아벨 다양체

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1. 개요
2. 역사와 동기
3. 정의
4. 복소수체 위의 아벨 다양체
- 4.1. 등원사상과 극성화 (복소수체 위)
5. 일반적인 체 위에서의 대수적 정의
6. 점군 구조
7. 곱
8. 쌍대 아벨 다양체
9. 편극
10. 아벨 스킴
11. 준 아벨 다양체
참조

1. 개요

아벨 다양체는 대수적으로 닫힌 체 k 위의 대수군을 이루는 사영 대수다양체로 정의되며, 수론, 동적 시스템, 대수기하학 등 다양한 분야에서 활용된다. 아벨 다양체의 역사는 19세기 초 타원 함수 이론에서 시작되어, 20세기 초 솔로몬 레프셰츠에 의해 "아벨 다양체"라는 용어가 처음 사용되었고, 앙드레 베유에 의해 현대적인 이론의 기초가 마련되었다. 아벨 다양체는 복소수체 위에서 격자, 리만 형식 등을 통해 정의되며, 등원사상, 극성화 등의 개념을 갖는다. 또한 아벨 스킴은 아벨 다양체를 일반화한 개념이며, 준 아벨 다양체는 대수적 토러스에 의해 아벨 다양체를 확장한 가환군 다양체이다.

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아벨 다양체
지도
일반 정보
분야	대수기하학
역사
이름의 유래	닐스 헨리크 아벨의 이름에서 유래
정의
정의	완비된 대수적 군
대안적 정의	사영 대수적 다양체인 대수적 군
예시
예시	타원 곡선 야코비 다양체 복소 토러스
성질
가환군	아벨 다양체는 항상 가환군이다.
군 연산	아벨 다양체의 군 연산은 대수적이다.
참고 문헌
참고 문헌	(영어) Mumford, David (2008). Abelian varieties. Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics. 5. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-81-85931-86-9. MR 0282985. (영어) Birkenhake, Christina; Wilhelm Lange (2004). Complex abelian varieties (2nd ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-20468-7.
외부 링크
외부 링크	(영어) Abelian variety. PlanetMath.

2. 역사와 동기

19세기 초, 타원 함수 이론은 타원 적분 이론의 기초를 제공하면서 새로운 연구 분야를 열었다. 타원 적분의 표준 형식은 삼차 다항식과 사차 다항식의 제곱근을 포함했는데, 이를 오차 다항식과 같이 더 높은 차수의 다항식으로 대체하면 어떤 일이 일어날지에 대한 연구가 필요했다.

닐스 아벨과 카를 야코비는 이 문제에 대한 답을 제시했다. 그들의 연구는 두 복소 변수 함수와 네 개의 독립적인 주기(주기 벡터)를 갖는 함수를 다루었으며, 이는 2차원 아벨 다양체(아벨 곡면)의 첫 등장이었다. 이 다양체는 종수 2의 초타원 곡선의 야코비안으로 불린다.^[9]

아벨과 야코비 이후, 리만, 바이어슈트라스, 프로베니우스, 푸앵카레, 피카르 등이 아벨 함수 이론에 중요한 기여를 했다. 이 주제는 당시에 매우 인기 있었으며, 방대한 문헌이 존재했다.^[9]

19세기 말, 수학자들은 아벨 함수 연구에 기하학적 방법을 도입하기 시작했다. 1920년대에 레프셰츠는 복소수 토리의 관점에서 아벨 함수 연구의 기초를 다졌고, "아벨 다양체"라는 용어를 처음 사용한 것으로 알려져 있다. 1940년대에 앙드레 베유는 대수 기하학의 언어를 사용하여 아벨 다양체 이론의 현대적인 기초를 제공했다.^[9]

오늘날 아벨 다양체는 수론, 동적 시스템(특히 해밀턴 역학계 연구), 그리고 대수 기하학(특히 피카르 다양체와 알바네제 다양체)에서 중요한 도구로 활용된다.^[9]

3. 정의

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 '''아벨 다양체'''는 $k$ 에 대한, 대수군을 이루는 (기약 연결) 사영 대수다양체이다.

'''등원사상'''(等原寫像, isogeny|아이소제니^영어)은 두 아벨 다양체 사이의, 핵이 유한 집합인 전사 군 준동형이다.^[13] 영어명 isogeny|아이소제니^영어는 ἰσογενής|이소게네스^grc(같은 종족·출신·종류의)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점(군의 항등원)을 보존시키기 때문이다.

아벨 다양체의 '''극성화'''(極性化, polarization^영어)는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. '''주극성화'''(principal polarization^영어)는 동형사상인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. '''(주)극성화 아벨 다양체'''((principally) polarized Abelian variety^영어)는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다.

4. 복소수체 위의 아벨 다양체

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 아벨 다양체는 $k$ 에 대한 대수군을 이루는 (기약 연결) 사영 대수다양체이다. 복소수체 위에서, $g$ 차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면 $V/\Lambda \cong T^{2g}$ 로 표현된다. 여기서 $V \cong \mathbb{C}^g$ 는 $g$ 차원 복소수 벡터 공간이고, $\Lambda \subset V$ 는 $V$ 속의 격자이다.

복소수 원환면 $V/\Lambda$ 가 아벨 다양체가 되기 위한 필요충분조건은 리만 조건을 만족하는 것이다. 즉, 리만 형식이 존재해야 한다. 리만 형식은 격자에 제한했을 때 허수 성분이 정수인 반쌍선형 형식으로, 다음 조건을 만족한다.

(에르미트성) 임의의 $u,v\in V$ 에 대해, $\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$
(반쌍선형성) 임의의 $\alpha,\alpha'\in\mathbb C$ , $u,v,v'\in V$ 에 대해, $\langle u,\alpha v+\alpha'v'\rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\alpha'\langle u,v'\rangle$
(정부호성) 임의의 0이 아닌 $u\in V$ 에 대하여, $\langle u,u\rangle>0$ 이다.
(정수성) 임의의 $u,v\in\Lambda$ 에 대하여, $\langle u,v\rangle\in\mathbb R+i\mathbb Z$ 이다.

리만 형식이 존재하면,

(V/\Lambda,h)

는 켈러 다양체를 이루며, 그 켈러 형식은 정수 계수 코호몰로지에 속한다. 따라서, 고다이라 매장 정리에 따라

V/\Lambda

는 사영 대수다양체를 이룬다.

리만 조건은 다음과 같이 여러 형태로 나타낼 수 있다.

$\Lambda$ 위에 정수값의 반대칭 이차 형식 $Q$ 가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.
$Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V$
$h(u,u)=Q^{\mathbb R}(iu,u)>0\forall u\in V\setminus\{0\}$
또는 $\Lambda\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=V\oplus\bar V$ 로 놓으면,
$Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V$
$h(u,u)=-iQ^{\mathbb R}(u,\bar u)>0\forall u\in V\setminus\{0\}$

복소수 아벨 다양체 위의 유리형 함수는 아벨 함수라고 불리며, 타원 함수의 고차원 일반화이다. 복소수 아벨 다양체 위의 해석적 선다발의 해석적 단면은 '''세타 함수'''라고 한다.

복소수

g

차원 주극성화 아벨 다양체의 모듈라이 공간

\mathcal A_g

는 다음과 같이 지겔 상반평면을 사용하여 표현된다.

:

\mathcal A_g=\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)

이는 복소수

g(g+1)/2

차원 오비폴드이다.

g>1

인 경우 거의 모든 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다.

4. 1. 등원사상과 극성화 (복소수체 위)

복소수체 C^영어에 대한 g차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면

:

이다. 여기서

는 ''g''차원 복소수 벡터 공간이다.
는 ''V'' 속의 격자이다.

두 아벨 다양체 , 에서 등원사상

:

이 주어졌다면, 이는 격자의 포함 관계 와 같다. 즉, 이는 (격자를 자유 아벨 군으로 여길 때) 유한 지표 부분군으로 주어진다.

복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 동치류에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 , 이 양의 정수 이 존재해 인 경우, 으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 동치류 는 주극성화를 정의한다.

5. 일반적인 체 위에서의 대수적 정의

일반적인 체 ''k''에 대한 아벨 다양체의 두 가지 동치 정의는 다음과 같다.

''k'' 위의 연결된이자 완비 대수적 군
''k'' 위의 연결된이자 사영 대수적 군

기저가 복소수체

\Complex

일 때, 이 개념들은 이전 정의와 일치한다. 모든 기저 위에서 타원 곡선은 1차원 아벨 다양체이다.

1940년대 초반, 앙드레 베유는 첫 번째 정의(임의의 기저 체 위)를 사용했지만 처음에는 이것이 두 번째를 함축한다는 것을 증명할 수 없었다. 1948년에야 그는 완비 대수적 군이 사영 공간에 매립될 수 있음을 증명했다.^[10] 그동안 1940년에 발표한 유한체 위의 대수 곡선에 대한 리만 가설의 증명을 성립시키기 위해 그는 추상 대수다양체의 개념을 도입하고 사영 매립이 없는 다양체로 작업하기 위해 대수 기하학의 기초를 재작성해야 했다.

6. 점군 구조

아벨 다양체는 정의에 의해 군 다양체이며, 그 점들의 군은 가환임을 증명할 수 있다.^[9]

표수가 0인 모든 대수적 폐체 위에서, 차원이 g인 아벨 다양체의 꼬임군은 ('''Q'''/'''Z''')^2g와 동형이다. 따라서, 아벨 다양체의 n-꼬임 부분군은 ('''Z'''/''n'''''Z''')^2g와 동형이며, 이는 위수가 n인 순환군의 2g개 곱이다.

기초체가 표수 p인 대수적 폐체일 때, n과 p가 서로소이면 n-꼬임은 ('''Z'''/n'''Z''')^2g와 동형이다. n과 p가 서로소가 아닌 경우, n-꼬임이 랭크 2g의 유한하고 평탄한 군 스키마를 정의하는 것과 같다고 해석할 수 있다. n-꼬임의 전체 스키마 구조 대신 기하학적 점만 고려하면, 표수 p인 다양체의 새로운 불변량(n = p일 때 소위 p-랭크)을 얻는다.

대역체 k의 k-유리점은 모델-베유 정리에 의해 유한 생성된다. 따라서 유한 생성 아벨군의 구조 정리에 의해, 자유 아벨군 '''Z'''^r과 유한 가환군의 곱으로 표현되며, 여기서 r은 음이 아닌 정수이고 아벨 다양체의 '''랭크'''(rank)라고 불린다. 유사한 결과가 k의 다른 경우에도 성립한다.^[9]

7. 곱

두 아벨 다양체의 곱, 차원 ''m''의 ''A''와 차원 ''n''의 ''B''의 곱은, 같은 체 위에서 차원 $m + n$ 인 아벨 다양체이다. 아벨 다양체는 더 낮은 차원의 아벨 다양체의 곱과 동종이 아닐 때 '''단순'''하다고 한다. 모든 아벨 다양체는 단순 아벨 다양체의 곱과 동종이다.

8. 쌍대 아벨 다양체

체 ''k'' 위의 아벨 다양체 ''A''에 대해, 쌍대 아벨 다양체 $A^{\vee}$ 는 ''A'' 위의 0차 선다발을 매개변수화하는 모듈라이 공간으로 정의된다. 쌍대 아벨 다양체는 원래 아벨 다양체와 마찬가지로 아벨 다양체를 이룬다. $A^{\vee}$ 의 점들은 ''A'' 위의 0차 선다발에 대응하며, 선다발의 텐서 곱으로 주어진 $A^{\vee}$ 위의 자연스러운 군 연산이 존재하여 아벨 다양체가 된다.

이 연관은 반변 공변량 함자적이다. 즉, 모든 사상 $f\colon A\to B$ 에 쌍대 사상 $f^{\vee}\colon B^{\vee} \to A^{\vee}$ 를 호환 가능한 방식으로 연관시킨다. 푸앵카레 다발을 통해 이중 쌍대 $(A^{\vee})^{\vee}$ 와 $A$ 사이에는 자연 동형사상이 존재한다. 아벨 다양체의 ''n''-비틀림과 그것의 쌍대의 ''n''-비틀림은 ''n''이 기저의 표수와 서로소일 때 서로 이중적이다. 일반적으로 모든 ''n''에 대해, 쌍대 아벨 다양체의 ''n''-비틀림 군 스킴은 서로의 카르티에 쌍대이다. 이는 타원 곡선에 대한 바일 쌍대성을 일반화한 것이다.

9. 편극

아벨 다양체의 편극은 아벨 다양체에서 그 쌍대 아벨 다양체로의 동형 사상이며, 아벨 다양체의 이중 쌍대에 대해 대칭이고, 연관된 그래프 사상에 따라 푸앵카레 다발의 당겨오기가 충분히 큰 조건을 만족한다. 이러한 성질은 양의 정부호 이차 형식과 유사하다. 편극된 아벨 다양체는 유한한 자기 동형 사상군을 갖는다.
주 편극은 동형 사상인 편극이다. 곡선의 야코비안은 곡선에서 임의의 유리 기저점을 선택하면 자연스럽게 주 편극을 갖추게 되며, 종수가 1보다 큰 경우 곡선은 편극된 야코비안으로부터 재구성될 수 있다. 그러나 모든 주 편극 아벨 다양체가 곡선의 야코비안은 아니다. 이에 대해서는 쇼트키 문제를 참조한다.

편극은 아벨 다양체의 자기 사상환에 로사티 대합을 유도한다.

복소수 상에서, 극화된 아벨 다양체는 아벨 다양체 ''A''와 리만 형식 ''H''의 선택으로 정의될 수 있다. 두 리만 형식이 동치라는 것은, 어떤 양의 정수 ''n''과 ''m''이 존재하여 $nH_1 = mH_2$ 를 만족하는 경우를 말한다. ''A''에 대한 리만 형식의 동치류의 선택을 ''A''의 극화라고 한다.

10. 아벨 스킴

스킴 이론에서 기저에 상대적으로 정의된 아벨 다양체는 아벨 다양체의 법 ''p''에 따른 환원 (아벨 다양체의 산술 참조) 및 아벨 다양체의 매개변수-족과 같은 현상을 균일하게 처리할 수 있게 해준다. 기저 스킴 ''S'' 위의 상대 차원 ''g''인 '''아벨 스킴'''은 ''S'' 위의 사상이며, 기하학적 올이 연결되고 차원이 ''g''인 정사상, 매끄러운 사상 군 스킴이다. 아벨 스킴의 올은 아벨 다양체이므로, 아벨 스킴을 ''S''에 의해 매개변수화된 아벨 다양체의 족으로 생각할 수 있다.

아벨 스킴 $A/S$ 에서 ''n''-꼬임점의 군은 유한 평탄 군 스킴을 형성한다. 모든 ''n''에 대한 $p^n$ -꼬임점의 합집합은 p-가분군을 형성한다. 세르-테이트 정리에 따라, 관련된 ''p''-가분군의 변형 속성에 의해 변형이 결정된다.

$A,B\in \mathbb{Z}$ 가 주어져 있고, $x^3+Ax+B$ 가 중근을 갖지 않는다고 하자. 그러면 판별식 $\Delta=-16(4A^3+27B^2)$ 는 0이 아니다. $R=\Z[1/\Delta]$ 라고 하면, $\operatorname{Spec} R$ 은 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 의 열린 부분 스킴이다. 그러면 $\operatorname{Proj} R[x,y,z]/(y^2 z - x^3 - A x z^2 - B z^3)$ 은 $\operatorname{Spec} R$ 위의 아벨 스킴이다. 이것은 $\operatorname{Spec} \Z$ 위의 네론 모형으로 확장될 수 있으며, 이는 $\operatorname{Spec} \Z$ 위의 매끄러운 군 스킴이지만, 네론 모형은 고유하지 않으므로 $\operatorname{Spec} \Z$ 위의 아벨 스킴은 아니다.

11. 준 아벨 다양체

토러스에 의해 아벨 다양체를 확장한 가환군 다양체이다.^[11]

참조

_[1] 웹사이트 N-Covers of Hyperelliptic Curves http://people.maths.[...] Math Department Oxford University 2015-01-14
_[2] 서적 Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry, eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986
_[3] 학술지 Group schemes of period ''p'' over the ring of Witt vectors https://www.mathnet.[...]
_[4] 학술지 Il n'y a pas de variété abélienne sur $\Z$
_[5] 웹사이트 There is no Abelian scheme over Z https://web.math.pri[...] 2020-08-23
_[6] 학술지 Perverse sheaves on semiabelian varieties 2014-11-04
_[7] 문서 正則函数とは、ある与えられた領域で、解析的な函数のことを言う。
_[8] 문서 小平次元は、代数多様体 V の分類に使われる次元で、V の[[표준バンドル]]の '''C''' 上の超越次元で定義され、κ で表される。κ の値は、代数多様体の次元 dim(V) = n より小さい正の整数、0、-∞、の値を取る。代数多様体は、κ = dim(V) のとき、｢一般型」と呼ばれ、V の自己同型群が有限群となる。代数曲線の場合は、楕円曲線の小平次元は κ = 0 となる。
_[9] 문서 ヤコビ多様体の元来の定義は、種数 ''g'' の代数曲線の周期行列 ''Ω'' から作られる ''g''-次元複素トーラス $C^g/\Omega$ であり、主偏極アーベル多様体の構造を持つ。このアーベル多様体を'''[[ヤコビ多様体]]'''と言う。いわば、解析的な周期写像から生成されたアーベル多様体のことである。
_[10] 문서 有限体上の代数多様体のリーマン予想の類似な予想をヴェイユ予想という。
_[11] 문서 代数的トーラスとは、可換アフィン代数群をいう。これらの群は、リー群論のトーラスの理論の類似により命名されている。トーラスは変形をしないにもかかわらず豊富な数論的構造を持っているので、トーラスの理論はある意味でべき単群(unipotent groups)の理論とは反対の理論である。
_[12] 웹인용 Abelian varieties http://www.jmilne.or[...] 2008-03-16
_[13] 서적 Principles of algebraic geometry Wiley 1994-08

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