행렬의 닮음

3. 성질

서로 닮음인 행렬은 계수, 행렬식, 가역성, 대각합, 고윳값 및 그 대수적 중복도와 기하적 중복도, 핵의 차원, 고유 다항식, 최소 다항식 등 여러 성질(닮음 불변량)을 공유한다. 행렬의 닮음은 정사각 행렬 공간에서 동치 관계이다.

닮음 불변량과 정규형에 대한 자세한 내용은 각각 #닮음 불변량 및 #정규형 하위 섹션을 참조하라.

행렬의 닮음은 기저 체에 의존하지 않는다. ''L''이 ''K''를 체 확장으로 포함하는 체이고 ''A''와 ''B''가 ''K'' 위의 두 행렬일 때, ''A''와 ''B''가 ''K'' 위의 행렬로 닮음일 경우와 조건 ''L'' 위의 행렬로도 닮음이다. 이는 ''K'' 위의 유리 정규형이 ''L'' 위의 유리 정규형이기도 하기 때문이다.

닮음의 정의에서 행렬 ''P''가 순열 행렬로 선택될 수 있다면 ''A''와 ''B''는 순열-닮음이다. ''P''가 유니타리 행렬로 선택될 수 있다면 ''A''와 ''B''는 유니타리 동치이다. 스펙트럼 정리에 따르면 모든 정규 행렬은 어떤 대각 행렬과 유니타리 동치이다. 슈페히트의 정리는 두 행렬이 유니타리 동치인 것은 특정 대각합 등식을 만족하는 경우에만 성립한다고 명시한다.

3. 1. 닮음 불변량

두 행렬이 (아마도) 다른 기저에 관해 동일한 선형 연산자를 나타내는 경우에만 닮음이 되기 때문에, 닮음인 행렬은 공유된 기본 연산자의 모든 속성을 공유한다.

3. 2. 정규형

4. 추가 성질 및 특수 경우

행렬의 닮음은 기저 체에 의존하지 않는다. 즉, K를 체 확장으로 포함하는 체 L이 있고 A와 B가 K 위의 두 행렬일 때, A와 B가 K 위의 행렬로서 닮음인 것은 L 위의 행렬로서 닮음일 때이며, 또한 그 때에 한한다. 이는 K 위의 유리 정규형이 L 위의 유리 정규형이기도 하기 때문이다. 따라서 주어진 행렬이 닮음인지 여부를 결정하기 위해 더 큰 체에서만 존재하는 조르당 형식을 사용할 수 있다.

닮음의 정의에서 행렬 P가 순열 행렬로 선택될 수 있다면 A와 B는 순열 닮음이다. P가 유니타리 행렬로 선택될 수 있다면 A와 B는 유니타리 동치이다. 스펙트럼 정리에 따르면 모든 정규 행렬은 어떤 대각 행렬과 유니타리 동치이다. 슈페히트의 정리(Specht's theorem)는 두 행렬이 유니타리 동치이기 위한 필요충분조건은 특정 대각합 등식을 만족하는 것이라고 명시한다.

5. 응용 및 관련 분야

선형 변환을 정의할 때, 기저의 변화가 동일한 변환의 더 간단한 형태를 초래하는 경우가 있을 수 있다. 예를 들어, 회전축이 좌표축과 정렬되지 않은 경우 '''R'''³|아르세제곱^영어에서 회전을 나타내는 행렬은 계산하기 복잡할 수 있다. 회전축이 양의 z-축과 정렬되어 있다면, 단순히 다음과 같을 것이다.

:$S\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\

\sin\theta & \cos\theta & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix},

여기서 $\backslash theta$는 회전 각도이다. 새로운 좌표계에서 변환은 다음과 같이 쓰여질 것이다.

:$y\text{'}\; =\; Sx\text{'},$

여기서 x'와 y'는 각각 회전축과 평행한 벡터를 포함하는 새로운 기저에서 원래 벡터와 변환된 벡터이다. 원래 기저에서, 변환은 다음과 같이 쓰여질 것이다.

:$y\; =\; Tx,$

여기서 벡터 x와 y 그리고 알려지지 않은 변환 행렬 T는 원래 기저에 있다. 더 간단한 행렬로 T를 쓰기 위해, $x\text{'}\; =\; Px$와 $y\text{'}\; =\; Py$와 같이 x와 y를 변환하는 기저 변환 행렬 P를 사용한다.

:$\backslash begin\{align\}$

& & y' &= S x' \\[1.6ex]

&\Rightarrow & P y &= S P x \\[1.6ex]

&\Rightarrow & y &= \left(P^{-1} S P\right) x = T x

\end{align}

따라서 원래 기저의 행렬 $T$는 $T\; =\; P^\{-1\}SP$로 주어진다. 원래 기저의 변환은 파생하기 쉬운 세 행렬의 곱으로 구해진다. 실제로, 유사 변환은 세 단계로 작동한다. 즉, 새로운 기저로 변경(P), 간단한 변환 수행(S), 이전 기저로 다시 변경($P^\{-1\}$)이다.

군론에서는 여기서 말하는 닮음이 켤레성으로 불린다. 범주론적인 이야기를 하자면, 각 ''P''_''n''이 정칙 ''n''차 정사각 행렬인 임의의 족이 주어졌을 때, 임의의 ''m''행 ''n''열 직사각 행렬 ''A''를 ''P''_''m''⁻¹''AP''_''n''로 사상하는 것으로 닮음 변환을 정의할 수 있다. 이러한 행렬의 족은 행렬의 범주(자연수의 전체를 대상의 부류로 하고, ''m''행 ''n''열 행렬을 ''n''에서 ''m''으로의 사상, 사상의 합성이 행렬의 곱으로 주어지는 범주)의 자기 동형이 되는 함자를 정한다.

참조

_[1] 서적 A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields https://archive.org/[...] Houghton Mifflin Co.
_[2] 간행물 Matrix Methods: An Introduction Academic Press
_[3] 서적 알기쉬운 선형대수 범한서적주식회사