그물 (수학)

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1. 개요

그물(net)은 위상 공간에서 수렴 개념을 일반화한 것으로, 자연수 집합 대신 유향 집합을 사용하여 정의된다. 수열의 일반화로 볼 수 있으며, 극한, 연속성, 콤팩트성 등 위상수학적 성질을 특징짓는 데 유용하게 사용된다. 그물은 필터와 밀접한 관련이 있으며, 1922년 E.H. 무어와 H.L. 스미스에 의해 처음 도입되었고, "net"이라는 용어는 J.L. 켈리에 의해 명명되었다.

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극한은 수학에서 함수의 값이나 수열의 항이 특정 값에 가까워지는 현상을 기술하는 개념으로, ε-δ 논법으로 엄밀하게 정의되며 수렴, 연속성, 미적분학 등 다양한 분야에서 활용되고, 고대 그리스에서 시작하여 19세기에 현대적 정의가 완성되었다.
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그물 (수학)
정의
설명	위상 공간에서 점들의 수열의 일반화이다.
참고	무어-스미스 수열이라고도 한다.
수학적 정의
방향 집합	공집합이 아닌 집합 A와 A의 모든 원소 a, b에 대해 a ≿ c 및 b ≿ c를 만족하는 c가 A에 존재하는 이항 관계 ≿로 구성된다.
그물	방향 집합 A에서 위상 공간 X로의 함수이다.
수렴	그물 xᵢ가 x에 수렴한다는 것은 X에서 x의 모든 이웃 V에 대해 A에 i가 존재하여 모든 j ≿ i에 대해 xⱼ ∈ V인 경우이다.
관련 개념
극한점	그물 (xα)의 극한점은 모든 α에 대해 α' ≥ α인 α'가 존재하여 xα' ∈ V를 만족하는 x의 모든 열린 이웃 V이다.
특성
일반화	그물은 수열을 일반화한다. 수열은 자연수 집합을 방향 집합으로 사용하는 그물이다.
동치 조건	위상 공간에서 다음 조건들은 동치이다.

2. 정의

집합 $X$ 위의 그물(net)은 어떤 상향 원순서 집합 $I$ 에서 $X$ 로 가는 함수 $x_\bullet\colon I\to X$ 이다. 이는 점렬과 유사하게 첨자를 사용하여 $(x_i)_{i\in I}$ 와 같이 표기한다.

점렬은 전순서 집합 $(\mathbb N,\le)$ 에서 어떤 집합으로 가는 함수이므로, 그물은 점렬의 일반화이다.

상향 원순서 집합 $I$ 와 집합 $X$ , $X$ 속의 그물 $(x_i)_{i\in I}$ , $X$ 의 부분 집합 $S\subseteq X$ 가 주어졌다고 하자.

만약 $\{x_i\colon i\gtrsim i_0\}\subseteq S$ 가 성립하는 $i_0\in I$ 가 존재한다면, $(x_i)_{i\in I}$ 가 '''최종적으로 $S$ 에 속한다'''(eventually in Y^영어)고 한다.
임의의 $i\in I$ 에 대하여 $x_j\in S$ 인 $j\gtrsim i$ 가 존재한다면, $(x_i)_{i\in I}$ 가 '''빈번히 $S$ 에 속한다'''고 한다.

(x_i)_{i\in I}

가 '''극대 그물'''(極大-, ultranet^영어, universal net^영어)일 필요충분조건은,

X

의 임의의 부분 집합

S\subseteq X

에 대하여

(x_i)_{i\in I}

가 최종적으로

S

에 속하거나 최종적으로 여집합

X\setminus S

에 속하는 것이다. 이는 극대 필터에 대응되는 개념이다.

2. 1. 유향 집합

집합 ''A'' 와 ''A'' 위의 이항 관계 "≤"의 쌍 (''A'', ≤)이 '''유향 집합'''(directed set^영어)이라는 것은, "≤"가 반사 관계이자 추이 관계 (즉 전순서 집합)이며, ''A''의 임의의 두 원소가 상계를 갖는다는 것을 의미한다. 즉, 임의의 ''a'', ''b'' ∈ ''A''에 대해 ''a'' ≤ ''c''이고 ''b'' ≤ ''c''인 어떤 ''c'' ∈ ''A''가 존재한다.^[12]

2. 2. 그물 (유향 점족)

집합

X

위의 '''그물'''(영어: net)은 어떤 상향 원순서 집합

I

에서

X

로 가는 함수

x_\bullet\colon I\to X

이다. 이는 흔히 점렬과 유사하게 첨자로

(x_i)_{i\in I}

와 같이 표기한다.

점렬은 전순서 집합

(\mathbb N,\le)

에서 어떤 집합으로 가는 함수이므로, 그물은 점렬의 일반화이다.

상향 원순서 집합

I

와 집합

X

및

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

,

X

의 부분 집합

S\subseteq X

가 주어졌다고 하자.

$\{x_i\colon i\gtrsim i_0\}\subseteq S$ 가 성립하는 $i_0\in I$ 가 존재한다면, $(x_i)_{i\in I}$ 가 '''최종적으로 $S$ 에 속한다'''(eventually in Y^영어)고 한다.
임의의 $i\in I$ 에 대하여 $x_j\in S$ 인 $j\gtrsim i$ 가 존재한다면, $(x_i)_{i\in I}$ 가 '''빈번히 $S$ 에 속한다'''고 한다.

(x_i)_{i\in I}

가 '''극대 그물'''(極大-, ultranet^영어, universal net^영어)일 필요충분조건은,

X

의 임의의 부분 집합

S\subseteq X

에 대하여

(x_i)_{i\in I}

가 최종적으로

S

에 속하거나 최종적으로 여집합

X\setminus S

에 속하는 것이다. 이는 극대 필터에 대응되는 개념이다.

상향 원순서 집합

I

와 위상 공간

X

및

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

, 점

x\in X

가 주어졌다고 하자. 다음 조건이 성립한다면,

(x_i)_{i\in I}

가 '''

x

로 수렴한다'''(converges toward

x

^영어) 또는 '''극한

x

를 갖는다'''(has limit

x

^영어)고 한다.

$x$ 의 임의의 근방 $U\ni x$ 에 대하여 $(x_i)_{i\in I}$ 는 최종적으로 $U$ 에 속한다.

그물

(x_i)_{i\in I}

가

x

로 수렴할 경우, 점렬의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.

:

\lim_{i\in I}x_i=x

만약

X

에 기저가 주어져 있을 경우, 그물이

x

로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로

x

를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다.

방향 집합은 공집합이 아닌 집합

A

와 함께, 달리 명시되지 않는 한, 일반적으로

\,\leq\,

로 표시되는 전순서이며, 모든

a, b \in A

에 대해

a \leq c

와

b \leq c

를 만족하는

c \in A

가 존재하는 속성을 갖는다.

X

에서의 '''넷'''은

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

로 표기하며, 함수

x_\bull : A \to X

이다. 정의역

A

는 어떤 방향 집합이고, 값은

x_\bullet(a)= x_a

이다.

그물

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

에 대해, 집합

S

에 속한다는 것은 어떤

a \in A

가 존재하여 모든

b \in A

에 대해

b \geq a

일 때, 점

x_b \in S

가 성립하는 것을 의미한다. 점

x \in X

가 그물

x_\bull

의 극한 또는 극한점이라고 불리는 것은 다음 조건을 만족할 때이다.

: 모든 열린 근방

U

에 대해, 그물

x_\bull

이 결정적으로

U

에 속한다.

이는 다음과 같이 동등하게 표현될 수 있다: 그물은

x

로 수렴한다 또는

x

를 극한으로 가진다. 그리고 다음과 같이 다양하게 표기된다:

\begin{alignat}{4}& x_\bull && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\& x_a     && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\\lim        \; & x_\bull && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\\lim_{a \in A} \; & x_a     && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\\lim_a   \; & x_a     && \to\; && x && \;\;\text{ in } X.\end{alignat}

만약

\lim x_\bull \to x

이고 이 극한이 유일하다면 다음과 같이 표기한다:

\lim x_\bull = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim x_a = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim_{a \in A} x_a = x

하우스도르프 공간에서, 모든 그물은 최대 하나의 극한을 가지며, 수렴하는 그물의 극한은 항상 유일하다.

유향 점족과 그 수렴의 정의는 점열과 그 수렴성의 정의를 자연스럽게 유향 집합의 경우로 확장하여 얻을 수 있다.

정의 (유향 점족)
위상 공간 X 위의 유향 점족이란, 어떤 유향 집합 Λ에서 X로의 사상을 말한다. 이를 종종 (x_λ)_λ∈Λ 혹은 간단히 (x_λ)로 표기하며, Λ로 첨자화된 유향 점족 등으로 부른다.

정의 (유향 점족의 수렴)
위상 공간 X 위의 유향 점족 (x_λ)_λ∈Λ가 X 위의 점 x에 수렴한다는 것은, x의 임의의 근방 U에 대해 (x_λ)_λ∈Λ가 U에 거의 포함된다는 것을 말한다.

(''x''_λ)_λ∈Λ가 ''a''에 수렴한다는 것은

: $\mathrm{lim}~x_{\lambda}=a \,$

로 나타낸다.

2. 2. 1. 예시

(점열) 자연수에 통상의 대소 관계로 순서를 넣은 것은 유향 집합이므로, 임의의 점열은 유향점족이다. 정의에서 명백한 것처럼 점열 (''x''_n)의 점열로서의 수렴성과 유향점족으로서의 수렴성은 일치한다.
(실수값 함수의 극한) 실수변수 함수의 극한 $\lim_{x\to\infty} f(x)$ 도 유향점족 $(f(x))_{x\in\mathbb{R}}$ 의 극한으로 간주할 수 있다.
(열린 근방계) 위상 공간 위의 점 ''a''를 고정하고, ''a''의 각 근방 ''U''에서 ''x''_''U''를 임의로 선택하면, $(x_U)_{U\in \mathcal{N}_a}$ 는 유향점족이 된다. 여기서 $\mathcal{N}_a$ 는 ''a''의 근방계이다. 실제로 $\mathcal{N}_a$ 위의 방향을 ''U'' ≥ ''V'' ⇔ ''U'' ⊂ ''V'' 에 의해 정하면 $\mathcal{N}_a$ 가 유향 집합이 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 또한 이 예에서, 순서 관계 "≥"에 관해 큰 ''U''를 취할수록 ''x''_''U''는 ''a''의 작은 근방에 속하게 된다는 것을 알 수 있듯이 ''x''_''U''는 ''a''에 수렴한다.
(리만 합) 리만 적분의 정의에 있어서의 리만 합도 유향 점열의 극한으로 간주할 수 있다. 이 예에서 생각하는 유향 집합은, 적분 구간의 모든 분할이 이루는 집합에 포함 관계가 정하는 순서로 방향을 넣은 것이다. 리만-스틸체스 적분에서도 같은 것을 생각할 수 있다.

2. 3. 부분 그물 (부분 유향 점족)

그물에 대한 "부분 수열"과 유사한 개념은 "부분 그물"이다. "부분 그물"에 대한 몇 가지 다른 정의가 있지만, 이 문서에서는 1970년 스티븐 윌라드(Stephen Willard)가 소개한 정의를 사용한다.^[1]

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

및

s_\bull = \left(s_i\right)_{i \in I}

가 그물일 때, 다음 조건을 만족하는 순서를 보존하는 사상(map)

h : I \to A

가 존재하면

s_\bull

은

x_\bull

의 부분 그물 또는 윌라드 부분 그물^[2]이라고 한다.

$h(I)$ 가 $A$ 의 공종 부분 집합이다.
$s_i = x_{h(i)}$ (모든 $i \in I$ 에 대해).

여기서 사상

h : I \to A

가 순서를 보존한다는 것은

i \leq j

일 때마다

h(i) \leq h(j)

임을 의미한다. 또한, 집합

h(I)

가

A

에서 공종이라는 것은 모든

a \in A

에 대해

b \geq a

인 어떤

b \in h(I)

가 존재함을 의미한다.

x \in X

가

x_\bull

의 어떤 부분 그물의 집적점이면,

x

는

x_\bull

의 집적점이기도 하다.^[3]

정의 (부분 유향 점족)
Γ, Λ를 유향 집합이라 하고, h : Γ→Λ를 다음 성질을 만족하는 사상이라고 할 때, (x_h(γ))_γ∈Γ를 (x_λ)_λ∈Λ의 부분 유향 점족(subnet)이라고 부른다.

부분 유향 점족은 점렬의 부분열 개념을 일반화한 것이다. 점렬 (''x''_n)_n의 부분열 $(x_{n_k})_k$ 에서 첨자 집합 간의 사상 $k \mapsto n_k$ 는 위에서 제시된 단조성과 공종성 두 조건을 만족한다.

하지만 부분 유향 점족과 점렬의 부분열은 중요한 차이점이 있다. 점렬의 부분열에서 $k \mapsto n_k$ 는 반드시 단사이지만, 부분 유향 점족에서는 ''h''가 단사 함수일 필요는 없다. ''h''에 단사성을 요구하면 티호노프 판과 같은 경우에 몇몇 정리들이 성립하지 않기 때문이다. ''h''가 단사인 경우의 부분 유향 점족을 공종 부분 유향 점족이라고 한다.

이러한 차이 때문에, 점렬 (''x''_n)_n을 유향 점족으로 볼 때, 그 부분 유향 점족은 점렬이 아닐 수도 있다. ''h''가 단사가 아니면 같은 ''x''_n이 부분 유향 점족에 여러 번(비가산 무한 번) 나타날 수 있고, Γ도 전순서 집합이 아닐 수 있기 때문이다.

2. 4. 기타 정의

상향 원순서 집합

I

와 집합

X

및

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

및

X

의 부분 집합

S\subseteq X

가 주어졌다고 하자.

만약 $\{x_i\colon i\gtrsim i_0\}\subseteq S$ 가 성립하는 $i_0\in I$ 가 존재한다면, $(x_i)_{i\in I}$ 가 '''최종적으로 $S$ 에 속한다'''(eventually in Y^영어)고 한다.
만약 임의의 $i\in I$ 에 대하여 $x_j\in S$ 인 $j\gtrsim i$ 가 존재한다면, $(x_i)_{i\in I}$ 가 '''빈번히 $S$ 에 속한다'''고 한다.

(x_i)_{i\in I}

가 '''극대 그물'''(極大-, ultranet, universal net)일 필요충분조건은, X의 임의의 부분 집합

S\subseteq X

에 대하여

(x_i)_{i\in I}

가 최종적으로

S

에 속하거나 최종적으로 여집합

X\setminus S

에 속하는 것이다. 이는 극대 필터에 대응되는 개념이다.

3. 성질

점렬은 위상 공간의 특성을 정의하는 데 자연스럽지 못한 경우가 많다. 이는 점렬이 자연수를 정의역으로 갖는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다. 하지만 그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다.

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $S\subseteq X$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$x\in\operatorname{cl}(S)$ . 여기서 $\operatorname{cl}$ 은 폐포이다.
$x$ 로 수렴하는 $S$ 속의 그물이 존재한다.

이 성질과 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하면 티호노프 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

3. 1. 연속 함수

위상 공간 사이의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

연속 함수이다.
임의의 그물 $(x_i)_{i\in I}\subseteq X$ 이 만약 $x\in X$ 에 수렴한다면, 그물 $(f(x_i))_{i\in I}$ 역시 $f(x)$ 로 수렴한다.

이는 점렬을 사용하여 연속 함수를 정의할 때 발생할 수 있는 문제를 해결한다. 일반적인 두 위상 공간

X

,

Y

사이의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 두 조건은 동치가 아닐 수 있다.

연속 함수이다.
임의의 점렬 $(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X$ 이 만약 $x\in X$ 에 수렴한다면, $(f(x_n))_{n\in\mathbb N}$ 역시 $f(x)$ 로 수렴한다.

전자는 후자를 항상 함의하지만,

X

,

Y

가 제1 가산 공간이 아닐 경우에는 후자가 전자를 함의하지 못할 수 있다. 이는 점렬이 자연수를 정의역으로 갖는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다. 하지만 그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다.

간단히 말해, 함수

f : X \to Y

는

X

에서

x_\bull \to x

이면

Y

에서

f\left(x_\bull\right) \to f(x)

를 만족하면 연속 함수이다. 일반적으로 "망"을 "수열"로 바꾸면 이 명제는 참이 아니다. 즉,

X

가 제1 가산 공간 (또는 수열 공간)이 아닌 경우 자연수 외의 다른 방향 집합을 허용해야 한다.

3. 2. 닫힌집합 · 콤팩트 집합

위상 공간

X

의 부분 집합

S\subseteq X

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

닫힌집합이다.
$S$ 속의 임의의 그물의 임의의 ( $X$ 속에서 취한) 극한은 $S$ 의 원소이다. 즉, 그물 극한은 $S$ 를 벗어나지 않는다.

'''볼차노-바이어슈트라스 정리'''에 따르면, 위상 공간

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

콤팩트 공간이다.
$X$ 속의 임의의 그물은 수렴하는 부분 그물을 갖는다.

공간

X

는

X

의 모든 넷

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

가

X

내의 극한을 갖는 서브넷을 가질 때 콤팩트이다. 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리와 하이네-보렐 정리의 일반화로 볼 수 있다.

3. 3. 극한의 존재·유일성

상향 원순서 집합

I

와 위상 공간

X

및

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

및 점

x\in X

가 주어졌을 때, 다음 조건이 성립하면

(x_i)_{i\in I}

가 '''

x

로 수렴한다'''(converges toward

x

^영어) 또는 '''극한

x

를 갖는다'''(has limit

x

^영어)고 한다.

$x$ 의 임의의 근방 $U\ni x$ 에 대하여 $(x_i)_{i\in I}$ 는 최종적으로 $U$ 에 속한다.

일반적인 위상 공간에서 임의의 그물은 극한을 0개, 1개, 또는 2개 이상 가질 수 있다. 그러나 하우스도르프 공간 속의 그물의 극한은 0개 또는 1개이다.

위상 공간

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때

(x_i)_{i\in I}

의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.

곱위상이 주어진 곱공간의 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 그물의 각 사영(projection, 정확히 말해 어떤 공간들의 곱공간에서 원래의 공간 중 하나로 내리는 사영사상과 원래 그물의 합성함수로 이루어지는 그물)이 극한을 갖는 것이다.

위상 공간

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

및 점

y\in X

이 다음 조건을 만족시킨다면

y

가

(x_i)_{i\in I}

의 '''집적점'''이라고 한다.

$y$ 의 임의의 근방 $U\ni y$ 에 대하여 $(x_i)_{i\in I}$ 가 빈번히 $U$ 에 속한다.

그물

(x_i)_{i\in I}

의 집적점의 집합은

(x_i)_{i\in I}

의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.

일반적으로, 공간

X

의 그물은 하나 이상의 극한을 가질 수 있지만,

X

가 하우스도르프 공간이면 그물의 극한은 존재한다면 유일하다. 반대로,

X

가 하우스도르프 공간이 아니면, 서로 다른 두 개의 극한을 갖는

X

상의 그물이 존재한다. 따라서 극한의 유일성은 공간에 대한 하우스도르프 조건과 동치이다.

하우스도르프성과 콤팩트성의 특징

3. 4. 울트라넷

집합

X

내의 망

x_\bull

은 모든 부분 집합

S \subseteq X

에 대해,

x_\bull

이 결국

S

에 있거나

x_\bull

이 결국 여집합

X \setminus S

에 있으면, 보편 망 또는 울트라넷이라고 불린다.

모든 상수 망은 (자명한) 울트라넷이다. 울트라넷의 모든 부분 망은 울트라넷이다.^[1] 선택 공리를 가정하면, 모든 망은 울트라넷인 부분 망을 가지지만, 자명하지 않은 울트라넷은 명시적으로 구성된 적이 없다.^[2]

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

가

X

내의 울트라넷이고

f : X \to Y

가 함수이면

f \circ x_\bull = \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}

는

Y

내의 울트라넷이다.^[3]

x \in X

가 주어졌을 때, 울트라넷은

x

에 수렴할 때 그리고 그 때만

x

에 뭉쳐진다.^[4] 유향점족에 관한 여러 개념은 기본적으로 점렬에 관한 개념을 재구성한 것이지만, 보편성의 개념은 유향점족에 고유한 것이다.

정의 (보편 유향점족)
위상 공간 X 위의 유향점족 (x_λ)_λ∈Λ가 보편 (universal, 완전이라고도 함)이라는 것은, X의 임의의 부분 집합 A에 대해, (x_λ)_λ∈Λ가 A에 거의 포함되거나 A의 X에서의 여집합에 거의 포함되는 것을 말한다.

보편성의 개념은 점렬이 아닌 유향점족의 개념에 기반하고 있다는 것이 중요하며, 보편성을 만족하는 점렬은 자명한 것(유한 개를 제외하고 항상 같은 점을 가리키는 점렬)뿐이라는 것이 알려져 있다.

임의의 유향점족은 보편적인 부분 유향점족을 반드시 가진다는 것이 알려져 있다.

정리 (보편 부분 유향점족의 존재성)
X를 위상 공간으로 한다. 이 때 X 위의 임의의 유향점족 (x_λ)_λ∈Λ에 대해, 어떤 부분 유향점족 (x _h(γ))_γ∈Γ가 존재하고, (x _h(γ))_γ∈Γ는 보편적이다.

위의 정리의 증명에는 필터의 개념을 사용하기 때문에, 증명은 다음 장으로 미룬다.

또한, 위의 정리는 부분 유향점족의 정의에서 ''h''가 단사(單射)가 아닌 것을 허용한다는 것을 본질적으로 이용하고 있으며, 만약 ''h''로 단사인 것만을 허용하면 위의 정리는 성립하지 않는다. 반례로, (''x''_λ)_λ∈Λ가 점렬인 경우를 생각한다. 이 경우, 부분 유향점족 (''x'' _h(γ))_γ∈Γ 자체가 부분 수열로서 필연적으로 점렬이 되지만, 이 경우 부분 수열 (''x'' _h(γ))_γ∈Γ가 보편적이 되는 것은, 그 자체가 (전술한 의미에서) 자명한 점렬인 경우에 한정된다. 그러나 그 경우의 ''h''는 단사가 아니다. ''h''를 단사로 한정하면, 부분 수열은 결코 자명한 점렬이 되지 않는다(즉, 보편적인 부분 유향점족이 되지 않는다).

다음 정리는 정의로부터 명백하다.

정리
보편 유향점족의 부분 유향점족은 보편 유향점족이다.

이상 두 개의 정리로부터, 유향점족은 반드시 보편 유향점족을 부분 유향점족으로 하고, 그 보편 유향점족의 더 부분 유향점족을 취하면 다시 보편 유향점족이 된다.

3. 5. 코시 그물

코시 수열의 개념을 균등 공간에서 정의된 그물로 일반화한 것이 코시 그물이다.^[4]

그물

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

에서, 모든 앙상블

V

에 대해

c \in A

가 존재하여, 모든

a, b \geq c

에 대해

\left(x_a, x_b\right)

가

V

의 원소이면 이 그물을 코시 그물이라고 한다.^[4]^[5] 더 일반적으로, 코시 공간에서 그물

x_\bull

에 의해 생성된 필터가 코시 필터이면 코시 그물이다.

위상 벡터 공간(TVS)에서 모든 코시 그물이 어떤 점으로 수렴하면 완비라고 한다. 특별한 유형의 위상 벡터 공간인 노름 공간은 모든 코시 수열이 어떤 점으로 수렴하는 경우 (이 속성은 순차적 완비성이라고 함) 완비 TVS (또는 바나흐 공간)이다. 코시 그물은 노름 공간의 완비성을 설명하는 데는 필요하지 않지만, 더 일반적인 (가능한 비-노름화 가능한) 위상 벡터 공간의 완비성을 설명하는 데는 필요하다.

거리 공간 또는 균등 공간에서는 코시 수열과 거의 유사하게 코시 넷을 정의할 수 있다. 이 개념은 코시 공간까지 일반화할 수 있다.

4. 위상적 성질의 특징

그물과 극한의 개념은 위상수학적 개념을 재해석하고 특징짓는 데 유용하다. 이는 그물의 극한이 수열의 극한과 유사하여 직관적인 이해를 돕기 때문이다.

거의 모든 위상수학 개념은 그물과 극한으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 닫힌 집합은 그 집합 안의 그물이 갖는 모든 극한이 그 집합에 속하는 집합으로 정의된다. 폐포는 어떤 그물의 극한이 되는 점들의 집합이다. 열린 집합은 그 여집합 속의 어떤 그물도 그 집합의 점으로 수렴하지 않는 집합으로 특징지을 수 있다. 또한, 연속 함수는 한 점에서 수렴하는 모든 그물의 상(image)이 그 점의 상으로 수렴하는 함수로 정의할 수 있다.

콤팩트성은 모든 그물이 극한을 갖는 부분그물을 갖는 공간으로 정의된다. 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리와 하이네-보렐 정리의 일반화이다. 집적점은 그물의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.

하우스도르프 공간에서는 그물의 극한이 유일하다는 중요한 성질이 있다.^[1] 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않을 수 있다.

4. 1. 닫힌 집합과 폐포

위상 공간

X

의 부분 집합

S\subseteq X

가 닫힌집합이라는 것은,

S

안의 그물(net)이

X

안에서 갖는 모든 극한(limit)이 반드시

S

에 속하는 것과 같다. 명시적으로, 그물

s_\bull = \left(s_a\right)_{a \in A}

가 모든

a\in A

에 대해

s_a\in S

를 만족하고,

X

에서

\lim{}_{} s_\bull \to x

이면,

x \in S

임을 의미한다.

더 일반적으로,

S \subseteq X

가 임의의 부분 집합일 때,

S

의 폐포는

S

안의 어떤 그물

\left(s_a\right)_{a \in A}

에 대해

\lim_{a\in A} s_\bullet \to x

를 만족하는 점

x\in X

의 집합이다.

위상 공간

X

의 부분 집합

S\subseteq X

와 점

x\in X

에 대해,

x

가

S

의 폐포(

\operatorname{cl}(S)

)에 속한다는 것은,

x

로 수렴하는

S

안의 그물이 존재한다는 것과 같다.

유향점족에 의한 폐포의 특징짓기
A를 위상 공간 X의 임의의 부분 집합이라고 하자. 이때, 점 a가 A의 폐포에 포함될 필요충분 조건은 다음 성질 (1)이 성립하는 것이다.
어떤 유향 집합 Λ와 A 위의 어떤 유향점족 (x_λ)_λ∈Λ가 존재하여, (x_λ)_λ∈Λ는 a에 수렴한다. ...(1)

위 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. $a\in \bar{A}$ 인 것은 다음 조건과 동치이다.

: ''a''의 임의의 근방 ''U''에 대해, $U\cap A\neq \emptyset$ ...(2)

이는 ''U'' ∩ ''A''에 적어도 하나의 원소가 존재한다는 것을 의미하므로, 그러한 원소를 ''x'' _U라고 하면 $x_U\in U\cap A \subset A$ 이므로 $(x_U)_{U\in \mathcal{N}_a}$ 는 ''A'' 위에 있다. $(x_U)_{U\in \mathcal{N}_a}$ 는 유향점족이며, ''a''에 수렴한다.

반대로 ''a''에 수렴하는 ''A'' 위의 유향점족 (''x''_λ)_λ∈Λ가 있다면, ''a''의 임의의 근방 ''U'' 내에 유향점족의 점 ''x''_λ가 존재한다. ''x''_λ ∈ ''A''이기도 하므로, (2)가 성립하고, 따라서 $a\in \bar{A}$ 이다.

4. 2. 열린 집합과 위상 특징

부분 집합

S \subseteq X

가 열린 집합일 필요충분조건은

X \setminus S

내의 어떤 그물도

S

의 점으로 수렴하지 않는 것이다.^[1] 또한, 부분 집합

S \subseteq X

는

S

의 원소로 수렴하는 모든 그물이 결국

S

에 포함될 때 열린 집합이다.

이러한 "열린 집합"의 특징은 그물이 위상을 특징짓도록 한다.

집합의 여집합이 닫힌 집합일 필요충분조건을 통해 위상은 닫힌 집합으로도 특징지을 수 있다. 따라서 그물과 관련하여 "닫힌 집합"의 특징을 사용하여 위상을 특징지을 수도 있다.

4. 3. 연속성

점렬은 위상 공간의 특성을 정의하는 데 자연스럽지 못한 경우가 많다. 이는 점렬이 자연수를 정의역으로 갖는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다. 예를 들어, 일반적인 두 위상 공간

X

,

Y

사이의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 두 조건은 동치가 아니다.

연속 함수이다.
임의의 점렬 $(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X$ 이 만약 $x\in X$ 에 수렴한다면, $(f(x_n))_{n\in\mathbb N}$ 역시 $f(x)$ 로 수렴한다.

전자는 후자를 항상 함의하며, X, Y가 제1 가산 공간일 경우에는 후자가 전자를 함의하지만, 일반적 위상 공간에 대해서는 후자가 전자를 함의하지 못할 수 있다.

그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다. 구체적으로, 임의의 위상 공간

X

,

Y

및 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

연속 함수이다.
임의의 그물 $(x_i)_{i\in I}\subseteq X$ 이 만약 $x\in X$ 에 수렴한다면, 그물 $(f(x_i))_{i\in I}$ 역시 $f(x)$ 로 수렴한다.

위상 공간 사이의 함수

f : X \to Y

는 점

x

에서 정의된 연속 함수이다. 정의역에 있는 모든 망

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

에 대해,

\lim_{} x_\bull \to x

는

X

에서

\lim{} f\left(x_\bull\right) \to f(x)

를 함축한다.

간단히 말해서, 함수

f : X \to Y

는

X

에서

x_\bull \to x

이면

Y

에서

f\left(x_\bull\right) \to f(x)

이다.

일반적으로 이 명제는 "망"이라는 단어를 "수열"로 바꾸면 참이 아닐 것이다. 즉,

X

가 제1 가산 공간 (또는 수열 공간)이 아닌 경우 자연수 외의 다른 방향 집합을 허용해야 한다.

연속성의 개념은 유향점족의 개념을 사용하여 다음과 같이 특징지을 수 있다.

정리 (유향점족에 의한 연속성의 특징)
위상 공간 X에서 위상 공간 Y로의 함수 f가 연속일 필요충분 조건은 다음과 같은 것이 성립하는 것이다: 임의의 a ∈ X와 임의의 유향 집합 Λ와 임의의 유향점족 (x_λ)_λ∈Λ에 대해,

4. 4. 콤팩트성

공간

X

의 모든 그물

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

가

X

내의 극한을 갖는 서브넷을 가질 때,

X

는 콤팩트하다. 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리와 하이네-보렐 정리의 일반화로 볼 수 있다.

위상 공간

X

가 콤팩트할 필요충분조건은,

X

위의 임의의 유향점족이 수렴하는 부분 유향점족을 갖는다는 것이다. 이는 점렬 콤팩트 공간에서 점렬을 유향점족으로 바꾼 것이다.

보편적 유향점족을 사용하면 콤팩트성을 다음과 같이 특징지을 수 있다. 위상 공간

X

가 콤팩트할 필요충분조건은

X

위의 임의의 보편적 유향점족이 수렴하는 것이다.

4. 5. 집적점과 극한점

상향 원순서 집합

I

와 위상 공간

X

및

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

및 점

x\in X

가 주어졌을 때,

(x_i)_{i\in I}

가

x

의 임의의 근방

U\ni x

에 대하여 최종적으로

U

에 속하면,

(x_i)_{i\in I}

가 '''

x

로 수렴한다'''(converges toward

x

^영어) 또는 '''극한

x

를 갖는다'''(has limit

x

^영어)고 한다.

그물

(x_i)_{i\in I}

가

x

로 수렴할 경우, 점렬의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.

:

\lim_{i\in I}x_i=x

X

에 기저가 주어져 있을 경우, 그물이

x

로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로

x

를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다. 일반적인 위상 공간에서 임의의 그물은 극한을 0개, 1개, 또는 2개 이상 가질 수 있다. 그러나 하우스도르프 공간 속의 그물의 극한은 0개 또는 1개이다.

위상 공간

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때

(x_i)_{i\in I}

의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.

위상 공간

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

및 점

y\in X

이 다음 조건을 만족시킨다면

y

가

(x_i)_{i\in I}

의 '''집적점'''이라고 한다.

$y$ 의 임의의 근방 $U\ni y$ 에 대하여 $(x_i)_{i\in I}$ 가 빈번히 $U$ 에 속한다.

그물

(x_i)_{i\in I}

의 집적점의 집합은

(x_i)_{i\in I}

의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.

넷

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

에 대해, 어떤

a \in A

가 존재하여 모든

b \in A

에 대해

b \geq a

일 때, 점

x_b \in S

가 성립하면 집합

S

에 결정적으로 속한다고 한다. 모든 열린 근방

U

에 대해, 그물

x_\bull

이 결정적으로

U

에 속하면 점

x \in X

가 그물

x_\bull

의 극한 또는 극한점이라고 불린다.

이는 그물

x_\bull

이

x

로 수렴한다 또는

x

를 극한으로 가진다 와 같이 동등하게 표현될 수 있다.

만약

\lim x_\bull \to x

이고 이 극한이 유일하다면 (즉,

\lim x_\bull \to y

는

x = y

일 때만 성립한다면) 다음과 같이 표기한다.

:

\lim x_\bull = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim x_a = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim_{a \in A} x_a = x

하우스도르프 공간에서, 모든 그물은 최대 하나의 극한을 가지며, 수렴하는 그물의 극한은 항상 유일하다.

넷

x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}

는 모든

a \in A

에 대해

b \geq a

이고

x_b \in S

인

b \in A

가 존재하면 자주 또는 공종하게

S

에 있다고 한다. 점

x \in X

는 모든

x

의 근방

U

에 대해, 넷이

U

에서 자주/공종하게 있으면 집적점 또는 ''클러스터 점''이라고 한다.

x \in X

가 클러스터 점일 필요충분조건은

x

로 수렴하는 부분 집합을 가질 때이다.

x_\bull

의

X

에서의 모든 클러스터 점의 집합

\operatorname{cl}_X \left( x_{\bullet} \right)

는 각

a\in A

에 대해

\operatorname{cl}_X \left(x_{\geq a} \right)

와 같으며, 여기서

x_{\geq a} := \left\{x_b : b \geq a, b \in A\right\}

이다.

넷의 클러스터 포인트 집합은 수렴하는 부분넷의 극한 집합과 같다.

넷은 모든 부분넷이 극한을 가질 때에만 극한을 가진다. 이 경우 넷의 모든 극한은 모든 부분넷의 극한이기도 하다.

4. 6. 기타 성질

일반적인 위상 공간에서 임의의 그물은 극한을 0개, 1개, 또는 2개 이상 가질 수 있다. 그러나 하우스도르프 공간 속의 그물의 극한은 0개 또는 1개이다.^[1]

위상 공간

X

가 하우스도르프 공간일 필요충분조건은,

X

위의 임의의 유향점족의 극한이 존재한다면 유일하다는 것이다.^[1]

5. 필터와의 관계

필터는 위상수학에서 수렴의 일반적인 정의를 내릴 수 있게 해주는 개념이다. 그물과 필터, 이 두 개념은 동일한 수렴 개념을 제공한다.^[6] 모든 필터 기저는 필터의 가리키는 집합을 사용하여 유도되며, 필터 기저의 수렴은 관련된 망의 수렴을 의미한다. 반대로, 모든 망은 꼬리 $\left\{\left\{x_a : a \in A, a_0 \leq a\right\} : a_0 \in A\right\}$ 의 필터 기저를 유도하는데, 이를 망의 결국 필터라고 부른다. 망의 수렴은 결국 필터의 수렴을 의미한다.^[7] 따라서 한 개념으로 증명할 수 있는 모든 정리는 다른 개념으로도 증명할 수 있다.

로버트 G. 바틀은 두 개념이 동등함에도 불구하고, 모두 사용하는 것이 유용하다고 주장한다.^[7] 그는 망이 해석학에서 순차적 원소를 사용하는 것처럼 수열과 유사하여 자연스러운 증명과 정의를 가능하게 하는 반면, 필터는 대수적 위상수학에서 유용하다고 말한다.

망을 사용하는 것이 필터를 사용하는 것보다 학습 곡선이 가파르지 않아, 많은 수학자, 특히 해석학자들은 필터보다 망을 선호한다. 그러나 필터, 특히 초필터는 망보다 몇 가지 중요한 기술적 장점을 가지고 있어, 해석학과 위상수학 분야 밖에서는 필터를 덜 접하게 된다.

유향점족과 필터는 모두 "점열에 관한 여러 정리에서 가산성에 관한 조건을 없애는 것"을 동기로 제안되었으며, 수렴성 관점에서는 실질적인 차이가 없다.

다음 두 정리는 유향점족의 수렴과 필터의 수렴이 서로 대응될 수 있음을 보여준다.

정리^[13]

위 정리에서 함수 I는 다음과 같이 정의된다.

: $I((x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda})= \{\{x_{\mu} \mid \mu\geq\lambda\} \mid \lambda \in \Lambda\}$

I((''x''_λ)_λ∈Λ)는 필터 기저의 정의를 만족한다.

정리^[13]

함수 I와 J는 역함수 관계는 아니며, $I(J(\mathcal{B}))=\mathcal{B}$ 는 항상 성립하지만, J(I((''x''_λ)_λ∈Λ)) = (''x''_λ)_λ∈Λ는 항상 성립하지 않는다.

함수 J는 다음과 같이 정의된다.

필터 기저 $\mathcal{B}$ 에 대해 집합 $\Lambda_{\mathcal{B}}$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\Lambda_{\mathcal{B}}=\{(A,x) \mid A \in \mathcal{B},~x\in A \}$

$\Lambda_{\mathcal{B}}$ 에 다음과 같은 순서 관계를 부여한다.

: $(A,x) \ge (B,y) \Leftrightarrow A \subset B$

그러면 $\Lambda_{\mathcal{B}}$ 는 유향 집합이 된다.

$(A,x)\in\Lambda_{\mathcal{B}}\mapsto x\in X$ 는 $\Lambda_{\mathcal{B}}$ 를 첨자 집합으로 하는 유향점족으로 볼 수 있으며, 이 유향점족을 $J(\mathcal{B})$ 로 정의한다.

6. 점렬의 일반화

점렬은 위상 공간의 특성을 정의할 때 자연스럽지 않은 경우가 많다. 점렬은 자연수를 정의역으로 가지는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다.

그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다. 예를 들어, 일반적인 두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 두 조건은 동치이다.

연속 함수이다.
임의의 그물 $(x_i)_{i\in I}\subseteq X$ 이 $x\in X$ 에 수렴하면, 그물 $(f(x_i))_{i\in I}$ 역시 $f(x)$ 로 수렴한다.

모든 비어 있지 않은 전순서 집합은 유향 집합이다. 따라서 그러한 집합 위의 모든 함수는 망이다. 특히, 자연수

\N

은 일반적인 정수 비교

\,\leq\,

전순서와 함께 전형적인 유향 집합의 예시를 형성한다. 수열은 자연수에 대한 함수이므로 위상 공간

X

의 모든 수열은

\N

에서 정의된

X

의 망으로 간주될 수 있다. 반대로, 정의역이 자연수인 모든 망은 수열인데, 왜냐하면 정의에 따르면,

X

의 수열은 단지

\N = \{1, 2, \ldots\}

에서

X

로의 함수이기 때문이다. 이와 같이 망은 수열의 일반화이다. 즉, 가산 선형 순서 집합(

\N

)에서 정의되는 대신, 망은 임의의 유향 집합에서 정의된다.

마찬가지로, 모든 수열의 극한과 함수의 극한은 망의 극한으로 해석될 수 있다.

위상수학의 맥락에서 수열은 위상 공간 사이의 함수에 대한 모든 정보를 완전히 인코딩하지 못한다. 망은 수열의 개념을 일반화하여 위상 공간 사이의 함수에 대한 충분한 정보를 인코딩한다.

수열이 충분하지 않은 예시로, 곱 위상을 갖는 함수 집합을 들 수 있다. 이 경우, 상수 0 함수로 수렴하는 망은 존재하지만, 상수 0 함수로 수렴하는 수열은 존재하지 않는다.

더 일반적으로, 수열의 부분 망은 수열이 아니다. 그러나 제1 가산 공간과 같은 수열적 공간의 특정 경우에는 모든 망이 해당 수열을 유도하고 이 관계는 부분 망을 부분 수열에 매핑한다.

7. 예시

상향 원순서 집합에서 실수로 가는 그물의 상극한·하극한은 점렬의 경우와 유사하게 정의될 수 있다.^[14]^[15]^[16]

: $\limsup_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\sup_{i\lesssim j}x_j=\inf_{i\in I}\sup_{i\lesssim j} x_j$

: $\liminf_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\inf_{i\lesssim j}x_j=\sup_{i\in I}\inf_{i\lesssim j} x_j$

이는 점렬에서와 비슷한 성질을 가지며, 다음이 항상 성립한다.

: $\limsup (x_\alpha+y_\alpha) \le \limsup x_\alpha+\limsup y_\alpha,$

상극한과 하극한은 수열과 유사한 방식으로 실수의 그물에 대해서 정의될 수 있다.^[8]^[9]^[10]

이 외에도 다음과 같은 예시들이 있다.

리만 적분의 값은 리만 합의 그물에 대한 극한으로 해석될 수 있다.
거리 공간에서 그물이 한 점으로 수렴하는 것은 그물과 그 점 사이의 거리가 0으로 수렴하는 것과 같다.
정렬된 집합에서 위상 공간으로의 함수는 그물로 생각할 수 있으며, 함수의 극한은 그물의 극한으로 이해할 수 있다.
곱위상이 주어진 곱공간에서, 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 각 성분 공간으로의 사영(projection)이 극한을 갖는 것이다.
선택 공리는 임의의 집합의 컴팩트 위상 공간들의 곱이 컴팩트하다는 티호노프 정리와 동치이다.^[1]

7. 1. 부분 공간 위상

집합

S = \{x\} \cup \left\{x_a : a \in A\right\}

가

X

에 의해 유도된 부분 공간 위상을 갖는다면,

X

에서

\lim_{} x_\bull \to x

인 것은

S

에서

\lim_{} x_\bull \to x

인 것과 필요충분조건이다. 이러한 방식으로, 그물

x_\bull

이 주어진 점

x

로 수렴하는지 여부는

x

와 그물

x_\bull

의 상(즉, 점)으로 구성된 이 위상 부분 공간

S

에 전적으로 달려있다.

7. 2. 근방계

직관적으로, 망 $(x_a)_{a \in A}$의 수렴은 $a$가 충분히 클 때 $x_a$의 값이 우리가 원하는 만큼 $x$에 가까워지고 그 상태를 유지하는 것을 의미한다. 위상 공간에서 점 $x$가 주어졌을 때, $N_x$는 $x$를 포함하는 모든 근방의 집합을 나타낸다. 이때 $N_x$는 방향 집합이며, 방향은 역포함(reverse inclusion)에 의해 주어지므로, $S \geq T$이면 $S$는 $T$에 포함된다. $S \in N_x$에 대해 $x_S$를 $S$의 점이라고 하자. 그러면 $(x_S)$는 망이 된다. $S$가 $\geq$에 대해 증가함에 따라, 망의 점 $x_S$는 $x$의 더 작은 근방 안에 놓이게 된다. 따라서 점 $x$의 근방계에서 $x_S$는 망 수렴의 정의에 따라 $x$로 수렴한다.

위상 $X$에 대한 부분 기저 $\mathcal{B}$가 주어지고(여기서 위상에 대한 모든 기저는 부분 기저이기도 하다), 점 $x \in X$가 주어지면, $X$의 망 $x_\bull$은 $x$의 모든 근방 $U \in \mathcal{B}$ 안에 결국 들어갈 때만 $x$로 수렴한다. 이 특성은 주어진 점 $x$의 근방 부분 기저 (그리고 근방 기저)로 확장된다.

7. 3. 데카르트 곱의 극한

곱위상이 주어진 곱공간에서, 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 각 성분 공간으로의 사영(projection)이 극한을 갖는 것이다.

구체적으로,

\left(X_i\right)_{i \in I}

를 위상 공간들의 모임이라고 하고, 이들의 데카르트 곱

\prod_{i \in I} X_i

에 곱위상을 부여하자. 모든

l \in I

에 대해 정규 사영

\pi_l

은 다음과 같이 정의된다.

\begin{alignat}{4}\pi_l :\;&& {\textstyle\prod} X_\bull  &&\;\to\;& X_l \\[0.3ex]&& \left(x_i\right)_{i \in I} &&\;\mapsto\;& x_l \\\end{alignat}

f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in A}

를

A

에 의해 방향이 정해진

{\textstyle\prod} X_\bull

의 그물이라고 하고, 모든 지표

i \in I

에 대해

f_\bull

을

\pi_i

에 대입한 결과로 얻어지는 그물

\pi_i\left(f_\bull\right) : A \to X_i

는 다음과 같이 정의된다.

\pi_i\left(f_\bull\right) = \left(\pi_i\left(f_a\right)\right)_{a \in A}

이는 사영

\pi_i : {\textstyle\prod} X_\bull \to X_i

와 그물

f_\bull : A \to {\textstyle\prod} X_\bull

의 합성 함수, 즉

\pi_i\left(f_\bull\right) = \pi_i \circ f_\bull.

로 생각할 수 있다.

어떤 주어진 점

L = \left(L_i\right)_{i \in I} \in {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i

에 대해, 그물

f_\bull

이 곱공간

{\textstyle\prod} X_\bull

에서

L

로 수렴하는 것은 모든

i \in I

에 대해

\pi_i\left(f_\bull\right) = \left(\pi_i\left(f_a\right)\right)_{a \in A}

가

X_i

에서

L_i

로 수렴하는 것과 동치이다.

만약 그물

f_\bull

이

{\textstyle\prod} X_\bull

에서

L

로 수렴하면, 모든

i \in I

에 대해

\pi_i\left(f_\bull\right)

은

L_i

로 수렴한다.^[1] 그러나 일반적으로 역은 성립하지 않는다.^[1] 예를 들어

X_1 = X_2 = \Reals

이고

f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in \N}

이

(1, 1), (0, 0), (1, 1), (0, 0), \ldots

으로 반복되는 수열일 때,

L_1 := 0

과

L_2 := 1

은

X_1 \times X_2 = \Reals^2

에서

\pi_1\left(f_\bull\right)

과

\pi_2\left(f_\bull\right)

모두의 집적점이 되지만,

(0, 1)

을 중심으로 하고 반지름이

1

인 열린 공은

f_\bull

의 점을 하나도 포함하지 않으므로

\left(L_1, L_2\right) = (0, 1)

은

f_\bull

의 집적점이 아니다.

7. 4. 티호노프 정리와 선택 공리

선택 공리는 임의의 집합의 컴팩트 위상 공간들의 곱이 컴팩트하다는 티호노프 정리와 동치이다.^[1] 그러나 모든 컴팩트 공간이 하우스도르프 공간이라면, "컴팩트 하우스도르프 공간에 대한 티호노프 정리"를 대신 사용할 수 있으며, 이는 초필터 보조정리와 동치이므로 선택 공리보다 엄격하게 약하다.^[1]

넷은 넷 수렴의 특성과, 공간이 모든 넷이 수렴하는 부분넷을 가질 때에만 컴팩트하다는 사실을 이용하여 티호노프 정리의 두 가지 버전에 대한 짧은 증명을 제공할 수 있다.^[1] 보편적 유향점족의 개념을 사용하면 콤팩트성을 더욱 쉽게 특징지을 수 있다.^[1]

정리 (콤팩트성의 보편적 유향점족에 의한 특징)
위상 공간 X가 콤팩트일 필요충분조건은, X 위의 임의의 보편적 유향점족이 수렴하는 것이다.

또한, 위에 언급된 콤팩트성의 보편적 유향점렬에 의한 특징을 사용하면, '''티호노프 정리'''(콤팩트 공간의 곱은 콤팩트)가 거의 자명하게 유도된다.^[1] 증명 과정은 다음과 같다. 먼저 여러 위상 공간의 곱

: $Y=\prod_{\alpha}X_{\alpha}$

위의 유향점족이 ''Y''의 점 ''y''에 수렴할 필요충분조건은, 분명히 유향점족의 각 ''X''_α로의 사영이 ''y''의 ''X''_α로의 사영으로 수렴하는 것이다.^[1]

따라서,

:모든 ''X''_α가 콤팩트 ⇒ 임의의 α에 대해, ''X''_α 위의 보편적 유향점족은 수렴한다 ⇒ 곱 ''Y'' 위의 보편적 유향점족은 수렴한다 ⇒ ''Y''는 콤팩트.^[1]

즉, 티호노프 정리가 성립한다.^[1]

7. 5. 상극한/하극한

상향 원순서 집합

(I,\lesssim)

에서 실수로 가는 그물의 경우, 상극한·하극한을 점렬의 경우와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.^[14]^[15]^[16]

:

\limsup_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\sup_{i\lesssim j}x_j=\inf_{i\in I}\sup_{i\lesssim j} x_j

:

\liminf_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\inf_{i\lesssim j}x_j=\sup_{i\in I}\inf_{i\lesssim j} x_j

그물의 상극한과 하극한은 점렬에서와 비슷한 성질을 갖는다. 예를 들어, 다음이 항상 성립한다.

:

\limsup (x_\alpha+y_\alpha) \le \limsup x_\alpha+\limsup y_\alpha,

이 부등식에서 두 그물 중 하나가 수렴하면 등호가 성립한다.

상극한과 하극한은 수열과 유사한 방식으로 실수의 그물에 대해서 정의될 수 있다.^[8]^[9]^[10]

그물

\left(x_a\right)_{a \in A}

에 대해 다음과 같이 정의한다.

\limsup x_a = \lim_{a \in A} \sup_{b \succeq a} x_b = \inf_{a \in A} \sup_{b \succeq a} x_b.

실수의 그물의 상극한은 수열의 경우와 유사한 많은 속성을 갖는다. 예를 들어,

\limsup (x_a + y_a) \leq \limsup x_a + \limsup y_a,

여기서 그물 중 하나가 수렴할 때 등식이 성립한다.

7. 6. 리만 적분

리만 적분의 값에 대한 정의는 그물의 유향 집합이 적분 구간의 모든 구간 분할 집합이고, 포함 관계에 의해 부분적으로 정렬되는 리만 합의 그물에 대한 극한으로 해석될 수 있다.

7. 7. 거리 공간

상향 원순서 집합

I

와 위상 공간

X

및

X

속의 그물

(x_i)_{i\in I}

및 점

x\in X

가 주어졌다고 하자.

(x_i)_{i\in I}

가 '''

x

로 수렴한다'''는 것은

x

의 임의의 근방

U\ni x

에 대하여

(x_i)_{i\in I}

가 최종적으로

U

에 속한다는 것을 의미한다.

(M, d)

가 거리 공간 (또는 유사 거리 공간)이고

M

이 거리 위상을 갖는다고 가정하면,

m \in M

이 점이고

m_\bull = \left(m_i\right)_{a \in A}

가 망(net)일 때,

(M, d)

에서

m_\bull \to m

은

d\left(m, m_\bull\right) \to 0

in

\R,

와 동치이며, 여기서

d\left(m, m_\bull\right) := \left(d\left(m, m_a\right)\right)_{a \in A}

는 실수의 망이다. 이는 망이 거리 공간에서 한 점으로 수렴하는 것은 망과 그 점 사이의 거리가 0으로 수렴하는 것과 같다는 의미이다.

만약

(M, \|\cdot\|)

가 노름 공간 (또는 세미 노름 공간)이면,

(M, \|\cdot\|)

에서

m_\bull \to m

은

\left\|m - m_\bull\right\| \to 0

in

\Reals,

와 동치이며, 여기서

\left\|m - m_\bull\right\| := \left(\left\|m - m_a\right\|\right)_{a \in A}

이다.

(M, d)

가 적어도 두 개의 점을 가진다면, 점

c \in M

을 고정하고,

I := M \setminus \{c\}

집합을

c

로부터의 거리에 따라 반대로 정렬할 수 있다. 이때

i \leq j

를

d(j, c) \leq d(i, c)

로 정의한다. 즉, 관계는 "적어도

c

와 같은 거리를 가진다"는 것이고, 이 관계에서 "충분히 큼"은 "

c

에 충분히 가깝다"를 의미한다.

정의역이

M

인 임의의 함수가 주어지면,

I := M \setminus \{c\}

로의 제한은

(I, \leq)

에 의해 정렬된 망으로 해석될 수 있다.

망

f : M \setminus \{c\} \to X

가 위상 공간

X

의 부분 집합

S

에 결국 속한다는 것은,

d(m, c) \leq d(n, c)

를 만족하는 모든

m \in M \setminus \{c\}

에 대해

f(m)

이

S

에 속하는 어떤

n \in M \setminus \{c\}

가 존재한다는 것이다. 이러한 망

f

가 주어진 점

L \in X

로

X

에서 수렴하는 것은

\lim_{m \to c} f(m) \to L

인 것과 같다.

망

f : M \setminus \{c\} \to X

가

X

의 부분 집합

S

에 빈번히 속한다는 것은, 모든

n \in M \setminus \{c\}

에 대해

f(m)

이

S

에 속하는

d(m, c) \leq d(n, c)

인 어떤

m \in M \setminus \{c\}

가 존재한다는 것이다. 결과적으로, 점

L \in X

가 망

f

의 집적점인 것은,

L

의 모든 근방

V

에 대해, 망이 빈번히

V

에 속하는 것과 같다.

7. 8. 정렬 집합에서 위상 공간으로의 함수

정렬된 집합

[0, c]

를 극한점

t

를 갖는 집합으로 하고,

[0, t)

에서 위상 공간

X

로의 함수

f

를 생각하자. 이 함수는

[0, t)

에 대한 망이다.

함수

f

가

X

의 부분 집합

V

안에 결국 속하게 된다는 것은,

s \in [r, t)

에 있는 모든 점에 대해 점

f(s)

가

V

에 속하게 되는

r \in [0, t)

가 존재한다는 것을 의미한다.

따라서

\lim_{x \to t} f(x) \to L

은 모든

L

의 근방

V

에 대해

f

가 결국

V

안에 속하게 될 때에만 해당한다.

망

f

가

X

의 부분 집합

V

안에 빈번히 속한다는 것은 모든

r \in [0, t)

에 대해

f(s) \in V

가 되는

s \in [r, t)

가 존재한다는 것을 의미한다.

점

y \in X

가 망

f

의 집적점인 것은, 모든

y

의 근방

V

에 대해 망이

V

안에 빈번히 속할 때에만 해당한다.

첫 번째 예시는

c = \omega

인 특수한 경우이다.

서수-색인 수열도 참고하라.

8. 역사

미국 수학자 일라이어킴 헤이스팅스 무어와 허먼 라일 스미스(Herman Lyle Smith^영어)가 1922년 그물 개념을 처음 도입하였다.^[17] "그물"이라는 용어는 존 L. 켈리가 만들었다.^[2]^[3]

유사한 목적으로 개발된 개념으로 필터가 있으며, 이는 1937년 앙리 카르탕에 의해 개발되었다.

참조

_[1] 논문 A General Theory of Limits 1922
_[2] 서적 2010
_[3] 서적
_[4] 서적 General Topology https://books.google[...] Courier Dover Publications 2012
_[5] 서적 Introduction to General Topology https://books.google[...] New Age International 1983
_[6] 웹사이트 Archived copy https://web.archive.[...] 2013-01-15
_[7] 논문 Nets and Filters in Topology 1955
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적 1975
_[13] 문서
_[14] 서적 Infinite dimensional analysis: A hitchhiker's guide Springer 2006
_[15] 서적 An Introduction to Banach Space Theory Springer 1998
_[16] 서적 Topologies on closed and closed convex sets Kluwer Academic Publishers Group 1993
_[17] 저널 A general theory of limits 1922

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