가산 생성 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 국소 가산 공간
- 2.2. 가산 생성 공간
3. 성질
4. 예
- 4.1. 점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간
- 4.2. 함수 공간
5. 가산 팬 밀도
참조

1. 개요

가산 생성 공간은 위상 공간의 일종으로, 공간 내의 닫힌 집합을 가산 부분 공간을 사용하여 정의할 수 있는 특징을 가진다. 구체적으로, 위상 공간 X가 가산 생성 공간이라는 것은 X의 모든 부분 집합 V에 대해, X의 가산 부분 공간 U에 대하여 V ∩ U가 U에서 닫혀있을 때마다 V가 X에서 닫혀있는 경우를 의미한다. 가산 생성 공간은 국소 가산 공간, 점렬 공간, 그리고 콤팩트 생성 공간과 관계가 있으며, 위상 공간의 범주에서 쌍대 반사 부분 범주를 형성한다. 가산 생성 공간의 몫 공간과 위상합은 가산 생성 공간이며, 모든 부분 공간 역시 가산 생성 공간이다. 가산 생성 공간은 순차 공간, 거리화 가능 공간과 같은 다양한 공간의 예시를 포함하며, 함수 공간과 곱공간에서도 나타날 수 있다.

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가산 생성 공간
가산 생성 공간
정의	위상 공간 X가 있을 때, X의 모든 부분 집합 A에 대해, A의 폐포가 A에 포함된 가산 집합의 폐포와 같다면, X는 가산 생성 공간이라고 불린다. 즉, 다음 조건을 만족한다.
조건	A ⊆ X ⇒ cl(A) = ∪{cl(B) : B ⊆ A, B는 가산 집합}
성질	가산 생성 공간의 성질은 다음과 같다. 모든 제1 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 모든 가산 생성 공간은 약한 가산 생성 공간이다. 연속 함수의 이미지는 가산 생성 공간이면 가산 생성 공간이다. 가산 생성 공간의 몫공간은 가산 생성 공간이다.
관련 개념
관련 개념	수렴열 가산 콤팩트 공간 순차 공간 프레셰-우리손 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족하면 '''가산 생성 공간'''이라고 한다: 임의의 부분 집합 $V \subseteq X$ 에 대해, $X$ 의 모든 가산 부분 공간 $U$ 에 대하여 $V \cap U$ 가 $U$ 에서 닫혀 있다면, $V$ 역시 $X$ 에서 닫힌집합이어야 한다. 이는 공간의 위상적 구조를 가산 부분 집합만으로 완전히 파악할 수 있음을 의미한다.

2. 1. 국소 가산 공간

위상 공간

X

및 점

x\in X

에 대하여,

\operatorname{loc\,card}(x,X)

를

x

의 근방의 최소 크기라고 정의한다.

:

\operatorname{loc\,card}(x,X)=\min_{U\in\mathcal N_x}|U|

위상 공간

X

의 '''국소 크기'''(局所크기, local cardinality|^영어)

\operatorname{loc\,card}(X)

는 모든 점

x

에서의 근방 최소 크기

\operatorname{loc\,card}(x,X)

들의 상한이다.^[1]

:

\operatorname{loc\,card}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{loc\,card}(x,X)

국소 크기가

\aleph_0

이하인 위상 공간을 '''국소 가산 공간'''이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.^[1]

2. 2. 가산 생성 공간

위상 공간

X

및 부분 집합

A\subseteq X

와 점

x\in\operatorname{cl}A

(

A

의 폐포)에 대하여,

\operatorname{tight}(x,A,X)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{tight}(x,A,X)=\min_{B\subseteq A}^{x\in\operatorname{cl}B}|B|

이는

x

가 폐포에 포함되도록 하는

A

의 부분 집합

B

가운데 가장 작은 크기(기수)를 나타낸다.

위상 공간

X

의 점

x\in X

에서의 '''국소 밀착도'''(local tightness^영어)

\operatorname{tight}(x,X)

는 다음과 같다.^[2]

:

\operatorname{tight}(x,X)=\sup_{A\subseteq X}^{x\in\operatorname{cl}A}\operatorname{tight}(x,A,X)

이는 점

x

를 폐포에 포함하는 모든 부분 집합

A

에 대해 계산된

\operatorname{tight}(x,A,X)

값들의 상한이다.

위상 공간

X

의 '''밀착도'''(tightness^영어)

\operatorname{tight}(X)

는 모든 점에서의 국소 밀착도들의 상한이다.^[2]^[6]

:

\operatorname{tight}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{tight}(x,X)

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 공간

X

를 '''가산 생성 공간'''이라고 한다.

밀착도가 $\aleph_0$ (알레프 영, 가산 무한 기수) 이하이다.^[3] 즉, 임의의 부분 집합 $A\subseteq X$ 와 그 폐포에 속하는 점 $x\in\operatorname{cl}A$ 에 대하여, $x\in\operatorname{cl}B$ 를 만족하는 가산 집합인 부분 집합 $B\subseteq A$ 가 항상 존재한다.
임의의 부분 집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, 만약 모든 가산 집합 $A\subseteq X$ 와의 교집합 $U\cap A$ 가 $A$ 에서 열린집합이라면, $U$ 자신도 $X$ 에서 열린집합이다.
임의의 부분 집합 $F\subseteq X$ 에 대하여, 만약 모든 가산 집합 $A\subseteq X$ 와의 교집합 $F\cap A$ 가 $A$ 에서 닫힌집합이라면, $F$ 자신도 $X$ 에서 닫힌집합이다.
국소 가산 공간(locally countable space)의 몫공간이다.^[3]

정의에 따르면, 위상 공간

X

는 모든 부분 집합

V \subseteq X

에 대해,

X

의 임의의 가산 부분 공간

U

에 대하여

V \cap U

가

U

에서 닫혀 있을 때

V

가

X

에서 닫혀 있으면 '''가산 생성'''이라고 한다. 이는 임의의 부분 집합

A \subseteq X

의 폐포가

A

의 모든 가산 부분 집합들의 폐포의 합집합과 같다는 조건과 동치이다.

3. 성질

모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다.

가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간은 점렬 공간이다.^[4] 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.^[4]

가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다.

3. 1. 가산 생성 공간의 범주

가산 생성 공간의 몫공간은 다시 가산 생성 공간이며, 가산 생성 공간들의 위상합 역시 가산 생성 공간이다. 이에 따라, 가산 생성 공간들은 위상 공간 범주의 핵반사 부분 범주를 형성한다. 또한, 이들은 모든 가산 공간의 핵반사 덮개가 된다.

가산 생성 공간의 모든 부분 공간 역시 가산 생성 공간이다.

3. 2. 연산에 대한 닫힘

가산 생성 공간은 부분 공간과 몫공간 연산에 대해 닫혀 있다. 즉, 가산 생성 공간의 부분 공간은 가산 생성 공간이며, 몫공간 역시 가산 생성 공간이다. 또한, 가산 생성 공간들의 위상합도 가산 생성 공간이다.

그러나 연속 함수에 대한 상이나 곱공간 연산에 대해서는 닫혀 있지 않을 수 있다.

3. 2. 1. 연속 함수에 대한 상

가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.^[6] 예를 들어, 이산 공간은 밀착도가 1이므로 가산 생성 공간이다. 그러나 비(非)린델뢰프 공간의 연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 이 비가산 생성 공간은, 위상을 이산 위상으로 대체한 원래의 이산 공간의 연속적 상이다.

3. 2. 2. 곱공간

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합

(X_i)_{i\in I}

의 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.^[5]

\operatorname{tight}\left(\prod_{i\in I}X_i\right)=\max\left\

3. 3. 콤팩트 공간

기수

\kappa

가 주어졌을 때, 위상 공간

X

위의 길이

\kappa

의 '''자유 점렬'''(free sequence^영어)은 다음 조건을 만족시키는 그물

(x_\alpha\colon\alpha<\kappa)\subset X

이다.

:

\operatorname{cl}\{x_\alpha\colon\alpha<\beta\}\cap\operatorname{cl}\{x_\alpha\colon\beta\le\alpha<\kappa\}=\varnothing\qquad(\forall\beta<\kappa)

콤팩트 하우스도르프 공간

X

의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.^[5]^[6]

4. 예

모든 순차 공간(특히 모든 거리화 가능 공간)은 가산 생성 공간의 기본적인 예시가 된다. 또한, 가산 생성 공간이지만 순차 공간이 아닌 예시도 존재하는데, 예를 들어 아렌스-포트 공간의 특정 부분 공간이나 특정 위상이 주어진 함수 공간 등이 있다.^[7]^[6] 이러한 구체적인 예시들은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

4. 1. 점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간

집합

\mathbb Q\cap[0,1]

위에 다음 두 종류의 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 정의할 수 있다.

통상적인 의미의 열린집합 $U\subseteq\mathbb Q\cap[0,1]$
통상적인 0의 열린 근방 $U\ni 0$ 과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는 0이 아닌 수열 $(x_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb Q\cap(0,1]$ 에 대하여, $U\setminus\{x_0,x_1,x_2,\dots\}$ 형태의 집합

이렇게 정의된 위상 공간은 (기저 집합이 가산 집합이므로) 가산 생성 공간이다. 하지만 이 공간은 점렬 공간이 아니다.^[7] 구체적으로, 집합

\{0\}

은 점렬 열린집합이지만, 위에서 정의한 방식에 따르면 열린집합이 아니기 때문이다.

참고로, 모든 순차 공간(특히 모든 거리화 가능 공간)은 가산 생성 공간이다.

가산 생성 공간이지만 점렬 공간(또는 순차 공간)이 아닌 다른 예시로는 아렌스-포트 공간의 특정 부분 공간을 들 수 있다.

4. 2. 함수 공간

티호노프 공간 X가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 C_pw(X, ℝ)의 밀착도는 다음과 같다.^[6]

:tight(C_pw(X, ℝ)) = sup_n∈ℕ L(Xⁿ)

여기서 L은 린델뢰프 수이다. 특히, 티호노프 공간 X에 대하여, C_pw(X, ℝ)가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 곱공간 Xⁿ이 린델뢰프 공간인 것과 동치이다.

5. 가산 팬 밀도

위상 공간 $X$ 가 가산 팬 밀도를 가질 조건은 모든 점 $x \in X$ 와 $x \in {\textstyle\bigcap\limits_n} \, \overline{A_n} = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \cdots,$ 를 만족하는 $X$ 의 부분 집합의 수열 $A_1, A_2, \ldots$ 에 대해 $B_1\subseteq A_1, B_2 \subseteq A_2, \ldots$ 와 같은 유한 집합이 존재하여 $x \in \overline.$ 를 만족하는 것이다. 모든 강 프레셰-우리손 공간은 강 가산 팬 밀도를 가진다.

참조

_[1] 논문 Countably compact, locally countable T2-spaces 1980
_[2] 서적 Lectures on set theoretic topology https://archive.org/[...] American Mathematical Society 1975
_[3] 논문 A note on countably generated spaces 1974
_[4] 논문 On compact Hausdorff spaces of countable tightness 1989
_[5] 서적 Cardinal Functions on Boolean Algebras Birkhäuser 1990
_[6] 서적 A Cp-Theory Problem Book: Topological and Function Spaces Springer 2011
_[7] 서적 Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid 2006

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