에르미트 다항식

1. 개요

에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 사용되는 직교 다항식의 일종이다. 확률론에서의 에르미트 다항식과 물리학에서의 에르미트 다항식은 정의가 약간 다르지만, 서로 관련되어 있다. 에르미트 다항식은 에르미트 미분 방정식의 해이며, 점화식, 생성 함수, 미분 및 적분과 같은 다양한 성질을 갖는다. 또한, 라게르 다항식, 포물 기둥 함수, 합류 초 기하 함수와 같은 다른 함수들과의 관계를 통해 표현될 수 있다. 에르미트 다항식은 양자역학의 양자 조화 진동자 파동 함수에 등장하며, 피에르시몽 라플라스, 파프누티 체비쇼프, 샤를 에르미트 등에 의해 연구되었다. 에르미트 다항식을 이용하여 에르미트 함수를 정의할 수 있으며, 이는 양자 조화 진동자의 슈뢰딩거 방정식의 고유 함수로 사용된다.

2. 정의

에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. 확률론에서의 에르미트 다항식 $H\_n(x)$은 다음과 같다.

:$H\_n(x)=(-1)^n\; e^\{x^2/2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2/2\}=\backslash left(x-\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash right)^n1=\backslash exp\backslash left(-\backslash frac12\backslash frac\{d^2\}\{dx^2\}\backslash right)x^n$

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 $\backslash tilde\; H\_n(x)$은 다음과 같다.

:$\backslash tilde\; H\_n(x)=2^\{n/2\}H\_n(\backslash sqrt2x)=(-1)^n\; e^\{x^2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2\}=\backslash left(2x-\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash right)^n1$

이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의한다.

:$\backslash exp(-t^2/2)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; h\_nt^n/n!$
:

여기서 $n!!\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^m\; (n-2k)\; =\; n\; (n-2)\; (n-4)\; \backslash cdots$는 이중 계승(double factorial^영어)이다.

에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$H\_n(x)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash binom\; nkh\_n$

이는 아펠 다항식열의 음계산법으로 간편하게 나타낼 수 있다. 음변수 $\backslash mathsf\; h$에 대하여 선형 범함수 $L\backslash colon\backslash mathsf\; h^n\backslash to\; h\_n$를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.

:$H\_n(x)=L\backslash left((x+\backslash mathsf\; h)^n\backslash right)$
:$\backslash tilde\; H\_n(x)=L\backslash left((2x+\backslash sqrt2\backslash mathsf\; h)^n\backslash right)$

$L$의 역범함수는 다음과 같다.

:$L^\{-1\}\backslash colon\; \backslash mathbb\; Q[x]\backslash mapsto\backslash mathbb\; Q[x+\backslash mathsf\; h]$
:$L^\{-1\}=\backslash operatorname\{eval\}\_\{x\backslash mapsto\; x+\backslash mathsf\; h\}\backslash exp\backslash left(\backslash frac12\backslash frac\{d^2\}\{dx^2\}\backslash right)$

2.1. 확률론적 에르미트 다항식

에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 사용되는 정의가 조금씩 다르다. 확률론에서의 에르미트 다항식 $H\_n(x)$은 다음과 같다.

:$H\_n(x)=(-1)^n\; e^\{x^2/2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2/2\}=\backslash left(x-\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash right)^n1=\backslash exp\backslash left(-\backslash frac12\backslash frac\{d^2\}\{dx^2\}\backslash right)x^n$

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 $\backslash tilde\; H\_n(x)$은 다음과 같다.

:$\backslash tilde\; H\_n(x)=2^\{n/2\}H\_n(\backslash sqrt2x)=(-1)^n\; e^\{x^2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2\}=\backslash left(2x-\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash right)^n1$

이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론자 에르미트 다항식은 로드리게스 공식의 형식을 가지며 다음과 같이 쓸 수도 있다.
:$$\backslash operatorname\{He\}\_n(x)\; =\; \backslash left(x\; -\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash right)^n\; \backslash cdot\; 1$$
확률론자 에르미트 다항식이 $H\_n(x)$으로 표기되기도 하는데, 그 이유는 $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}e^\{-\backslash frac\{x^2\}\{2\}\}$가 기댓값 0과 표준 편차 1을 갖는 정규 분포의 확률 밀도 함수이기 때문이다.

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처음 열한 개의 확률론자 에르미트 다항식은 다음과 같다.

2.2. 물리학적 에르미트 다항식

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 $\backslash tilde\; H\_n(x)$은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash tilde\; H\_n(x)=2^\{n/2\}H\_n(\backslash sqrt2x)=(-1)^n\; e^\{x^2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2\}=\backslash left(2x-\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash right)^n1$

여기서 $H\_n(x)$은 확률론에서의 에르미트 다항식을 나타낸다.

고전 직교 다항식과 마찬가지로 에르미트 다항식은 여러 다른 출발점에서 정의할 수 있는데, 일반적으로 사용되는 표준화에는 다음 두 가지가 있다.

* 물리학자 에르미트 다항식

:$$H\_n(x)\; =\; (-1)^n\; e^\{x^2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2\}\; =\; \backslash left(2x\; -\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash right)^n\; \backslash cdot\; 1.$$

확률론자 에르미트 다항식 $\backslash operatorname\{He\}\_n(x)$과의 관계는 다음과 같다.

:$$H\_n(x)=2^\backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash operatorname\{He\}\_n\backslash left(\backslash sqrt\{2\}\; \backslash ,x\backslash right),\; \backslash quad\; \backslash operatorname\{He\}\_n(x)=2^\{-\backslash frac\{n\}\{2\}\}\; H\_n\backslash left(\backslash frac\; \{x\}\{\backslash sqrt\; 2\}\; \backslash right).$$

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처음 열한 개의 물리학자 에르미트 다항식은 아래 표와 같다.

2.3. 두 정의 간의 관계

에르미트 다항식은 확률론과 물리학에서 사용되는 정의가 약간 다르다. 확률론에서 사용하는 에르미트 다항식 $He\_n(x)$와 물리학에서 사용하는 에르미트 다항식 $H\_n(x)$는 다음과 같은 관계를 가진다.

:$H\_n(x)=2^\backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash operatorname\{He\}\_n\backslash left(\backslash sqrt\{2\}\; \backslash ,x\backslash right),\; \backslash quad\; \backslash operatorname\{He\}\_n(x)=2^\{-\backslash frac\{n\}\{2\}\}\; H\_n\backslash left(\backslash frac\; \{x\}\{\backslash sqrt\; 2\}\; \backslash right).$

즉, 하나는 다른 하나를 재조정한 형태이다. 이는 두 다항식의 분산이 다르기 때문이다. 확률론자 에르미트 다항식은 정규 분포의 확률 밀도 함수와 관련되어 기댓값이 0이고 표준 편차가 1인 분포를 갖도록 정의된다.

3. 성질

n^영어차 에르미트 다항식은 n^영어차 다항식이다. 확률론자 버전 He_n^영어는 최고차항 계수가 1인 반면, 물리학자 버전 H_n^영어는 최고차항 계수가 2ⁿ이다.

에르미트 다항식은 다음과 같은 점화 관계를 만족시킨다.

* 확률론자 에르미트 다항식:
*
* 물리학자 에르미트 다항식:
*

에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.

* H_n(x) = nH_n−1(x)
* H̃_n(x) = 2nH̃_n−1(x)

에르미트 다항식은 라게르 다항식 및 포물 기둥 함수의 특수한 경우로 표현될 수 있다.

3.1. 직교성

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; H\_m(x)H\_n(x)\backslash exp(-x^2/2)\backslash ,dx=\backslash sqrt\{2\backslash pi\}n!\backslash delta\_\{mn\}$

여기서 $\backslash delta\_\{mn\}$은 크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 $L^2(\backslash mathbb\; R,\backslash exp(-x^2/2))$의 완비기저를 이룬다. 여기서 $L^2(\backslash mathbb\; R,\backslash exp(-x^2/2))$은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.

:$\backslash langle\; f|g\backslash rangle=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\backslash bar\; f(x)g(x)\backslash exp(-x^2/2)\backslash ,dx$

H_n(x)^영어와 He_n(x)^영어는 n에 대한 차 다항식이다. 이들 다항식은 가중 함수 (측도)에 대해 직교한다.

:$$w(x)\; =\; e^\{-\backslash frac\{x^2\}\{2\}\}\; \backslash quad\; (\backslash text\{for\; \}\backslash operatorname\{He\})$$

또는

:$$w(x)\; =\; e^\{-x^2\}\; \backslash quad\; (\backslash text\{for\; \}\; H),$$

즉, 다음이 성립한다.

:$$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; H\_m(x)\; H\_n(x)\backslash ,\; w(x)\; \backslash ,dx\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\; \}m\; \backslash neq\; n.$$

또한,

:$$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; H\_m(x)\; H\_n(x)\backslash ,\; e^\{-x^2\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\backslash ,\; 2^n\; n!\backslash ,\; \backslash delta\_\{nm\},$$

그리고

:$$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash operatorname\{He\}\_m(x)\; \backslash operatorname\{He\}\_n(x)\backslash ,\; e^\{-\backslash frac\{x^2\}\{2\}\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash sqrt\{2\; \backslash pi\}\backslash ,\; n!\backslash ,\; \backslash delta\_\{nm\},$$

여기서 $\backslash delta\_\{nm\}$는 크로네커 델타이다.

따라서 확률론적 다항식은 표준 정규 확률 밀도 함수에 대해 직교한다.

3.2. 완비성

에르미트 다항식(확률론자 또는 물리학자)은 다음을 만족하는 함수의 힐베르트 공간에 대한 직교 기저를 형성한다.

:

여기서 내적은 다음 적분으로 주어진다.

:$$\backslash langle\; f,g\backslash rangle\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(x)\; \backslash overline\{g(x)\}\backslash ,\; w(x)\; \backslash ,dx$$

앞 절에서 정의된 가우스 가중 함수를 포함한다.

L²(R, w(x) dx)의 직교 기저는 완비 직교 시스템이다. 직교 시스템의 경우, 완비성은 0 함수가 시스템의 모든 함수에 직교하는 유일한 함수 라는 사실과 동일하다.

에르미트 다항식의 선형 덮개는 모든 다항식의 공간이므로, 다음을 만족하는 가 있다고 가정하고 (물리학자의 경우) 증명해야 한다.

:$$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(x)\; x^n\; e^\{-\; x^2\}\; \backslash ,dx\; =\; 0$$

모든 에 대해, 그러면 이다.

이를 수행하는 한 가지 방법은 전체 함수

:$$F(z)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(x)\; e^\{z\; x\; -\; x^2\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{z^n\}\{n!\}\; \backslash int\; f(x)\; x^n\; e^\{-\; x^2\}\; \backslash ,dx\; =\; 0$$

가 항등적으로 사라진다는 것을 이해하는 것이다. 그런 다음 모든 실수 에 대해 이라는 사실은 의 푸리에 변환이 0이고, 따라서 가 거의 어디에서나 0임을 의미한다. 위의 완비성 증명의 변형은 지수적 감소를 갖는 다른 가중치에도 적용된다.

에르미트의 경우, 완비성을 의미하는 명시적 항등식을 증명하는 것도 가능하다(아래 완비 관계 절 참조).

에르미트 다항식이 의 직교 기저라는 사실의 동등한 공식은 에르미트 함수를 도입하는 것으로 구성되며(아래 참조), 에르미트 함수가 의 정규 직교 기저라고 말하는 것이다.

3.3. 에르미트 미분 방정식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음 에르미트 미분 방정식(Hermite differential equation^영어)의 해를 이룬다.

:$\backslash frac\; d\{dx\}\backslash left(\backslash exp(-x^2/2)\backslash frac\; d\{dx\}H\backslash right)=\backslash lambda\backslash exp(-x^2/2)H$

여기서 $\backslash lambda$는 임의의 상수이다. 즉, $H$는 미분 연산자

:$\backslash exp(x^2/2)\backslash frac\; d\{dx\}\backslash exp(-x^2/2)\backslash frac\; d\{dx\}$

의 고유함수이다.

확률론적 에르미트 다항식은 다음 미분 방정식의 해이다.

:$$\backslash left(e^\{-\backslash frac12\; x^2\}u\text{'}\backslash right)\text{'}\; +\; \backslash lambda\; e^\{-\backslash frac\; 1\; 2\; x^2\}u\; =\; 0,$$

여기서 λ는 상수이다. u가 무한대에서 다항식으로 제한되어야 한다는 경계 조건을 적용하면, 방정식은 λ가 음이 아닌 정수일 때만 해를 가지며, 해는 $u(x)\; =\; C\_1\; \backslash operatorname\{He\}\_\backslash lambda(x)$로 고유하게 주어지며, 여기서 $C\_\{1\}$는 상수를 나타낸다.

미분 방정식을 고유값 문제로 다시 쓰면,

:$$L[u]\; =\; u$$ - x u' = -\lambda u,

에르미트 다항식 $\backslash operatorname\{He\}\_\backslash lambda(x)$는 미분 연산자 $L[u]$의 고유함수로 이해될 수 있다. 이 고유값 문제는 에르미트 방정식이라고 불리지만, 이 용어는 다음과 같이 밀접하게 관련된 방정식에도 사용된다.

:$$u$$ - 2xu' = -2\lambda u.

여기서 해는 u가 무한대에서 다항식으로 제한되어야 한다는 경계 조건을 적용한 후, $u(x)\; =\; C\_1\; H\_\backslash lambda(x)$의 형태로 물리학자 에르미트 다항식으로 고유하게 주어진다. 여기서 $C\_\{1\}$는 상수를 나타낸다.

위의 2차 미분 방정식에 대한 일반 해는 실제로 에르미트 다항식과 제1종 합류 초기하 함수의 선형 결합이다. 예를 들어, 물리학자의 에르미트 방정식의 경우

:$$u\text{'}\text{'}\; -\; 2xu\text{'}\; +\; 2\backslash lambda\; u\; =\; 0,$$

일반 해는 다음과 같은 형태를 취한다.

:$$u(x)\; =\; C\_1\; H\_\backslash lambda(x)\; +\; C\_2\; h\_\backslash lambda(x),$$

여기서 $C\_\{1\}$과 $C\_\{2\}$는 상수이고, $H\_\backslash lambda(x)$는 물리학자의 에르미트 다항식(제1종)이며, $h\_\backslash lambda(x)$는 물리학자의 에르미트 함수(제2종)이다. 후자 함수는 $h\_\backslash lambda(x)\; =\; \{\}\_1F\_1(-\backslash tfrac\{\backslash lambda\}\{2\};\backslash tfrac\{1\}\{2\};x^2)$로 간결하게 표현되며, 여기서 $\{\}\_1F\_1(a;b;z)$는 합류 초기하 함수이다. 기존의 에르미트 다항식도 합류 초 초기하 함수로 표현될 수 있다.

더 일반적인 경계 조건을 사용하면 에르미트 다항식을 일반화하여 복소수 λ에 대해 더 일반적인 해석 함수를 얻을 수 있다. 적분 경로를 사용한 에르미트 다항식의 명시적인 공식도 가능하다.

3.4. 점화식

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열이므로, 점화식을 갖는다. 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.

:$H\_\{n+1\}(x)=\backslash left(x-\backslash frac\; d\{d(d/dx)\}\backslash ln\backslash exp\backslash left((d/dx)^2/2\backslash right)\backslash right)H\_n(x)=\backslash left(x-\backslash frac\; d\{dx\}\backslash right)H\_n(x)=xH\_n(x)-nH\_\{n-1\}(x)$

즉,

:$H\_\{n+1\}(x)=xH\_n(x)-nH\_\{n-1\}(x)$
:$\backslash tilde\; H\_\{n+1\}(x)=2xH\_n(x)-2nH\_\{n-1\}(x)$

이다.

확률론적 에르미트 다항식의 수열은 다음의 점화 관계를 만족한다.

:$$\backslash operatorname\{He\}\_\{n+1\}(x)\; =\; x\; \backslash operatorname\{He\}\_n(x)\; -\; \backslash operatorname\{He\}\_n\text{'}(x).$$

물리학자의 다항식의 경우,

:$$H\_n(x)\; =\; \backslash sum^n\_\{k=0\}\; a\_\{n,k\}\; x^k,$$

라고 가정하면, 다음과 같다.

:$$H\_\{n+1\}(x)\; =\; 2xH\_n(x)\; -\; H\_n\text{'}(x).$$

에르미트 다항식은 Appell 수열을 구성한다. 즉, 다음의 항등식을 만족하는 다항식 수열이다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\operatorname{He}_n'(x) &= n\operatorname{He}_{n-1}(x), \\
H_n'(x) &= 2nH_{n-1}(x).
\end{align}

따라서 에르미트 다항식은 또한 다음의 점화 관계를 만족한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\operatorname{He}_{n+1}(x) &= x\operatorname{He}_n(x) - n\operatorname{He}_{n-1}(x), \\
H_{n+1}(x) &= 2xH_n(x) - 2nH_{n-1}(x).
\end{align}

3.5. 생성 함수

에르미트 다항식열의 지수 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; H\_n(x)t^n/n!=\backslash exp(xt-t^2/2)$
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash tilde\; H\_n(x)t^n/n!=\backslash exp(2xt-t^2)$

이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; h\_nt^n/n!=L(t\backslash mathsf\; h)=\backslash exp(-t^2/2)$

로부터 유도할 수 있다. 음계산법을 사용하면,

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; H\_n(x)t^n/n!=L\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash exp\backslash left(t(x+\backslash mathsf\; h)\backslash right)=\backslash exp(xt)L\backslash exp(t\backslash mathsf\; h)=\backslash exp(xt-t^2/2)$

이다.

에르미트 다항식은 다음과 같은 지수 생성 함수로 주어진다.

$$\backslash begin\{align\}$$
e^{xt - \frac12 t^2} &= \sum_{n=0}^\infty \operatorname{He}_n(x) \frac{t^n}{n!}, \\
e^{2xt - t^2} &= \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac{t^n}{n!}.
\end{align}

이 등식은 모든 복소수 값 x와 t에 대해 유효하며, 전체 함수 z → e^−z2의 x에서의 테일러 전개를 작성하여 얻을 수 있다(물리학자의 경우). 또한, 코시 적분 공식을 사용하여 에르미트 다항식을 다음과 같이 쓸 수 있으며, (물리학자의) 생성 함수를 유도할 수 있다.

$$H\_n(x)\; =\; (-1)^n\; e^\{x^2\}\; \backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}\; e^\{-x^2\}\; =\; (-1)^n\; e^\{x^2\}\; \backslash frac\{n!\}\{2\backslash pi\; i\}\; \backslash oint\_\backslash gamma\; \backslash frac\{e^\{-z^2\}\}\{(z-x)^\{n+1\}\}\; \backslash ,dz.$$

이것을 합에 사용하면

$$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; H\_n(x)\; \backslash frac\; \{t^n\}\{n!\},$$

나머지 적분을 잔차 미적분학을 사용하여 평가하고 원하는 생성 함수에 도달할 수 있다.

3.6. 미분과 적분

(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.
:d^영어|dx^영어H_n(x) = nH_n−1(x)
:d^영어|dx^영어H̃_n(x) = 2nH̃_n−1(x)

에르미트 다항식은 아펠 다항식열을 이루므로, 이는 음계산법으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.
:d^영어|dx^영어H_n(x) = d^영어|dx^영어L((x+h^영어)ⁿ) = L(d^영어|dx^영어(x+h^영어)ⁿ) = L(n(x+h^영어)ⁿ⁻¹) = nH_n−1(x)

3.7. 명시적 표현

확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

:H₀(x)=1
:H₁(x)=x
:H₂(x)=x²-1
:H₃(x)=x³-3x
:H₄(x)=x⁴-6x²+3
:H₅(x)=x⁵-10x³+15x
:H₆(x)=x⁶-15x⁴+45x²-15
:H₇(x)=x⁷-21x⁵+105x³-105x
:H₈(x)=x⁸-28x⁶+210x⁴-420x²+105
:H₉(x)=x⁹-36x⁷+378x⁵-1260x³+945x
:H₁₀(x)=x¹⁰-45x⁸+630x⁶-3150x⁴+4725x²-945

물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.

:H^영어₀(x)=1
:H^영어₁(x)=2x
:H^영어₂(x)=4x²-2
:H^영어₃(x)=8x³-12x
:H^영어₄(x)=16x⁴-48x²+12
:H^영어₅(x)=32x⁵-160x³+120x
:H^영어₆(x)=64x⁶-480x⁴+720x²-120
:H^영어₇(x)=128x⁷-1344x⁵+3360x³-1680x
:H^영어₈(x)=256x⁸-3584x⁶+13440x⁴-13440x²+1680
:H^영어₉(x)=512x⁹-9216x⁷+48384x⁵-80640x³+30240x
:H^영어₁₀(x)=1024x¹⁰-23040x⁸+161280x⁶-403200x⁴+302400x²-30240

물리학자들의 에르미트 다항식은 다음과 같이 명시적으로 쓸 수 있다.

:$$H\_n(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
\displaystyle n! \sum_{l = 0}^{\frac{n}{2}} \frac{(-1)^{\tfrac{n}{2} - l}}{(2l)! \left(\tfrac{n}{2} - l \right)!} (2x)^{2l} & \text{짝수 } n에 대하여, \\
\displaystyle n! \sum_{l = 0}^{\frac{n-1}{2}} \frac{(-1)^{\frac{n-1}{2} - l}}{(2l + 1)! \left (\frac{n-1}{2} - l \right )!} (2x)^{2l + 1} & \text{홀수 } n에 대하여.
\end{cases}

이 두 식은 바닥 함수를 사용하여 하나로 결합할 수 있다.

:$$H\_n(x)\; =\; n!\; \backslash sum\_\{m=0\}^\{\backslash left\backslash lfloor\; \backslash tfrac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\}\; \backslash frac\{(-1)^m\}\{m!(n\; -\; 2m)!\}\; (2x)^\{n\; -\; 2m\}.$$

확률론자들의 에르미트 다항식 He^영어도 유사한 공식을 가지며, 이는 2x의 거듭제곱을 $\backslash sqrt\{2\}x$의 해당 거듭제곱으로 대체하고 전체 합에 2^−n/2를 곱하여 얻을 수 있다.

:$$\backslash operatorname\{He\}\_n(x)\; =\; n!\; \backslash sum\_\{m=0\}^\{\backslash left\backslash lfloor\; \backslash tfrac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\}\; \backslash frac\{(-1)^m\}\{m!(n\; -\; 2m)!\}\; \backslash frac\{x^\{n\; -\; 2m\}\}\{2^m\}.$$

위의 명시적 표현의 역, 즉 확률론적 에르미트 다항식 He^영어로 표현된 단항식에 대한 역은 다음과 같다.

:$$x^n\; =\; n!\; \backslash sum\_\{m=0\}^\{\backslash left\backslash lfloor\; \backslash tfrac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\}\; \backslash frac\{1\}\{2^m\; m!(n-2m)!\}\; \backslash operatorname\{He\}\_\{n-2m\}(x).$$

물리학자 에르미트 다항식 H^영어에 대한 해당 표현은 이를 적절하게 확장하여 직접적으로 얻을 수 있다.

:$$x^n\; =\; \backslash frac\{n!\}\{2^n\}\; \backslash sum\_\{m=0\}^\{\backslash left\backslash lfloor\; \backslash tfrac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\}\; \backslash frac\{1\}\{m!(n-2m)!\; \}\; H\_\{n-2m\}(x).$$

3.8. 다른 함수와의 관계

에르미트 다항식은 라게르 다항식의 특수한 경우로 표현될 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
H_{2n}(x) &= (-4)^n n! L_n^{\left(-\frac12\right)}(x^2)
&&= 4^n n! \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n-\frac12}{n-k} \frac{x^{2k}}{k!}, \\
H_{2n+1}(x) &= 2(-4)^n n! x L_n^{\left(\frac12\right)}(x^2)
&&= 2\cdot 4^n n!\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n+\frac12}{n-k} \frac{x^{2k+1}}{k!}.
\end{align}

물리학자들의 에르미트 다항식은 포물 기둥 함수의 특수한 경우로 표현될 수 있다.

:$$H\_n(x)\; =\; 2^n\; U\backslash left(-\backslash tfrac12\; n,\; \backslash tfrac12,\; x^2\backslash right)$$

오른쪽 반평면에서, 여기서 U(a, b, z)는 합류 초기하 함수인 트리코미의 합류 초 기하 함수이다. 유사하게,

:$$\backslash begin\{align\}$$
H_{2n}(x) &= (-1)^n \frac{(2n)!}{n!} \,_1F_1\big(-n, \tfrac12; x^2\big), \\
H_{2n+1}(x) &= (-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!}\,2x \,_1F_1\big(-n, \tfrac32; x^2\big),
\end{align}

여기서 ₁F₁(a, b; z) = M(a, b; z)는 합류 초 기하 함수인 쿠머의 합류 초 기하 함수이다.

4. 에르미트 함수

물리학에서 사용하는 에르미트 다항식으로부터 에르미트 함수(에르미트-가우시안 함수라고도 함)를 정의할 수 있다.

:$\backslash psi\_n(x)\; =\; \backslash left\; (2^n\; n!\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; \backslash right\; )^\{-\backslash frac12\}\; e^\{-\backslash frac\{x^2\}\{2\}\}\; H\_n(x)\; =\; (-1)^n\; \backslash left\; (2^n\; n!\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; \backslash right)^\{-\backslash frac12\}\; e^\{\backslash frac\{x^2\}\{2\}\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}\; e^\{-x^2\}.$

따라서, 다음 관계가 성립한다.

:$\backslash sqrt\{2(n+1)\}~~\backslash psi\_\{n+1\}(x)=\; \backslash left\; (\; x-\; \{d\backslash over\; dx\}\backslash right\; )\; \backslash psi\_n(x).$

이 함수들은 가중 함수의 제곱근을 포함하고 적절하게 크기가 조정되었으므로 정규 직교한다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash psi\_n(x)\; \backslash psi\_m(x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash delta\_\{nm\},$

그리고 L²(R)의 정규 직교 기저를 형성한다. 이는 에르미트 다항식에 대한 해당 명제와 동일하다(위 참조).

에르미트 함수는 휘테커 함수 D_n(z)와 밀접하게 관련되어 있다.

:$D\_n(z)\; =\; \backslash left(n!\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\backslash right)^\{\backslash frac12\}\; \backslash psi\_n\backslash left(\backslash frac\{z\}\{\backslash sqrt\; 2\}\backslash right)\; =\; (-1)^n\; e^\backslash frac\{z^2\}\{4\}\; \backslash frac\{d^n\}\{dz^n\}\; e^\backslash frac\{-z^2\}\{2\}$

따라서 다른 포물선 기둥 함수와도 관련이 있다.

에르미트 함수는 다음 미분 방정식을 만족한다.

:$\backslash psi\_n\text{'}\text{'}(x)\; +\; \backslash left(2n\; +\; 1\; -\; x^2\backslash right)\; \backslash psi\_n(x)\; =\; 0.$

이 방정식은 양자 역학에서 조화 진동자에 대한 슈뢰딩거 방정식과 동일하므로, 이 함수들은 고유 함수이다.

몇몇 에르미트 함수는 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
\psi_0(x) &= \pi^{-\frac14} \, e^{-\frac12 x^2}, \\
\psi_1(x) &= \sqrt{2} \, \pi^{-\frac14} \, x \, e^{-\frac12 x^2}, \\
\psi_2(x) &= \left(\sqrt{2} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(2x^2-1\right) \, e^{-\frac12 x^2}, \\
\psi_3(x) &= \left(\sqrt{3} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(2x^3-3x\right) \, e^{-\frac12 x^2}, \\
\psi_4(x) &= \left(2 \sqrt{6} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(4x^4-12x^2+3\right) \, e^{-\frac12 x^2}, \\
\psi_5(x) &= \left(2 \sqrt{15} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(4x^5-20x^3+15x\right) \, e^{-\frac12 x^2}.
\end{align}

5. 응용

에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

6. 역사

피에르시몽 라플라스가 1810년에 에르미트 다항식을 정의하였다. 1859년 파프누티 체비쇼프가 이들을 자세히 연구하였다. 1864년 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 연구하였고, 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.