스칼라장

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1. 개요
2. 수학적 정의
- 2.1. 유클리드 공간에서의 정의
- 2.2. 일반적인 정의
3. 물리학에서의 응용
4. 다른 종류의 장
참조

1. 개요

스칼라장은 유클리드 공간의 각 점에 스칼라 값을 대응시키는 함수로, 수학과 물리학에서 중요한 개념이다. 수학적으로는 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수나 분포로 정의되며, 0차 텐서장으로 간주된다. 물리학에서는 측정 단위를 가지며, 좌표계에 독립적인 특성을 갖는다. 스칼라장은 포텐셜 에너지, 기상학적 변수, 양자장론, 상대성 이론 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 힉스장, 중력의 스칼라 이론, 초끈 이론 등에서 중요한 역할을 한다. 다른 종류의 장으로는 벡터장, 텐서장 등이 있다.

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벡터장은 유클리드 공간이나 미분다양체의 각 점에 벡터를 대응시키는 사상으로, 유클리드 공간에서는 벡터값 함수로 표현되고 미분다양체에서는 접다발의 단면이나 도함수로 정의되며, 물리학, 기상, 유체역학, 전자기학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 응용된다.
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스칼라장
개요
스칼라 필드의 예
정의	공간의 각 점에 스칼라 값을 할당하는 것
수학적 표현	f: X → K (여기서 X는 공간이고 K는 스칼라 집합)
예시	온도 분포, 압력 분포, 전위
상세 내용
특징	방향 성분 없음 좌표계 변환에 불변
연산	덧셈 곱셈 미분 (gradient) 적분
물리학에서의 응용
예시	온도장 전위장 힉스장
수학에서의 응용
예시	다변수 미적분학 텐서 미적분학 미분기하학
관련 개념
관련 개념	벡터장, 텐서장

2. 수학적 정의

수학에서 영역 ''U'' 위의 스칼라장은 ''U'' 위의 실수 또는 복소수 함수나 초함수이다.^[14]^[15] 그 정의 영역 ''U''는 유클리드 공간이나 민코프스키 공간의 부분 집합으로 한다(또는 더 일반적인 다양체의 부분 집합이라도 상관없다). 보통 스칼라장을 생각할 때는, 장에 연속성이나 적당한 계수의 연속적 미분 가능성을 부여하여 생각한다. 스칼라장은 0차 텐서장이며,^[16] 밀도 다발이나 미분 형식, 또는 더 일반적인 텐서장과 마찬가지 개념으로, 단순히 함수로 생각하는 것과는 다르다는 것을 나타내기 위해 "스칼라장"이라는 호칭이 사용된다.

물리학적으로 스칼라장은 그것이 어떤 물리 단위에 관한 것인지에 따라서도 구별된다. 이 문맥에서, 스칼라장은 물리계가 어떤 좌표계에서 기술되는지에 의존해서는 안 된다(즉, 두 관측자가 동일한 물리 단위를 사용하는 한, 물리 공간의 임의로 주어진 점에서 두 사람이 관측하는 스칼라장의 값은 반드시 일치해야 한다). 스칼라장은 (영역의 각 점에 벡터가 부수되는) 벡터장이나 텐서장, 스피너장과 (또는 약간 미묘하지만 의사 벡터장과도) 대조를 이룬다.

2. 1. 유클리드 공간에서의 정의

유클리드 공간

\mathbb{R}^n

에서 '''스칼라장'''은

F:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

으로 정의되는 사상으로써 정의역

A

의 모든 원소

\mathbf{x}

에 스칼라

F\left(\mathbf{x}\right)

를 대응시킨다.

수학적으로, 영역 ''U''상의 스칼라장은 ''U''상의 실수 또는 복소수 값 함수 또는 분포이다.^[1]^[2] 영역 ''U''는 유클리드 공간, 민코프스키 공간의 집합일 수 있으며, 더 일반적으로는 다양체의 부분 집합일 수 있다. 수학에서는 필드에 추가 조건을 부과하여 연속 또는 종종 어떤 차수까지 연속 미분 가능하도록 하는 것이 일반적이다. 스칼라장은 0차의 텐서장이며,^[3] "스칼라장"이라는 용어는 이러한 종류의 함수를 보다 일반적인 텐서장, 밀도 또는 미분 형식과 구별하기 위해 사용될 수 있다.

$\sigma$ 가 증가함에 따라 진동하는 $\sin (2\pi(xy+\sigma))$ 의 스칼라장. 빨간색은 양수 값을, 보라색은 음수 값을, 하늘색은 0에 가까운 값을 나타낸다.

물리적으로, 스칼라장은 이와 관련된 측정 단위를 가짐으로써 구별된다. 이 맥락에서, 스칼라장은 물리적 시스템을 설명하는 데 사용되는 좌표계와 독립적이어야 한다. 즉, 동일한 단위를 사용하는 두 관찰자는 물리적 공간의 임의의 주어진 점에서 스칼라장의 수치 값에 동의해야 한다. 스칼라장은 모든 영역의 지점에 벡터를 연관시키는 벡터장뿐만 아니라 텐서장 및 스피너장과 같은 다른 물리량과 대조된다. 더 미묘하게는, 스칼라장은 종종 유사 스칼라장과 대조된다.

2. 2. 일반적인 정의

유클리드 공간

\mathbb{R}^n

에서 '''스칼라장'''은

F:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

으로 정의되는 사상으로써 정의역

A

의 모든 원소

\mathbf{x}

에 스칼라

F\left(\mathbf{x}\right)

를 대응시킨다.

수학적으로, 영역 ''U''상의 스칼라장은 ''U''상의 실수 또는 복소수 값 함수 또는 분포이다.^[1]^[2] 영역 ''U''는 유클리드 공간, 민코프스키 공간의 집합일 수 있으며, 더 일반적으로는 다양체의 부분 집합일 수 있다. 수학에서는 필드에 추가 조건을 부과하여 연속 또는 종종 어떤 차수까지 연속 미분 가능하도록 하는 것이 일반적이다. 스칼라장은 0차 텐서장이며,^[3] "스칼라장"이라는 용어는 이러한 종류의 함수를 보다 일반적인 텐서장, 밀도 또는 미분 형식과 구별하기 위해 사용될 수 있다.

물리적으로, 스칼라장은 부가적으로 이와 관련된 측정 단위를 가짐으로써 구별된다. 이 맥락에서, 스칼라장은 물리적 시스템을 설명하는 데 사용되는 좌표계와 독립적이어야 한다. 즉, 동일한 단위를 사용하는 두 관찰자는 물리적 공간의 임의의 주어진 점에서 스칼라장의 수치 값에 동의해야 한다. 스칼라장은 모든 영역의 지점에 벡터를 연관시키는 벡터장뿐만 아니라 텐서장 및 스피너장과 같은 다른 물리량과 대조된다. 더 미묘하게는, 스칼라장은 종종 유사 스칼라장과 대조된다.

3. 물리학에서의 응용

물리학에서 스칼라장은 다양한 현상을 설명하는 데 사용된다.

'''포텐셜장''': 중력 포텐셜이나 전기적 위치 에너지와 같이 힘과 관련된 포텐셜 에너지를 나타낸다.
'''기상학''': 온도, 습도, 압력 등 대기 상태를 나타내는 데 사용된다.
'''양자장론''': 중간자나 힉스 입자와 같이 스핀이 0인 입자를 나타낸다. 표준 모형의 힉스 장은 유카와 상호작용과 자발적 대칭성 깨짐을 통해 렙톤 등에 질량을 부여하는 힉스 메커니즘에 관여한다.^[4]
'''중력''': 중력의 스칼라 이론에서는 중력장을 설명하고, 스칼라-텐서 이론에서는 텐서장과 함께 중력 상호작용을 기술한다. 칼루차-클라인 이론을 일반화한 요르단 이론^[6]과 브란스-디케 이론^[7]이 대표적이다.
'''초끈 이론''': 끈의 등각 대칭성을 깨뜨리는 딜라톤 장으로 나타난다.^[11]
'''우주론''': 우주 인플레이션을 일으키고 지평선 문제를 해결하는 인플레이톤으로 제안된다.^[12]

3. 1. 포텐셜장

물리학에서 스칼라장은 종종 특정 힘과 관련된 포텐셜 에너지를 설명한다. 이 힘은 벡터장이며, 포텐셜 에너지 스칼라장의 기울기의 인수로 얻을 수 있다.

뉴턴의 중력 포텐셜 또는 정전기학에서의 전기적 위치 에너지와 같은 포텐셜장은 더 친숙한 힘을 설명하는 스칼라장이다.
기상학에서 사용되는 온도, 습도, 또는 압력장.

물리학에서는 어떤 힘에 의한 위치 에너지를 표현하는 데 자주 사용된다. 힘장은 벡터장이지만 어떤 스칼라장의 기울기를 취한 것으로 표현할 수 있다. 즉, 벡터장 '''F'''에 대해 스칼라장 ψ 사이에 다음과 같은 관계가 있을 때 ψ를 특히 장 '''F'''의 '''스칼라 포텐셜'''이라고 한다.

:

\boldsymbol{F} = - \nabla \psi

단, 여기서

\nabla

는 델 연산자라고 불리며,

:

\nabla = \boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}

로 정의된다. '''i''', '''j''', '''k'''는 각각 x, y, z 방향의 단위 벡터이다.

포텐셜 장 중력이나 전자기력에 의해 발생하는 힘을 나타내는 스칼라장.
기상학에서의 기온, 습도, 기압의 장.

3. 2. 기상학

기상학에서 사용되는 온도, 습도, 압력장은 스칼라장의 예시이다.

3. 3. 양자장론 및 상대성 이론

양자장론에서 스칼라장은 스핀-0 입자와 연관되어 있다. 스칼라장은 실수 또는 복소수 값을 가질 수 있으며, 복소 스칼라장은 전하를 띤 입자를 나타낸다. 여기에는 표준 모형의 힉스장뿐만 아니라 강한 핵력을 매개하는 전하를 띤 파이온도 포함된다.^[4]

기본 입자의 표준 모형에서 스칼라 힉스장은 유카와 상호작용과 자발적 대칭 깨짐의 조합을 통해 렙톤과 질량이 있는 벡터 보손에 질량을 부여하는 힉스 메커니즘을 사용한다.^[5] 힉스 보손의 후보는 2012년 CERN에서 처음 감지되었다.

중력의 스칼라 이론에서 스칼라장은 중력장을 설명하는 데 사용된다. 스칼라-텐서 이론은 텐서와 스칼라를 통해 중력 상호작용을 나타내는데, 요르단 이론^[6]은 칼루차-클라인 이론의 일반화이며, 브란스-디케 이론이 그 예이다.^[7] 힉스장과 같은 스칼라장은 스칼라-텐서 이론 내에서 찾아볼 수 있으며, 표준 모형의 힉스장을 스칼라장으로 사용한다.^[8]^[9] 이 장은 중력적으로 상호작용하고, 이를 통해 질량을 얻는 입자와 유카와와 유사하게 (단거리) 상호작용한다.^[10]

스칼라장은 초끈 이론 내에서 끈의 등각 대칭을 깨뜨리는 딜라톤장으로 발견되지만, 이 텐서의 양자 이상을 상쇄한다.^[11]

스칼라장은 초기 우주의 고도로 가속된 팽창(인플레이션)을 일으킨 것으로 가설이 세워져 있으며,^[12] 지평선 문제를 해결하는 데 도움을 주고 우주론의 0이 아닌 우주 상수에 대한 가설적 이유를 제공한다. 이 맥락에서 질량이 없는 (즉, 장거리) 스칼라장은 인플레이톤으로 알려져 있다. 질량이 있는 (즉, 단거리) 스칼라장도 제안되었으며, 예를 들어 힉스 유사 장을 사용한다.^[13]

4. 다른 종류의 장

벡터장은 공간의 모든 점에 벡터를 대응시킨다. 벡터장의 예시로는 전자기장과 기상학에서의 기류(바람)가 있다.
텐서장은 공간의 모든 점에 텐서를 대응시킨다. 예를 들어, 일반 상대성 이론에서 중력은 아인슈타인 텐서라고 불리는 텐서장과 관련되어 있다. 칼루자-클라인 이론에서 시공간은 5차원으로 확장되며, 그 리만 곡률 텐서는 일반적인 4차원 중력과 맥스웰 방정식에 해당하는 추가적인 세트, 그리고 "딜라톤"이라고 알려진 추가적인 스칼라장으로 분리될 수 있다. (딜라톤 스칼라는 끈 이론에서도 질량이 없는 보존장 중에서 발견된다.)

참조

_[1] 서적 Calculus Wiley
_[2] 간행물 Scalar
_[3] 간행물 Scalar field
_[4] 문서
_[5] 논문 Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons 1964-10
_[6] 서적 Schwerkraft und Weltall https://books.google[...] Vieweg
_[7] 논문 Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation
_[8] 논문 Broken-Symmetric Theory of Gravity
_[9] 논문 Higgs field and a new scalar–tensor theory of gravity
_[10] 논문 Higgs-field gravity within the standard model
_[11] 논문 The Roots of scalar–tensor theory
_[12] 논문 Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems
_[13] 논문 Induced gravity inflation in the SU(5) GUT
_[14] 서적 Calculus, Volume II Wiley
_[15] 간행물 Scalar
_[16] 간행물 Scalar field
_[17] 논문 Particle Physics Booklet http://ccwww.kek.jp/[...] 2011-12-10
_[18] 뉴스 Phys. Rev. Lett. 13(16): 508 1964-10
_[19] 서적 Schwerkraft und Weltall Vieweg
_[20] 논문 Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation
_[21] 논문 Broken-Symmetric Theory of Gravity
_[22] 논문 Higgs field and a new scalar-tensor theory of gravity
_[23] 논문 Higgs-field gravity within the standard model
_[24] 논문 The Roots of scalar–tensor theory
_[25] 논문 Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems
_[26] 논문 Induced gravity inflation in the SU(5) GUT

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