위상 K이론

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1. 개요

위상 K이론은 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 정의된 유한 차원 벡터 다발의 동형 사상류의 Grothendieck 군을 연구하는 분야이다. K-이론은 실수, 복소수, 사원수 벡터 다발에 따라 KO-군, KU-군, KSp-군으로 나뉘며, 텐서 곱을 통해 교환 환 구조를 갖는다. K-이론은 코호몰로지 이론을 형성하며, 보트 주기성 정리에 의해 실수 K-이론은 8, 복소수 K-이론은 2를 주기로 하는 주기성을 보인다. 위상 K이론은 호모토피 불변량이며, 분류 공간을 통해 정의될 수 있고, 천 지표, 아담스 연산, 톰 동형사상 정리와 같은 중요한 성질을 가진다. 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐에 의해 1950년대 말에 창시되었으며, 호프 불변량 문제와 구면 위의 벡터장 연구에 기여했다.

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위상 K이론
개요
분야	대수적 위상수학
유형	수학 분야
설명	벡터 다발의 동형류를 사용하여 위상 공간을 연구하는 데 사용되는 방법
관련 항목	K군, 작용소 K-이론, 모티프적 호모토피 이론
참고	지표 정리
역사적 맥락
창시자	마이클 아티야, 프리드리히 히르체브루흐
창시 시기	1950년대 후반
주요 발전	벡터 다발의 분류, 주기성 정리, 지표 정리와의 연관성
기본 개념
핵심 개념	벡터 다발, 동형류, K군
주요 연산	덧셈 (직합), 곱셈 (텐서곱)
표현	K(X)는 위상 공간 X 위의 벡터 다발의 안정 동형류의 군을 나타냄
주요 정리
주기성 정리	K(X × S²) ≅ K(X) ⊗ K(S²) (Bott 주기성)
아티야-싱어 지표 정리	해석적 지표와 위상적 지표의 동일성
응용 분야
응용 분야	미분기하학 지표 이론 끈 이론 응집물질물리학
예시	다양체의 분류 디랙 연산자의 지표 계산
추가 정보
참고 문헌	"K-Theory" by Michael Atiyah "Vector Bundles and K-Theory" by Allen Hatcher
관련 연구자	마이클 아티야 프리드리히 히르체브루흐 라울 보트 이사도어 싱어
외부 링크	nLab: topological K-theory MathWorld: K-Theory

2. 정의

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 에 대해, K-이론은 $X$ 위의 유한 차원 벡터 다발들을 이용하여 정의된다. $k= \R$ (실수) 또는 $k=\Complex$ (복소수)일 때, $K_k(X)$ 는 $X$ 위의 유한 차원 $k$ -벡터 다발의 동형 사상류의 교환 모노이드의 Grothendieck 군으로 정의되며, Whitney 합을 따른다. 다발의 텐서 곱은 K-이론에 교환 환 구조를 부여한다.

아래첨자 없이 $K(X)$ 로 표기하면 일반적으로 복소수 K-이론을 나타내며, 실수 K-이론은 $KO(X)$ 로 표기한다. 점의 K-이론은 정수인데, 이는 점 위의 벡터 다발이 랭크에 의해 분류되는 자명한 다발이고, 자연수의 Grothendieck 군이 정수이기 때문이다.

유향 공간 $X$ 에 대해 정의된 K-이론의 축소 버전인 $\widetilde{K}(X)$ 도 있다. 이는 직관적으로 $K(X)$ modulo 자명한 다발이며, 다발의 안정적 동치류의 군으로 정의된다. 두 다발 $E$ 와 $F$ 는 자명한 다발 $\varepsilon_1$ 과 $\varepsilon_2$ 가 존재하여 $E \oplus \varepsilon_1 \cong F\oplus \varepsilon_2$ 일 때 '''안정적으로 동형'''이라고 한다. 또는 $\widetilde{K}(X)$ 는 기저점 $x_0$ 의 $X$ 에 대한 포함에 의해 유도된 사상 $K(X)\to K(x_0) \cong \Z$ 의 핵으로 정의할 수 있다.

K-이론은 곱셈(일반화된) 코호몰로지 이론을 형성한다.

2. 1. 벡터 다발을 통한 정의

콤팩트 하우스도르프 공간

X

에 대해,

K_k(X)

는

X

위의 유한 차원

k

-벡터 다발 (실수, 복소수 또는 사원수)의 동형 사상류로 구성된 교환 모노이드의 Grothendieck 군으로 정의된다. 이때 벡터 다발의 연산은 Whitney 합을 사용한다. 또한, 다발의 텐서 곱은

K

-이론에 교환 환 구조를 부여한다.

일반적으로 아래첨자 없이

K(X)

로 표기하면 복소수

K

-이론을 나타내며, 실수

K

-이론은

KO(X)

로 표기한다. 점의

K

-이론은 정수인데, 이는 점 위의 벡터 다발이 랭크(차원)에 의해 분류되는 자명한 다발이고, 자연수의 Grothendieck 군이 정수이기 때문이다.

X

위의

G

-벡터 다발들의 동형류 집합은 직합 연산을 통해 가환 모노이드를 이룬다. 여기서

G

는 직교군(

\operatorname O

), 유니터리 군(

\operatorname U

), 심플렉틱 군(

\operatorname{Sp}

) 중 하나이다.

$\operatorname O$ -벡터 다발은 $X$ 위의 유한 차원 실수 벡터 다발이다.
$\operatorname U$ -벡터 다발은 $X$ 위의 유한 차원 복소수 벡터 다발이다.
$\operatorname{Sp}$ -벡터 다발은 $X$ 위의 유한 차원 실수 짝수 차원 벡터 다발 중 특정 조건을 만족하는 것이다.

G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}

인 경우, 즉 실수 또는 복소수 벡터 다발의 경우 텐서곱 연산을 통해 가환 반환을 이룬다. 이때 직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.

X

의

G

에 대한 K군 (

\mathrm KG^0(X)

)은

X

위의

G

-벡터 다발들의 그로텐디크 군으로 정의된다.

G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}

라면, 이는 가환환을 이룬다. 일반적으로

G

를 생략하면

G = \operatorname U

, 즉 복소수 벡터 다발을 의미한다.

점을 가진 공간

(X,x_0)

에 대해, 준동형

\phi\colon\operatorname K^0(X)\to\operatorname  K^0(\{x_0\})

이 존재하며, '''축소 K군'''(縮小K群, reduced K-group^영어)

\operatorname{\tilde K}^0(X,x_0)

는 이 준동형의 핵으로 정의된다.^[1] 이는 벡터 다발의 안정적 동치류의 군으로 이해할 수 있다. 두 다발

E

와

F

는 자명한 다발

\varepsilon_1

과

\varepsilon_2

가 존재하여

E \oplus \varepsilon_1 \cong F\oplus \varepsilon_2

일 때 '''안정적으로 동형'''이라고 한다.

2. 1. 1. 0차 K군

콤팩트 하우스도르프 공간

X

가 주어졌을 때,

X

위의

G

-벡터 다발^[1]들의 동형류 집합은 직합 연산을 통해 가환 모노이드를 이룬다. 여기서

G

는 직교군(

\operatorname O

), 유니터리 군(

\operatorname U

), 심플렉틱 군(

\operatorname{Sp}

) 중 하나를 의미한다.

$\operatorname O$ -벡터 다발은 $X$ 위의 유한 차원 실수 벡터 다발이다.
$\operatorname U$ -벡터 다발은 $X$ 위의 유한 차원 복소수 벡터 다발이다.
$\operatorname{Sp}$ -벡터 다발은 $X$ 위의 유한 차원 실수 짝수 차원 벡터 다발 중 특정 조건을 만족하는 것이다.

G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}

인 경우, 즉 실수 또는 복소수 벡터 다발의 경우 텐서곱 연산을 통해 가환 반환을 이룬다. 이때 직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.

X

의

G

에 대한 K군 (

\mathrm KG^0(X)

)은

X

위의

G

-벡터 다발들의 그로텐디크 군으로 정의된다.

G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}

라면, 이는 가환환을 이룬다. 일반적으로

G

를 생략하면

G = \operatorname U

, 즉 복소수 벡터 다발을 의미한다.

k= \R

(실수) 또는

k=\Complex

(복소수)일 때,

K_k(X)

는

X

위의 유한 차원

k

-벡터 다발의 동형 사상류의 교환 모노이드의 Grothendieck 군으로 정의되며, Whitney 합을 따른다. 다발의 텐서 곱은

K

-이론에 교환 환 구조를 부여한다.

K(X)

(아래첨자 없음)는 일반적으로 복소수

K

-이론을 나타내며, 실수

K

-이론은

KO(X)

로 표기하기도 한다.

점의

K

-이론은 정수인데, 이는 점 위의 벡터 다발이 랭크에 의해 분류되는 자명한 다발이고, 자연수의 Grothendieck 군이 정수이기 때문이다.

2. 1. 2. 축소 K군

점을 가진 공간

(X,x_0)

에 대해, 다음과 같은 준동형이 존재한다.

:

\phi\colon\operatorname K^0(X)\to\operatorname  K^0(\{x_0\})

이때, '''축소 K군'''(縮小K群, reduced K-group^영어)

\operatorname{\tilde K}^0(X,x_0)

는 이 준동형의 핵으로 정의된다.^[1]

:

\operatorname {\tilde K}^0(X,x_0)=\ker\phi=\operatorname K^0(X)/\operatorname K^0(\{x_0\})

이는 벡터 다발의 안정적 동치류의 군으로 이해할 수 있다. 두 다발 E와 F는 자명한 다발

\varepsilon_1

과

\varepsilon_2

가 존재하여

E \oplus \varepsilon_1 \cong F\oplus  \varepsilon_2

일 때 '''안정적으로 동형'''이라고 한다. 이 동치 관계는 모든 벡터 다발이 직교 여공간을 더하여 자명한 다발로 완성될 수 있으므로 군을 형성한다.

또는

\widetilde{K}(X)

는 기저점

x_0

의 X에 대한 포함에 의해 유도된 사상

K(X)\to K(x_0) \cong \Z

의 핵으로 정의할 수 있다.

2. 1. 3. 상대 K군

콤팩트 하우스도르프 공간 와 그 부분 공간 A에 대해, 상대 K군

\widetilde{K}(X/A)

는 A를 축소시킨 공간 X/A의 축소 K군으로 정의된다. 이는 짧은 완전 순서로 나타낼 수 있다.

:

\widetilde{K}(X/A) \to \widetilde{K}(X) \to \widetilde{K}(A)

이는 다음과 같은 긴 완전 순서로 확장된다.^[1]

:

\cdots \to \widetilde{K}(SX) \to \widetilde{K}(SA) \to \widetilde{K}(X/A) \to \widetilde{K}(X) \to \widetilde{K}(A).

2. 1. 4. 콤팩트 지지 K군

국소 콤팩트 공간에 대해, 콤팩트 지지 K-군은 알렉산드로프 콤팩트화의 축소 K-군으로 정의된다.^[1]

2. 1. 5. 고차 K군

−n차 축소 K군 $\operatorname K^{-n}(X)$는 다음과 같이 정의된다.

:$\operatorname{\tilde K}^{-n}(X)=\operatorname{\tilde K}(\mathbb S^n\wedge X)$

여기서 $\wedge$는 위상 공간의 분쇄곱이고, $\mathbb S^n$은 $n$차원 초구이다. $S^0\wedge X\cong X$이므로, $\operatorname {\tilde K}^0(X)$의 정의는 일관적이다. 또한 $\mathbb S^m\wedge\mathbb S^n\cong\mathbb S^{m+n}$이므로, $\tilde K^{-m-n}(X)=\tilde K^{-m}(S^n\wedge X)$이다.

−n차 (비축소) K군 $\operatorname K^{-n}(X)$는 그 알렉산드로프 콤팩트화 $X^+=X\sqcup\{\infty\}$의 축소 K군이다.

:$\operatorname K^{-n}(X)=\operatorname{\tilde K}^{-n}(X^+)$

고차 축소 K군은 주기성을 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.

$\operatorname {\tilde KU}^{-n-2}(X)=\operatorname{\tilde KU}^{-n}(X)$
$\operatorname {\tilde KO}^{-n-8}(X)=\operatorname{\tilde KO}^{-n}(X)$

이를 보트 주기성(Bott periodicity^영어)이라고 한다. 보트 주기성을 이용하면 양의 정수차 K군 $K^1$, $K^2$ 등을 정의할 수 있다.^[1]

유향 공간 쌍 $(X, A)$에 대해 다음과 같은 짧은 완전 순서가 존재한다.

:$\widetilde{K}(X/A) \to \widetilde{K}(X) \to \widetilde{K}(A)$

이는 다음과 같은 긴 완전 순서로 확장된다.

:$\cdots \to \widetilde{K}(SX) \to \widetilde{K}(SA) \to \widetilde{K}(X/A) \to \widetilde{K}(X) \to \widetilde{K}(A).$

${S^n}$를 공간의 $n$차 축소 현수라고 정의하면,

:$\widetilde{K}^{-n}(X):=\widetilde{K}(S^nX), \qquad n\geq 0.$

음수 지수는 코경계 사상이 차원을 증가시키도록 선택된다.

이러한 군의 축소되지 않은 버전은 다음과 같이 정의된다.

:$K^{-n}(X)=\widetilde{K}^{-n}(X_+).$

여기서 $X_+$는 '+'로 표시된 분리된 기저점을 갖는 $X$이다.

2. 2. 안정 벡터 다발을 통한 정의

콤팩트 하우스도르프 공간

X

위의 두 유한 차원 복소수 벡터 다발

E

,

F

에 대해 다음과 같은 동치 관계를 정의한다.

:

E \sim F \iff \exists n \in\mathbb N\colon E\oplus\mathbb C^n \cong F\oplus\mathbb C^n

여기서

\mathbb C^n

은

n

차원 자명한 복소수 벡터 다발이며,

\cong

은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 '''안정 벡터 다발'''(安定vector다발, stable vector bundle^영어)이라고 한다. 안정 벡터 다발은 직합에 대해 가환 모노이드를 이루며, 이는 아벨 군이다. 이를

X

의 0차 '''축소 K군'''

\operatorname{\widetilde{KU}}^0(X)

이라고 한다.

두 다발

E

와

F

가 안정적으로 동형이라는 것은, 어떤 자명한 다발

\varepsilon_1

과

\varepsilon_2

가 존재하여

E \oplus \varepsilon_1 \cong F\oplus  \varepsilon_2

가 성립하는 것을 의미한다.

2. 3. 분류 공간을 통한 정의

리 군의 포함 관계

:

G(0) \hookrightarrow G(1) \hookrightarrow \dotsb

에 대한 분류 공간의 포함 관계

:

\mathrm BG(0) \to \mathrm BG(1) \to \mathrm BG(2) \to \dotsb

가 존재한다. 이는 어떤 위상 공간

X

위의

G(n)

-벡터 다발

E\twoheadrightarrow X

가 주어졌을 때,

\operatorname G(n+1)

-벡터 다발

E\oplus\mathbb K

를 취하는 것이다. 여기서

\mathbb K

는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발이다. 이에 따라서, 귀납적 극한

:

\varinjlim \mathrm BG(\infty)

를 취할 수 있다.

직교군

\operatorname O(n)

의 분류 공간

\operatorname{BO}(n)

은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는

n

차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군

\operatorname U(n)

의 분류 공간

\operatorname{BU}(n)

은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수

n

차원 부분 공간들의 공간이다.

X

가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 할 때,

X

의 '''K군'''은 다음과 같다.

:

\mathrm KG(X) = [X,\mathbb Z\times\mathrm BG(\infty)]

여기서

[X,Y]

는

X\to Y

호모토피류들의 집합이다.

만약

X

가

n

차원 연결 공간이고

k>n/2

일 때, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{\widetilde{KO}}(X)\cong[X,\operatorname{BO}(k)]

:

\operatorname{\widetilde{KU}}(X)\cong[X,\operatorname{BU}(k)]

^[1]

3. 성질

Kⁿ(각각, $\widetilde{K}^n$ )은 (가리킨) 공간의 호모토피 범주에서 가환환의 범주로의 반변 함자이다. 따라서 수축 가능 공간에 대한 K-이론은 항상 $\Z$ 이다.

K-이론의 스펙트럼은 $BU\times\Z$ ( $\Z$ 에 이산 위상을 가짐)이다. 즉, $K(X) \cong \left [ X_+, \Z \times BU \right ]$ 이며, 여기서 $[ , ]$ 는 가리킨 호모토피류를 나타내고, $BU$ 는 유니타리 군의 분류 공간의 콜리미트이다. ( $BU(n) \cong \operatorname{Gr} \left (n, \Complex^{\infty} \right )$ ). 마찬가지로, $\widetilde{K}(X) \cong [X, \Z \times BU]$ 이다. 실수 K-이론의 경우 $BO$ 를 사용한다.

자연스러운 환 준동형 사상 $K^0(X) \to H^{2*}(X, \Q)$ (체른 문자)이 존재하며, $K^0(X) \otimes \Q \to H^{2*}(X, \Q)$ 는 동형사상이다.

K-이론에서 스틴로드 연산에 해당하는 것은 아담스 연산이다. 이들은 위상적 K-이론에서 특성류를 정의하는 데 사용될 수 있다.

위상적 K-이론의 분할 원리를 사용하면 임의의 벡터 다발에 대한 명제를 선형 다발의 합에 대한 명제로 축소할 수 있다.

위상적 K-이론의 톰 동형사상 정리는 다음과 같다. $K(X)\cong\widetilde{K}(T(E))$ . 여기서 $T(E)$ 는 $X$ 위의 벡터 다발 $E$ 의 톰 공간이다. 이는 $E$ 가 스핀 다발일 때 성립한다.

아티야-히르체브루흐 스펙트럴 시퀀스는 일반 코호몰로지 군으로부터 K-군을 계산할 수 있게 해준다.

위상적 K-이론은 C*-대수에 대한 함자로 광범위하게 일반화될 수 있으며, 연산자 K-이론 및 KK-이론을 참조한다.

3. 1. 함자성

\mathcal C

가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.

:

\operatorname{KO}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}

:

\operatorname{KU}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}

:

\operatorname{KSp}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}

여기서

$\operatorname{ho}(\mathcal C)$ 는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
$\operatorname{CRing}$ 은 가환환의 범주이다.
$\operatorname{Ab}$ 은 가환군의 범주이다.
$(-)^{\operatorname{op}}$ 은 반대 범주이다.

즉, 연속 함수

X\to Y

가 주어지면, 이에 따라 환 준동형

K(Y)\to K(X)

가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.

:

\operatorname{\widetilde{KO}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}

:

\operatorname{\widetilde{KU}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}

:

\operatorname{\widetilde{KSp}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}

특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

3. 2. 보트 주기성

복소수 K-군은 2주기를 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{\widetilde{KU}}^{\bullet+2}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KU}}^\bullet(X)

실수 K-군은 8주기를 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{\widetilde{KO}}^{\bullet+8}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KO}}^\bullet(X)

이는 분류 공간으로서, 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.

:

\Omega^2\mathrm{BU}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BU}(\infty)

:

\Omega^8\mathrm{BO}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BO}(\infty)

실수 K-이론에서도 유사한 주기성이 있지만, 8을 법으로 한다.

3. 3. 코호몰로지

에일렌베르크-스틴로드 공리에서 차원 공리를 제외한 모든 공리를 만족시킨다. 따라서 위상 K이론은 특수 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면

H^n(\{\bullet\})=0\forall n>0

이어야 하지만, K이론에서는

\operatorname{KU}^{2n}(\{\bullet\})=\mathbb Z

이다.)

3. 4. 천 지표

천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 환 준동형이다.^[4]^[5] 이는 그로텐디크 군 연산을 통해 확장된다. 즉,

[E],[F]\in K^0(X)

라고 하면, 다음과 같다.

:

\operatorname{ch}([E]\oplus[F])=\operatorname{ch}([E])+\operatorname{ch}([F])

:

\operatorname{ch}([E]\otimes[F])=\operatorname{ch}([E])\smile\operatorname{ch}([F])

:

\operatorname{ch}(-[E])=-\operatorname{ch}([E])

:

\operatorname{ch}([\mathbb C^{\oplus k}])=k

마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형

\operatorname{ch}\colon\tilde K^0(X)\to\tilde H^\bullet(X;\mathbb Q)

또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.^[5]

:

\operatorname{\widetilde{KU}}^1(X)=\operatorname{KU}^0(\mathbb S^1\wedge X)

:

\operatorname{\tilde H}^{2k}(X;\mathbb Q)\cong\operatorname H^{2k+1}(\mathbb S^1\wedge X;\mathbb Q)

이므로, 이를 사용하여 천 지표를

:

\operatorname K^\bullet(X)\to\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)

로 확장시킬 수 있다.

대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는

K^\bullet(X)\otimes\mathbb Q

와

H^\bullet(X;\mathbb Q)

사이의 동형 사상이다.^[6] 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.

:

\operatorname{KU}^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{2k}(X;\mathbb Q)

:

\operatorname{KU}^1(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{2k+1}(X;\mathbb Q)

마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.^[6]

:

\operatorname{KO}^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{4k}(X;\mathbb Q)

4. 예시

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 한 점 공간의 K군과 같다.

초구의 복소수 K군은 다음과 같다.^[4]

$ \operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n}) $	$ \operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n}) $	$ \operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n+1}) $	$ \operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n+1}) $
$ \mathbb Z^2 $	0	$ \mathbb Z $	$ \mathbb Z $

복소수 사영 공간 $ \mathbb{CP}^n $의 K군은 다음과 같다.

$ K^0(\mathbb{CP}^n) $	$ K^1(\mathbb{CP}^n) $
$ \mathbb Z^{n+1} $	0

원환면 $ \mathbb T^n $의 K군은 다음과 같다.

$ K^0(\mathbb T^n) $	$ K^1(\mathbb T^n) $
$ \mathbb Z^{2^{n-1}} $	$ \mathbb Z^{2^{n-1}} $

4. 1. 축약 가능 공간

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 한 점 공간

\{\bullet\}

의 K군과 같다.

4. 2. 초구

초구

S^n

의 복소수 K군은 다음과 같다.^[4]

$\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n})$	$\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n})$	$\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n+1})$	$\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n+1})$
$\mathbb Z^2$	0	$\mathbb Z$	$\mathbb Z$

초구의 축소 복소수 K군은 다음과 같다.

$\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n})$	$\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n})$	$\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n+1})$	$\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n+1})$
$\mathbb Z$	0	0	$\mathbb Z$

초구의 축소 실수 K군은 다음과 같다.^[7]

$\operatorname{\widetilde{KO}}^m(\mathbb S^n)$

4. 3. 기타 공간

복소수 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$의 K군은 다음과 같다.

$K^0(\mathbb{CP}^n)$	$K^1(\mathbb{CP}^n)$
$\mathbb Z^{n+1}$	0

원환면 $\mathbb T^n$의 K군은 다음과 같다.

$K^0(\mathbb T^n)$	$K^1(\mathbb T^n)$
$\mathbb Z^{2^{n-1}}$	$\mathbb Z^{2^{n-1}}$

5. 역사

마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.^[8]

참조

_[1] 서적 Vector Bundles and K-theory https://pi.math.corn[...] 2017-07-27
_[2] 서적 On the non-existence of elements of Hopf invariant one Ann. Math. 72 1 1960
_[3] 간행물 Vector Fields on Spheres 1962
_[4] 저널 18 lectures on K-Theory 2010-08
_[5] 서적 Vector Bundles and K-Theory http://www.math.corn[...] 2009-05
_[6] 저널 K-theory. An elementary introduction 2006-02
_[7] 저널 K-theory, reality, and orbifolds 1999
_[8] 웹인용 Correspondence Atiya ↔ Hirzebruch about ''K''-theory http://www.maths.ed.[...]

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