크로네커-베버 정리

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1. 개요

크로네커-베버 정리는 유리수체의 모든 유한 아벨 확장은 원분체의 부분체라는 정리이다. 즉, 유리수에 단위근을 첨가하여 얻은 체의 부분체임을 의미한다. 이 정리를 통해 대수적 수체의 도수를 정의할 수 있으며, 이차 체의 도수는 판별식의 절댓값과 같다. 이 정리는 1853년 레오폴트 크로네커에 의해 처음 언급되었고, 하인리히 마르틴 베버가 증명을 발표했으나, 다비트 힐베르트가 완전한 증명을 제시했다. 국소 크로네커-베버 정리는 임의의 국소체의 아벨 확장이 원분 확장과 루빈-테이트 확장을 사용하여 구성될 수 있음을 보여준다. 힐베르트의 열두 번째 문제는 크로네커-베버 정리를 유리수 이외의 체로 일반화하는 것을 묻는다.

크로네커-베버 정리

일반 정보

이름	크로네커-베버 정리
분야	대수적 수론
설명	모든 유한 아벨 확대는 원분체에 포함된다.

내용

역사

중요성

의의	류빌 수와 같은 초월수를 연구하는 데 중요한 도구로 사용됨.
응용	유체 역학과 같은 분야에서도 응용됨.

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1. 개요
2. 체론적 정식화
- 2.1. 예
3. 역사
4. 일반화
- 4.1. 국소적 크로네커-베버 정리
- 4.2. 힐베르트의 열두 번째 문제

2. 체론적 정식화

크로네커-베버 정리는 체와 체 확대의 관점에서 다음과 같이 기술할 수 있다. 유리수체 Q의 모든 유한 아벨 확대는 원분체의 부분체이다. 즉, Q에 대한 갈루아 군이 아벨 군인 대수적 수체는 유리수에 단위근을 첨가하여 얻은 체의 부분체이다.

주어진 Q의 아벨 확대 K에 대해, K를 포함하는 최소 원분체가 존재한다. 이 정리에 의해 K의 도수 n을, K가 1의 n 제곱근에 의해 생성되는 체에 포함되는 최소의 정수 n으로 정의할 수 있다.

2.1. 예

예를 들어, 갈루아 군이 $\mathbb Z/2$ 인 $\mathbb Q[\sqrt 5]/\mathbb Q$ 는 유리수체의 아벨 확대이다. 따라서 $\sqrt5$ 는 1의 거듭제곱근들의 유리수 계수 선형결합으로 나타낼 수 있다. 구체적으로,
: $\sqrt{5} = e^{2 \pi i / 5} - e^{4 \pi i / 5} - e^{6 \pi i / 5} + e^{8 \pi i / 5}$
이다. 즉, $\mathbb Q[\sqrt5]$ 는 원분체 $\mathbb Q[\exp(2\pi i/5)]$ 의 부분체이다.

주어진 아벨 확대 K of Q에 대해 이를 포함하는 최소 원분체가 존재한다. 이 정리를 통해 K의 도수를 K가 n차 단위근에 의해 생성된 체 안에 포함되도록 하는 가장 작은 정수 n으로 정의할 수 있다. 예를 들어, 이차 체의 도수는 그 판별식의 절댓값과 같으며, 이는 류수론에서 일반화되는 사실이다.

3. 역사

이 정리는 1853년 독일의 레오폴트 크로네커가 처음 언급했지만, 증명은 완벽하지 못했다. 1886년 또 다른 독일 수학자인 하인리히 마르틴 베버가 완벽해 보이는 증명을 출판하여 이 둘의 이름이 붙었다. 그러나 베버의 첫 증명에는 약간의 비약과 오류가 있었고, 1981년 올라프 노이만(Olaf Neumann)이 논문을 통해 이를 바로잡았다. 1896년 다비트 힐베르트가 처음으로 이 정리의 올바르고 완전한 증명에 성공하였다.

4. 일반화

러빈과 테이트는 임의의 국소체의 아벨 확장이 원분 확장과 러빈-테이트 확장을 사용하여 구성될 수 있음을 보였다. 힐베르트의 열두 번째 문제는 크로네커-베버 정리를 유리수 이외의 기저 체로 일반화하는 것을 묻고, 해당 체에 대한 단위 근의 유사물이 무엇인지를 묻는다. 아벨 확장에 대한 다른 접근 방식은 류수론에 의해 제공된다.

4.1. 국소적 크로네커-베버 정리

미국의 조너선 루빈과 존 테이트는 1965년, 1966년 두 논문을 통해 크로네커-베버 정리의 국소화된 판본을 발표하였다. 여기서 루빈과 테이트는 국소체의 임의 아벨 확대는 원분 확대와 루빈-테이트 확대만으로 구성될 수 있다는 것을 보였다. 루빈과 테이트는 임의의 국소체의 아벨 확장이 원분 확장과 루빈-테이트 확대를 사용하여 구성될 수 있음을 명시하는 국소 크로네커-베버 정리를 증명했다.

4.2. 힐베르트의 열두 번째 문제

힐베르트의 열두 번째 문제는 크로네커-베버 정리를 유리수 이외의 기저 체로 일반화하는 것을 묻고, 해당 체에 대한 단위 근의 유사물이 무엇인지를 묻는다. 아벨 확장에 대한 다른 접근 방식은 류수론에 의해 제공된다.