계승 (수학)

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1. 개요

계승은 음이 아닌 정수 n에 대해 1부터 n까지의 모든 정수를 곱한 값으로 정의되며, n!으로 표기한다. 0의 계승은 1로 정의된다. 계승은 감마 함수를 통해 복소수까지 확장될 수 있으며, 다중 계승, 지수 계승, 소수 계승과 같은 관련 개념이 존재한다. 계승의 개념은 12세기 인도 수학에 이미 알려져 있었으며, 느낌표 표기법은 1808년 크리스티앙 크람프에 의해 처음 사용되었다.

계승 (수학)

기본 정보

종류	연산
기호	n!
정의	1부터 n까지의 모든 자연수의 곱
공식	n! = 1 × 2 × 3 × ... × n
예시	5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
관련 항목	감마 함수 이항 계수 스털링 근사

수학적 성질

점화식	n! = n × (n-1)!
특수한 값	0! = 1
응용	조합론 확률론 미적분학

계산 예시

0!	1
1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5,040
8!	40,320
9!	362,880
10!	3,628,800
11!	39,916,800
12!	479,001,600
13!	6,227,020,800
14!	87,178,291,200
15!	1,307,674,368,000
16!	20,922,789,888,000
17!	355,687,428,096,000
18!	6,402,373,705,728,000
19!	121,645,100,408,832,000
20!	2,432,902,008,176,640,000
25!	1.551121004 × 10^25
64!	3.041409320 × 10^64
70!	1.197857167 × 10^100
100!	9.332621544 × 10^157
170!	7.257415615307999 × 10^306
200!	7.88657867364790503552363213932185062295135977687173263294742533244359449963528901428562891337289488672700550815972118784207310829671756356779517754425578923606802026950034734353754274626270313004197578827331436363550141595131350
1,000!	1.733368733 × 10^2567
3,249!	4.023872601 × 10^2567
10,000!	6.412337688 × 10^10000
25,206!	2.846259681 × 10^35659
50,000!	1.205703438 × 10^100000
100,000!	2.824229408 × 10^456573
205,023!	2.503898932 × 10^1000004
1,000,000!	8.263931688 × 10^5565708

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2. 정의

음이 아닌 정수 n의 계승 n!은 다음과 같이 정의된다.

:1×2×3×...×(n-2)×(n-1)×n

특히, 0의 계승은 1이다.

:0!=1

처음 몇 계승은 다음과 같다.

:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ...

쉽게 정리하면 5! = 1×2×3×4×5이다.

2.1. 정수의 계승

2.2. 복소수의 계승

감마 함수를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 복소수까지 확장할 수 있다. 감마 함수 $\Gamma$ 의 정의역은 $\mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\dots\}$ 이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.

: $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\qquad(\operatorname{Re}z>0)$

감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.

: $n!=\Gamma(n+1)\qquad(n\in\mathbb N)$

이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 $z$ 의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $z!=\Gamma(z+1)\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{-1,-2,\dots\})$

특히, 반정수의 계승은 다음과 같다.

: $(n-1/2)!=\sqrt\pi(2n-1)!!/2^n=\sqrt\pi\prod_{k=1}^n(k-1/2)\qquad(n\in\mathbb N)$

2.2.1. 감마 함수와의 관계

2.2.2. 반정수의 계승

(내용 없음)

2.3. 기수의 계승

대칭군의 크기가 계승과 같다는 사실을 통해, 계승을 임의의 기수까지 확장할 수 있다. 기수 $\kappa$ 의 계승 $\kappa!$ 는 다음과 같이 정의된다.
: $\kappa!=|\operatorname{Sym}(\kappa)|=\begin{cases}\kappa(\kappa-1)(\kappa-2)\cdots3\cdot2\cdot1&\kappa<\aleph_0\\2^\kappa&\kappa\ge\aleph_0\end{cases}$

3. 성질

3.1. 항등식

계승· $k$ 중 계승·지수 계승의 점화식은 각각 다음과 같다.
: $n!=n(n-1)!$
: $n!_k=n(n-k)!_k$
: $a_n=n^{a_{n-1}}$

3.2. 점근 공식

임의의 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

: $\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$

특히, 큰 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, 계승에 대한 스털링 근사는 다음과 같다.

: $n!\approx\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$

3.3. 수론적 성질

3.3.1. 윌슨 정리

2 이상의 정수 p에 대해 다음이 성립한다.

* p가 소수이면 (p-1)!을 p로 나눈 나머지가 p-1이다.
* (p-1)!를 p로 나눈 나머지가 p-1이면 p가 소수이다.

3.3.2. 르장드르 공식

임의의 $n\in\mathbb Z^+$ 및 소수 $p$ 에 대하여, $p\mid n!$ 은 $p\le n$ 과 동치이다. 또한, 르장드르 공식(르장드르 포뮬러/Legendre's formula^영어)에 따르면, $n!$ 의 소인수 분해에서 $p$ 의 지수 $v_p(n!)$ 는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.)
: $v_p(n!)=\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac n{p^k}\right\rfloor=\frac{n-\alpha_p(n)}{p-1}$
여기서
* $\lfloor-\rfloor$ 는 바닥 함수이다.
* $\alpha_p(n)$ 은 $n$ 의 p진법 전개의 자릿수의 합이다.

4. 관련 개념

4.1. 다중 계승

계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, 다중 계승(多重階乘, multifactorial^영어)의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 $k$ 과 정수 $n>-k$ 가 주어졌을 때, $n$ 의 $k$ 중 계승은 다음과 같다. (이는 $k$ 번의 계승과 다른 개념이다.)
: $n!_k=\prod_{m=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-mk)=n(n-k)(n-2k)\cdots$
특히, $-k 일 경우 다음과 같다.$
: $1=0!_k=(-1)!_k=(-2)!_k=\cdots=(-(k-1))!_k$
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, 이중 계승(二重階乘, double factorial^영어)은 다음과 같다. 임의의 $n\in\mathbb N$ 에 대하여,
: $(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2$
: $(2n-1)!!=(2n)!/(2^nn!)=\prod_{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots5\cdot3\cdot1$
특히, $1=0!!=(-1)!!$ 이다.

처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ...
:1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ...
:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ...

4.1.1. 이중 계승

계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, 다중 계승(多重階乘, multifactorial^영어)의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 k와 정수 n > -k가 주어졌을 때, n의 k중 계승은 다음과 같다. (이는 k번의 계승과 다른 개념이다.)

:n!_k = n(n-k)(n-2k)⋯

특히, -k < n ≤ 0일 경우 다음과 같다.

:1 = 0!_k = (-1)!_k = (-2)!_k = ⋯ = (-(k-1))!_k

예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, 이중 계승(二重階乘, double factorial^영어)은 다음과 같다. 임의의 n에 대하여,

:(2n)!! = 2ⁿn! = (2n)(2n-2)(2n-4)⋯6·4·2
:(2n-1)!! = (2n)!/(2ⁿn!) = (2n-1)(2n-3)(2n-5)⋯5·3·1

특히, 1 = 0!! = (-1)!!이다.

처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.

:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ...
:1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ...
:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ...

4.2. 지수 계승

계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱을 사용하면, 지수 계승(指數階乘, exponential factorial^영어)의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 $n$ 의 지수 계승 $a_n$ 은 다음과 같다.

: $a_n=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots^{2^1}}}}$

처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.

: 1, 1, 2, 9, 262144, ...

4.3. 소수 계승

음이 아닌 정수 n의 소수 계승은 n 이하의 모든 소수의 곱이다.

4.4. 상승 계승과 하강 계승

계승의 일반화로는 여러 가지가 있지만, 그 중에서도 특히 조합론에서 자주 쓰이는 일반화는 상승 계승(rising factorial)과 하강 계승(falling factorial)이다.

5. 역사

계승의 기본적인 개념은 n개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.

팍토리엘/factorielle^프랑스어이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(Louis François Antoine Arbogast)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(Christian Kramp)이 저서 《보편 산술 원론》(Éléments d’arithmétique universelle)에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 파퀼테/faculté^프랑스어)라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.