개수로

3. 개수로 단면 유형에 따른 특성값

개수로의 1차원 해석에서는 여러 매개변수가 정의된다.^[5] 그림 2는 개수로를 흐름 방향으로 잘라 수직으로 본 단면도이며, 파란색 선은 수면(자유 수면), 갈색은 개수로의 형상을 나타낸다. 하늘색 영역은 물이 흐르는 부분으로, 유수 단면적(유적)이라 하며 $A$로 나타낸다. 하천공학에서는 하적이라고도 한다.^[21] 물과 수로가 접하는 부분의 길이는 윤변($S$)이며, 윤변으로 단면적을 나눈 값은 경심($R$)이다.

그림 3은 개수로를 흐름 방향에 평행하게 자른 단면도이다.^[19][20] 파란색 선은 자유 수면, 갈색은 수로상(하상)이다. 하상에 평행한 $x$축과 수직인 $y$축을 설정하고, 하상에서 수면까지의 거리를 수심($h$)으로 정의한다. 중력$g$에 수직인 기준선에서 측정한 높이$z$도 정의되며, 하상까지의 높이는 $z\_b$이다. 기준선에서 수면까지의 거리는 수위라고 한다. 기준선과 하상이 이루는 각을 $\backslash theta$로 했을 때, 하상 경사는 $I\_b\; =\; \backslash sin\; \backslash theta$로 정의된다. 하상 경사가 작으면 $\backslash sin\; \backslash theta\; =\; \backslash theta,\; \backslash cos\; \backslash theta\; =\; 1$로 근사하며, $\backslash theta$ 자체를 하상 경사로 부르기도 한다. 주류속은 하늘색 화살표와 같은 분포를 보이며, 단면 평균 유속은 $v$이다. 1차원 해석에서는 유속이라고도 한다.^[22]

1차원 해석에서 빨간색으로 표시된 공간적으로 고정된 영역은 검사 영역(컨트롤 볼륨)이라 부르며,^[24] 녹색 단면은 검사 면(control surface^[24], test section^[23])이라고 한다.

평균 유속 공식에 따라 단면 형상이 결정되면 임의의 수심에서 유적, 경심, 유속, 유량 등을 구할 수 있다.

다음은 다양한 개수로 단면에 대한 특성값이다.

단면	단면적 A	윤변 P	경심 R	수면폭 B	수리심 D
	bh	b+2h	$\backslash frac\{bh\}\{b+2h\}$	b	h
	h(a+b)	$b+\backslash frac\{2h\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}$	$\backslash frac\{h(a+b)\}\{b+\backslash frac\{2h\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\}$	$b+2a$ $=\; b\; +\; 2h\; \backslash cot\; \backslash alpha$	$\backslash frac\{h(a+b)\}\{b+2a\}$ $=\; \backslash frac\{h(a+b)\}\{b\; +\; 2h\; \backslash cot\; \backslash alpha\}$
	$mh^2$	$2h\backslash sqrt\{1+m^2\}$	$\backslash frac\{mh\}\{2\backslash sqrt\{1+m^2\}\}$	2mh	$\backslash frac\{h\}\{2\}$
	$\backslash frac\{1\}\{8\}\; (\backslash theta\; -\; \backslash sin\; \backslash theta)D^2$	$\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash theta\; D$	$\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash left(1-\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash theta\}\{\backslash theta\}\backslash right)$

,,^[5]

• $A$ - 유적
• $S$ - 윤변
• $R$ - 경심

• $v$ - 평균 단면 유속
• $U,\; p,\; z$ - 어떤 지점에서의 주류속, 압력, 높이
• $h$ - 수심
• $z\_b$ - 하상고
• $\backslash theta$ - 하상 경사($I\_b$)
• $g$ - 중력 (가속도)
• 녹색 - 검사 면
• 빨강 - 컨트롤 볼륨
• 파랑 - 자유 수면
• 검정＆갈색 - 하상
• 회색 - 기준선
• 하늘색 - 주류속 분포

• 유속 $v$: $\backslash frac\{h\}\{D\}\; \backslash simeq\; 0.81$일 때, $\backslash frac\{v\}\{v\_0\}\; =\; 1.14$
• 유량 $v$: $\backslash frac\{h\}\{D\}\; \backslash simeq\; 0.94$일 때, $\backslash frac\{Q\}\{Q\_0\}\; =\; 1.08$

4. 개수로의 흐름 유형

개수로 흐름은 다양한 기준에 따라 분류할 수 있다.

• 위치에 따른 유속 변화에 따른 분류

• 시간에 따른 유속 변화에 따른 분류

• 단면 변화 정도에 따른 분류

• 층류, 난류의 구분

4. 1. 위치에 따른 유속 변화

• 등류(等流, uniform flow) 또는 균일 유동: 흐름방향으로 위치에 따라 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하지 않는 흐름이다. 이때의 수심을 등류수심(normal depth)이라 한다.
• 부등류(不等流, varied flow or nonuniform flow) 또는 불균일 유동: 흐름방향으로 위치에 따라 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하는 흐름이다.

• 하상 경사가 일정
• 단면적이 일정
• 유량이 일정
• 충분히 길다

• 수심 및 유속이 일정
• 수면 경사·에너지 경사·하상 경사가 모두 평행(동일)

4. 2. 시간에 따른 유속 변화

4. 3. 층류, 난류 구분

5. 비에너지

6. 한계흐름의 조건

한계흐름은 비에너지가 최소일 때($\backslash frac\{dE\}\{dh\}\; =\; 0$) 발생한다.^[40] 한계흐름 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[4]

:$\backslash frac\{Q^2\}\{gA^3\}\backslash frac\{dA\}\{dh\}\; =\; 1$

• Fr = 1 : 한계류
• Fr < 1 : 상류
• Fr > 1 : 사류

7. 한계수심 계산

한계수심이 되는 조건은 $\backslash frac\{Q^2\}\{gA^3\}\backslash frac\{dA\}\{dh\}\; =\; 1$이다. 여기서 $A\; =\; ah^n$이고, 이것을 수심 h에 대해 미분하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{dA\}\{dh\}\; =\; nah^\{n-1\}\; \backslash quad\; \backslash cdots\; (1)$

한계수심 조건식에서 $\backslash frac\{dA\}\{dh\}\; =\; \backslash frac\{gA^3\}\{Q^2\}$이고, A를 대입하면 $\backslash frac\{dA\}\{dh\}\; =\; \backslash frac\{ga^3\; h^\{3n\}\}\{Q^2\}\; \backslash quad\; \backslash cdots\; (2)$가 된다. (1)과 (2)를 결합하고, 수심 h에 대해 정리하면, 이때의 수심 h가 한계수심 h_c이다.

:$h\_c\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{nQ^2\}\{ga^2\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{2n+1\}\}$

직사각형 단면에서 폭이 b라 할 때 a=b, n=1이다.(A=ab이므로) 따라서 직사각형 단면에서의 한계수심 공식은 다음과 같다. 여기서 q는 단위폭당 유량이다.$\backslash left(\; q\; =\; \backslash frac\{Q\}\{b\}\; \backslash right)$

:$h\_c\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{Q^2\}\{gb^2\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{q^2\}\{g\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

삼각형 단면에서 사면 경사가 1:z일 때, a=z, n=2이며, 한계수심은 다음과 같다.

:$h\_c\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{2Q^2\}\{gm^2\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{5\}\}$

비에너지와 비력은 수심 $h$에 관하여 삼차 함수이며, 이것들이 보존되는 경우 수심이 2개의 양의 실근을 가지게 된다^[36] . 즉, ''같은 크기의 에너지를 갖는 흐름에 대해 취할 수 있는 수심이 2개 존재''하게 되며, 작은 쪽의 수심을 '''사류 수심'''(supercritical depth^영어), 큰 쪽의 수심을 '''상류 수심'''(subcritical depth^영어)라고 하며, 양자의 관계를 '''교대 수심 관계'''(alternative depth^영어)라고 한다^[37] .

같은 비에너지에 대해 수심이 2개 존재한다는 것은 롤의 정리에 의해 그 사이에 극값을 취할 수 있는 점이 존재한다. 어떤 수심에서 비에너지가 최소가 되어, 상류 수심과 사류 수심이 일치한다. 이 수심을 '''한계 수심'''(critical depth^영어)이라고 하며^[34], 이때의 흐름을 '''한계류'''(critical flow^영어)라고 부른다^[40] . 즉, 에너지를 최소로 물을 흐르게 하려면 수심을 한계 수심과 일치시키면 되며, 이를 '''베스의 정리'''라고 한다^[40] .

이 한계 수심은 비에너지를 수심으로 미분하여, 그 미분 계수가 0이 되는 점에서 구할 수 있으며 ('''최소 비에너지의 원리'''), 유량 $Q$가 흐르는 폭 $B$의 직사각형 단면 개수로의 경우

{{Indent|

$h\_c\; =\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{Q^2\}\{g\; B^2\}\}$}}

가 되어, 한계 수심은 유량의 2/3승에 비례한다^[39] . 또한, 그 비에너지(한계 비에너지)는

{{Indent|

$H\_c\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; h\_c$}}

가 되어, ''한계 수심은 한계 비에너지의 2/3''가 되며, 속도 수두(≒운동 에너지)가 피에조 수두(수심 ≒ 위치 에너지)의 절반이 된다는 것을 알 수 있다^[40] .

한계류일 때의 유속은 '''한계 유속'''(critical velocity^영어)이라고 하며, 그 크기는 장파의 전파 속도와 같아 프루드 수가 딱 1이 된다^[39] . 그리고, 프루드 수가 1보다 작은 흐름을 '''상류'''(subcritical flow^영어)라고 하며, 프루드 수가 1보다 큰 경우를 '''사류'''(supercritical flow^영어)라고 한다^[40] . 이로부터, 유속이 장파의 전파 속도보다 큰 사류의 경우에는 수면파가 상류로 전달되지 않고 하류로만 전달된다는 것을 알 수 있다^[35] .

비에너지를 일정하게 하고 유량을 변화시키는 경우 유량 $Q$는

{{Indent|

$Q\; =\; bh\; \backslash sqrt\{2g\; (H\_0\; -\; h)\}$}}

가 된다. 그래프는 그림 5와 같이 되어 유량은 어떤 수심에서 최대가 된다는 것을 알 수 있다^[39] . 이때의 수심을 계산하면, 위 "유량 일정"의 경우의 한계 수심과 일치한다^[42] . 즉, ''비에너지가 일정할 때, 한계 수심에서 유량이 최대''가 되며, 이를 '''최대 유량의 원리''' (또는 '''벨랑제의 정리''')라고 한다^[42] .

8. 등류의 평균 유속

등류(균일 흐름)에서 평균 유속을 계산하는 공식으로는 매닝(Manning) 공식과 셰지(Chezy) 공식이 있다.^[51]

• 매닝(Manning) 공식: $v\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; R^\{\backslash frac\{2\}\{3\}\}\; I^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

• 셰지(Chezy) 공식: $v\; =\; C\; \backslash sqrt\{RI\}$ (C: 셰지 계수)^[51]

체지 공식과 매닝 공식은 모두 평균 유속이 경사(I)의 1/2승에 비례한다는 공통점이 있으며, 다르시-바이스바흐 식과 형태가 유사하여 조면 난류(마찰 손실 계수가 레이놀즈 수에 의존하지 않는 영역)에서 타당하다고 여겨진다.^[51] 두 공식의 차이는 경심의 1/6승 부분뿐이지만, 수리학적 의미에서는 큰 차이가 있다.^[53]

셰지 공식은 컨트롤 볼륨에 작용하는 압력, 중력, 하상 마찰력의 평형 조건과 다르시-바이스바흐 식으로부터 유도할 수 있다.^[54] 매닝 공식은 이론적인 대수 법칙에 의해 비교적 넓은 범위에서 $n\; \backslash simeq\; \backslash frac\{1\}\{24\}\; \{k\_s\}^\{\backslash frac\{1\}\{6\}\}$(단위는 미터와 초)와 관련되며, 조도 입경 $k\_s$가 일정하면 흐름에 관계없이 매닝 계수가 일정하므로 수리학적 합리성을 가진다.^[55]

매닝 공식은 자연 하천에서의 등류 상태를 셰지 공식보다 잘 표현하기 때문에 하천 공학상 우수하며,^[56] 세계적으로 널리 사용되고 있다. 특히 일본의 하천 행정에서는 거의 매닝 공식만 사용된다.^[56] 이러한 이유로 매닝의 조도 계수는 하천 데이터베이스에 필수적이며, 콘크리트 개수로(0.015), 토제 직선형 개수로(0.02), 암반 직선형 개수로(0.03), 직선형 자연 하천(0.03), 사행 하천(0.04) 순으로 커진다(물이 흐르기 어렵다).^[57]

9. 개수로 흐름의 추가 특징

다음에서 설명하는 개수로에서의 1차원 해석법에서는, 다음과 같은 가정을 한다^[17].

• 2차류는 무시할 수 있으므로, 유속은 주류의 단면 평균 유속 ''v''로 대표된다.
• 레이놀즈 수가 크고 충분히 발달한 난류^[18]이지만, 난류에 의한 손실은 손실 수두에 포함하여 고려한다.
• 압력은 정수압 근사할 수 있다.

• '''연속 방정식(질량 보존 법칙)''': 유량 Q (유수 단면적 A와 단면 평균 유속 v의 곱)는 보존된다.^[28] 이는 물(비압축성 유체)의 질량 보존의 법칙에 해당하는 연속 방정식에 발산 정리를 적용하여 유도된다.^[29]

• '''에너지 방정식(베르누이 정리)''': 비에너지의 변화량은 하상 경사와 에너지 경사의 차이와 같다.^[28]

• '''운동량 방정식(운동량 보존 법칙)''': 비력의 변화는 중력과 외력(마찰력)의 영향을 받는다.^[28]

• ''Q'': 유량
• ''A'': 유수 단면적
• ''v'': 단면 평균 유속
• ''H''₀: 비에너지
• ''I''_b: 하상 경사
• ''I''_e: 에너지 경사
• (M₀)₁, (''M''₀)₂: 검사 면 1, 2에서의 비력
• ''V'': 컨트롤 볼륨의 체적
• θ: 하상 경사
• ''F'': 외력(마찰력)
• ρ: 물의 밀도
• ''g'': 중력 가속도

9. 1. 보존 법칙

• '''연속 방정식(질량 보존 법칙)''': 유량 Q (유수 단면적 A와 단면 평균 유속 v의 곱)는 보존된다.^[28] 이는 물(비압축성 유체)의 질량 보존의 법칙에 해당하는 연속 방정식에 발산 정리를 적용하여 유도된다.^[29]

• '''에너지 방정식(베르누이 정리)''': 비에너지의 변화량은 하상 경사와 에너지 경사의 차이와 같다.^[28]

• '''운동량 방정식(운동량 보존 법칙)''': 비력의 변화는 중력과 외력(마찰력)의 영향을 받는다.^[28]

• $Q$: 유량
• $A$: 유수 단면적
• $v$: 단면 평균 유속
• $H\_0$: 비에너지
• $I\_b$: 하상 경사
• $I\_e$: 에너지 경사
• $\backslash left(M\_0\backslash right)\_1,\; \backslash left(M\_0\backslash right)\_2$: 검사 면 1, 2에서의 비력
• $V$: 컨트롤 볼륨의 체적
• $\backslash theta$: 하상 경사
• $F$: 외력(마찰력)
• $\backslash rho$: 물의 밀도
• $g$: 중력 가속도

9. 2. 도수(跳水, hydraulic jump)

10. 부등류 계산

부등류(점변류)의 수면형을 분류하고, 수면곡선을 계산한다.

11. 비정상류

하천의 대표적인 비정상류에는 "홍수"에 의한 수리 도약 등이 존재한다.

참조

_[1] 서적 Open-Channel Hydraulics https://heidarpour.i[...] The Blackburn Press
_[2] 서적 Unsteady Flow in Open Channels https://www.cambridg[...] Cambridge University Press
_[3] 서적 Basic Hydraulic Principles of Open-Channel Flow https://pubs.usgs.go[...] U.S. Geological Survey
_[4] 서적 Open Channel Hydraulics http://docshare03.do[...] McGraw-Hill
_[5] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[6] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[7] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[8] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[9] 서적 ブレビア・フェラント『コンピュータ水理学』
_[10] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[11] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[12] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[13] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[14] 서적 川合・和田・神田・鈴木『河川工学』
_[15] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[16] 서적 川合・和田・神田・鈴木『河川工学』
_[17] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[18] 문서 流れの性質が、空間的にある程度均質であるとみなせる状態。
_[19] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[20] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[21] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[22] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[23] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[24] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[25] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[26] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[27] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[28] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[29] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[30] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[31] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[32] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[33] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[34] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[35] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
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_[37] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[38] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[39] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[40] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[41] 서적 禰津『水理学・流体力学』
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_[43] 문서
_[44] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[45] 문서
_[46] 서적 ブレビア・フェラント『コンピュータ水理学』
_[47] 서적 ブレビア・フェラント『コンピュータ水理学』
_[48] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[49] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[50] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[51] 서적 禰津『水理学・流体力学』
_[52] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[53] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[54] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[55] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[56] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[57] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[58] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[59] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[60] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[61] 서적 日下部・檀・湯城『水理学』
_[62] 서적 禰津・冨永『水理学』
_[63] 서적 토목기사 상하수도공학 한솔아카데미 2016