갈루아 모듈

1. 개요

갈루아 가군은 갈루아 군의 작용을 받는 대수적 구조를 연구하는 수학 분야이다. 이 개념은 갈루아 이론, 군 코호몰로지, 힐베르트-슈파이저 정리 등과 연관되어 발전해 왔다. 갈루아 가군은 체의 분리 폐포의 곱셈군, 스킴의 에탈 코호몰로지 군, 대수적 정수의 갈루아 가군 구조 등 다양한 예시를 가지며, 정규 정수 기저의 존재 여부와 같은 수론적 문제와 관련된다. 갈루아 표현은 수론에서 중요한 역할을 하며, 아벨 다양체의 테이트 가군 등이 그 예시이다. 갈루아 표현은 mod ℓ 표현, 국소적 조건, 베유 군의 표현 등 다양한 형태로 연구되며, 현대 수학 연구의 중요한 주제로 다루어진다.

2. 역사적 배경

2.1. 갈루아 이론의 발전

2.2. 군 코호몰로지의 등장

2.3. 힐베르트-슈파이저 정리

3. 주요 개념

3.1. 갈루아 가군의 정의

3.2. 예시

체 K가 주어졌을 때, K의 분리 폐포의 곱셈군 (K^s)^×는 절대 갈루아 군의 갈루아 가군이다. 그 제2 코호몰로지 군은 K의 브라우어 군과 동형이다. (힐베르트의 정리 90에 의해 제1 코호몰로지 군은 0이다).

X가 체 K 위의 매끄러운고유 스킴이라면, 그 기하학적 파이버의 ℓ-진 코호몰로지 군은 K의 절대 갈루아 군의 갈루아 가군이다.

3.3. 대수적 정수의 갈루아 가군 구조

고전적인 대수적 정수론에서, L을 체 K의 갈루아 확대라 하고, G를 대응하는 갈루아 군이라고 하자. 이 때, L의 정수환 O_L을 O_K [G]-가군으로 생각할 수 있으며, 그 구조가 어떠한지를 질문할 수 있다. 정규 기저 정리에 의해, L은 랭크 1의 자유 K [G]-가군이라는 점을 알 수 있다는 점에서, 이는 수론적인 문제이다. 같은 것이 정수에 대해서도 성립한다면, 그것은 정규 정수 기저의 존재, 즉 α∈O_L 이고 그 G에 의한 공액원/conjugate element^영어이 O_K 위의 O_L의 자유 기저를 주는 것과 동치이다. 이는 K가 유리수 체 Q일 때조차 흥미로운 문제이다.

예를 들어, $L=\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{-3\})\backslash ,\backslash !$일 때, 정규 정수 기저는 존재한다. 가우스 주기/Gaussian period^영어의 이론(힐베르트-슈파이저 정리/Hilbert–Speiser theorem^영어)으로부터 p가 소수일 때 1의 p승근에 대한 원분체의 모든 부분체는 (Z 위) 정규 정수 기저를 가진다는 것을 알수 있다. 한편, Q(i)는 정규 정수 기저를 가지지 않는다.

에미 뇌터는 O_L이 Z[G] 상 사영 가군이기 위한 필요충분 조건으로써 순분기를 제시하였다. K를 Q로 하고, L의 판별식/Discriminant of an algebraic number field^영어 D에 대해, 어떤 소수 p의 p승도 D를 나누지 않을때, 뇌터의 정리는 순 분기는 O_L이 Z[G] 상 사영 가군이기 위해 필요충분 조건이라고 말한다.

다비트 힐베르트의 결과에 기반한 고전적인 결과 중 하나는, 순 분기 아벨 대수체는 정규 정수 기저를 가진다는 것이다. 이 사실은 크로네커-베버 정리를 사용하여 아벨체를 원분체에 임베딩함으로써 알 수 있다.

4. 갈루아 표현

수론에서 나타나는 많은 대상은 자연스럽게 갈루아 표현이다. 예를 들어, L이 대수적 체 K의 갈루아 확대이면, L의 정수환 O_L은 L/K의 갈루아 군에 대해 O_K 위의 갈루아 가군이다({{llang 참조). K가 국소체이면, 그 분리 폐포의 곱셈군은 K의 절대 갈루아 군에 대한 가군이며, 그 연구는 {{llang으로 이어진다. 전역류체론에 대해서는, 대신 K의 모든 유한 차수 분리 확대의 이데알류군의 합집합이 사용된다.

보조적인 대상에서 생겨 갈루아 군을 연구하기 위해 사용할 수 있는 갈루아 표현도 존재한다. 예의 중요한 족은 아벨 다양체의 {{llang이다.

4.1. 갈루아 표현의 예시

수론에서 나타나는 많은 대상은 자연스럽게 갈루아 표현이다. 예를 들어, L이 대수적 체 K의 갈루아 확대이면, L의 정수환 O_L은 L/K의 갈루아 군에 대해 O_K 위의 갈루아 가군이다([힐베르트-슈파이저 정리/Hilbert–Speiser theorem^영어] 참조). K가 국소체이면, 그 분리 폐포의 곱셈군은 K의 절대 갈루아 군에 대한 가군이며, 그 연구는 [국소류체론/local class field theory^영어]으로 이어진다. 전역류체론에 대해서는, 대신 K의 모든 유한 차수 분리 확대의 이데알류군의 합집합이 사용된다.

보조적인 대상에서 생겨 갈루아 군을 연구하기 위해 사용할 수 있는 갈루아 표현도 존재한다. 예의 중요한 족은 아벨 다양체의 [테이트 가군/Tate module^영어]이다.

4.2. mod ℓ 표현

이들은 표수 ℓ의 유한체 상의 표현이며, 종종 ℓ진 표현의 mod ℓ에서의 환원으로서 나타난다.

4.3. 표현의 국소적 조건

소수 분해군에 제한된 표현의 성질에 의해 주어지는 표현에 관한 매우 많은 조건들이 존재한다. 이러한 조건에 대한 용어는 다소 혼란스러운데, 동일한 조건에 대해 다른 이름이 붙거나, 다른 의미로 같은 이름이 사용되기도 한다. 조건에는 다음과 같은 것들이 있다.

* 아벨 표현(abelian representation). 이는 표현의 갈루아 군의 상이 가환임을 의미한다.
* 절대 기약 표현(absolutely irreducible representation). 이는 체의 대수적 폐포 위에서 기약인 채로 유지된다.
* 바르소티-테이트 표현(Barsotti–Tate representation). 이는 유한 평탄 표현과 유사하다.
* 크리스탈 표현(crystalline representation).
* 드 람 표현(de Rham representation).
* 유한 평탄 표현(finite flat representation). (이 이름은 약간 오해를 불러일으킨다. 유한이 아니라 사실은 사영 유한(profinite)이다.) 이는 유한 평탄 군 스킴 위의 갈루아 군의 표현의 사영 극한으로 구성할 수 있다.
* 좋은 표현(good representation). 이는 유한 평탄 표현과 유사하다.
* 호지-테이트 표현(Hodge–Tate representation).
* 기약 표현(irreducible representation). 이는 부분 표현이 전체 공간과 0밖에 없다는 의미에서 기약이다.
* minimally ramified representation.
* 모듈러 표현(modular representation). 이는 모듈러 형식에서 유래하는 표현이다.
* 통상 표현(ordinary representation). 이는 1차원 부분 표현을 가진 가약인 2차원 표현으로서, 관성군이 해당 부분 가군과 몫 가군에 있는 방식으로 작용하는 것이다. 정확한 조건은 저자에 따라 다르다. 예를 들어, 몫에 자명하게 작용하고, 부분 가군에 지표 ε에 의해 작용한다.
* potentially something representation. 이는 지수 유한인 어떤 열린 부분군에 제한된 표현이 어떤 성질(some property)을 가짐을 의미한다.
* 가약 표현(reducible representation). 이는 0이 아닌 진부분 표현을 갖는다.
* 반안정 표현(semistable representation). 이는 반안정한 타원 곡선에서 유래하는 표현과 관련된 2차원 표현이다.
* 순분기 표현(tamely ramified representation). 이는 (제1) 분기군 위에서 자명하다.
* 불분기 표현(unramified representation). 이는 관성군 위에서 자명하다.
* 격분기 표현(wildly ramified representation). 이는 (제1) 분기군 위에서 비자명하다.

5. 베유 군의 표현

K가 국소체 또는 대역체일 때, 류 구조의 이론은 K에 다음을 부여한다.
* K의 베유 군 $W\_K$
* 연속 군 준동형 $\backslash phi\; \backslash colon\; W\_K\; \backslash to\; G\_K$
* 위상군의 동형 사상 $r\_K\backslash colon\; C\_K\; \backslash ,\; \backslash xrightarrow\{\backslash sim\}\; \backslash ,\; W\_K^\{\backslash text\{ab\}\}$
여기서 C_K는 K가 국소체인지 대역체인지에 따라 K^× 또는 이데알류군 I_K/K^×이며, $W\_K^\{\backslash text\{ab\}\}$는 K의 베유 군의 아벨화이다. φ를 통해, G_K의 임의의 표현을 W_K의 표현으로 생각할 수 있다. 그러나 W_K는 G_K보다 진정으로 많은 표현을 가질 수 있다. 예를 들어, r_K를 통해, W_K의 연속 복소 지표는 C_K의 연속 복소 지표와 전단사 관계에 있다. 따라서, C_K상의 절댓값 지표로부터, 상이 무한대인 W_K의 지표가 정해지고, (G_K의 지표의 상은 모두 유한이므로) 이것은 G_K의 지표가 아니다.

W_K의 ℓ-진 표현은 G_K와 마찬가지로 정의된다. 이는 기하학으로부터 자연스럽게 발생한다. 즉, X가 K상의 매끄러운 사영 다양체이면, X의 기하학적 파이버의 ℓ-진 코호몰로지는, G_K의 ℓ-진 표현이며, φ를 통해 W_K의 ℓ-진 표현을 유도한다. K가 국소체이고 잉여체의 표수가 p ≠ ℓ이면, W_K의 소위 베유-드리뉴 표현을 연구하는 것이 더 간단하다.

6. 현대적 연구 동향

7. 한국의 관점