갈루아 모듈

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사적 배경
3. 주요 개념
4. 갈루아 표현
5. 베유 군의 표현
6. 현대적 연구 동향
7. 한국의 관점
참조

1. 개요

갈루아 가군은 갈루아 군의 작용을 받는 대수적 구조를 연구하는 수학 분야이다. 이 개념은 갈루아 이론, 군 코호몰로지, 힐베르트-슈파이저 정리 등과 연관되어 발전해 왔다. 갈루아 가군은 체의 분리 폐포의 곱셈군, 스킴의 에탈 코호몰로지 군, 대수적 정수의 갈루아 가군 구조 등 다양한 예시를 가지며, 정규 정수 기저의 존재 여부와 같은 수론적 문제와 관련된다. 갈루아 표현은 수론에서 중요한 역할을 하며, 아벨 다양체의 테이트 가군 등이 그 예시이다. 갈루아 표현은 mod ℓ 표현, 국소적 조건, 베유 군의 표현 등 다양한 형태로 연구되며, 현대 수학 연구의 중요한 주제로 다루어진다.

더 읽어볼만한 페이지

갈루아 이론 - 갈루아 군
갈루아 군은 체의 확대에 대한 자기 동형군으로, 갈루아 이론의 기본 정리에 따라 체론과 군론을 연결하며, 사유한군 구조를 가지고 갈루아 코호몰로지와 관련된다.
갈루아 이론 - 프로베니우스 사상
표수가 소수 p인 가환환 R에서 프로베니우스 사상은 r을 r^p로 보내는 환 준동형으로, 환의 표수가 p인 환의 범주에 대한 항등 함자에서 자체로의 자연 변환을 나타내며, 체 K가 표수가 0이거나 양의 표수를 갖고 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상인 경우 완전체라고 한다.
대수적 수론 - 아이디얼
아이디얼은 유사환에서 환의 원소와의 곱셈에 대해 닫혀 있는 부분군으로, 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 아이디얼로 나뉘며 가환환에서는 세 개념이 일치하고, 환 준동형사상의 핵으로 나타나 잉여환을 정의하는 데 사용되며, 아이디얼 수 개념에서 유래하여 추상대수학의 주요 개념으로 확장되었다.
대수적 수론 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.

갈루아 모듈

2. 역사적 배경

2. 1. 갈루아 이론의 발전

2. 2. 군 코호몰로지의 등장

2. 3. 힐베르트-슈파이저 정리

3. 주요 개념

3. 1. 갈루아 가군의 정의

3. 2. 예시

체 ''K''가 주어졌을 때, ''K''의 분리 폐포의 곱셈군 (''K^s'')^×는 절대 갈루아 군의 갈루아 가군이다. 그 제2 코호몰로지 군은 ''K''의 브라우어 군과 동형이다. (힐베르트의 정리 90에 의해 제1 코호몰로지 군은 0이다).

''X''가 체 ''K'' 위의 매끄러운 고유 스킴이라면, 그 기하학적 파이버의 ℓ-진 코호몰로지 군은 ''K''의 절대 갈루아 군의 갈루아 가군이다.

3. 3. 대수적 정수의 갈루아 가군 구조

고전적인 대수적 정수론에서, ''L''을 체 ''K''의 갈루아 확대라 하고, ''G''를 대응하는 갈루아 군이라고 하자. 이 때, ''L''의 정수환 ''O''_''L''을 ''O''_''K'' [''G'']-가군으로 생각할 수 있으며, 그 구조가 어떠한지를 질문할 수 있다. 정규 기저 정리에 의해, ''L''은 랭크 1의 자유 ''K'' [''G'']-가군이라는 점을 알 수 있다는 점에서, 이는 수론적인 문제이다. 같은 것이 정수에 대해서도 성립한다면, 그것은 '''정규 정수 기저'''의 존재, 즉 α∈''O_L'' 이고 그 ''G''에 의한 공액원/conjugate element^영어이 ''O''_''K'' 위의 ''O_L''의 자유 기저를 주는 것과 동치이다. 이는 ''K''가 유리수 체 '''Q'''일 때조차 흥미로운 문제이다.

예를 들어,

L=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\,\!

일 때, 정규 정수 기저는 존재한다. 가우스 주기/Gaussian period^영어의 이론(힐베르트-슈파이저 정리/Hilbert–Speiser theorem^영어)으로부터 ''p''가 소수일 때 1의 ''p''승근에 대한 원분체의 모든 부분체는 ('''Z''' 위) 정규 정수 기저를 가진다는 것을 알수 있다. 한편, '''Q'''(''i'')는 정규 정수 기저를 가지지 않는다.

에미 뇌터는 ''O_L''이 '''Z'''[''G''] 상 사영 가군이기 위한 필요충분 조건으로써 ''순''분기를 제시하였다. ''K''를 '''Q'''로 하고, ''L''의 판별식/Discriminant of an algebraic number field^영어 ''D''에 대해, 어떤 소수 ''p''의 ''p''승도 ''D''를 나누지 않을때, 뇌터의 정리는 순 분기는 ''O_L''이 '''Z'''[''G''] 상 사영 가군이기 위해 필요충분 조건이라고 말한다.

다비트 힐베르트의 결과에 기반한 고전적인 결과 중 하나는, 순 분기 아벨 대수체는 정규 정수 기저를 가진다는 것이다. 이 사실은 크로네커-베버 정리를 사용하여 아벨체를 원분체에 임베딩함으로써 알 수 있다^[1].

4. 갈루아 표현

수론에서 나타나는 많은 대상은 자연스럽게 갈루아 표현이다. 예를 들어, ''L''이 대수적 체 ''K''의 갈루아 확대이면, ''L''의 정수환 ''O_L''은 ''L''/''K''의 갈루아 군에 대해 ''O_K'' 위의 갈루아 가군이다(힐베르트-슈파이저 정리/Hilbert–Speiser theorem^영어 참조). ''K''가 국소체이면, 그 분리 폐포의 곱셈군은 ''K''의 절대 갈루아 군에 대한 가군이며, 그 연구는 국소류체론/local class field theory^영어으로 이어진다. 전역류체론에 대해서는, 대신 ''K''의 모든 유한 차수 분리 확대의 이데알류군의 합집합이 사용된다.

보조적인 대상에서 생겨 갈루아 군을 연구하기 위해 사용할 수 있는 갈루아 표현도 존재한다. 예의 중요한 족은 아벨 다양체의 테이트 가군/Tate module^영어이다.

4. 1. 갈루아 표현의 예시

수론에서 나타나는 많은 대상은 자연스럽게 갈루아 표현이다. 예를 들어, ''L''이 대수적 체 ''K''의 갈루아 확대이면, ''L''의 정수환 ''O_L''은 ''L''/''K''의 갈루아 군에 대해 ''O_K'' 위의 갈루아 가군이다([힐베르트-슈파이저 정리/Hilbert–Speiser theorem^영어] 참조). ''K''가 국소체이면, 그 분리 폐포의 곱셈군은 ''K''의 절대 갈루아 군에 대한 가군이며, 그 연구는 [국소류체론/local class field theory^영어]으로 이어진다. 전역류체론에 대해서는, 대신 ''K''의 모든 유한 차수 분리 확대의 이데알류군의 합집합이 사용된다.

보조적인 대상에서 생겨 갈루아 군을 연구하기 위해 사용할 수 있는 갈루아 표현도 존재한다. 예의 중요한 족은 아벨 다양체의 [테이트 가군/Tate module^영어]이다.

4. 2. mod ℓ 표현

이들은 표수 ℓ의 유한체 상의 표현이며, 종종 ℓ진 표현의 mod ℓ에서의 환원으로서 나타난다.

4. 3. 표현의 국소적 조건

소수 분해군에 제한된 표현의 성질에 의해 주어지는 표현에 관한 매우 많은 조건들이 존재한다. 이러한 조건에 대한 용어는 다소 혼란스러운데, 동일한 조건에 대해 다른 이름이 붙거나, 다른 의미로 같은 이름이 사용되기도 한다. 조건에는 다음과 같은 것들이 있다.

아벨 표현(abelian representation). 이는 표현의 갈루아 군의 상이 가환임을 의미한다.
절대 기약 표현(absolutely irreducible representation). 이는 체의 대수적 폐포 위에서 기약인 채로 유지된다.
바르소티-테이트 표현(Barsotti–Tate representation). 이는 유한 평탄 표현과 유사하다.
크리스탈 표현(crystalline representation).
드 람 표현(de Rham representation).
유한 평탄 표현(finite flat representation). (이 이름은 약간 오해를 불러일으킨다. 유한이 아니라 사실은 사영 유한(profinite)이다.) 이는 유한 평탄 군 스킴 위의 갈루아 군의 표현의 사영 극한으로 구성할 수 있다.
좋은 표현(good representation). 이는 유한 평탄 표현과 유사하다.
호지-테이트 표현(Hodge–Tate representation).
기약 표현(irreducible representation). 이는 부분 표현이 전체 공간과 0밖에 없다는 의미에서 기약이다.
minimally ramified representation.
모듈러 표현(modular representation). 이는 모듈러 형식에서 유래하는 표현이다.
통상 표현(ordinary representation). 이는 1차원 부분 표현을 가진 가약인 2차원 표현으로서, 관성군이 해당 부분 가군과 몫 가군에 있는 방식으로 작용하는 것이다. 정확한 조건은 저자에 따라 다르다. 예를 들어, 몫에 자명하게 작용하고, 부분 가군에 지표 ε에 의해 작용한다.
potentially something representation. 이는 지수 유한인 어떤 열린 부분군에 제한된 표현이 어떤 성질(some property)을 가짐을 의미한다.
가약 표현(reducible representation). 이는 0이 아닌 진부분 표현을 갖는다.
반안정 표현(semistable representation). 이는 반안정한 타원 곡선에서 유래하는 표현과 관련된 2차원 표현이다.
순분기 표현(tamely ramified representation). 이는 (제1) 분기군 위에서 자명하다.
불분기 표현(unramified representation). 이는 관성군 위에서 자명하다.
격분기 표현(wildly ramified representation). 이는 (제1) 분기군 위에서 비자명하다.

5. 베유 군의 표현

''K''가 국소체 또는 대역체일 때, 류 구조의 이론은 ''K''에 다음을 부여한다.

''K''의 베유 군 $W_K$
연속 군 준동형 $\phi \colon W_K \to G_K$
위상군의 동형 사상 $r_K\colon C_K \, \xrightarrow{\sim} \, W_K^{\text{ab}}$

여기서 ''C_K''는 ''K''가 국소체인지 대역체인지에 따라 ''K''^× 또는 이데알류군 ''I_K''/''K''^×이며,

W_K^{\text{ab}}

는 ''K''의 베유 군의 아벨화이다. φ를 통해, ''G_K''의 임의의 표현을 ''W_K''의 표현으로 생각할 수 있다. 그러나 ''W_K''는 ''G_K''보다 진정으로 많은 표현을 가질 수 있다. 예를 들어, ''r_K''를 통해, ''W_K''의 연속 복소 지표는 ''C_K''의 연속 복소 지표와 전단사 관계에 있다. 따라서, ''C_K''상의 절댓값 지표로부터, 상이 무한대인 ''W_K''의 지표가 정해지고, (''G_K''의 지표의 상은 모두 유한이므로) 이것은 ''G_K''의 지표가 아니다.

''W_K''의 ℓ-진 표현은 ''G_K''와 마찬가지로 정의된다. 이는 기하학으로부터 자연스럽게 발생한다. 즉, ''X''가 ''K''상의 매끄러운 사영 다양체이면, ''X''의 기하학적 파이버의 ℓ-진 코호몰로지는, ''G_K''의 ℓ-진 표현이며, φ를 통해 ''W_K''의 ℓ-진 표현을 유도한다. ''K''가 국소체이고 잉여체의 표수가 ''p'' ≠ ℓ이면, ''W_K''의 소위 베유-드리뉴 표현을 연구하는 것이 더 간단하다.

6. 현대적 연구 동향

7. 한국의 관점

참조

_[1] 서적 Fröhlich 1983
_[2] 문서

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com