점렬 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 점렬 폐포
- 3.2. 프레셰-우리손 공간
4. 예시
5. 다른 위상 공간과의 관계
6. 범주론적 성질
7. 역사
참조

1. 개요

점렬 공간은 위상 공간의 일종으로, 열린 집합과 닫힌 집합의 개념을 점렬의 수렴성을 통해 정의할 수 있는 공간을 의미한다. 점렬 공간에서는 모든 열린 집합은 점렬 열린 집합이고, 모든 닫힌 집합은 점렬 닫힌 집합이다. 점렬 공간은 제1 가산 공간의 몫공간, 거리화 가능 공간의 몫공간, 또는 점렬 연속 함수가 연속 함수가 되는 공간과 동치이다. 점렬 공간은 프레셰-우리손 공간, 콤팩트 생성 공간 등과 관계를 가지며, 범주론적으로 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 스탠리 프랭클린은 1956년 점렬 공간의 개념을 도입하여 위상수학 연구에 기여하였다.

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점렬 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $U\subseteq X$ 이 다음 조건을 만족시키면, '''점렬 열린집합'''(sequentially open set^영어)이라고 한다.

임의의 점렬 $(x_i)_{i=0}^\infty\subseteq X$ 에 대하여, 만약 $x_i\to u$ 인 $u\in U$ 가 존재한다면, 충분히 큰 $i$ 에 대하여 $x_i\in U$ 이다.

위상 공간

X

의 부분 집합

C\subseteq X

이 다음 조건을 만족시키면, '''점렬 닫힌집합'''(sequentially closed set^영어)이라고 한다.

임의의 점렬 $(x_i)_{i=0}^\infty\subseteq C$ 에 대하여, 만약 $x_i\to x$ 인 $x\in X$ 가 존재한다면, $x\in C$ 이다.

위 정의에서, "점렬"을 그물 또는 필터로 대체하면 표준적인 열린집합·닫힌집합의 정의와 동치인 개념을 얻는다. 즉, 모든 열린집합은 점렬 열린집합이며 모든 닫힌집합은 점렬 닫힌집합이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

임의의 위상 공간

X

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''점렬 공간'''이라고 한다.

모든 점렬 열린집합은 열린집합이다.
모든 점렬 닫힌집합은 닫힌집합이다.
제1 가산 공간의 몫공간이다.
거리화 가능 공간의 몫공간이다.
임의의 위상 공간 $Y$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $f$ 가 점렬 연속 함수라면 $f$ 는 연속 함수이다.

즉, 점렬 공간에서는 열린집합 · 닫힌집합 · 연속 함수의 개념을 그물 또는 필터 대신 점렬만으로 다룰 수 있다.

X

를 집합으로 하고,

x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}

를

X

의 수열로 하자.

x_{\bull} \subseteq S

는 수열

x_{\bull}

의 각 원소가

S

의 원소임을 의미하며,

f : X \to Y

가 함수이면,

f\left(x_{\bull}\right) = \left(f\left(x_i\right)\right)_{i=1}^{\infty}

이다. 임의의 인덱스

i

에 대해,

i

에서 시작하는

x_{\bull}

의 꼬리는 다음과 같은 수열이다.

x_{\geq i} = (x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, \ldots)\text{.}

수열

x_{\bull}

이

S

에 결국 속한다는 것은

x_{\geq i} \subseteq S

를 만족하는

x_{\bull}

의 꼬리가 존재함을 의미한다.

\tau

를

X

에 대한 위상으로 하고,

x_{\bull}

을 그 안에 있는 수열로 하자. 수열

x_{\bull}

이 점

x \in X

로 수렴한다는 것은,

x_{\bull}\overset{\tau}{\to} x

로 표기하며,

x

의 모든 근방

U\in\tau

에 대해, 결국

x_{\bull}

가

U

에 속한다는 것을 의미한다. 그러면

x

를

x_{\bull}

의 극한점이라고 부른다.

위상 공간 사이의 함수

f : X \to Y

가 순차 연속이라는 것은

x_\bull\to x

이면

f(x_\bull)\to f(x)

임을 의미한다.

집합

S

는

S=\operatorname{scl}(S)

일 때 점렬 닫혀 있으며, 이는 모든

s_{\bull}\subseteq S

와

x \in X

에 대해

s_{\bull}\overset{\tau}{\to}x,

일 때

x\in S

이어야 함과 동치이다.

집합

S

는 여집합이 점렬 닫혀 있을 경우 점렬 열린 것으로 정의된다. 동치 조건에는 다음이 포함된다.

$S = \operatorname{sint}(S)$
모든 $x_{\bull}\subseteq X$ 와 $s \in S$ 에 대해 $x_{\bull}\overset{\tau}{\to}s,$ 일 때, 결국 $x_{\bull}$ 은 $S$ 에 속한다(즉, 꼬리 $x_{\geq i} \subseteq S$ 를 만족하는 정수 $i$ 가 존재한다).

집합

S

가 점

x \in X

의 '''점렬 근방'''인 경우, 점렬 내부에

x

를 포함한다.

X

의 부분 집합이 점렬 열린이지만 열린이 아닌 경우가 있을 수 있다. 마찬가지로 닫혀 있지 않지만 점렬 닫힌 부분 집합이 존재할 수도 있다.

위상 공간

(X, \tau)

는 다음의 동치 조건 중 하나를 만족하면 '''점렬 공간'''이다.

$\tau$ 는 자체적인 점렬 공반사이다.^[4]
$X$ 의 모든 점렬 열린 부분 집합은 열려있다.
$X$ 의 모든 점렬 닫힌 부분 집합은 닫혀있다.
$X$ 에서 닫혀있지 않은 임의의 부분 집합 $S \subseteq X$ 에 대해, $x\in\operatorname{cl}(S)\setminus S$ 이고 $S$ 에서 $x$ 로 수렴하는 수열이 존재한다.
(보편 성질) 모든 위상 공간 $Y$ 에 대해, 사상 $f : X \to Y$ 는 연속일 필요충분조건은 점렬 연속인 것이다 (만약 $x_{\bull} \to x$ 이면 $f\left(x_{\bull}\right) \to f(x)$ ).^[7]
$X$ 는 제1 가산 공간의 몫공간이다.
$X$ 는 거리 공간의 몫공간이다.

''X''를 위상 공간이라고 하자.

''X''의 부분 집합 ''U''가 '''점렬 열린''' 집합이라는 것은, ''U'' 내의 점에 수렴하는 ''X'' 내의 각 점렬 (''x''_''n'')이 ''U''에 결국 포함될 때를 말한다.
''X''의 부분 집합 ''F''가 '''점렬 닫힌''' 집합이라는 것은, ''F'' 내의 점렬 (''x''_''n'')이 어떤 점 ''x''에 수렴할 경우, 그 극한점 ''x''가 반드시 ''F''에 속한다는 것을 말한다.

점렬 열린 집합의 여집합은 점렬 닫힌 집합이며, 그 역도 성립한다. ''X''에서의 임의의 열린 집합은 점렬 열린 집합이며, 임의의 닫힌 집합은 점렬 닫힌 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

3. 성질

점렬 공간에서는 열린집합, 닫힌집합, 연속 함수 등의 개념을 점렬만으로 다룰 수 있다는 장점이 있다.

점렬 공간의 몫공간은 점렬 공간이다.
점렬 공간의 열린집합과 닫힌집합은 점렬 공간이다.
점렬 공간 $X$ 와 위상 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌고, $f$ 가 닫힌 사상이거나 열린 사상이면 $f(X)$ 는 점렬 공간이다.
위상 공간의 범주에서 점렬 공간의 연산은 몫, 연속적 닫힌 또는 열린 상, 합, 귀납적 극한, 열린 부분 공간 및 닫힌 부분 공간에 대해 닫혀 있다.
점렬 공간은 제1 가산 공간 또는 거리화 가능 공간의 몫공간이다.
점렬 공간은 가산 조밀성을 가지며 콤팩트 생성된다.
점렬 공간의 곱공간은 일반적으로 점렬 공간이 아니다.
점렬 공간의 전체 하위 범주는 위상 공간의 범주에서 몫, 연속적 닫힌 또는 열린 상, 합, 귀납적 극한, 열린 및 닫힌 부분 공간에 대해 닫혀있다.
점렬 공간의 전체 하위 범주는 연속적 상, 부분 공간, 유한 곱에 대해서는 닫혀 있지 않다.
점렬 공간은 위상적 합과 몫에 대해 닫혀 있으므로 공반사적 하위 범주를 형성한다.
점렬 공간은 거리화 가능 공간의 공반사적 덮개이다.
점렬 공간의 하위 범주는 자체 곱에 대해 데카르트 닫힌 범주이다.
점렬 공간의 지수 대상은 (수렴 수열) - 열린 위상으로 구성된다.
점렬 공간은 모든 거리 공간, CW-복합체, 미분 가능 다양체의 기본 위상 공간을 포함하고 코극한, 몫 및 "특정 합리적인 항등식"에 대해 닫혀 있는 가장 작은 데카르트 닫힌 하위 범주이다.
모든 점렬 공간은 콤팩트 생성 공간이며, 점렬 공간의 유한 곱은 콤팩트 생성 공간의 곱과 일치한다.

3. 1. 점렬 폐포

위상 공간

X

의 부분 집합

A\subseteq X

의 '''점렬 폐포'''(點列閉包, sequential closure^영어)

\operatorname{cl_{seq}}A

는

A

속의 점렬들의 극한들로 구성된

X

의 부분 집합이다.^[18]

:

\operatorname{cl_{seq}}A=\left\{x\in X\colon\exists(a_i)_{i=0}^\infty\subseteq A\colon a_i\to x\right\}

점렬 폐포는 멱등 연산이 아니다. 즉, 일반적으로 다음이 성립한다.

:

\operatorname{cl_{seq}}\operatorname{cl_{seq}}A\ne \operatorname{cl_{seq}}A

위상 공간

X

의 부분 집합

A

에 대하여, '''초한 점렬 폐포열'''(超限點列閉包列, transfinite sequential closure sequence^영어)

A_\alpha

는 다음과 같이 정의된다.

$A_0=A$
따름 순서수 $\alpha+1$ 에 대하여, $A_{\alpha+1}=\operatorname{cl_{seq}}A_\alpha$ 이다.
극한 순서수 $\alpha$ 에 대하여, $A_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha}A_\beta$ 이다.

임의의 위상 공간

X

의 부분 집합

A\subseteq X

에 대하여,

A_\alpha=A_{\alpha+1}

이 되는 최소의 순서수

\alpha

가 존재하며, 또한 항상

\alpha\le\omega_1

이다. (

\omega_1

은 최소의 비가산 순서수이다.) 이 경우

A_\alpha

를

A

의 '''초한 점렬 폐포'''(超限點列閉包, transfinite sequential closure^영어)라고 한다.

점렬 공간에서, 초한 점렬 폐포는 항상 (일반적) 폐포와 일치한다. 점렬 공간

X

의 '''점렬 순서수'''(點列順序數, sequential order^영어)는 모든

A\subseteq X

에 대하여

A_\alpha=\operatorname{cl}A

가 되는 최소의 순서수

\alpha

이다.^[18]

(X, \tau)

를 위상 공간,

S \subseteq X

를 부분 집합이라고 하자.

(X, \tau)

에서

S

의 '''점렬 폐포'''는 다음과 같이 정의되는 집합이다.

:

\operatorname{scl}(S) = \left\{x \in X: \text{수열 }s_{\bull} \subseteq S\text{가 존재하여 }s_{\bull} \to x \text{가 성립한다} \right\}

이것은

X

의 멱집합에 대한 '''점렬 폐포 연산자'''를 정의한다. 명확성을 위해 이 집합을

\operatorname{scl}_{X}(S)

또는

\operatorname{scl}_{(X,\tau)}(S)

로 표기할 수도 있다. 항상

\operatorname{scl}_X S \subseteq \operatorname{cl}_X S

가 성립하지만, 반대는 성립하지 않을 수 있다.

점렬 폐포는 준폐포 연산자이다. 위상적 폐포와 달리, 점렬 폐포는 멱등이 아니다. 따라서 점렬 폐포는 (쿠라토프스키) 폐포 연산자가 아니다.

초한 반복을 통해 멱등 점렬 폐포를 얻을 수 있다. 후계 서수

\alpha+1

에 대해 (평소와 같이) 다음을 정의한다.

:

(\operatorname{scl})^{\alpha+1}(S)=\operatorname{scl}((\operatorname{scl})^\alpha(S))

그리고 극한 서수

\alpha

에 대해 다음을 정의한다.

:

(\operatorname{scl})^\alpha(S)=\bigcup_{\beta<\alpha}{(\operatorname{scl})^\beta(S)}

이 과정은 서수로 색인된 증가하는 집합 시퀀스를 제공한다. 결과적으로, 이 시퀀스는 항상

\omega_1

(첫 번째 비가산 서수)의 색인으로 안정화된다. 반대로,

X

의 '''점렬 차수'''는 임의의

S

에 대해 위의 시퀀스가 안정화될 최소 서수이다.^[2]

S

의 '''초한 점렬 폐포'''는 위의 시퀀스에서 마지막 집합이다:

(\operatorname{scl})^{\omega_1}(S).

연산자

(\operatorname{scl})^{\omega_1}

는 멱등이므로 폐포 연산자이다. 특히, 이는 점렬 코리플렉션인 위상을 정의한다. 점렬 코리플렉션에서 모든 점렬 폐포 집합은 닫혀 있고 (모든 점렬 열린 집합은 열려 있다).^[3]

위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''A''가 주어졌을 때, ''A''의 '''열포''' 또는 '''열폐포''' (sequential closure) [''A'']_seq는

:

[A]_{\text{seq}}= \{x\in X : \{a_n\}\to x, a_n\in A \}

로 주어지는 ''X''의 부분 집합, 즉 ''A'' 내의 적당한 수렴 점렬의 극한점이 될 수 있는 ''X''의 점 ''x'' 전체의 집합을 말한다. 사상

:

[\;]_{\text{seq}}\colon A\mapsto [A]_{\text{seq}}

를 '''열폐포 작용소''' (sequential closure operator)라고 한다.

열폐포 작용소는 임의의 ''A'', ''B''⊆ ''X''에 대해 다음 성질을 만족한다. 여기서

\overline{A}

는 ''A''의 통상적인 폐포이다.

성질

즉, 열폐포 작용소는 클라토프스키 공리(폐포 작용소에 의한 위상의 특징화)의 4가지 조건 중 3가지를 만족한다.

그러나 4번째 조건인 멱등성은 일반적으로 만족되지 않는다. 즉, ''X''가 열형일 때조차 ''X''의 부분 집합 ''A'' 중에는 다음이 성립하는 경우가 존재할 수 있다.

: $[A]_{\text{seq}} \subsetneq$

3. 2. 프레셰-우리손 공간

위상 공간

X

가 다음 조건들을 만족시키면, '''프레셰-우리손 공간'''(Fréchet-Урысон空間, Fréchet–Urysohn space^영어)이라고 한다. 이 조건들은 서로 동치이다.

$X$ 의 모든 부분 집합은 점렬 공간이다.
$X$ 의 모든 부분 집합의 폐포는 점렬 폐포와 같다. 즉, $X$ 의 점렬 순서수는 1이다.
$X$ 는 유전적 점렬 공간이다. 즉, 모든 위상 부분 공간은 점렬 공간이다.
모든 부분 집합 $S \subseteq X$ 에 대해 $\operatorname{scl}_X S = \operatorname{cl}_X S$ 이다.
$X$ 에서 닫혀 있지 않은 모든 부분 집합 $S \subseteq X$ 와 모든 $x \in \left(\operatorname{cl}_X S\right) \setminus S$ 에 대해, $x$ 로 수렴하는 $S$ 의 수열이 존재한다.

프레셰-우리손 공간은 때때로 "프레셰"라고도 하지만, 함수 해석학의 프레셰 공간이나 T₁ 조건과 혼동해서는 안 된다.^[18]

4. 예시

모든 CW 복합체와 모든 다양체는 점렬 공간이다.^[21]
모든 제1 가산 공간은 프레셰-우리손 공간이며, 모든 프레셰-우리손 공간은 점렬 공간이다. 따라서 모든 제2 가산 공간, 거리화 가능 공간은 점렬 공간이다.
가환 노에터 환의 소 스펙트럼은 자리스키 위상을 갖춘 점렬 공간이다.^[9]
실수 집합에서 모든 자연수를 하나의 점으로 동일화한 몫공간은 프레셰-우리손 공간이지만 제1 가산 공간이 아니다.
아렌스 공간은 점렬 공간이지만 프레셰-우리손 공간이 아니다.^[14]
비가산 집합에 공가산 위상을 부여한 공간은 점렬 공간이 아니다.^[15]

5. 다른 위상 공간과의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:제2 가산 공간 ∪ 거리화 가능 공간 ⊊ 제1 가산 공간 ⊊ 프레셰-우리손 공간 ⊊ 점렬 공간 ⊊ 콤팩트 생성 공간 ∩ 가산 생성 공간

모든 점렬 공간은 가산 조밀성을 가지며 콤팩트 생성된다.

만약 $f : X \to Y$ 가 두 하우스도르프 점렬 공간 사이의 연속적인 열린 전사 함수이면, 유일한 역상을 갖는 점들의 집합 $\{y:$

6. 범주론적 성질

점렬 공간과 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루며, 모든 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다. (점렬 공간의 범주에서의 범주론적 곱은 (위상 공간의 범주에서의) 곱공간과 일치하지 않는다.) 즉, 점렬 공간은 노먼 스틴로드가 정의한 (위상수학에서) "편리한 범주"(convenient category^영어)를 이룬다.^[19]

데카르트 닫힌 범주를 넘어서, 점렬 공간을 충만한 부분 범주로 갖는 토포스를 정의할 수 있으며, 이를 '''존스톤 토포스'''(Johnstone’s topos^영어)라고 한다.^[20]

모든 순차 공간의 전체 하위 범주 '''Seq'''는 위상 공간의 범주 '''Top'''에서 다음 연산에 대해 닫혀 있다.

몫
연속적 닫힌 또는 열린 상
합
귀납적 극한
열린 및 닫힌 부분 공간

범주 '''Seq'''는 '''Top'''에서 다음 연산에 대해 닫혀 있지 않다.

연속적 상
부분 공간
유한 곱

순차 공간은 위상적 합과 몫에 대해 닫혀 있으므로 공반사적 하위 범주를 형성한다. 실제로, 이들은 거리화 가능 공간의 공반사적 덮개이다(즉, 합과 몫에 대해 닫혀 있고 거리화 가능 공간을 포함하는 가장 작은 위상 공간 클래스).

하위 범주 '''Seq'''는 자체 곱('''Top'''의 곱이 아님)에 대해 데카르트 닫힌 범주이다. 지수 대상은 (수렴 수열) - 열린 위상으로 장착된다.

P.I. Booth와 A. Tillotson은 '''Seq'''가 모든 거리 공간, CW-복합체, 미분 가능 다양체의 기본 위상 공간을 포함하고 코극한, 몫 및 노먼 스틴로드가 "편리한" 것으로 묘사한 "특정 합리적인 항등식"에 대해 닫혀 있는 '''Top'''의 가장 작은 데카르트 닫힌 하위 범주임을 보여주었다.

7. 역사

오랫동안 제1 가산 공간에서는 일반적으로 그물을 사용하여 정의되는 각종 위상수학적 성질들이 점렬을 사용하여 정의되는 것들과 동치인 것이 알려져 있었다. 1956년에 스탠리 프랭클린(Stanley P. Franklin^영어)은 제1 가산 공간에서 이 성질이 성립하는 조건을 추상화하여 점렬 공간의 개념을 도입하였다.^[23]^[24]

이러한 성질을 만족하는 공간에 대한 연구는 이전부터 암암리에 이루어졌지만, 점렬 공간의 공식적인 정의는 1965년 S. P. 프랭클린이 "수렴열에 관한 사실만으로 그 위상이 완전히 특정되는 위상 공간의 클래스는 무엇인가"라는 질문을 연구하면서 처음으로 제시되었다. 프랭클린은 제1 가산 공간이 수렴열에 관한 사실만으로 특정될 수 있다는 점에 주목하여, 제1 가산 공간의 추상적 성질을 점렬 공간의 정의에 반영하였다.

참조

_[2] 논문 Ordinal invariants for topological spaces.
_[3] 논문 The Coreflective Subcategory of Sequential Spaces 1968-10
_[4] 웹사이트 Topology of sequentially open sets is sequential? https://math.stackex[...]
_[7] 논문 Solution to Problem #5299 https://www.jstor.or[...] 1966
_[8] 논문 T-sequential topological spaces http://matwbn.icm.ed[...] 1972
_[9] 웹사이트 On sequential properties of Noetherian topological spaces http://topology.nipi[...] 2023-07-30
_[11] 논문 Topological properties of strict $(LF)$ -spaces and strong duals of Montel strict $(LF)$ -spaces 2019
_[14] 웹사이트 A note about the Arens' space http://dantopology.w[...] 2013-08-01
_[15] 웹사이트 Example of different topologies with same convergent sequences https://math.stackex[...] StackOverflow 2022-06-27
_[16] 웹사이트 Topological vector space https://encyclopedia[...] 2020-09-06
_[18] 저널 Ordinal invariants for topological spaces
_[19] 저널
_[20] 저널
_[21] 저널
_[22] 서적
_[23] 저널 http://matwbn.icm.ed[...]
_[24] 저널 http://matwbn.icm.ed[...]

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