼중항을 제공한다. 이것은 자기 동형군 ''G''의 차수 |''G''|가 다음으로 제한됨을 나타낸다.

: A(''X'')/A(''D'') ≤ 168(''g'' − 1).

그러나, 더 미묘한 추론은 군 ''G''가 방향을 반전시키는 변환을 포함할 수 있기 때문에 이것이 2의 인자로 과대 평가임을 보여준다. 방향 보존 등각 자기 동형 사상의 경우 경계는 84(''g'' − 1)이다.

5. 예시

리만 곡면 *X*의 종수 *g*에 대해 |Aut(*X*)|가 가질 수 있는 최댓값과 2 ≤ *g* ≤ 10일 때 |Aut(*X*₀)|가 최대인 곡면 *X*₀는 아래 표와 같다.

5. 1. 후르비츠 상계 포화 여부

5. 2. 대표적인 후르비츠 곡면

5. 3. 후르비츠 군의 예시

6. 구성

후르비츠 군은 쌍곡선 평면의 (2,3,7) 쪽매맞춤에서 시작하여 얻을 수 있다. 전체 대칭군은 각도 π/2, π/3 및 π/7을 갖는 기본 삼각형의 변에 대한 반사로 생성된다. 반사는 삼각형을 뒤집어 방향을 바꾸므로, 삼각형을 쌍으로 결합하여 방향을 유지하는 쪽매맞춤 다각형을 얻는다. 후르비츠 곡면은 쌍곡선 평면의 무한 쪽매맞춤 부분을 종수 ''g''의 콤팩트 리만 곡면으로 '닫음'으로써 얻어지며, 정확히 84(''g'' − 1)개의 이중 삼각형 타일을 포함한다.

다음의 두 정규 쪽매맞춤은 원하는 대칭군을 갖는다. 회전군은 모서리, 꼭짓점, 면에 대한 회전에 해당하며, 전체 대칭군은 반사도 포함한다. 쪽매맞춤의 다각형은 기본 영역이 아니다. (2,3,7) 삼각형에 의한 쪽매맞춤은 이 두 가지를 모두 개선하며 규칙적이지 않다.

3차 칠각형 쪽매맞춤

7차 삼각 타일링

위토프 구성은 8개의 균일 쪽매맞춤을 생성하며, 여기에는 제시된 두 개의 정규 쪽매맞춤이 포함된다. 이들은 모두 후르비츠 곡면으로 내려와 곡면의 쪽매맞춤(삼각형, 칠각형 쪽매맞춤 등)을 생성한다.

후르비츠 군 ''G''는 두 생성원 ''a''와 ''b''와 세 관계를 갖는 군의 유한 몫이라는 속성을 갖는다.

:$a^2\; =\; b^3\; =\; (ab)^7\; =\; 1,$

즉, ''G''는 위수 2와 3인 두 원소에 의해 생성되며, 그 곱의 위수는 7이다. 주어진 종수의 곡면에 대한 자기 동형군의 최대 위수를 실현하는 쌍곡면인 후르비츠 곡면은 주어진 구성을 통해 얻을 수 있다. 이것이 후르비츠 정리의 마지막 부분이다.

7. 역사

아돌프 후르비츠는 1893년에 후르비츠 자기 동형군 정리를 증명하였다.^[5]

참조

_[1] 문서 Technically speaking, there is an equivalence of categories between the category of compact Riemann surfaces with the orientation-preserving conformal maps and the category of non-singular complex projective algebraic curves with the algebraic morphisms.
_[2] 하버드 인용 http://homepages.wmi[...]
_[3] 논문 A bound for the number of automorphisms of an arithmetic Riemann surface 2005
_[4] 하버드 인용 http://homepages.wmi[...]
_[5] 논문 Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich