유체론

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 개념 및 정리
4. 주요 정리의 비교
5. 예시
6. 유체론의 일반화
참조

1. 개요

유체론은 카를 프리드리히 가우스의 이차 상호 법칙 연구에서 시작되어, 다카기 데이지, 에밀 아르틴 등에 의해 발전된 수학 분야이다. 국소체 및 대역체에 대한 아벨 확대를 연구하며, 국소 아르틴 준동형, 대역 아르틴 준동형 등의 개념을 사용한다. 주요 정리로는 아르틴 상호 법칙과 다카기의 존재 정리가 있으며, 갈루아 코호몰로지를 사용한 정식화도 이루어졌다. 유체론은 랭글랜즈 프로그램, 원 아벨 기하학, 고차 유체론 등으로 일반화되어 연구되고 있다.

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베유 군은 유체론에서 기본류를 갖는 class formation의 핵심적인 역할을 하는 군으로, 다양한 체에 따라 다른 구조를 가지며, 비아르키메데스 국소체에서는 베유-들리뉴 군으로 확장된다.
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아델 환은 전역체 K의 모든 place ν에 대한 완비화 K_ν들의 제한된 곱으로 정의되는 부분환 \mathbf{A}_K이며, 수론에서 중요한 역할을 수행한다.

유체론
일반 정보
분야	수론
하위 분야	대수적 수론
주요 인물	에밀 아르틴 헬무트 하세 테이지 다카기 클로드 슈발리 앙드레 베유 고로 시무라 구스타프 헤케 유타카 타니야마
역사적 맥락
기원	2차 상호 법칙
발전	아벨 확장 연구 이데알류군 국소체 도입
주요 내용
주요 정리	아르틴 상호 법칙 존재 정리 완비화 정리
목표	아벨 군을 갈루아 군으로 갖는 수체의 갈루아 확대 연구
접근 방식	아이델과 아이델류군 사용 국소체와 전역체 연구
적용 분야	페르마의 마지막 정리 모듈러성 정리 암호학
관련 개념
연관 분야	갈루아 이론 대수 기하학 L-함수
일반화	랭글랜즈 프로그램 이와사와 이론

2. 역사

카를 프리드리히 가우스의 이차 상호 법칙 연구가 유체론의 기원이다.^[8] 이후 에른스트 쿠머, 레오폴트 크로네커, 쿠르트 헨젤 등이 아이디얼과 완비화 이론을 통해 유체론을 발전시켰다. 1898년 다비트 힐베르트는 힐베르트 유체의 존재와 성질을 예상했으며,^[9] 이는 힐베르트의 23가지 문제 중 하나로 제시되어 유체론 연구를 더욱 촉진하는 계기가 되었다.

다카기 데이지는 1920년에 다카기 존재 정리를 증명하여 수체의 아벨 확대가 아이디얼 유군들의 유체에 대응한다는 것을 보였다. 에밀 아르틴은 1927년에 아르틴 상호 법칙을 증명하여 유체론의 중요한 이정표를 세웠다.^[11] 1930년에는 헬무트 하세가 국소체의 유체론을 정의하였다.

1936년 클로드 슈발레는 아이디얼 대신 이델을 도입하여 유체론의 정식화를 더욱 명확하고 단순하게 만들었다. 1940년대에는 유체론의 주요 결과 대부분이 증명되었다. 이후 군 코호몰로지를 이용한 정식화가 이루어졌으며, 1990년대에는 위르겐 노이키르히 등에 의해 코호몰로지를 사용하지 않는 명시적인 표현이 확립되었다.

3. 주요 개념 및 정리

유체론의 주요 개념과 정리는 다음과 같이 요약될 수 있다.
기본 개념

아벨 확대: 갈루아 군이 아벨 군인 갈루아 확대이다. 이차 확대, 원분 확대, 쿠머 확대 등이 이에 해당한다.
유체: 대수체 K의 아벨 확대는 K에 내재적인 수학적 대상으로 기술될 수 있다.
이데알류군: 고전적인 정식화에서는 일반화된 이데알류군이 사용된다.
아르틴 사상: 아르틴 상호 법칙에 의해 이데알류군과 갈루아 군은 동형이 된다.
다카기의 존재 정리: 일반화된 이데알류군에 대응하는 유한 차수 아벨 확대가 존재한다.

주요 정리

아르틴 상호 법칙: 유한 차수 아벨 확대와 일반화된 이데알류군 사이에 일대일 대응이 존재하며, 아르틴 사상에 의해 이들의 동형이 성립한다. 또한, 소 아이디얼의 아이디얼 유수군에서의 위수와 확대에서의 잉여 차수가 같다.(분해 정리)
다카기의 존재 정리: 일반화된 이데알류군에 대응하는 유한 차수 아벨 확대가 존재한다.

핵심 내용

유한 차수 아벨 확대는 모두 류체이다.
아르틴 상호 법칙에 의해, 각 아벨 확대에서 소 아이디얼의 분해 양상을 알 수 있다.
크로네커-베버 정리는 유리수체의 최대 아벨 확대가 모든 거듭제곱근에 의해 생성됨을 보여준다.

현대적 정식화

이델 군 및 이델 유군을 사용하여 추상적으로 전개된다.
국소 유체론과 대역 유체론으로 나뉜다.
국소 유체론은 국소체의 곱셈군을 사용하여 아벨 확대를 분류한다.
대역 유체론은 대역체의 이델 유군을 사용하여 아벨 확대를 분류한다.
군 코호몰로지를 이용한 정식화도 가능하다.

국소 유체론과 대역 유체론 비교

국소 유체론	대역 유체론
국소체 $k$	대역체 $K$
표수 0 국소체 = $\mathbb Q_p$ 유한 확대, $\mathbb R$ , $\mathbb C$	표수 0 대역체 = $\mathbb Q$ 유한 확대 (대수적 수체)
표수 p 국소체 = $\mathbb F_{p^n}((t))$	표수 p 대역체 = $\mathbb F_{p^n}(t)$ 의 유한 확대
국소체의 곱셈군 $k^\times$	대역체의 이델 유군 $C_K$
국소 아르틴 준동형 $\theta\colon k^\times\to\operatorname{Gal}(k^{\text{ab}}/k)$	대역 아르틴 준동형 $\Theta\colon C_K\to\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)$

3. 1. 국소 유체론

국소체

K

가 주어지면, 그 최대 아벨 확대

K^{\text{ab}}

의 갈루아 군

\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)

를 생각할 수 있다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.

유체론에 따르면, 다음과 같은 '''국소 아르틴 준동형'''(local Artin homomorphism^영어)이 존재한다.

:

K^\times\to \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)

이에 따라 다음과 같은 위상군의 동형을 유도할 수 있다.

:

\hat K^\times\cong \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)

여기서

\hat K^\times

는

K

의 곱셈군의 사유한 완비이다.

또한, 다음 집합들 사이에 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.

곱셈군 $K^\times$ 의 유한 지표 열린 부분군
아벨 절대 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)$ 의 유한 지표 열린 부분군
$K^{\text{sep}}/K$ 에 포함된 유한 아벨 확대 ( $K^{\text{sep}}$ 는 $K$ 의 분해 가능 폐포)

구체적으로, 이 전단사 함수는 다음과 같다. 임의의 유한 아벨 확대

L

에 대하여,

:

L\leftrightarrow\operatorname{Gal}(L/K)\subset\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)\leftrightarrow\operatorname N_{L/K}(L^\times)\subset K^\times

이 대응 아래 다음과 같은 위상군의 동형이 존재한다.

:

\operatorname{Gal}(L/K)\cong K^\times/(\operatorname N_{L/K}L^\times)

3. 2. 대역 유체론

K

가 대역체일 때,

K

의 이델 유군

C_K

는 다음과 같이 정의된다.

:

C_K=\mathbb A_K^\times/K^\times

여기서

\mathbb A_K^\times

는

K

의 아델 환

\mathbb A_K

의 가역원들의 군이다.

유체론에 따르면, '''대역 아르틴 준동형'''(global Artin homomorphism^영어)이 존재한다.

:

C_K\to\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)

이는 다음과 같은 위상군의 동형을 유도한다.

:

\hat C_K\cong\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)

또한, 다음 집합들 사이에 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.

이델 유군 $C_K$ 의 유한 지표 열린 부분군
$\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)$ 의 유한 지표 열린 부분군
$K^\text{sep}/K$ 에 포함된 $K$ 의 유한 아벨 확대

이 전단사 함수는 구체적으로 다음과 같다. 임의의 유한 아벨 확대

L

에 대하여,

:

L\leftrightarrow\operatorname{Gal}(L/K)\subset\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)\leftrightarrow\operatorname N_{L/K}(C_L)\subset C_K

여기서

\operatorname N_{L/K}

는 체 노름이다.

L

은 노름 군

C_L/\operatorname N_{L/K}(C_K)

의 '''유체'''(類體, class field^영어)라고 불린다.

이 대응에 따라 다음과 같은 위상군의 동형이 성립한다.

:

\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_K/(\operatorname N_{L/K}C_L)

이를 '''아르틴 상호 법칙'''이라고 한다.

국소 유체론과 대역 유체론을 비교하면 다음과 같다.

국소 유체론	대역 유체론
국소체 $k$	대역체 $K$
표수 0 국소체 = $\mathbb Q_p$ 유한 확대, $\mathbb R$ , $\mathbb C$	표수 0 대역체 = $\mathbb Q$ 유한 확대 (대수적 수체)
표수 p 국소체 = $\mathbb F_{p^n}((t))$	표수 p 대역체 = $\mathbb F_{p^n}(t)$ 의 유한 확대
국소체의 곱셈군 $k^\times$	대역체의 이델 유군 $C_K$
국소 아르틴 준동형 $\theta\colon k^\times\to\operatorname{Gal}(k^{\text{ab}}/k)$	대역 아르틴 준동형 $\Theta\colon C_K\to\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)$

3. 3. 아이디얼을 사용한 정식화 (고전적 유체론)

Ideal^de을 사용한 정식화에서는 모듈러스라는 개념을 사용하여 류체론의 주요 결과를 설명한다. 모듈러스는 대수체의 모든 소점(素點, prime divisor)을 지나는 형식적인 무한곱으로, 다음 세 가지 조건을 만족한다.^[2]

대부분의 에 대해
무한소점 에 대해서는 가 0 또는 1

모듈러스 에 대해, 약수, 배수, 최대공약수, 최소공배수 등의 개념이 자연스럽게 정의된다. 의 0이 아닌 정수환의 이데알은 소 이데알 분해를 사용하여 자연스럽게 모듈러스로 간주할 수 있다.

모듈러스 의 유한 소점만 추출한 것을 로 쓰고, 의 '''유한 부분'''이라고 한다.

의 분수 이데알 중 의 유한 부분과 서로 소인 것 전체를 이라고 한다. 이는 군을 이루며, 과 서로 소인 소 이데알을 밑으로 하는 자유 아벨 군이다.

의 부분군 은 형태의 단항 이데알 전체로 정의된다. 여기서 와 는 의 0이 아닌 정수이며, 다음 조건을 만족한다.

와 는 와 서로 소

실 소점 에 대해

포함 관계 에 있는 군 를 '''을 법으로 하는 합동군'''(congruence subgroup modulo )이라고 한다.

를 유한 차 아벨 확대라고 하자. 의 부분군 은 의 분수 이데알의 노름이 되는 원소 전체이다. 를 '''확대 에 대한 합동군'''이라고 한다.

에서 분기하지 않는 의 소 이데알 에 대해 그 프로베니우스 원소를 라고 쓴다. 에서 분기하는 소 이데알을 포함하지 않는 분수 이데알 에 대해서도 소 이데알 분해를 사용하여 을 정의한다. 이 기호를 '''아르틴 기호'''(Artin symbol)라고 부른다. 모듈러스 이 에서 분기하는 소 이데알 전부로 나누어 떨어진다면, 아르틴 기호에 의해 에서 로의 군 준동형이 정의된다. 이것을 '''아르틴 사상'''(Artin map)이라고 한다.
아르틴 상호 법칙에 따르면, 대수체의 임의의 유한 차 아벨 확대 에 대해, 이 확대에서 분기하는 모든 소점으로 나누어지는 모듈러스 가 존재하며, 이 모듈러스에 대해 아르틴 사상은 전사이고 그 핵은 이 확대의 합동군과 같다. 따라서 아르틴 사상으로부터 동형사상

:

I_{\mathfrak{m}}/H_{\mathfrak{m}}(L/K)  \to \mathrm{Gal}(L/K)

을 얻을 수 있다.
(다카기의) 존재 정리에 따르면, 을 대수체 의 임의의 모듈러스로 하고, 를 을 법으로 하는 임의의 합동군으로 할 때, 어떤 아벨 확대 이 존재하여 이 성립한다.

유한 차 확대 에 대해 이 성립할 때, 을 '''류체'''(class field)라고 한다. 아르틴 상호 법칙에 의해, 모든 아벨 확대는 류체이다.

아르틴 상호 법칙에서 와 는 동형이다. 이를 '''동형 정리'''라고 한다. 또한, 소 아이디얼 의 아이디얼 유수군에서의 위수와 확대 에서의 이 소 아이디얼의 잉여 차수는 같다. 이것을 '''분해 정리'''라고 한다.

을 '''다카기군'''(Takagi group), 아르틴 사상의 핵을 '''아르틴군'''(Artin group)이라고 부르기도 한다.

와 를 의 0이 아닌 원소라고 할때, 분수 아이디얼 의 분자가 정수 아이디얼 으로 나누어지고 분모가 과 서로소일 때, 와 는 을 법으로 '''곱셈 합동'''이라고 한다.

몫군 을 '''사류군'''(ray class group)이라고 부르기도 한다. 일 때 이것은 일반적인 이데알류군이므로, 이것은 이데알류군의 일반화가 된다.

대수체 의 자명한 모듈러스 을 취하고 로 둔다. 존재 정리에 의해 이에 대응하는 아벨 확대 가 존재한다. 이를 상의 '''힐베르트 류체''' 또는 '''절대 류체'''(absolute class ﬁeld)라고 부른다.

아르틴 상호 법칙에 의해 다음이 성립한다.

힐베르트 류체의 원래 대수체 상의 갈루아 군은 이데알류군과 동형이다. 또한 그 동형 사상은 아르틴 사상에 의해 주어진다.
대수체의 모든 소 아이디얼은 힐베르트 류체에서 불분기이다. 또한, 소 아이디얼이 정하는 이데알류군의 원소의 위수와 힐베르트 류체에서의 잉여 차수는 같다.

3. 4. 이델을 사용한 정식화 (현대적 유체론)

大域アルティン写像^일본어(global Artin map), 大域相互法則写像^일본어(global reciprocity map), 標準写像^일본어(canonical morphism) 등으로 불리는 준동형 사상

:

\varphi_K : J_K \to \mathrm{Gal}(K^\mathrm{ab}/K)

이 존재하고, 다음을 만족한다.

; 국소와 대역

: 의 임의의 소점 에 대해, 다음 그림은 가환이다.

::

\begin{array}{ccc}K_v^{\times} & \stackrel{(1)}{\to} & \mathrm{Gal}(K_v^\mathrm{ab}/K_v) \\\quad \downarrow \stackrel{(4)}{} &  & \downarrow \stackrel{(2)}{} \\J_K & \stackrel{(3)}{\to} & \mathrm{Gal}(K^\mathrm{ab}/K)\end{array}

:: 여기서, (1)은 국소류체론에서 정의되는 국소 아르틴 사상, (2)는 작용의 제한으로부터 얻어지는 사상, (3)은 , (4)는 의 원소 를 성분은 이고 그 외 성분은 1인 이데알로 보내는 사상이다.

; 상호 법칙

: 주 이데알은 의 핵에 포함된다. 즉,

::

\varphi_K(K^\times) = \{ 1 \}

:이 성립한다. 또한 임의의 유한 차 아벨 확대 에 대해 로부터 자연스럽게 동형 사상

::

\varphi_{L/K} : C_K/N_{L/K}C_L \stackrel{\simeq}{\to} \mathrm{Gal}(L/K)

:이 유도된다. 여기서 는 이데알류군의 노름 사상이다.

; 존재 정리

: 이데알류군 의 임의의 유한 지수 열린 부분군 에 대해 유일하게 정해지는 유한 차 아벨 확대 이 존재하고 가 성립한다.

상호 법칙과 존재 정리로부터, 와 의 유한 지수 열린 부분군에 대한 부유한 완비화는 동형이 된다. 그리고 의 유한 차 아벨 확대와 이데알류군 의 유한 지수 열린 부분군 사이에 1대1 대응

: { 의 유한 차 아벨 확대 } ∋ ↦ ∈ { 의 유한 지수 열린 부분군 }

이 존재한다는 것을 알 수 있다.

생각하고 있는 대역체 가 대수체인 경우, 는 전사이고, 그 핵은 단위원의 연결 성분 이므로,

:

C_K/D_K \simeq \mathrm{Gal}(K^\mathrm{ab}/K)

임이 증명된다. 그리고 무한 차 아벨 확대의 경우에 1대1 대응

:{ 의 유한 차가 아닌 아벨 확대 } ∋ ↦ ∈ { 의 단위원의 연결 성분을 포함하는 닫힌 부분군 }

이 성립한다.

생각하고 있는 대역체 가 유한체 위의 1변수 대수 함수체인 경우, 는 전사라고는 할 수 없지만, 그 상은 조밀하고, 단사이다.

3. 5. 갈루아 코호몰로지를 사용한 정식화

ガロアコホモロジー^일본어를 사용하는 문맥에서 유체론의 상호 법칙은 다음과 같이 기술된다. (브라우어 군도 참조).

K

를 유한 차수 대수체,

L

을

K

의 유한 차수 갈루아 확대(아벨 확대일 필요는 없다)라고 한다.

L

의 이데알류군

C_L

에는 갈루아 군

\mathrm{Gal}(L/K)

이 작용하므로,

C_L

을 갈루아 가군으로 보고 군의 코호몰로지를 취한 것을

H^q(\mathrm{Gal}(L/K), C_L)

로 쓴다(

q

는 임의의 정수). 이때, 불변량 사상(invariant map)이라고 불리는 동형 사상

:

\mathrm{inv}_{L/K}: H^2(\mathrm{Gal}(L/K), C_L) \stackrel{\simeq}{\to} \tfrac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}

이 존재한다.^[2] 이 동형에 의해

\frac{1}{[L:K]}

이 정하는 오른쪽 군의 원소에 대응하는 왼쪽

H^2(\mathrm{Gal}(L/K), C_L)

의 원소를

u_{L/K}

라고 쓴다. 이것을 '''기본류'''(fundamental class)라고 한다.^[2] 임의의 정수

q

에 대하여, 기본류와의 컵 곱으로 정의되는 사상

:

u_{L/K} \cup : H^q(\mathrm{Gal}(L/K), \mathbb{Z}) \stackrel{\simeq}{\to} H^{q+2}(\mathrm{Gal}(L/K), C_L)

은 동형 사상이 된다.^[2] 이 동형에서

q = -2

인 경우를 고려하면, 아르틴 상호 법칙이라고 불리는 동형

:

\mathrm{Gal}(L/K)^\mathrm{ab} \xrightarrow{u_{L/K} \cup} C_K/N_{L/K} C_L

을 얻을 수 있다.^[2] 여기서

\mathrm{Gal}(L/K)^\mathrm{ab}

는

\mathrm{Gal}(L/K)

의 최대 아벨 상(아벨화)이다. 이 사상은 '''상호 법칙 사상'''(reciprocity map)^[2] 또는 나카야마의 이름을 따 '''나카야마 사상'''(Nakayama map)이라고도 불린다.^[2] 이 동형 사상에서 유래한 사상

:

(\quad, L/K) : C_K \to \mathrm{Gal}(L/K)^\mathrm{ab}

을 '''노름 잉여 기호'''(norm residue symbol)라고 한다.^[2]

이상의 내용에서 유한 차수 갈루아 확대

L/K

에 대하여 다음 완전열

:

1 \to N_{L/K} C_L \to C_K \xrightarrow{(\quad, L/K)} \mathrm{Gal}(L/K)^\mathrm{ab} \to 1

이 존재함을 알 수 있다. 이것이 갈루아 코호몰로지를 사용하여 기술되는 유체론의 상호 법칙이다.

또한,

L

과

K

가 국소체인 경우에도 이데알류군

C_L

을

L

의 곱셈군

L^\times

로 바꾸면 마찬가지 결과가 성립한다.^[2] 국소체의 경우와 대역체의 경우를 함께 다룰 수 있도록, 공통되는 위의 성질을 추상화한 것이 유체 구조이다.

4. 주요 정리의 비교

현대 수학적 언어로, 유체론은 국소 또는 대역체 ''K''의 최대 아벨 확대 ''A''를 고려한다. 이때 ''A''는 ''K''에 대해 무한 차수를 가지며, ''A over K''의 갈루아 군 ''G''는 무한 프로유한군이자 콤팩트 위상군이며 아벨 군이다. 유체론의 주요 목표는 ''K''와 관련된 특정 위상적 객체를 통해 ''G''를 설명하고, ''K''의 유한 아벨 확대를 이 위상적 객체의 유한 지수 열린 부분군으로 설명하는 것이다. 특히, ''K''의 유한 아벨 확대와 이 위상적 객체 내의 노름 군 사이에 일대일 대응을 설정하고자 한다. 이 위상적 객체는 유한 잉여류 체를 가진 국소 체의 경우 곱셈군이고, 대역체의 경우 이데알류 군이다.

일반적인 유체론의 기본적인 결과는 군 ''G''가 ''C_K''의 프로유한 완비화와 동형이라는 것이다. 여기서 ''C_K''는 국소 체의 곱셈군 또는 대역체의 이데알류 군이다. 또한, ''K''의 모든 유한 갈루아 확대 ''L''에 대해, 아르틴 상호 사상에 따른 다음과 같은 동형 사상이 존재한다:

: $\operatorname{Gal}(L/K)^{\operatorname{ab}} \to C_K/N_{L/K} (C_L)$

이는 확대의 갈루아 군의 아벨화가 ''K''의 이데알류 군을 ''L''의 이데알류 군의 노름의 이미지로 나눈 몫과 같다는 것을 의미한다.

유리수 $\Q$ 또는 그 이차 허수 확대와 같은 일부 작은 체의 경우, 더 자세한 이론이 존재한다. 예를 들어, $\Q$ 의 아벨화된 절대 갈루아 군 ''G''는 모든 소수 ''p''에 걸쳐 p진 정수의 단위군의 무한 곱과 같으며, 유리수의 해당 최대 아벨 확장은 모든 거듭제곱근에 의해 생성된 체이다. 이는 크로네커-베버 정리로 알려져 있다.

상호 사상을 구성하는 표준 방법은 먼저 대역체의 완비화의 곱셈군에서 최대 아벨 확대의 갈루아 군으로의 국소 상호 동형 사상을 구성한 다음, 대역체의 이데알 군에 정의될 때 모든 이러한 국소 상호 사상의 곱이 대역체의 곱셈군의 이미지에서 자명함을 증명하는 것이다. 후자의 속성은 ''대역 상호 법칙''이라고 하며, 가우스 이차 상호 법칙의 일반화이다.

유체론은 유체 형성을 사용하여 공리로부터 도출될 수 있으며, 이 도출은 순수하게 위상적 군론적이다.^[2] 코호몰로지 군을 사용하는 방법과 사용하지 않는 방법 모두 존재한다.

체의 갈루아 확대 중 그 갈루아 군이 아벨 군인 것을 의 아벨 확대라고 한다. 이차 확대, 원분 확대, 쿠머 확대 등이 아벨 확대의 예이다.

유체론은 가 대수적체인 경우, 그 아벨 확대라는 의 '''외부''' 대상을 에 '''내재적'''인 수학적 대상으로 기술할 수 있음을 보인다.

고전적인 아이데알론을 사용한 정식화에서는, 일반화된 아이데알류군이 사용된다. 유한 차수 아벨 확대 가 있으면, 이에 대응하는 일반화된 아이데알류군이 정해지고, 아르틴 사상에 의해 이 아이데알류군과 갈루아 군 은 동형이 된다. 이를 아르틴 상호 법칙이라고 한다. 반대로, 일반화된 아이데알류군이 있으면, 대응하는 유한 차수 아벨 확대가 정해진다. 이를 타카기의 존재 정리라고 한다. 이처럼 "유한 차수 아벨 확대"와 "일반화된 아이데알류군"이 일대일로 대응한다는 것이 유체론의 주요한 결과이다.

{ 유한 차수 아벨 확대 } ← 1:1 → { 일반화된 아이데알류군 }

힐베르트류체는 최대 불분기 아벨 확대라는 성질을 가진다.

유체론은 유한 차수 아벨 확대를 분류할 뿐만 아니라, 아르틴 상호 법칙에 의해 각 아벨 확대에서의 소 아이데알의 분해 양상도 알려준다. 소 아이데알이 있으면, 프로베니우스 원소라고 불리는 갈루아 군의 원소가 정해진다. 소 아이데알의 분해 양상은 이 원소를 통해 알 수 있다. 아르틴 상호 법칙에 의해 프로베니우스 원소에 대응하는 일반화된 아이데알류군의 원소가 정해지며, 이는 원래 소 아이데알의 잉여류이다. 이차 상호율의 광범위한 일반화이며, 3차 상호율과 같은 더 고차의 "멱잉여의 상호율"도 아르틴 상호 법칙으로부터 유도할 수 있다.

"유체론"이라는 명칭은 일반화된 아이데알류군에 대응하는 아벨 확대를 '''류체'''라고 불렀던 것에서 유래한다. 류체는 특별한 유한 차수 아벨 확대체로 생각되었지만, 예상과는 달리 유한 차수 아벨 확대체는 모두 류체임이 판명되었다. 표어적으로 말하면 '''유한 차수 아벨 확대 = 류체'''이다.

유한 차수 아벨 확대를 개별적으로 일반화된 아이데알류군에 대응시키는 것이 아니라, 의 유한 차수 아벨 확대를 모두 합성한 '''최대 아벨 확대''' 의 갈루아 군을 직접 기술하는 방법도 알려져 있다. 유한 차수 대수적체의 경우, 그 최대 아벨 확대의 갈루아 군

은 무한군이 되지만, 크룰 위상에 의해 위상군으로 볼 때 이는 부유한군의 구조를 갖는다. 현대적인 유체론의 정식화에서는, '''이데알류군'''(이데알군을 체의 곱셈군으로 나눈 것)에서

로의 '''상호율 준동형'''(reciprocity homomorphism)이 구성된다. 갈루아 대응에 의해 유한 차수 아벨 확대는

의 열린 부분군과 일대일 대응하고, 상호율 준동형에 의해 그것은 이데알류군의 열린 부분군과 일대일 대응한다. 유한 차수 아벨 확대에 대응하는 이데알류군의 열린 부분군은, 그 유한 차수 아벨 확대체의 이데알류군의 노름 사상에 의한 상으로 특징지어진다.

{ 유한 차수 아벨 확대 }

↕ 1:1

{

의 열린 부분군

}

↕ 1:1

{ 이데알류군의 열린 부분군 }

대수적체에 대한 유체론은 1910년대부터 1920년대에 걸쳐 타카기 사다지와 에밀 아르틴 등에 의해 증명되었다. 그 후, 1930년대 이후에 대역체의 완비화인 국소체에 대해서도 비슷한 이론이 확립되었다. 국소 유체론에서는 국소체 의 곱셈군 를 사용하여 그 아벨 확대가 분류·기술된다. 또한 유한체 상의 일변수 대수 함수체에 대해서도 비슷한 이론이 확립되었다. 유한체 상의 일변수 대수 함수체와 대수적체는 함께 '''대역체''' 혹은 '''일차원 대역체'''라고 불리므로, 이들에 대한 유체론은 '''대역 유체론'''이라고 불린다.

대수적체에 대한 유체론의 원래 증명은, 대수적체에 대하여 직접 유체론을 증명하는 것이었다. 그 후, 국소체 유체론을 사용하여 증명하는 수법이 확립되었다. 현대의 유체론의 교과서에서는 이 수법에 의한 증명을 채용하고 있는 것이 많이 있다.

유체론의 주요 결과는 아르틴 상호 법칙과 타카기의 존재 정리이다.

대수적 체의 임의의 유한 차수 아벨 확대 에 대해, 이 확대에서 분기하는 모든 소점으로 나누어지는 모듈러스

가 존재하며, 이 모듈러스에 대해 아르틴 사상은 전사이고 그 핵은 이 확대의 합동군과 같다. 따라서 아르틴 사상으로부터 동형사상

:

I_{\mathfrak{m}}/H_{\mathfrak{m}}(L/K) \to \mathrm{Gal}(L/K)

을 얻을 수 있다. 이를 '''아르틴 상호 법칙'''(Artin reciprocity law)이라고 한다.

을 대수체의 임의의 모듈러스로 하고, 를 을 법으로 하는 임의의 합동군으로 한다. 이 때, 어떤 아벨 확대 이 존재하여 이 성립한다. 이를 (다카기의) '''존재 정리''' (Existence Theorem)라고 한다.

유한 차수 확대 에 대해 이 성립할 때, 을 (다카기의 의미에서의) '''류체'''(class field)라고 한다. 아르틴 상호 법칙에 의해, 모든 아벨 확대는 류체이다. 다카기는 이를 "아벨체 즉 류체"라고 표현했다. 이것을 '''기본 정리'''라고 부른다.

임의의 류체는 갈루아 확대이며, 또한 그 갈루아군은 아벨군이므로, 류체는 기초 체 위의 아벨 확대이다. 따라서, 기본 정리와 함께 류체와 아벨 확대는 완전히 동의어이다. 이렇게 류체론이 확립된 결과, 아벨 확대와 류체는 같은 것임이 판명되었기 때문에, 류체론의 주요 결과에 "류체"라는 말은 나타나지 않는다.

아르틴 상호 법칙에서 와 는 동형이다. 이를 '''동형 정리'''라고 부른다. 다시 아르틴 상호 법칙에서, 소 아이디얼 의 아이디얼 유수군에서의 위수와 확대 에서의 이 소 아이디얼의 잉여 차수는 같다. 이것을 '''분해 정리'''라고 부른다. 역사적으로는, 동형 정리와 분해 정리가 (기본 정리 등과 함께) 먼저 다카기에 의해 증명된 후, 아르틴에 의해 상호 법칙이 증명되었다. 현대에는 이러한 정리들은 아르틴 상호 법칙의 계로 증명되게 되었다.

을 '''다카기군'''(Takagi group), 아르틴 사상의 핵을 '''아르틴군'''(Artin group)이라고 부르기도 한다. 이 말을 사용하면, 상호 법칙의 핵에 대한 주장은 "아르틴군과 다카기군은 같다"라고 표현할 수 있다. 이 아르틴 사상의 핵에 들어가는 것은 쉽게 알 수 있다. 따라서, 이 내용의 실질적인 내용은 이 아르틴 사상의 핵에 들어간다는 것이다.

와 를 의 0이 아닌 원소로 한다. 분수 아이디얼 의 분자가 정수 아이디얼 으로 나누어지고 분모가 과 서로소일 때, 와 는 을 법으로 '''곱셈 합동'''이라고 한다. 모듈러스 의 유한 부분 을 법으로 와 가 곱셈 합동이고, 또한 을 나누는 모든 실수 소점에 의한 매립에서 와 의 부호가 같을 때, 와 는 모듈러스 을 법으로 곱셈 합동이라고 하기도 한다. 이 용어를 사용한다면, 은 을 법으로 1과 곱셈 합동인 원소로 생성되는 단항 아이디얼 전체라고 표현할 수 있다.

모듈러스 에 대해 과 서로 소인 분수 이데알로 이루어진 군 은 을 나누는 유한 소점의 집합에 의해서만 결정된다. 특히 에 포함된 무한 소점에는 의존하지 않는다. 한편, 는 유한 소점의 지수에도 의존하며, 지수가 커지면 작아진다. 무한 소점의 유무에 따라 크기도 변한다. 상호 법칙이 의미하는 것 중 하나는 " 에 분기하는 무한 소점을 추가하고, 유한 소점의 지수를 적절하게 크게 하면, 는 아르틴 사상의 핵에 들어갈 정도로 작아진다"는 점이다.

몫군 을 '''사류군'''(ray class group)이라고 부르기도 한다.

일 때 이것은 일반적인 이데알류군이므로, 이것은 이데알류군의 일반화가 된다. 이 의 실수점 모든 곱이라고 하자. 이 때 은 모든 분수 이데알로 이루어진 군이며, 은 총 정수인 원소로 생성된 단항 이데알 전체의 군이다. 이 을 '''협의 이데알류군''' 또는 (narrow class group)이라고 한다.

임의의 모듈러스 에 대해 의 차수는 류수 를 사용하여

:

| I_{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}} | =h \frac{\varphi(\mathfrak{m}_0) 2^\rho}{e}

로 나타낼 수 있다. 여기서 는 의 정수환의 에 의한 잉여류 환의 가역원의 개수, 는 을 나누는 실수점의 개수, 는 의 단위군에서의 을 법으로 1에 곱셈 합동인 단위수의 이루는 군의 지수이다. 특히, 은 유한군이다.

존재 정리에 의해 합동군에 대해 아벨 확대 이 정해지고, 반대로 아벨 확대 이 있으면 합동군 이 정해진다. 이 대응을 일대일로 만들기 위해서는 합동군에 대해 적절한 동치 관계를 정의할 필요가 있다. 이것은 다음과 같이 정의된다.

을 법으로 하는 합동군 과 을 법으로 하는 합동군 이 동치라는 것은, 과 의 공배수인 이 존재하여 의 핵과 의 핵이 같다는 것으로 정의한다. 이 동치 관계에 의한 합동군의 동치류와 아벨 확장의 대응은 일대일이 된다. 이데알에 의한 정식화에서는 이 대응이 더 직접적으로 기술된다.

5. 예시

유리수체 $\mathbb Q$ 의 최대 아벨 확대 $\mathbb Q^{\text{ab}}$ 는 유리수체에 1의 모든 ''n''제곱근을 추가하여 얻을 수 있다. 이는 원분체들의 사영극한이다.

유리수체의 이델 유군은 다음과 같다.

: $C_{\mathbb Q}=\mathbb A^\times_{\mathbb Q}/\mathbb Q^\times=\mathbb R^+\times\hat{\mathbb Z}^\times$

여기서 $\hat{\mathbb Z}^\times$ 는 정수환의 사유한 완비의 가역원 군이다.

따라서,

: $\operatorname{Gal}(\mathbb Q^{\text{ab}}/\mathbb Q)\cong\hat{\mathbb Z}^\times\cong\prod_p\mathbb Z_p^\times$

이다. 즉, 유리수체의 절대 아벨 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(\mathbb Q^{\text{ab}}/\mathbb Q)$ 은 정수환의 사유한 완비 $\hat{\mathbb Z}$ 의 가역원 곱셈군과 동형이다. 이 동형은 크로네커-베버 정리와 동치이며, 아르틴 상호 법칙의 한 예이다.

정수환의 사유한 완비는 p진 정수 환들의 곱으로 나타낼 수 있다.

: $\hat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p$

: $\hat{\mathbb Z}^\times\cong\prod_p\mathbb Z_p^\times$

레오폴트 크로네커가 추측하고 크로네커-베버 정리로 알려진 사실에 따르면, 1의 거듭제곱근 모두로 생성된 체가 '''Q'''의 최대 아벨 확대이다. 이 경우, 유체론의 상호 법칙 동형(또는 아르틴 상호 법칙 사상)은 다음과 같이 주어진다.

수론적 정규화:

:

\hat{\mathbb{Z}}^\times \to G_{\mathbb{Q}}^\text{ab} = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_\infty)/\mathbb{Q}); \quad x \mapsto (\zeta  \mapsto \zeta^x)

기하학적 정규화:

:

\hat{\mathbb{Z}}^\times \to G_{\mathbb{Q}}^\text{ab} = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_\infty)/\mathbb{Q}); \quad x \mapsto (\zeta \mapsto \zeta^{-x})

6. 유체론의 일반화

랭글랜즈 프로그램은 비가환 유체론으로 간주될 수 있으며, 대역체의 비가환 갈루아 확장에 대한 이론을 포함한다.^[6] 그러나 랭글랜즈 대응은 아벨 경우의 유체론만큼 유한 갈루아 확장에 대한 많은 산술적 정보를 포함하지 않으며, 유체론의 존재 정리와 같은 것도 포함하지 않는다. 랭글랜즈 대응 관점의 대안을 제공하는 국소 및 전역의 여러 다른 비가환 이론이 있다.

원 아벨 기하학은 절대 갈루아 군 또는 대수적 기본군의 정보로부터 원래 객체(예: 수체 또는 그 위에 정의된 쌍곡선 곡선)를 복원하는 알고리즘을 연구한다.^[4]^[5]

고차 유체론은 고차 국소체와 고차 대역체의 아벨 확장을 설명하며, 대수적 K-이론을 사용한다. 적절한 Milnor K-군은 1차원 유체론에서 사용되는 K₁을 일반화한다.

참조

_[1] 논문 Class field theory, its three main generalisations, and applications https://ems.press/jo[...] 2021-08-31
_[2] 간행물 Reciprocity and IUT, talk at RIMS workshop on IUT Summit, July 2016, Ivan Fesenko https://ivanfesenko.[...]
_[3] 서적 Arithmetic duality theorems Charleston, SC: BookSurge, LLC 2006
_[4] 간행물 Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki, Eur. J. Math., 2015 https://ivanfesenko.[...]
_[5] 간행물 Class field theory, its three main generalisations, and applications, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133 https://ivanfesenko.[...]
_[6] 간행물 Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki, Eur. J. Math., 2015 https://ivanfesenko.[...]
_[7] 간행물 Class field theory, its three main generalisations, and applications, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133 https://ivanfesenko.[...]
_[8] 논문 Die Theorie der algebraischen Zahlkörper http://resolver.sub.[...]
_[9] 논문 Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper 1902
_[10] 논문 Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers 1906
_[11] 서적 https://www.iwanami.[...] 2005-01-07

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