군 코호몰로지

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1. 개요

군 코호몰로지는 군의 작용이 있는 아벨 군에 대해 정의되는 일련의 아벨 군이다. 이는 유도 함자, Ext 함자, Tor 함자 또는 구체적인 (공)사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다. 군 코호몰로지는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시키는 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의되며, 군 호몰로지는 쌍대 불변량으로 구성된 몫군을 만드는 함자의 왼쪽 유도 함자로 정의된다. 군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다. 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 군의 작용, 교차 준동형, 군의 확대 등과 관련하여 해석될 수 있으며, 2차 군 코호몰로지는 군의 확대를 분류한다. 군 (코)호몰로지는 분류 공간의 특이 (코)호몰로지와 동형이며, 분류 공간 위의 층 (코)호몰로지와 같다. 군 코호몰로지는 군 준동형에 대해 반변적으로 작용하며, 컵 곱(cup product)이라는 자연스러운 사상을 통해 곱 구조를 갖는다. 군 코호몰로지와 호몰로지는 짧은 완전 순서를 통해 서로 관련되어 있으며, 혼합 곱과 군의 변화, 분류 공간의 코호몰로지 등을 통해 계산할 수 있다. 유한군의 코호몰로지 군은 꼬임군이며, 테이트 코호몰로지 군은 유한군의 호몰로지와 코호몰로지를 결합한다. 군 코호몰로지는 대수적 K-이론, 사영 표현, 군의 확대 등 다양한 분야에 응용된다.

군 코호몰로지

개요

분야	군론
주제	군의 호몰로지와 코호몰로지

세부 사항

정의	대수적 위상수학의 방법을 사용하여 군을 연구하는 데 사용되는 도구
관련 항목	군론 대수적 위상수학 호몰로지 대수학 아벨 군 사슬 복합체 Ext 함자 Tor 함자 사영 가군 자유 분해 에일렌베르크-매클레인 공간 스펙트럼 열
표기법	Hⁿ(G, M)은 군 G의 n차 코호몰로지 군을 나타냄

예시

정수군의 코호몰로지	Hⁿ(Z, Z) = 0 (n > 0)
원군의 코호몰로지	Hⁿ(S¹, Z) = 0 (n > 1)
2차 순환군의 코호몰로지	Hⁿ(Z/2Z, Z) = Z/2Z (n이 홀수일 때)
무한 사영 공간의 코호몰로지	Hⁿ(P^∞(R), Z/2Z) = Z/2Z (0 ≤ n < ∞)

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2. 정의

군 코호몰로지는 군의 작용이 있는 아벨 군에 대해 정의되는 일련의 아벨 군이다. 군 코호몰로지는 유도 함자, Ext 함자, Tor 함자, 또는 구체적인 (공)사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.

군 $G$ 와 $\mathbb Z[G]$ -왼쪽 가군 $_{\mathbb Z[G]}M$ 이 주어졌을 때, 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $G$ 의 $M$ 계수 $n$ 차 군 호몰로지 $\operatorname H_n(G;M)$ 및 $G$ 의 $M$ 계수 $n$ 차 군 코호몰로지 $\operatorname H^n(G;M)$ 는 각각 아벨 군이다.

군론의 일반적인 패러다임은 군 G를 그 군 표현을 통해 연구해야 한다는 것이다. 이러한 표현의 일반화는 G-가군인데, G-가군은 아벨 군 M과 G의 M에 대한 군 작용을 갖는 것으로, G의 모든 원소가 M의 자기 동형 사상으로 작용한다. G-가군 M이 주어지면, G-불변 원소의 부분 가군을 고려하는 것은 자연스럽다.

: $M^{G} = \lbrace x \in M \ | \ \forall g \in G : \ gx=x \rbrace.$

일반적으로 군 코호몰로지 함자 $H^*$ 는 불변량을 취하는 것이 완전열을 존중하지 않는 정도를 측정한다. 이것은 긴 완전열로 표현된다.

2.1. 유도 함자를 통한 정의

군 코호몰로지는 군 $G$ 에 대하여, 불변량 함자 $(-)^G$ 의 오른쪽 유도 함자로 정의된다. $\mathbb Z[G]$ 의 왼쪽 가군들의 범주 $_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}$ 는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의한다.
: $(-)^G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}$
: $(-)^G\colon M\mapsto M^G=\bigcap_{g\in G}\ker_M(1-g)=\{m\in M\colon\forall g\in M\colon m=gm\}$
이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

$(-)^G$ 는 왼쪽 완전 함자이므로, 그 $n$ 번째 오른쪽 유도 함자를 $G$ 의 $n$ 차 군 코호몰로지라고 한다.
: $\operatorname H^n(G;-)=\operatorname R^n(-)^G$

군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로 정의된다. 다음과 같은 함자를 정의한다.

: $(-)_G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}$
: $(-)_G\colon M\mapsto\frac M{\operatorname D(M)}$
여기서
: $\operatorname D(M)=\sum_{g\in G}(1-g)M\subseteq M$
이다. 즉, $M_G$ 는 $M$ 의 쌍대 불변량(coinvariant^영어)으로 구성된다.

$(-)_G$ 는 오른쪽 완전 함자이므로, 그 $n$ 번째 왼쪽 유도 함자를 $G$ 의 $n$ 차 군 호몰로지라고 한다.
: $\operatorname H_n(G;-)=\operatorname L^n(-)_G$

2.2. Ext와 Tor를 통한 정의

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군 $G$ 및 $\mathbb Z[G]$ -왼쪽 가군 $_{\mathbb Z[G]}M$ 이 주어졌다고 하자. $\mathbb Z$ 를 자명한 $\mathbb Z[G]$ -왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (임의의 $g\in G$ 및 $n\in\mathbb Z$ 에 대하여 $g\cdot n = n$ 이다.) 그렇다면, $\mathbb Z[G]$ -왼쪽 가군의 범주 $_{\mathbb Z[G]}\operatorname{Mod}$ 에서 Ext 함자를 취할 수 있다. $G$ 의 $M$ 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.
: $\operatorname H^n(G;M) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)$

마찬가지로, $\mathbb Z$ 를 자명한 $\mathbb Z[G]$ -오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (임의의 $g\in G$ 및 $n\in\mathbb Z$ 에 대하여 $n\cdot g = n$ 이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 $\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}$ 와 왼쪽 가군 $_{\mathbb Z[G]}M$ 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다.
$G$ 의 $M$ 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.
: $\operatorname H_n(G;M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)$

군론의 일반적인 패러다임은 군 G를 그 군 표현을 통해 연구해야 한다는 것이다. 군 코호몰로지에서 G-가군을 군환 $\Z[G]$ 위의 가군으로 해석하면 다음과 같다.

: $H^{0}(G,M) = M^G = \operatorname{Hom}_{\Z[G]}(\Z ,M),$

즉, M의 G-불변 원소들의 부분군은 $\Z$ 에서 M으로의 준동형 사상의 군과 동일시된다. 여기서 $\Z$ 는 자명한 G-가군(G의 모든 원소가 항등원으로 작용)으로 취급된다.

따라서, Ext 함자는 Hom 함자의 도함 함자이므로, 자연스러운 동형 사상이 존재한다.

: $H^{n}(G,M) = \operatorname{Ext}^{n}_{\Z [G]}(\Z, M).$

이러한 Ext 군은 $\Z$ 의 사영 분해를 통해 계산할 수도 있는데, 이러한 분해는 M이 아닌 G에만 의존한다는 장점이 있다.

2.3. 군 코호몰로지의 구체적 정의

군 G^영어와 정수 G^영어-가군 M^영어에 대해, 양의 정수 n^영어에 대하여 n^영어차 공사슬(共사슬, cochain^영어)을 함수 Gⁿ→ M^영어으로 정의하고, 그 집합을 Cⁿ(G,M)^영어으로 표기한다. Cⁿ(G,M)^영어은 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다. (여기서 Gⁿ^영어은 군의 직접곱 G×G×…×G^영어이다.)

공경계 준동형(共境界準同形, coboundary homomorphism^영어) dⁿ: Cⁿ(G,M)→Cⁿ⁺¹(G,M)^영어을 다음과 같이 정의한다.

: $\left(d^n\varphi\right)(g_0,\dots,g_n) = g_0\cdot\varphi(g_1,\dots,g_n) + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_0,\dots,g_{i-2},g_{i-1}g_i,g_{i+1},\dots,g_n) + (-1)^{n+1} \varphi(g_0,\dots,g_{n-1})$ ^영어

이 때, 다음이 성립한다.

: $d^{n+1}\circ d^n=0$ ^영어

따라서 Cⁿ^영어은 공사슬 복합체를 이루며, 코호몰로지 군 Hⁿ(G;M)^영어을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\operatorname H^n(G;M)=\frac{\ker d^n}{\operatorname{im}d^{n-1$ ^영어}}

이를 M^영어을 계수로 갖는 G^영어의 n^영어차 군 코호몰로지라고 한다.

2.4. 군 호몰로지의 구체적 정의

$G$ 가 군이고 $M$ 이 $\mathbb Z[G]$ -왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 차 사슬(chain^영어)의 집합은 다음과 같다.
: $C_n(G;M) = \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M$

그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, boundary homomorphism^영어)을 정의한다.
: $\partial \colon (g_1,g_2,\dotsc,g_n,m)\mapsto(g_2,\dotsc,g_n,m)+\sum_{i=1}^{n-1} (-)^i (g_1,\dotsc,g_{i-1},g_ig_{i+1},g_{i+2},\dotsc,g_n,m)+ (-)^n (g_1,\dotsc,g_{n-1},g_nm)$
그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.
: $\dotsb \xrightarrow\partial C_2(G;M)\xrightarrow\partial C_1(G;M) \xrightarrow\partial C_0(G;M) \to 0$
이는 막대 복합체 $\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)$ 과 같다.
그 호몰로지 군
: $\operatorname H_n(G;M)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}$
을 $M$ 계수를 가진 $G$ 의 $n$ 차 군 호몰로지라고 한다.

Tor 함자 $\operatorname{Tor}_\bullet^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)$ 은 $\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}$ 의 사영 분해 $\operatorname{Bar}^{\mathbb Z}_\bullet(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z[G])$ 를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체
: $\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)$
의 호몰로지로 계산된다.
: $\dotsb\to\mathbb Z[G^{\times3}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G^{\times2}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong M$
그런데
: $\mathbb Z[G^{\times(n+1)}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M$
이므로, 이는 군 호몰로지를 정의하는 $n$ 차 사슬의 집합과 같다.

군 코호몰로지의 구성과 이중적으로, 군 호몰로지는 다음과 같이 정의된다. 주어진 G-가군 M에 대해, DM을 g·m − m 형태의 원소로 생성되는 부분 가군으로 설정한다. (여기서 g ∈ G, m ∈ M이다.) M에 소위 공변량을 할당하면, 몫

: $M_G:=M/DM$

은 오른쪽 완전 함자이다. 이의 왼쪽 유도 함자는 정의에 따라 군 호몰로지

: $H_n(G,M)$

이다. M_G를 M에 할당하는 공변 함자는 M을 $\Z \otimes_{\Z[G]} M$ 로 보내는 함자와 동형이다. 따라서, Tor 함자를 사용하여 군 호몰로지에 대한 표현식을 얻을 수도 있다.

: $H_n(G,M) = \operatorname{Tor}_n^{\Z[G]}(\Z,M)$

코호몰로지/호몰로지에 대한 위첨자/아래첨자 규칙은 군 불변량/공변량에 대한 규칙과 일치하며, "co-"가 전환된다는 점에 유의해야 한다.
* 위첨자는 코호몰로지 H*와 불변량 X^G에 해당한다.
* 아래첨자는 호몰로지 H_∗와 공변량 X_G := X/G에 해당한다.

구체적으로, 호몰로지 군 H_n(G, M)은 다음과 같이 계산할 수 있다. 자명한 $\Z[G]$ -가군 $\Z$ 의 사영 분해 F로 시작한다. 공변 함자 $\cdot \otimes_{\Z[G]} M$ 을 F에 항별로 적용하여 사슬 복합체 $F \otimes_{\Z[G]} M$ 을 얻는다.

: $\cdots \to F_n\otimes_{\Z[G]}M\to F_{n-1}\otimes_{\Z[G]}M \to\cdots \to F_0\otimes_{\Z[G]}M\to \Z\otimes_{\Z[G]}M$

그런 다음 H_n(G, M)은 이 사슬 복합체의 호몰로지 군이며, n ≥ 0에 대해 $H_n(G,M)=H_n(F\otimes_{\Z[G]}M)$ 이다.

군 호몰로지와 코호몰로지는 특히 유한군과 같은 일부 군에 대해 완전 분해와 테이트 코호몰로지 군을 사용하여 통일적으로 처리할 수 있다.

가환군 G의 군 호몰로지 $H_*(G, k)$ 는 주 아이디얼 정역 k를 값으로 가지며, 외대수 $\wedge^* (G \otimes k)$ 와 밀접한 관련이 있다.

2.5. 구체적 정의의 유도

Ext 함자와 Tor 함자를 사용한 정의로부터 군 (코)호몰로지의 구체적 정의를 유도할 수 있다.

$G$ 가 군이고 $M$ 이 $\mathbb Z[G]$ -가군이라고 하자. $n$ 차 공사슬(共사슬, cochain^영어)은 함수 $G^n\to M$ 로 정의하고, $n$ 차 공사슬의 집합을 $C^n(G,M)$ 으로 쓴다. $C^n(G,M)$ 은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. 여기서 $G^n$ 은 군의 직접곱 $G\times G\times\dotsb\times G$ 이다.

공경계 준동형(共境界準同形, coboundary homomorphism^영어) $d^n\colon C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)$ 을 다음과 같이 정의한다.
: $\left(d^n\varphi\right)(g_0,\dots,g_n) = g_0\cdot \varphi(g_1,\dots,g_n)$
:: ${} + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_0,\dots,g_{i-2},g_{i-1}g_i,g_{i+1},\dots,g_n)$
:: ${} + (-1)^{n+1} \varphi(g_0,\dots,g_{n-1})$
그러면 $d^{n+1}\circ d^n=0$ 이므로 $C^n$ 은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라 코호몰로지 군 $\operatorname H^n(G;M)$ 을 정의할 수 있다. 이를 $M$ 계수를 가진 $G$ 의 $n$ 차 군 코호몰로지라고 한다.

$G$ 가 군이고 $M$ 이 $\mathbb Z[G]$ -왼쪽 가군이라고 하자. $n$ 차 사슬의 집합은
$C_n(G;M) = \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M$
이다.

그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, boundary homomorphism^영어)을 정의하자.
: $\partial \colon (g_1,g_2,\dotsc,g_n,m)\mapsto(g_2,\dotsc,g_n,m)+\sum_{i=1}^{n-1} (-)^i (g_1,\dotsc,g_{i-1},g_ig_{i+1},g_{i+2},\dotsc,g_n,m)+ (-)^n (g_1,\dotsc,g_{n-1},g_nm)$
그러면 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.
: $\dotsb \xrightarrow\partial C_2(G;M)\xrightarrow\partial C_1(G;M) \xrightarrow\partial C_0(G;M) \to 0$
이는 막대 복합체 $\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)$ 과 같다.
그 호몰로지 군
: $\operatorname H_n(G;M)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}$
을 $M$ 계수를 가진 $G$ 의 $n$ 차 군 호몰로지라고 한다.

아벨 군의 아벨 범주 $\operatorname{Ab}=\operatorname{Mod}_{\mathbb Z}$ 에서, $\mathbb Z$ -결합 대수 (즉, 환) $\mathbb Z[G]$ 의 왼쪽 가군 $_{\mathbb Z[G]}\mathbb Z$ 및 오른쪽 가군 $\mathbb Z[G]_{\mathbb Z[G]}$ 를 생각하면,
: $\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z[G]} \mathbb Z\cong \mathbb Z$
이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.
: $\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z) =\overbrace{\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z}\dotsb\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z[G]}^{n+1}\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z\cong \mathbb Z[\overbrace{G\times\dotsb\times G}^n]$
그러면,
: $\dotsb \xrightarrow\partial\mathbb Z[G\times G] \xrightarrow\partial \mathbb Z[G] \twoheadrightarrow \mathbb Z$
는 $\mathbb Z$ 의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은 $\mathbb Z[G]$ -사영 가군이므로, 막대 복합체 $\operatorname{Bar}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z)$ 는 $\mathbb Z$ 의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)$ 은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.
: $0 \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G], M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G\times G], M) \to \dotsb$
그런데 $\mathbb Z[G^{\times(n+1)}]$ 은 $\mathbb Z[G]$ -자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
: $\hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G^{\times(n+1)}], M)$
여기서 $\hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M)$ 은 모든 함수 $G^n\to M$ 의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 $n$ 차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자 $\operatorname{Tor}_\bullet^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)$ 은 $\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}$ 의 사영 분해 $\operatorname{Bar}^{\mathbb Z}_\bullet(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z[G])$ 를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체
: $\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)$
의 호몰로지로 계산된다.
: $\dotsb\to\mathbb Z[G^{\times3}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G^{\times2}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong M$
그런데
: $\mathbb Z[G^{\times(n+1)}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M$
이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 $n$ 차 사슬의 집합과 같다.

3. 성질

군 코호몰로지 함자 $H^*$ 는 불변량을 취하는 것이 완전열을 보존하지 않는 정도를 측정하며, 이는 긴 완전열로 표현된다.

만약
: $0 \to L \to M \to N \to 0$
가 G-가군의 짧은 완전 순서라면, 다음과 같은 긴 완전 순서가 유도된다.
: $0\longrightarrow L^G \longrightarrow M^G \longrightarrow N^G \overset{\delta^0}{\longrightarrow} H^1(G,L) \longrightarrow H^1(G,M) \longrightarrow H^1(G,N) \overset{\delta^1}{\longrightarrow} H^2(G,L)\longrightarrow \cdots$

여기서
* $L^G, M^G, N^G$ 는 각 G-가군에서 G-불변인 원소들의 부분군이다.
* $\delta^0, \delta^1$ 등은 접속 준동형이다.

접속 준동형 $\delta^n : H^n (G,N) \to H^{n+1}(G, L)$ 은 비균질 코체인을 사용하여 설명할 수 있다. 만약 $c \in H^n(G, N)$ 이 n-코사이클 $\phi: G^n \to N$ 으로 표시된다면, $\delta^n(c)$ 는 $d^n(\psi)$ 로 표시된다. 여기서 $\psi$ 는 $\phi$ 를 "올리는" n-코체인 $G^n \to M$ 이다.

3.1. 낮은 차수의 군 (코)호몰로지

낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 군의 작용, 교차 준동형, 군의 확대 등과 관련하여 해석할 수 있다.

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좌우로 밀어서 보기

공사슬 종류	기호	해석	자명한 작용일 경우의 해석
0차 완전 공사슬	$\operatorname{im} \mathrm d_{-1}$	$0\in M$
0차 닫힌 사슬	$\ker\partial_0$	임의의 원소 $m\in M$
0차 닫힌 공사슬	$\ker\mathrm d_0$	불변량: $m\in M$ 가운데, 임의의 $g\in G$ 에 대하여 $gm=m$ 인 것	임의의 원소 $m\in M$
0차 완전 사슬	$\operatorname{im}\partial_1$	불변량: $m\in M$ 가운데, 임의의 $g\in G$ 에 대하여 $gm=m$ 인 것	임의의 원소 $m\in M$
1차 닫힌 공사슬	$\ker\mathrm d_1$	교차 준동형(crossed homomorphism^영어): 함수 $\phi\colon G\to M$ 가운데, $\phi(gh) = \phi(g) + g\phi(h)$ 인 것	군 준동형 $(G,\cdot) \to (M,+)$
1차 완전 공사슬	$\operatorname{im}\mathrm d_0$	주 교차 준동형(principal crossed homomorphism^영어, $m\in M$ 에 대하여, $g\mapsto (g-1)m$ 꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합	상수 함수 $g\mapsto0$
1차 닫힌 사슬	$\ker\partial_1$	선형 결합 $\textstyle\sum_i\alpha_i(g_i,m)$ 가운데, $\textstyle\sum_i \alpha_ig_im_i = \sum_i\alpha_i m_i$ 인 것	선형 결합 $\textstyle\sum_i\alpha_i(g_i,m)$
1차 완전 사슬	$\operatorname{im}\partial_2$	$(h,m) - (gh,m) + (g,hm)$ 꼴의 선형 결합들의 합 ( $g,h\in G,\;m\in M$ )	$\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{g+h-gh \colon g,h\in G\} \otimes_{\mathbb Z}M$ 의 원소

G

의

M

위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.
:

\operatorname H^0(G;M) = M

\operatorname H_0(G;M) = 0

\operatorname H^1(G;M) = \hom_{\operatorname{Grp}}(G,M)

:2차 군 코호몰로지

\operatorname H^1(G;M)

는 군

(G,\cdot)

의 아벨 군

(M,+)

에 대한 확대들을 분류한다.

1차 코호몰로지 군은 교차 준동형 사상의 몫이다. 즉 모든 G의 a, b에 대해 f(ab) = f(a) + af(b)를 만족하는 (집합의) 사상 f : G → M을 주 교차 준동형 사상으로 나눈 것이다. 주 교차 준동형 사상이란 어떤 고정된 m ∈ M에 대해 f(g) = gm−m로 주어지는 사상 f : G → M을 말한다.

G가 M에 작용하는 것이 자명할 경우, H¹(G,M) = Hom(G, M)로 축약된다. 이는 교차 준동형 사상은 일반적인 준동형 사상과 같고, 코경계(즉, 주 교차 준동형 사상)는 반드시 0을 이미지로 가져야 하기 때문이다.

H^1(\Z/2, \Z_-)

의 경우를 보자. 여기서

\Z_-

는 정수의 덧셈 군에 대한 비자명한

\Z/2

-구조를 나타내며, 이는 모든

a \in \Z

에 대해 a를 -a로 보낸다. 또한

\Z/2

를

\{ \pm 1 \}

군으로 간주한다.

\{ 1,-1 \}

의 이미지에 대한 모든 가능한 경우를 고려하여 교차 준동형 사상은

f_t: \{ \pm 1 \} \to \Z

와 같은 모든 사상으로 구성되며, 이는 임의의 정수 t에 대해

f_t(1) = 0

및

f_t(-1) = t

를 만족한다. 주 교차 준동형 사상은 추가적으로 어떤 정수 m에 대해

f_t(-1) = (-1)*m - m = -2m

을 만족해야 한다. 따라서 -1을 짝수 정수

t = -2m

로 보내는 모든 교차 준동형 사상

f_t

는 주 교차 준동형 사상이므로 다음과 같다.

:

H^1(\Z/2,\Z_{-})\cong \Z/2 = {\rm\ (예를 들어)\ \it} \langle f: f(1)=0, f(-1)=1\rangle,

이때 군 연산은 점별 덧셈이며,

(f_s+f_t)(x) = f_s(x) + f_t(x) = f_{s+t}(x)

이고,

f_0

는 항등원이다.

만약 M이 자명한 G-가군(즉, G의 M에 대한 작용이 자명하다면)이라면, 두 번째 코호몰로지 군 H²(G,M)은 M에 대한 G의 중앙 확대 집합과 일대일 대응을 이룬다(자연스러운 동치 관계에 따라). 더 일반적으로, G의 M에 대한 작용이 비자명하다면, H²(G,M)은 모든 확대

0 \to M \to E \to G \to 0

의 동형류를 분류하며, 여기서 G의 E에 대한 작용( 내부 자기 동형에 의해)은 (M의 상)에 동형적인 G-가군 구조를 부여한다.

H^1

섹션의 예에서, 주어진 비자명한 작용을 갖는

\Z/2

에 의한

\Z

의 유일한 확장이 무한 이면체군이므로

H^2(\Z/2, \Z_-) =0

이며, 이는 분리 확대이고, 따라서

H^2

군 내에서 자명하다. 이것은

H^1(\Z/2, \Z_-)

의 유일한 비자명 원소의 군론적 의미이다.

두 번째 코호몰로지 군의 예는 브라우어 군이다. 이는 가분 폐포에서 가역 원소에 작용하는 체 k의 절대 갈루아 군의 코호몰로지이다.

:

H^2\left(\mathrm{Gal}(k), (k^\mathrm{sep})^\times\right).

3.2. 위상 코호몰로지와의 관계

만약 $G$ 의 $M$ 위의 작용이 자명하다면, 군 코호몰로지는 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 $\mathrm BG$ 의 특이 코호몰로지와 동형이다.
: $\operatorname H^k(G;M)=\operatorname H_\text{sing}^k(\mathrm BG;M)$

보다 일반적으로, $G$ 의 작용이 자명하지 않다면, $M$ 은 $\mathrm BG$ 위의 일종의 층 $\underline M$ 을 정의하며, 이 층의 층 코호몰로지는 $G$ 의 $M$ 계수 군 코호몰로지와 같다.
: $\operatorname H^\bullet(G;M) \cong \operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\underline M)$

이는 다음과 같은 동형사상을 통해 층 코호몰로지와 같은 위상 코호몰로지 이론과 밀접한 관련이 있음을 보여준다.
: $H^n (BG, \Z) \cong H^n (G, \Z).$

여기서 좌변의 $BG$ 는 $G$ 에 대한 분류 공간이다. 이것은 Eilenberg–MacLane 공간 $K(G,1)$ 이며, 즉 기본군이 $G$ 이고 고차 호모토피 군이 사라지는 공간이다.

3.3. 函手性 (Functoriality)

군 코호몰로지는 군 에 대해 반변적으로 작용한다. 즉, 군 준동형사상 가 주어지면, 자연스럽게 유도된 사상 이 존재한다. 여기서 은 를 통해 가군으로 간주된다. 이 사상을 제한 사상(restriction map)이라고 한다.

만약 가 에서 유한 지수를 갖는 부분군이라면, 반대 방향의 사상도 존재하는데, 이를 전이 사상(transfer map)이라고 한다. 전이 사상은 다음과 같이 정의된다.

: $cor_H^G : H^n(H, M) \to H^n (G, M).$

0차 코호몰로지 군에 대해서, 전이 사상은 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{cases} M^H \to M^G \\ m \mapsto \sum_{g \in G/H} gm \end{cases}$

가군 사이의 사상 가 주어지면, 코호몰로지 군 사이의 사상 을 얻는다.

3.4. 곱 구조 (Product Structure)

군 코호몰로지는 특이 코호몰로지나 드람 코호몰로지와 같은 다른 위상수학 및 기하학의 코호몰로지 이론처럼 곱 구조를 갖는다. 이는 컵 곱(cup product)이라고 하는 자연스러운 사상을 통해 나타나는데, 임의의 두 G-가군 M과 N에 대해 다음과 같이 정의된다.

: $H^n(G, N) \otimes H^m(G, M) \to H^{n+m} (G, M \otimes N)$

이는 $\oplus_{n \geqslant 0} H^n(G, R)$ 에 등급 반가환환 구조를 생성한다. 여기서 R은 $\Z$ 또는 $\Z/p$ 와 같은 환이다. 유한군 G에 대해, 이 코호몰로지 환의 표수 p에 대한 짝수 부분 $\oplus_{n \geqslant 0} H^{2n}(G, \Z/ p)$ 는 군 G의 구조에 대한 많은 정보를 담고 있다. 예를 들어 이 환의 크룰 차원은 아벨 부분군 $(\Z / p)^r$ 의 최대 랭크와 같다.

만약 M = k가 체이면, H*(G; k)는 등급을 가진 k-대수이며, 군의 곱의 코호몰로지는 다음의 Künneth 공식에 의해 각 군의 코호몰로지와 관련된다.

: $H^*(G_1\times G_2;k)\cong H^*(G_1;k)\otimes H^*(G_2;k).$

예를 들어, G가 계수 r을 갖는 기본 아벨 2-군이고 $k=\mathbb{F}_2$ 이면, Künneth 공식은 G의 코호몰로지가 H¹(G; k)에 있는 r개의 클래스에 의해 생성된 다항식 k-대수임을 보여준다.

: $H^*(G;k)\cong k[x_1, \ldots, x_r].$

3.5. 호몰로지와 코호몰로지의 관계

Ext 함자는 Hom 함자의 유도 함자이므로, 다음과 같은 자연 동형이 성립한다.

: $H^{n}(G,M) = \operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z} [G]}(\mathbb{Z}, M).$

이는 군 코호몰로지 $H^n(G, M)$ 이 Ext 함자를 통해 표현될 수 있음을 의미한다. Ext 군은 $\mathbb{Z}$ 의 사영 분해를 통해 계산할 수 있으며, 이 분해는 M이 아닌 G에만 의존한다.

군 호몰로지는 Tor 함자를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $H_n(G,M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$

코호몰로지와 호몰로지의 위첨자/아래첨자 규칙은 군 불변량/공변량에 대한 규칙과 일치한다.

* 위첨자는 코호몰로지 H*와 불변량 X^G에 해당한다.
* 아래첨자는 호몰로지 H_∗와 공변량 X_G := X/G에 해당한다.

특이 코호몰로지와 마찬가지로, 군 코호몰로지와 호몰로지는 다음과 같은 짧은 완전 순서를 통해 서로 관련되어 있다.

: $0 \to \mathrm{Ext}^1_{\mathbb{Z}}\left(H_{n-1}(G, \mathbb{Z}), A\right) \to H^n(G, A) \to \mathrm{Hom}\left(H_n(G, \mathbb{Z}), A\right) \to 0,$

여기서 A는 자명한 G-작용을 가지며, 왼쪽 항은 첫 번째 Ext 군이다.

3.6. 혼합 곱 (Amalgamated Products)

두 군 G₁과 G₂의 부분군 A가 주어졌을 때, 아말감화 곱 $G := G_1 \star_A G_2$ 의 호몰로지(정수 계수)는 다음과 같은 긴 완전열에 포함된다.

: $\cdots \to H_n (A) \to H_n (G_1) \oplus H_n (G_2) \to H_n (G) \to H_{n-1}(A) \to \cdots$

이를 통해 $\mathrm{SL}_2(\Z) = \Z / 4 \star_{\Z/2} \Z/6$ 의 호몰로지를 계산할 수 있다.

: $H_n(\mathrm{SL}_2(\Z)) = \begin{cases} \Z & n =0 \\ \Z/12 & \text{홀수 차수} \\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

이 완전열은 무한체 k에 대해 $\mathrm{SL}_2(k[t])$ 와 특수 선형군 $\mathrm{SL}_2(k)$ 의 호몰로지가 일치함을 보이는 데에도 적용될 수 있다.

3.7. 군의 변화 (Change of Group)

호흐쉴트-세르 스펙트럼 열은 군 G의 정규 부분군 N과 몫군 G/N의 코호몰로지를 군 G의 코호몰로지와 관련시킨다(프로 유한군 G의 경우). 이를 통해 확대-제한 완전열을 얻을 수 있다.

3.8. 분류 공간의 코호몰로지 (Cohomology of the Classifying Space)

군 코호몰로지는 분류 공간의 코호몰로지와 동형이며, 이는 층 코호몰로지로 일반화될 수 있다.

: $H^n (BG, \Z) \cong H^n (G, \Z).$

여기서 $BG$ 는 군 $G$ 의 분류 공간이며, 아이렌베르크-맥레인 공간 $K(G,1)$ 이다. 즉, 기본군이 $G$ 이고 고차 호모토피 군이 자명한 공간이다. $\Z, \Z/2$ 및 $\Z/n$ 에 대한 분류 공간은 각각 1-구 S¹, 무한 실수 사영 공간 $\mathbb{P}^{\infty}(\R) = \cup_n \mathbb{P}^n(\R),$ 및 렌즈 공간이다. 일반적으로, $BG$ 는 $G$ 가 자유롭게 작용하는 수축 가능한 공간 $EG$ 의 몫공간 $EG/G$ 로 구성될 수 있다.

더 일반적으로, 임의의 $G$ -가군 $M$ 에 대해 국소 계수를 $BG$ 에 대응시킬 수 있으며, 위의 동형사상은 다음과 같이 일반화된다.

: $H^n (BG, M) = H^n (G, M).$

군 코호몰로지는 특이 코호몰로지나 드람 코호몰로지와 같은 다른 코호몰로지 이론처럼 곱 구조를 갖는다. $G$ -가군 $M$ 과 $N$ 에 대해 컵 곱으로 불리는 자연스러운 사상

: $H^n(G, N) \otimes H^m(G, M) \to H^{n+m}(G, M \otimes N)$

이 존재한다. 이는 $\textstyle \bigoplus_{n \ge 0} H^n(G, R)$ 에 등급 반가환환 구조를 부여한다. (여기서 $R$ 은 $\Z$ 또는 $\Z/p$ 와 같은 환이다.)

$G$ 를 위수 2의 이산군이라고 하자. 실수 사영 공간 $\mathbb{P}^{\infty}(\R)$ 은 군 $G$ 의 분류 공간이다. $k = \mathbb{F}_2$ 를 이원체라고 하면, 다음이 성립한다.

: $H^*(G, k) \cong k[x]$

이는 $\mathbb{P}^{\infty}(\R)$ 의 포인트 코호몰로지 환이다.

4. 예

위상수학에서 생성자 $\sigma$ 를 갖는 차수 $m$ 의 유한 순환군 $G=C_m$ 에 대해, 관련된 군환에서 원소 $\sigma -1 \in \mathbb{Z}[G]$ 는 0의 약수이다. 그 이유는 이 원소가 다음으로 주어지는 $N$ 과 곱해지기 때문이다.

: $N = 1 + \sigma + \sigma^2 + \cdots + \sigma^{m-1} \in \mathbb{Z}[G]$

이때, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}N(1-\sigma) &= 1 + \sigma + \cdots + \sigma^{m-1} \\&\quad- \sigma - \sigma^2 - \cdots - \sigma^{m} \\&=1 - \sigma^m \\&= 0.\end{align}$

이러한 성질을 사용하여 자명한 $\mathbb{Z}[G]$ -가군 $\mathbb{Z}$ 의 분해를 구성할 수 있다.

: $\cdots \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\text{aug}} \mathbb{Z} \to 0$

이것은 임의의 $\mathbb{Z}[G]$ -가군 $A$ 에 대한 군 코호몰로지 계산을 제공한다.

랭크 $n$ 의 적분 격자 $\Lambda$ ( $\mathbb{Z}^n$ 과 동형)의 경우, 군 코호몰로지는 랭크 $n$ 의 원환면의 정수 코호몰로지와 동형 관계를 가진다.

: $H^k(\Lambda,\mathbb{Z}_{\text{triv}}) \cong H^k(\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n,\mathbb{Z})$

4.1. 자유군

$k$ 개의 원소로 생성되는 자유군 $F_k$ 를 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$ 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

: $\operatorname H^n(F_k;M)=\operatorname H_n(F_k;M)=\begin{cases}M&n=0\\M^{\oplus k}&n=1\\0&n>1\end{cases}$

집합 $S$ 가 주어지면, 연관된 자유군 $G = \text{Free}(S) = \underset{s \in S}{*} \mathbb{Z}$ 는 자명한 가군 $\mathbb{Z}_{\text{triv}}$ 의 명시적인 분해를 가지는데, 이는 쉽게 계산할 수 있다. 증가 사상

: $\text{aug}:\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}}$

가 자유 부분 가군 $I_S$ 에 의해 주어지는 커널을 갖는다는 것을 주목하자. 여기서 $I_S$ 는 집합 $\{s - 1 : s \in S \}$ 에 의해 생성된다. 즉,

: $I_S = \bigoplus_{s \in S} \mathbb{Z}[G]\cdot (s-1)$ .

이 객체가 자유이므로, 이는 분해를 제공한다.

: $0 \to I_S \to \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}} \to 0$

따라서 계수가 $\mathbb{Z}_{\text{triv}}$ 인 $G$ 의 군 코호몰로지는 복합체 $0 \to I_S \to \mathbb{Z}[G] \to 0$ 에 펀터 $\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(-,\mathbb{Z})$ 을 적용하여 계산할 수 있으며, 결과는 다음과 같다.

: $H^k(G,\mathbb{Z}_{\text{triv}}) = \begin{cases}\mathbb{Z} & k = 0 \\\bigoplus_{s \in S}\mathbb{Z} & k = 1 \\0 & k \geq 2\end{cases}$

이는 쌍대 사상

: $\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}_{\text{triv}}) \to\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(I_S,\mathbb{Z}_{\text{triv}})$

가 모든 $\mathbb{Z}[G]$ -가군 준동형 사상

: $\phi:\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}}$

를 포함을 합성하여 $I_S$ 에 대한 유도된 준동형 사상으로 보내기 때문이다. 0으로 보내지는 유일한 사상은 증가 사상의 $\mathbb{Z}$ -배수이며, 첫 번째 코호몰로기 군을 제공한다. 두 번째 코호몰로기 군은 다른 유일한 사상을 주목함으로써 찾을 수 있는데,

: $\psi \in \text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(I_S,\mathbb{Z}_{\text{triv}})$

는 고정된 $s \in S$ 에 대해 $(s-1) \mapsto 1$ 을 보내고, 임의의 $s' \in S - \{s\}$ 에 대해 $(s'-1) \mapsto 0$ 을 보내는 사상의 $\mathbb{Z}$ -기저에 의해 생성될 수 있다.

자유군 $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\cdots *\mathbb{Z}$ 의 군 코호몰로지는 $n$ 개의 문자로 생성되며, 위상수학적 해석과 비교하여 쉽게 계산할 수 있다. 모든 군 $G$ 에 대해, 군의 분류 공간이라고 불리는 위상 공간 $BG$ 가 존재하는데, 이 공간은 다음의 성질을 갖는다.

: $\pi_1(BG) = G \text{ 이고 } \pi_k(BG) = 0 \text{ for } k \geq 2$ .

또한, 그 위상적 코호몰로지는 군 코호몰로지와 동형이라는 성질을 가지므로,

: $H^k(BG,\mathbb{Z}) \cong H^k(G,\mathbb{Z})$

일부 군 코호몰로지 군을 계산하는 방법을 제공한다. 여기서 $\mathbb{Z}$ 는 아벨 군 $V$ 에 대한 맵

: $\pi_1(G) \to GL(V)$

에 의해 결정되는 임의의 지역적 시스템 $\mathcal{L}$ 으로 대체될 수 있다. $n$ 개의 문자에 대한 $B(\mathbb{Z}*\cdots * \mathbb{Z})$ 의 경우, 이는 $n$ 개의 원 $S^1 \vee \cdots \vee S^1$ 의 쐐기 합으로 표현되며, 반-캄펜 정리를 사용하여 이를 보일 수 있다. 이를 통해 다음과 같은 군 코호몰로지를 얻는다.

: $H^k(\mathbb{Z}*\cdots * \mathbb{Z}) = \begin{cases}\mathbb{Z} & k = 0 \\\mathbb{Z}^n & k = 1 \\0 & k \geq 2\end{cases}$

4.2. 순환군

순환군의 군 (코)호몰로지는 주기적인 성질을 갖는다.

$k$ 차 순환군 $\operatorname{Cyc}(k)$ 에 대해, 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$ 의 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

: $\operatorname H^n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\operatorname H_n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\begin{cases}M&n=0\\(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\M/nM&2\mid n>0\\\end{cases}$

여기서 $\ker n=\{m\in M\colon nm=0\}$ 은 $M$ 의 $n$ -꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인 $\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(k)$ 의 특이 호몰로지와 같다. 특히, $k=2$ 일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 $\operatorname{RP}^\infty$ 의 특이 호몰로지이다.

위상수학에서 생성자 $\sigma$ 를 갖는 차수 $m$ 의 유한 순환군 $G=C_m$ 에 대해, 관련된 군환에서 원소 $\sigma -1 \in \mathbb{Z}[G]$ 는 0의 약수이다. 그 이유는 이 원소가 다음으로 주어지는 $N$ 과 곱해지기 때문이다.

: $N = 1 + \sigma + \sigma^2 + \cdots + \sigma^{m-1} \in \mathbb{Z}[G],$

이때, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}N(1-\sigma) &= 1 + \sigma + \cdots + \sigma^{m-1} \\&\quad- \sigma - \sigma^2 - \cdots - \sigma^{m} \\&=1 - \sigma^m \\&= 0.\end{align}$

이러한 성질을 사용하여 자명한 $\mathbb{Z}[G]$ -가군 $\mathbb{Z}$ 의 다음과 같은 분해를 구성할 수 있다.

: $\cdots \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\text{aug}} \mathbb{Z} \to 0$

이것은 임의의 $\mathbb{Z}[G]$ -가군 $A$ 에 대한 군 코호몰로지 계산을 제공한다. 증가 사상은 다음을 통해 자명한 가군 $\mathbb{Z}$ 에 $\mathbb{Z}[G]$ -구조를 부여한다.

: $\text{aug}\left(\sum_{g \in G}a_gg \right) = \sum_{g \in G}a_g$

이 분해는 코호몰로지 군의 동형 사상

: $H^k(G,A) \cong \text{Ext}^k_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},A)$

이 존재하기 때문에 군 코호몰로지 계산을 제공한다. 위의 복합체에 펀서 $\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(-,A)$ 를 적용하면( $\mathbb{Z}$ 는 준동형사상이므로 제거됨) 다음 계산을 얻을 수 있다.

: $H^k(G,A) = \begin{cases}A^G/NA & k\text{ 짝수}, k \geq 2 \\{}_NA/(\sigma - 1)A & k\text{ 홀수}, k \geq 1\end{cases}$

여기서

: ${}_NA = \{a \in A : Na = 0\}$

예를 들어, $A = \mathbb{Z}$ 인 자명한 가군의 경우, $\mathbb{Z}^G = \mathbb{Z}$ , $N\mathbb{Z} = \text{aug}(N)\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}$ , 그리고 ${}_N\mathbb{Z} = 0$ 이므로, 다음이 성립한다.

: $H^k(C_m,\mathbb{Z}) = \begin{cases}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} & k\text{ 짝수}, k \geq 2 \\0 & k\text{ 홀수}, k \geq 1\end{cases}$

4.3. 자유 아벨 군

$k$ 차 자유 아벨 군 $\mathbb Z^{\oplus k}$ 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$ 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

: $\operatorname H^n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=\operatorname H_n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=M^{\oplus\binom kn}$

여기서 $\textstyle\binom kn$ 은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 $\mathbb T^k$ 의 특이 호몰로지와 같다.

4.4. 반직접곱 (Semidirect Products)

군의 반직접곱 $G = N \rtimes H$ 에 대해, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1 \to N \to N\rtimes H \to H \to 1$

관련된 에일렌베르크-맥레인 공간을 사용하면 다음과 같은 세르 올림이 존재한다.

$K(N,1) \to K(G,1) \to K(H,1)$

이것은 세르 스펙트럼 열을 통해 넣을 수 있다. 이는

E_2

-페이지를 제공하며,

$E_2^{p,q} = H^p(K(H,1),H^q(K(N,1))) \Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))$

이는

H, N

의 군 코호몰로지 군으로부터

G

의 군 코호몰로지에 대한 정보를 제공한다. 이 형식주의는 린던-호흐쉴트-세르 스펙트럼 열을 사용하여 순수하게 군론적인 방식으로 적용될 수 있다.

5. 유한군의 코호몰로지

마슈케 정리에 따르면, 유한군의 표현 범주는 표수가 0인 모든 체(또는 군의 위수를 나누지 않는 표수를 가진 체) 위에서 반단순이다. 따라서 이 아벨 범주에서 도출된 함자로서 군 코호몰로지는 0이 된다. 다른 설명으로는, 표수가 0인 체 위에서 유한군의 군 대수는 행렬 대수(원래 체의 확장인 나눗셈 대수 위일 수도 있음)의 직합이고, 행렬 대수는 기본 체와 Morita 동치이므로 자명한 코호몰로지를 갖는다는 것이다.

G의 위수가 G-가군 M에서 가역적이면(예: M이 $\Q$ -벡터 공간), $H^n(G,M) =0$ ( $n \geqslant 1$ )이다. 이 사실의 전형적인 적용 예시는 다음과 같다. 단사 완전열(세 군 모두 자명한 G-작용을 가짐)의 긴 완전 코호몰로지 열

: $0 \to \Z \to \Q \to \Q / \Z \to 0$

은 다음 동형 사상을 생성한다.

: $\mathrm{Hom}(G, \Q / \Z) = H^1(G, \Q /\Z) \cong H^2(G, \Z).$

테이트 코호몰로지 군은 유한군 G의 호몰로지와 코호몰로지를 결합한다.

: $\widehat H^n(G, M) := \begin{cases} H^n(G, M) & n \geqslant 1 \\ \operatorname{coker} N & n=0 \\ \ker N & n = -1 \\ H_{-n-1}(G, M) & n \leqslant -2, \end{cases}$

여기서 $N: M_G \to M^G$ 는 노름 사상에 의해 유도된다.

: $\begin{cases} M \to M \\ m \mapsto \sum_{g \in G} gm \end{cases}$

테이트 코호몰로지는 긴 완전열, 곱 구조와 같은 유사한 특징을 갖는다. 중요한 응용 분야는 류수론이며, 류 형성을 참조한다.

유한 순환군 $G = \Z/n$ 의 테이트 코호몰로지는 2-주기적이다. 즉, 다음 동형사상이 존재한다.

: $\widehat H^m(G, M) \cong \widehat H^{m+2}(G, M) \qquad \text{for all } m \in \Z.$

d-주기적 코호몰로지의 필요충분조건은 G의 아벨 부분군이 순환군뿐이라는 것이다. 예를 들어, 모든 반직접곱 $\Z / n \rtimes \Z /m$ 은 서로소 정수 n과 m에 대해 이 속성을 갖는다.

6. 응용

군 코호몰로지는 대수적 K-이론, 선형군의 호몰로지, 사영 표현, 군의 확대 등 다양한 분야에 응용된다.

대수적 K-이론은 군 코호몰로지와 밀접하게 관련되어 있다. 다니엘 퀼렌의 +-구성에서, 고리 R의 K-이론은 공간 $\mathrm{BGL}(R)^+$ 의 호모토피 군으로 정의된다. 여기서 $\mathrm{GL}(R) = \cup_{n \ge 1} \mathrm{GL}_n(R)$ 는 무한 일반 선형군이다. 공간 $\mathrm{BGL}(R)^+$ 은 $\mathrm{BGL}(R)$ , 즉, GL(R)의 군 호몰로지와 동일한 호몰로지를 갖는다. 어떤 경우에, 안정성 결과는 다음 코호몰로지 군의 수열에서

: $\dots \to H_m\left(\mathrm{GL}_n (R)\right) \to H_m\left(\mathrm{GL}_{n+1}(R)\right) \to \cdots$

충분히 큰 n에 대해 정지 상태가 되어, 무한 일반 선형군의 코호몰로지 계산을 어떤 $\mathrm{GL}_n(R)$ 의 코호몰로지 계산으로 줄일 수 있다고 주장한다. 이러한 결과는 R이 체 또는 수론적 정수환인 경우에 확립되었다.

양자역학에서 대칭군 $G$ 를 가진 시스템을 다룰 때, 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 에 대한 $G$ 의 작용은 유니타리 행렬 $U(g)$ 로 표현된다. $U(g_1) U(g_2)= U(g_1g_2)$ 가 성립할 것으로 예상되지만, 실제 양자역학에서는 다음과 같은 식이 나타난다.

: $U(g_1) U(g_2)= \exp \{2\pi i\omega(g_1,g_2)\} U(g_1g_2),$

여기서 $\exp\{2\pi i\omega(g_1,g_2)\}\in{\rm U}(1)$ 는 위상이다. 이러한 $G$ 의 사영 표현은 $\mathrm{U}(1)$ 에 의한 $G$ 의 군 확대 $\tilde G$ 의 일반적인 표현으로도 볼 수 있으며, 이는 다음과 같은 완전 시퀀스로 설명된다.

: $1 \to {\rm U}(1) \to \tilde G \to G\to 1.$

결합 법칙 $U(g_1)[U(g_2)U(g_3)]= [U(g_1)U(g_2)]U(g_3)$ 을 적용하면 다음이 유도된다.

: $\omega(g_2, g_3)-\omega(g_1g_2, g_3)+ \omega(g_1,g_2g_3)-\omega(g_1,g_2)=0,$

이는 $d\omega(g_1,g_2,g_3)=0,$ 즉 $\omega$ 가 $\R/\Z\simeq {\rm U}(1)$ 값을 갖는 코사이클이라는 것을 의미한다.

$U(g)\to \exp\{2\pi i\eta(g)\} U(g)$ 와 같이 재정의를 통해 위상을 제거할 수 있는지 고려해 볼 수 있다.

이는 $\omega(g_1,g_2)$ 를 다음과 같이 변화시킨다.

: $\omega(g_1,g_2) \to \omega(g_1,g_2) + \eta (g_2)- \eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$

이는 코바운더리 $\omega \to \omega+d\eta$ 에 의해 $\omega$ 를 이동시키는 것으로 볼 수 있다. 따라서 고유한 사영 표현은 $H^2(G, \R/\Z)$ 로 분류된다. 만약 위상 자체에 그룹의 작용을 허용한다면 (예를 들어 시간 반전은 위상을 복소 켤레로 만듦), 각 코바운더리 연산의 첫 번째 항은 이전 섹션에서 코바운더리의 일반적인 정의에서와 같이, 그것에 작용하는 $g_1$ 을 갖게 된다. 예를 들어, $d\eta(g_1,g_2) \to g_1\eta(g_2)-\eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$

6.1. 대수적 K-이론과 선형군의 호몰로지

대수적 K-이론은 군 코호몰로지와 밀접하게 관련되어 있다. 퀼렌의 +-구성에서, 고리 R의 K-이론은 공간 $\mathrm{BGL}(R)^+$ 의 호모토피 군으로 정의된다. 여기서 $\mathrm{GL}(R) = \cup_{n \ge 1} \mathrm{GL}_n(R)$ 는 무한 일반 선형군이다. 공간 $\mathrm{BGL}(R)^+$ 은 $\mathrm{BGL}(R)$ , 즉, GL(R)의 군 호몰로지와 동일한 호몰로지를 갖는다. 어떤 경우에, 안정성 결과는 다음 코호몰로지 군의 수열에서

: $\dots \to H_m\left(\mathrm{GL}_n (R)\right) \to H_m\left(\mathrm{GL}_{n+1}(R)\right) \to \cdots$

충분히 큰 n에 대해 정지 상태가 되어, 무한 일반 선형군의 코호몰로지 계산을 어떤 $\mathrm{GL}_n(R)$ 의 코호몰로지 계산으로 줄일 수 있다고 주장한다. 이러한 결과는 R이 체 또는 수론적 정수환인 경우에 확립되었다.

6.2. 사영 표현과 군의 확대

양자역학에서 대칭군 $G$ 를 가진 시스템을 다룰 때, 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 에 대한 $G$ 의 작용은 유니타리 행렬 $U(g)$ 로 표현된다. $U(g_1) U(g_2)= U(g_1g_2)$ 가 성립할 것으로 예상되지만, 실제 양자역학에서는 다음과 같은 식이 나타난다.

: $U(g_1) U(g_2)= \exp \{2\pi i\omega(g_1,g_2)\} U(g_1g_2),$

여기서 $\exp\{2\pi i\omega(g_1,g_2)\}\in{\rm U}(1)$ 는 위상이다. 이러한 $G$ 의 사영 표현은 $\mathrm{U}(1)$ 에 의한 $G$ 의 군 확대 $\tilde G$ 의 일반적인 표현으로도 볼 수 있으며, 이는 다음과 같은 완전 시퀀스로 설명된다.

: $1 \to {\rm U}(1) \to \tilde G \to G\to 1.$

결합 법칙 $U(g_1)[U(g_2)U(g_3)]= [U(g_1)U(g_2)]U(g_3)$ 을 적용하면 다음이 유도된다.

: $\omega(g_2, g_3)-\omega(g_1g_2, g_3)+ \omega(g_1,g_2g_3)-\omega(g_1,g_2)=0,$

이는 $d\omega(g_1,g_2,g_3)=0,$ 즉 $\omega$ 가 $\R/\Z\simeq {\rm U}(1)$ 값을 갖는 코사이클이라는 것을 의미한다.

$U(g)\to \exp\{2\pi i\eta(g)\} U(g)$ 와 같이 재정의를 통해 위상을 제거할 수 있는지 고려해 볼 수 있다.

이는 $\omega(g_1,g_2)$ 를 다음과 같이 변화시킨다.

: $\omega(g_1,g_2) \to \omega(g_1,g_2) + \eta (g_2)- \eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$

이는 코바운더리 $\omega \to \omega+d\eta$ 에 의해 $\omega$ 를 이동시키는 것으로 볼 수 있다. 따라서 고유한 사영 표현은 $H^2(G, \R/\Z)$ 로 분류된다. 만약 위상 자체에 그룹의 작용을 허용한다면 (예를 들어 시간 반전은 위상을 복소 켤레로 만듦), 각 코바운더리 연산의 첫 번째 항은 이전 섹션에서 코바운더리의 일반적인 정의에서와 같이, 그것에 작용하는 $g_1$ 을 갖게 된다. 예를 들어, $d\eta(g_1,g_2) \to g_1\eta(g_2)-\eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$