경계요소법
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1. 개요
경계요소법은 편미분 방정식을 경계 적분 방정식으로 변환하여 문제를 해결하는 수치 해석 기법이다. 그린 함수를 사용하여 경계 조건을 만족하는 적분 방정식을 구성하고 수치적으로 풀어 해를 구한다. 유한 요소법 등 다른 수치 해석 기법과 비교하여, 경계면만 이산화하여 계산 자원 측면에서 효율적이며, 무한 영역 문제를 직접 다룰 수 있다는 특징이 있다. 파동 전파 문제, 형상 최적화 문제 등 다양한 공학 분야에 응용되며, 완전 밀집 행렬로 인해 계산 비용이 증가하는 단점을 보완하기 위해 고속 다중극 전개법과 같은 기술이 사용된다. 다양한 상용 및 오픈 소스 소프트웨어가 존재한다.
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| 경계요소법 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 유형 | 수치해석 |
| 분야 | 공학 수학 |
| 풀이 대상 | 선형 편미분 방정식 |
| 관련 항목 | 유한 요소법 유한 차분법 |
| 특징 | |
| 장점 | 무한 영역 문제에 효과적임 요소망 생성이 표면에만 필요함 |
| 단점 | 행렬이 조밀함 그린 함수를 알아야 함 |
| 역사 | |
| 개발자 | Lucien Malavard Frank J. Rizzo |
| 개발 시기 | 1960년대 |
| 사용 예시 | |
| 적용 분야 | 전자기학 음향학 유체역학 탄성체 역학 지반공학 |
2. 수학적 기초
경계요소법은 지배 편미분 방정식을 경계 적분 방정식으로 변환하여 문제를 해결한다. 그린 함수(기본 해)를 사용하여 경계 조건에 맞는 적분 방정식을 구성하고, 이를 수치적으로 풀어 해를 구한다.[5][6][7][8]
경계요소법은 그린 함수를 계산할 수 있는 문제에 적용할 수 있다. 일반적으로 이것은 선형 균질 매질의 장을 포함한다. 비선형성을 공식화에 포함할 수 있지만, 체적 적분을 도입하게 되면 경계요소법의 장점 중 하나가 사라진다. 이러한 문제를 해결하기 위해 이중 상호 작용 방법과 같은 기법이 사용되기도 한다.
기본 해는 특이 하중(예: 점 전하에서 발생하는 전기장)에 대한 시스템 방정식의 해를 기반으로 하므로, 특이 적분은 쉽지 않다. 단순한 요소 형상(예: 평면 삼각형)의 경우 해석적 적분을 사용할 수 있다.
2. 1. 지배 방정식 및 경계 조건
경계요소법은 주어진 영역에서 정의된 편미분 방정식과 경계 조건을 만족하는 해를 구하는 것을 목표로 한다.라플라스 문제는 다음과 같은 지배 방정식과 경계 조건을 동시에 만족하는 해(포텐셜) ''u''를 구하는 문제이다.
- 지배 방정식:
:
- 경계 조건:
:
여기서 Ω는 영역이고, 영역의 경계 Γ는 포텐셜 ''u''가 규정되어 있는 경계 Γ''u''와 플럭스 가 규정되어 있는 경계 Γ''q''로 구성되어 있으며, 이다. 또한, ''n''은 경계에서의 외향 법선 방향을 나타낸다.
위에 나타낸 지배 방정식과 함수 ''u''*를 곱하여 Ω에 관한 영역 적분을 생각하면, ''u''가 참해이면 지배 방정식을 만족하므로, 이것을 포함하는 항을 적분해도 0이 된다.
:
이 항등식을 2번 부분 적분하면, 로 하여,
:
을 얻는다. 또한, 아래 첨자 ''x''는 점 ''x''에 관한 적분임을 나타낸다.
얻어진 식에서 영역 적분을 없애기 위해, 함수 ''u''*는 다음 식을 만족하도록 주어진다.
:
이 함수 ''u''*는 기본해라고 불리며, 라플라스 문제에서는, (2점 간의 거리)로 하여,
:
로 주어진다. ''u''*는, 공간 내의 점 '''ξ'''에 크기 1의 단위 와기다시가 있을 때, 점 ''x''에서 관측되는 포텐셜 값을 주는 함수라고 해석할 수 있다. 따라서, 는 소스점, 는 관측점이라고 불린다.
이 정의식을 위의 적분 방정식에 대입하면,
:
을 얻는다. 이 식은, 경계상의 포텐셜과 플럭스의 분포가 주어져 있을 때, 영역 내부의 점 ''x''에서의 포텐셜 값을 계산할 때 사용할 수 있다.
다음으로, 이 적분 방정식에서, 포텐셜 값을 평가하는 점 '''ξ'''를 영역 내부에서 경계상의 점으로 이동시킨다. 기본해 ''u''*, ''q''*는 ''r'' = 0에서 함수값이 무한대로 발산하기 때문에, 점 '''ξ'''의 경계상으로의 이동은, 경계 적분이 유한 확정값이 되도록 주의하면서, 극한의 의미로 생각해야 한다. 그 결과, 위에 나온 적분 방정식은 극한 조작에 의해 다음과 같이 된다.
:
여기서, ''c'' ('''ξ''')는, 점 '''ξ'''의 경계 형상에서 결정되는 정수로, 경계가 매끄러우면 1/2, 모서리면 해당 점에서의 내각의 크기로 주어진다. 이 식이 경계 적분 방정식(Boundary Integral Equation)이며, 경계 요소법의 이산화의 출발점이 되는 중요한 방정식이다.
2. 2. 경계 적분 방정식 유도
지배 방정식에 그린 함수를 곱하고 부분 적분을 반복하여 경계 적분 방정식을 유도한다.[5]라플라스 문제는 다음 지배 방정식과 경계 조건을 동시에 만족하는 해(포텐셜) ''u''를 구하는 문제이다.
- 지배 방정식:
:
- 경계 조건:
:
여기서 Ω는 영역이고, 영역의 경계 Γ는 포텐셜 ''u''가 규정되어 있는 경계 Γ''u''와 플럭스 가 규정되어 있는 경계 Γ''q''로 구성되어 있으며, 이다. ''n''은 경계에서의 외향 법선 방향을 나타낸다.
위에 나타낸 지배 방정식과 함수 ''u''*를 곱하여 Ω에 관한 영역 적분을 생각하면, ''u''가 참해일 때 지배 방정식을 만족하므로, 이를 포함하는 항을 적분해도 0이 된다.
:
이 항등식을 2번 부분 적분하면, 로 하여, 다음 식을 얻는다.
:
아래 첨자 ''x''는 점 ''x''에 관한 적분임을 나타낸다.
얻어진 식에는 영역 적분이 하나 남아있다. 이것을 없애기 위해, 함수 ''u''*는 다음 식을 만족하도록 주어진다.
:
이 함수 ''u''*는 기본해라고 불리며, 라플라스 문제에서는 (2점 간의 거리)로 하여, 다음과 같이 주어진다.
:
''u''*는 공간 내의 점 '''ξ'''에 크기 1의 단위 와기다시가 있을 때, 점 ''x''에서 관측되는 포텐셜 값을 주는 함수라고 해석할 수 있다. 따라서 는 소스점, 는 관측점이라고 불린다.
이 정의식을 위의 적분 방정식에 대입하면, 다음을 얻는다.
:
이 식은 경계상의 포텐셜과 플럭스의 분포가 주어졌을 때, 영역 내부의 점 ''x''에서의 포텐셜 값을 계산하는 데 사용될 수 있다. 라플라스 문제나 정탄성 문제 등에서는 관측되는 포텐셜 값에 미치는 경계상의 해의 변동의 영향은 거리가 멀어짐에 따라 작아지기 때문에, 경계 요소법에 따르면 내부의 점에서의 포텐셜 값은 정밀하게 계산할 수 있다.
다음으로, 이 적분 방정식에서 포텐셜 값을 평가하는 점 '''ξ'''를 영역 내부에서 경계상의 점으로 이동시킨다. 기본해 ''u''*, ''q''*는 ''r'' = 0에서 함수값이 무한대로 발산하기 때문에, 점 '''ξ'''의 경계상으로의 이동은 경계 적분이 유한 확정값이 되도록 주의하면서 극한의 의미로 생각해야 한다. 그 결과, 위에서 유도된 적분 방정식은 극한 조작에 의해 다음과 같이 변경된다.
:
여기서 ''c'' ('''ξ''')는 점 '''ξ'''의 경계 형상에서 결정되는 정수로, 경계가 매끄러우면 1/2, 모서리면 해당 점에서의 내각의 크기로 주어진다. 이 식이 경계 적분 방정식(Boundary Integral Equation)이며, 경계 요소법 이산화의 출발점이 되는 중요한 방정식이다.
2. 3. 기본 해 (그린 함수)
Fundamental solution영어 (기본 해)는 특이 하중(예: 점 전하에서 발생하는 전기장)에 대한 시스템 방정식의 해이다.[5][6][7][8] 문제의 특성에 따라 다양한 형태를 갖는다.주요한 경계값 문제·초기값 경계값 문제에 대한 기본해는 다음과 같다.
2. 4. 수치적 해법
경계요소법은 주어진 경계 조건을 사용하여, 편미분 방정식으로 정의된 공간 전체의 값 대신 경계 값을 적분 방정식에 맞추려고 시도한다. 이 작업이 완료되면, 후처리 단계에서 적분 방정식을 다시 사용하여 해 영역 내부의 원하는 지점에서 직접 수치적으로 해를 계산할 수 있다.[5][6][7][8]경계 적분 방정식을 수치적으로 풀기 위해서는 경계면을 이산화하고, 보간 함수를 사용하여 미지수를 근사하는 과정이 필요하다. 일반적으로 선점법(Collocation Method) 혹은 갈레르킨 방법(Galerkin Method)을 사용하여 이산화를 진행한다.
경계요소법은 그린 함수를 계산할 수 있는 문제에 적용할 수 있다. 하지만, 이는 선형 균질 매질의 장을 포함하는 문제에 주로 적용되며, 비선형성을 포함하는 경우 체적 적분을 도입해야 하므로 경계요소법의 장점이 사라질 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 이중 상호 작용 방법과 같은 기법이 사용되기도 한다.
2. 4. 1. 경계 이산화 및 보간 함수
2차원 라플라스 방정식 문제에서는 포텐셜 ''u''와 플럭스 ''q''가 변수(미지수)인 경계 적분 방정식의 이산화가 필요하다. 따라서 먼저, 경계면을 요소로 나누고, 각 요소 내에서 ''u''와 ''q''를 ''N''개의 보간 함수를 사용하여 다음과 같이 근사한다.[23][24][25][26]:
여기서 φ''j''는 보간 함수이며, 유한 요소법에서 사용되는 곡선 요소, 삼각형 요소, 사변형 요소 등을 그대로 이용할 수 있다. 경계 요소 근사에서는 공식화 상 특별한 제약이 없는 한, 구간 상수 근사의 도입이 가능하다. 그 간편함과 경계 적분의 계산 용이성으로 인해, 많은 경우 구간 상수 근사가 사용된다.
경계 적분 방정식의 이산화에서는 경계 값의 근사와 경계 적분의 계산이 필요하며, 물체 형상도 정의해 둘 필요가 있다. 영역 형상의 근사 표현에서도 유한 요소법에서 사용되는 곡선 요소나 평면·곡면 요소를 그대로 사용할 수 있다. 단, 경계 값의 근사에서는 구간 상수 근사가 적용 가능했지만, 영역 형상의 근사에서는 구간 상수 근사를 사용할 수 없다.
2. 4. 2. 선점법 (Collocation Method)
경계 위에 ''N''개의 대표점(선점) '''ξ'''''i'' (''i'' = 1, 2, ... , ''N'' )를 설정하고, 각 점에서의 잔차 방정식에 대해 임을 적용하여 ''N''개의 방정식을 구한다(선점법).[23][24][25][26]일반적으로 경계요소법에서는 이 선점법을 사용하여 이산화를 진행한다. 그 결과는 다음과 같다.
:
여기서,
:
라고 하면, 다음의 ''N''원 연립 대수 방정식을 얻는다.
:
또한, 해의 유일성이 보장되는 경우, 경계값 ''Uj'' , ''Qj''는 둘 중 하나가 미지수이고, 다른 하나는 알려진 값이다. 따라서 미지 경계값을 ''Xj''로, 미지 경계값에 곱해지는 계수를 ''Aij''로, 알려진 경계값과 계수 성분의 곱셈 결과를 묶어서 ''bi''로 나타내면, 다음과 같은 연립 일차 방정식을 얻는다.
:
이 식을 풀면 경계에서의 포텐셜과 플럭스를 근사적으로 구할 수 있다.
2. 4. 3. 갈레르킨법 (Galerkin Method)
''N''개의 보간 함수와 잔차 방정식의 경계 적분을 고려하여, 각 항이 모두 0이 되도록 연립 방정식을 구성하는 방법이다.[37]2차원 라플라스 방정식 문제에서는 포텐셜 ''u'' 와 플럭스 ''q'' 를 변수(미지수)로 하는 경계 적분 방정식의 이산화가 필요하다. 따라서, ''u'' 와 ''q'' 를 ''N'' 개의 보간 함수를 사용하여 다음과 같이 근사한다.
:
여기서, φ''j''는 보간 함수이며, 유한 요소법에서 사용되는 곡선 요소나 삼각형 요소, 사변형 요소 등을 그대로 이용할 수 있다.[23][24][25][26]
이 근사 함수를 경계 적분 방정식에 대입하면 잔차 방정식을 얻는다.
:
잔차 방정식에 대해 ''N''개의 보간 함수 φ''i'' (''i'' = 1, 2, ... , ''N'' ) 와 잔차 방정식의 경계 적분을 고려하여, 각 항이 모두 0이 되는 것을 구한다.
그 결과, 다음과 같은 식을 얻는다.
:
여기서,
:
라고 하면, ''N''원 연립 대수 방정식을 얻는다.
:
해의 유일성이 보장되는 경우에는, 경계값 ''Uj'' , ''Qj''는 둘 중 하나가 미지수이고, 다른 하나는 기지이다. 따라서, 미지 경계값을 ''Xj'', 미지 경계값에 곱해지는 계수를 ''Aij'', 기지 경계값과 계수 성분과의 곱셈 결과를 묶어서 ''bi''로 나타내면, 연립 일차 방정식을 얻는다.
:
이 식을 풀면, 경계상의 포텐셜과 플럭스를 근사적으로 얻을 수 있다.
2. 4. 4. 특이 적분 처리
경계 요소 해석에서 만족스러운 결과를 얻으려면, 기본 해의 특이성을 나타내는 함수의 적분을 얼마나 정확하고 효율적으로 처리하는지가 중요하다. 경계요소법에서 기본 해는 특이 하중(예: 점 전하에서 발생하는 전기장)에 따라 시스템 방정식의 해를 기반으로 하므로, 특이 적분은 피적분 함수 ''u''* , ''q''* 가 '''x''' = '''ξ'''''i'' 에서 무한대가 되는 특이성을 갖는다.이 특이 적분은 다음과 같이 처리할 수 있다.
- 가능하다면 해석적(손 계산)으로 처리한다.
- 불가능하다면 특이성을 제거한 후 수치적으로 처리한다.
- 강체 이동 조건이나 일정 포텐셜 조건 등 물리적으로 충족해야 하는 조건을 사용하여 간접적으로 계산한다.
단순한 요소 형상 (예: 평면 삼각형)의 경우 해석적 적분을 사용할 수 있다. 더 일반적인 요소의 경우, 특이성에 적응하는 순수하게 수치적인 방식을 설계하는 것이 가능하지만, 이는 계산 비용이 매우 크다.
선택점이 경계상에 없는 경우에도 경계 적분 처리에 주의해야 한다. 선택점과 적분 영역과의 거리가 적분 영역의 대표 길이에 비해 작은 경우에는, 피적분 함수가 적분 영역 내에서 크게 변동하여, 가우스 구적법[38] 등의 수치 적분 공식을 사용하면 적분 정밀도가 대폭 저하될 수 있다. 이러한 오차를 줄이기 위해 적분 영역을 세분화하여 적분을 계산하는 방법이 가장 간단하다.
3. 주요 특징 및 장단점
경계요소법은 유한 요소법 등 다른 수치 해석 기법과 비교하여 다음과 같은 특징, 장점 및 단점을 가진다.[17][18][19]
가장 큰 특징은 대상 문제에 따라 "경계면의 이산화만으로 근사해를 얻을 수 있다"는 점이다. 3차원 문제에서는 곡면, 2차원 문제에서는 곡선에서 이산화가 이루어진다. 따라서 유한 요소법처럼 영역 내부 이산화가 필요한 방법에 비해[23][24][25][26] 요소나 절점 수가 적어 계산 자원 측면에서 효율적이다.
하지만, 경계요소법은 방정식의 계수 행렬 성분이 거의 모두 0이 아닌 밀집 행렬이 된다. 따라서 계수 행렬 저장에 필요한 기억 용량은 방정식 원수 ''N''에 비례한다. 가우스 소거법 같은 직접법을 사용하면 ''N''3,[49][50][51] 반복법 (수치 계산)을 사용해도 ''N''2에 비례하는[49][50][51] 계산량이 필요하다.
반면, 유한 요소법이나 유한 차분법은[20][21][23][24][25][26] 계수 행렬 성분 대부분이 0인 희소 행렬이 된다. 따라서 문제 규모가 커져도 메모리나 계산량이 경계요소법보다 적은 경우가 많아, 이는 경계요소법의 단점으로 꼽힌다.
이러한 단점을 해결하기 위해 Fast multipole method|고속 다중극 전개법영어[53][54][55][56]이나 웨이블릿[57][58][59] 이용이 제안된다.
3. 1. 경계면 이산화
경계요소법은 문제 영역의 경계면만을 이산화한다. 따라서 요소 및 절점 수가 적어 계산 비용을 절감할 수 있다는 장점이 있다. 개념적으로는 모델링된 표면에 "메쉬"를 구성하여 작동한다.2차원 라플라스 방정식 문제에서는 포텐셜 ''u''와 플럭스 ''q''가 변수(미지수)인 경계 적분 방정식의 이산화가 필요하다. ''u''와 ''q''는 ''N''개의 보간 함수를 사용하여 다음과 같이 근사한다.
:
여기서, φ''j''는 보간 함수이며, 유한 요소법에서 사용되는 곡선 요소, 삼각형 요소, 사변형 요소 등[23][24][25][26]을 그대로 이용할 수 있다. 경계 요소 근사에서는 구간 상수 근사의 도입이 가능하다. 간편함과 경계 적분의 계산 용이성 때문에 많은 경우 구간 상수 근사가 사용된다.
경계 적분 방정식의 이산화에서는 경계 값의 근사와 경계 적분의 계산이 필요하며, 물체 형상도 정의해 두어야 한다. 영역 형상의 근사 표현에서도 유한 요소법에서 사용되는 곡선 요소나 평면·곡면 요소[23][24][25][26]를 그대로 사용할 수 있다. 단, 경계 값의 근사에서는 구간 일정 근사가 적용 가능했지만, 영역 형상의 근사에서는 구간 일정 근사를 사용할 수 없다.
경계요소법의 가장 큰 특징은 대상 문제에 따라 "경계면의 이산화만으로 근사해를 얻을 수 있다"는 점이다. 경계면의 이산화는 3차원 문제의 경우 곡면상에서, 2차원 문제의 경우 곡선상에서 수행된다. 따라서 유한 요소법과 같이 영역 내의 이산 근사가 필요한 해법에 비해[23][24][25][26] 이산화에 필요한 요소나 절점의 수가 적게 든다.
경계면의 이산화만으로 문제를 풀 수 있는 경우는 다음과 같다. 정적 문제·정상 문제에서 라플라스 문제, 선형 탄성 문제[40], 정상 파동 문제[41][42][43][44][45] 등과 같이, 선형 문제에서 이산화 시 사용되는 기본해가 해석적으로 엄밀하게 얻어지고, 내부 소스나 물체력과 같은 지배 방정식의 비동차항이 존재하지 않는 경우이다. 지배 방정식이 비동차항을 포함하고 있어도 비동차항의 종류에 따라 비동차항을 포함하는 영역 적분을 경계 적분으로 변환할 수 있는 경우도 있다(예: 선형 탄성 문제에서의 중력 작용).
시간 발전형 문제에서 경계면의 이산화만으로 근사해를 얻기 위해서는, 선형 문제 시 부과된 조건 외에 시간에 관한 이산화 방법에도 주의해야 한다.
3. 2. 무한 영역 문제
경계요소법은 무한 영역 문제를 별도의 처리 없이 직접 다룰 수 있다는 특징을 가지고 있다. 특히 파동 전파 문제에서 이러한 특징이 두드러지는데, 무한대에서의 파동 방사를 근사적인 처리 없이 표현할 수 있다.[23][24][25][26] 이는 유한 차분법이나 유한 요소법에서 동적 응답 관측 지점에서 멀리 떨어진 곳에 가상 경계를 설정하고 파동 방사를 근사적으로 처리해야 하는 것과 대조적이다.이러한 장점 덕분에 경계요소법은 지반 진동 해석, 지진파 전파 해석, 음향 문제 해석, 전자기장 해석 등에서 자주 활용된다.
하지만, 폐영역(무한 영역이 아닌 유한한 영역)을 대상으로 하는 동적 문제(예: 진동 문제)에서는 유한 요소법처럼 모드 해석을 할 수 없고, 계산 시간도 더 많이 소요되기 때문에 널리 사용되지는 않는다.
3. 3. 밀집 행렬
경계 요소 공식은 일반적으로 완전 밀집 행렬을 생성한다. 이는 저장 요구 사항과 계산 시간이 문제 크기의 제곱에 따라 증가하는 경향이 있음을 의미한다. 반대로, 유한 요소법 행렬은 일반적으로 대역 행렬이며 (요소는 국부적으로만 연결됨) 시스템 행렬의 저장 요구 사항은 일반적으로 문제 크기에 따라 거의 선형적으로 증가한다. 압축 기술 (예: 다중극 전개 또는 적응적 교차 근사/계층적 행렬)은 이러한 문제를 완화하는 데 사용될 수 있지만 복잡성이 추가되고 해결되는 문제의 특성과 관련된 기하학에 따라 성공률이 크게 달라진다는 단점이 있다.경계요소법에서는 규모가 작은 연립 1차 방정식을 다룰 수 있지만, 방정식의 계수 행렬 성분은 거의 모두 0이 아니다. 따라서 계수 행렬을 저장하는 데 필요한 기억 용량은 방정식의 원수 ''N''에 비례한다. 또한, 연립 방정식을 풀기 위해서는 가우스 소거법에 대표되는 직접법을 사용하면 ''N''3에[49][50][51], 반복법 (수치 계산)을 사용해도 ''N''2에 비례하는 계산량이 필요하다.[49][50][51]
영역 내의 이산화가 필요한 유한 요소법이나 유한 차분법에서는[20][21][23][24][25][26], 계수 행렬 성분의 대부분이 0인 희소 행렬이 되기 때문에, 문제의 규모가 다소 커져도 사용 메모리나 계산량은 경계요소법에 비해 적게 드는 경우가 적지 않다. 따라서 이 점은 경계요소법의 가장 큰 단점 중 하나로 여겨진다. 해결책으로는 다체 문제[52]의 해석 속도 향상에 사용되던 Fast multipole method|고속 다중극 전개법영어[53][54][55][56]의 적용이나, 웨이블릿의 이용이 제안되고 있다.[57][58][59]
3. 4. 고속 다중극 전개법 (Fast Multipole Method)
경계 요소 공식은 일반적으로 완전 밀집 행렬을 생성하여 저장 요구 사항과 계산 시간이 문제 크기의 제곱에 따라 증가하는 경향이 있다. 반면, 유한 요소법 행렬은 일반적으로 대역 행렬이며 (요소는 국부적으로만 연결됨) 시스템 행렬의 저장 요구 사항은 일반적으로 문제 크기에 따라 거의 선형적으로 증가한다. 압축 기술(예: 다중극 전개 또는 적응적 교차 근사/계층적 행렬)을 사용하여 이러한 문제를 완화할 수 있지만, 복잡성이 추가되고 해결되는 문제의 특성과 관련된 기하학에 따라 성공률이 크게 달라진다.[49][50][51]연립 일차 방정식의 원수 크기는 해석 시의 계산 부하(사용 메모리, 계산 시간)와 직결된다.[49][50][51] 경계요소법에서는 규모가 작은 연립 1차 방정식을 다룰 수 있지만, 방정식의 계수 행렬 성분은 거의 모두 0이 아니다. 따라서 계수 행렬을 저장하는 데 필요한 기억 용량은 방정식의 원수 ''N''에 비례한다. 또한, 연립 방정식을 풀기 위해서는 가우스 소거법에 대표되는 직접법을 사용하면 ''N''3에[49][50][51], 반복법 (수치 계산)을 사용해도 ''N''2에 비례하는 계산량이 필요하다.[49][50][51]
영역 내 이산화가 필요한 유한 요소법이나 유한 차분법에서는[20][21][23][24][25][26] 계수 행렬 성분의 대부분이 0인 희소 행렬이 되기 때문에, 문제의 규모가 다소 커져도 사용 메모리나 계산량은 경계요소법에 비해 적게 드는 경우가 많다. 따라서 이 점은 경계요소법의 가장 큰 단점 중 하나로 여겨진다. 해결책으로는 다체 문제[52] 해석 속도 향상에 사용되던 Fast multipole method|고속 다중극 전개법영어[53][54][55][56]의 적용이나, 웨이블릿의 이용이 제안되고 있다.[57][58][59]
4. 응용 분야
경계요소법은 무한 영역에서 파동이 전파되는 현상을 효과적으로 모델링할 수 있으며, 형상 최적화 문제에서 설계 감도 계산에 유리하다. 이러한 특징으로 인해 파동 전파 문제, 형상 최적화 문제등 다양한 공학 및 물리 문제에 적용될 수 있다.
4. 1. 파동 전파 문제
경계요소법은 무한 영역에서 파동이 전파되는 현상을 효과적으로 모델링할 수 있다. 특히 파동 문제에서 무한대에서의 파동 방사를 근사 처리 없이 표현할 수 있다는 장점이 있다. 유한 차분법이나 유한 요소법에서는 동적 응답을 관측하는 지점에서 충분히 떨어진 곳에 가상 경계를 설정하고 파동 방사를 근사적으로 처리해야 하지만, 경계요소법은 이러한 과정이 필요 없다.이러한 특징 덕분에 경계요소법은 다음과 같은 분야에서 활용된다.
하지만, 닫힌 영역(폐영역)을 대상으로 하는 동적 문제(진동 문제 등)에서는 유한 요소법과 같은 모드 해석을 할 수 없고, 계산 시간이 더 많이 필요하기 때문에 자주 사용되지는 않는다.
한국에서는 특히 지반의 특성을 고려한 지진파 전파 해석 및 구조물과의 상호작용 분석에 경계요소법이 활용될 수 있다.
4. 2. 형상 최적화 문제
경계요소법은 경계면의 이산화만으로 문제를 해결할 수 있어, 형상 최적화 문제에서 설계 감도 계산에 유리하다.[17][18][19] 형상 최적화 문제란 공학 분야에서 구조 부재의 형상을 주어진 목적 함수와 제약 조건 아래에서 자동적으로 최적화하는 것을 말한다.[69][70][71][72] 부재의 사용을 탄성 한계 내에서 고려할 때, 탄성 응답은 경계 적분 방정식을 풀어 파악할 수 있으며, 설계 감도 계산 역시 마찬가지이다. 감도 계산은 형상이 변경될 때마다 필요하지만, 경계상의 이산화만으로 충분하므로 요소 분할 등의 작업 부담을 크게 줄일 수 있다.5. 관련 소프트웨어
다음은 경계요소법 관련 소프트웨어 목록이다.
- Bembel: 3차원, 등기하학적, 고차, 오픈 소스 BEM 소프트웨어. 라플라스, 헬름홀츠, 맥스웰 문제를 해결하며, 빠른 다중극 방법을 활용하여 계산 비용을 줄이고 압축한다.
- boundary-element-method.com: 음향/Helmholtz 및 Laplace 문제를 해결하는 오픈 소스 BEM 소프트웨어.
- Puma-EM: 오픈 소스, 고성능 모멘트법/다중 레벨 고속 다중극 방법 병렬 프로그램.
- AcouSTO: 음향 시뮬레이션 도구(Acoustics Simulation TOol). Kirchhoff-Helmholtz 적분 방정식(KHIE)을 위한 무료 오픈 소스 병렬 BEM 솔버.
- FastBEM: 2D/3D 전위, 탄성, 스토크스 흐름, 음향 문제를 해결하는 무료 고속 다중극 경계 요소 프로그램.
- ParaFEM: Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser의 ''The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists''(Springer, 2008)에 설명된 탄성 문제 해결을 위한 무료 오픈 소스 병렬 BEM 솔버 포함.
- Boundary Element Template Library (BETL): 경계 적분 연산자 이산화를 위한 범용 C++ 소프트웨어 라이브러리.
- Nemoh: 해양 구조물에 대한 1차 파동 하중(부가 질량, 방사 감쇠, 회절력) 계산을 위한 오픈 소스 수력학 BEM 소프트웨어.
- Bempp: 3D Laplace, Helmholtz, Maxwell 문제를 위한 오픈 소스 BEM 소프트웨어.
- MNPBEM: 임의 형상 나노 구조에 대한 맥스웰 방정식을 풀기 위한 오픈 소스 Matlab 툴박스.
- Contact Mechanics and Tribology Simulator: 무료 BEM 기반 소프트웨어.
- MultiFEBE: 계산 역학을 위한 BEM-FEM 솔버. 2D/3D 점탄성 또는 다공성 탄성 매체를 빔 및 쉘 구조 요소와 결합할 수 있다(예: 동적 토양-구조 상호 작용 문제).
- BE-STATIK: 2D 전위, 탄성, 판 굽힘 문제(Kirchhoff)를 위한 무료 BE-프로그램.
6. 같이 보기
- 수치 해석
- CAE
- 유한 요소법
- 대용 전하법
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