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그레고리 급수

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목차

1. 개요

그레고리 급수는 아크탄젠트 함수의 급수 전개로, 아크탄젠트 함수를 적분하여 얻을 수 있다. 이 급수는 x = ±1일 때 수렴하며, |x| < 1인 복소수 디스크 내에서 정칙 함수이다. 수렴 속도가 느려 원주율 π를 계산하는 데 실용적이지 않지만, 뉴턴은 수렴 속도를 향상시킨 급수를 발견했다. 그레고리 급수는 인도의 수학자 마다바가 최초로 발견한 것으로 알려져 있으며, 유럽에서는 제임스 그레고리가 재발견하여 라이프니츠가 원주율 π에 대한 공식을 얻는 데 기여했다.

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그레고리 급수
개요
그레고리-라이프니츠 급수
처음 몇 개의 항을 더한 결과의 시각화. 항이 많을수록 결과는 π에 더 가까워진다.
종류멱급수
분야수학, 특히 삼각함수
발견자제임스 그레고리
명명고트프리트 빌헬름 라이프니츠
정의
공식arx = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ... = sum_{n=0}^infty (-1)^n {x^{2n+1} over 2n+1}
조건|x| ≤ 1, x ≠ i, -i
특이한 경우x = 1
x = 1일 때1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = π/4
속성
수렴 반경1
아벨 합1/2 * i * (log(1 - i) - log(1 + i))
일반화
일반화된 형태sum_{n=0}^infty {(-1)^n x^{2n+1} over 2n+1}
베타 함수와의 관계arx = x * _2F_1(1/2, 1; 3/2; -x^2)
관련 급수
관련 급수등비급수
멱급수
테일러 급수
푸리에 급수
ζ(2)

2. 증명

아크탄젠트 함수와 기하급수를 이용하여 그레고리 급수를 유도할 수 있다. 하위 섹션에서는 미적분과 기하급수를 이용한 증명 방법을 제시하고 있다.[2]

2. 1. 미적분을 이용한 증명

아크탄젠트의 정의에 의해 \arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt이다.

\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{1-(-t^2)}이므로 기하급수에 의해 \frac{1}{1+t^2}=\sum_{k = 0}^\infty (-t^2)^k이다. 따라서,

:\begin{align}

\ \arctan x

&=\int_0^x \frac{1}{1 + t^2}dt\\[5mu]

&=\int_{0}^{x} \sum_{k = 0}^\infty (-t^2)^k dt\\[5mu]

&=\int_0^x \left(1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots\right)dt \\[5mu]

&= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7 + \cdots \\[5mu]

&=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}

\end{align}

이다.

의 도함수는 이고, 반대로 의 적분은 이다.


만약 y = \arctan x이면, \tan y = x.이다. 도함수는 다음과 같다.

:

\frac{dx}{dy} = \sec^2 y = 1 + \tan^2 y.



역수를 취하면,

:

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}.



이것은 때때로 아크탄젠트의 정의로 사용된다.

:\arctan x = \int_0^x\frac{du}{1 + u^2}.

x \mapsto \arctan' x = 1 \big/ \left(1 + x^2\right)에 대한 매클로린 급수는 기하 급수이다.

:\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \bigl({-x^2}\bigr){\vphantom)}^k.

\arctan에 대한 매클로린 급수는 항별로 적분하여 찾을 수 있다.

:\begin{align}

\int_0^x \frac{du}{1 + u^2}

&= \int_0^x \left(1 - u^2 + u^4 - u^6 + \cdots\right)du \\[5mu]

&= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7 + \cdots

= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}.

\end{align}

이것은 결과적으로 옳지만, 적분과 무한 합은 항상 이 방식으로 교환될 수 없다. 좌변의 적분이 실수 |x| \leq 1,에 대해 우변의 합으로 수렴한다는 것을 증명하기 위해, \arctan'은 대신 ''유한'' 합으로 쓸 수 있다.[2]

:

\frac{1}{1 + x^2}

= 1 - x^2 + x^4 - \cdots + \bigl({-x^2}\bigr){\vphantom)}^N

+ \frac{\bigl({-x^2}\bigr){}^{N+1}}{1 + x^2}.



다시 양변을 적분하면,

:

\int_0^x \frac{du}{1 + u^2}

= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}

+ \int_0^x\frac{\bigl({-u^2}\bigr){}^{N+1}}{1 + u^2}\,du.



N \to \infty로 가는 극한에서, 우변의 적분은 |x| \leq 1,일 때 0으로 접근하는데, 그 이유는

:\begin{align}

\Biggl| \int_0^x\frac{\bigl({-u^2}\bigr){}^{N+1}}{1 + u^2}\,du \,\Biggr|

\,&\leq \int_0^1 \frac{u^{2N+2}}{1 + u^2}\,du

\\[5mu]

&< \int_0^1 u^{2N+2}du

\,=\, \frac{1}{2N+3} \,\to\, 0.

\end{align}

따라서,

:\begin{align}

\arctan x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}.

\end{align}

2. 2. 기하급수를 이용한 증명

아크탄젠트의 정의에 의해 \arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt이다.

\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{1-(-t^2)}이므로 기하급수에 의해 \frac{1}{1+t^2}=\sum_{k = 0}^\infty (-t^2)^k이다. 따라서,

:\begin{align}

\ \arctan x

&=\int_0^x \frac{1}{1 + t^2}dt\\[5mu]

&=\int_{0}^{x} \sum_{k = 0}^\infty (-t^2)^k dt\\[5mu]

&=\int_0^x \left(1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots\right)dt \\[5mu]

&= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7 + \cdots \\[5mu]

&=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}

\end{align}

이다.

x \mapsto \arctan' x = 1 \big/ \left(1 + x^2\right)에 대한 매클로린 급수는 기하 급수이다.

:\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \bigl({-x^2}\bigr){\vphantom)}^k.

\arctan에 대한 매클로린 급수는 항별로 적분하여 찾을 수 있다.

:\begin{align}

\int_0^x \frac{du}{1 + u^2}

&= \int_0^x \left(1 - u^2 + u^4 - u^6 + \cdots\right)du \\[5mu]

&= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7 + \cdots

= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}.

\end{align}

이것은 결과적으로 옳지만, 적분과 무한 합은 항상 이 방식으로 교환될 수 없다. 좌변의 적분이 실수 |x| \leq 1,에 대해 우변의 합으로 수렴한다는 것을 증명하기 위해, \arctan은 대신 ''유한'' 합으로 쓸 수 있다.[2]

:

\frac{1}{1 + x^2}

= 1 - x^2 + x^4 - \cdots + \bigl({-x^2}\bigr){\vphantom)}^N

+ \frac{\bigl({-x^2}\bigr){}^{N+1}}{1 + x^2}.



다시 양변을 적분하면,

:

\int_0^x \frac{du}{1 + u^2}

= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}

+ \int_0^x\frac{\bigl({-u^2}\bigr){}^{N+1}}{1 + u^2}\,du.



N \to \infty로 가는 극한에서, 우변의 적분은 |x| \leq 1,일 때 0으로 접근하는데, 그 이유는

:\begin{align}

\Biggl| \int_0^x\frac{\bigl({-u^2}\bigr){}^{N+1}}{1 + u^2}\,du \,\Biggr|

\,&\leq \int_0^1 \frac{u^{2N+2}}{1 + u^2}\,du

\\[5mu]

&< \int_0^1 u^{2N+2}du

\,=\, \frac{1}{2N+3} \,\to\, 0.

\end{align}

따라서,

:\begin{align}

\arctan x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}.

\end{align}

3. 수렴성

그레고리 급수는 \(|x| < 1\)인 복소수 영역에서 수렴하며, 이 영역에서 정칙이다. \(|x| > 1\)이면 \(x = \pm i\)일 때 극점이 있어 발산한다.

:\(\frac{1}{1 + i^2} = \frac{1}{1 - 1} = \frac{1}{0} = \infty.\)

\(x = \pm 1\)일 때 부분 합 \(\sum_{k=0}^n (-x^2)^k\)는 \(0\)과 \(1\) 사이에서 진동하며, \(\arctan'(\pm 1) = \tfrac{1}{2}\)에 수렴하지 않는다. 그러나 항별 적분인 \(\arctan x\)에 대한 급수는 \(x = \pm 1\)일 때 매우 느리게 수렴한다. \(\arctan' x\)가 급수와 일치하지 않는 지점이 \(\pm 1\)뿐이므로, 충분히 많은 항을 취하면 적분 차이를 작게 만들 수 있다.

:\(\lim_{N \to \infty} \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{1 + u^2} - \sum_{k=0}^{N} (-u^2)^k \right) du = 0 \)

10개의 정확한 소수점 자릿수를 얻으려면 50억 개의 항이 필요할 정도로 수렴 속도가 매우 느려, 라이프니츠 공식은 \(\tfrac{1}{4}\pi\) 계산에 실용적이지 않다. 이 문제를 해결하기 위한 연구가 많이 이루어졌다.

3. 1. 수렴 범위

급수 \(\arctan' x\)와 \(\arctan x\)에 대한 급수는 복소수 영역 \(|x| < 1\) 내에서 수렴하며, 이 영역에서 두 함수는 모두 정칙이다. \(|x| > 1\)의 경우 \(x = \pm i\)일 때 극점이 존재하므로 발산한다.

:\(\frac{1}{1 + i^2} = \frac{1}{1 - 1} = \frac{1}{0} = \infty.\)

\(x = \pm 1\)일 때 부분 합 \(\sum_{k=0}^n (-x^2)^k\)는 \(0\)과 \(1\) 사이에서 진동하며, \(\arctan'(\pm 1) = \tfrac{1}{2}\)에 수렴하지 않는다.

그러나 항별 적분인 \(\arctan x\)에 대한 급수는 \(x = \pm 1\)일 때 (간신히) 수렴하는데, 그 이유는 \(\arctan' x\)이 급수와 일치하지 않는 지점이 \(\pm 1\)뿐이므로, 충분히 많은 항을 취함으로써 적분의 차이를 임의로 작게 만들 수 있기 때문이다.

:\(\lim_{N \to \infty} \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{1 + u^2} - \sum_{k=0}^{N} (-u^2)^k \right) du = 0 \)

매우 느린 수렴 속도 때문에 (10개의 정확한 소수점 자릿수를 얻으려면 50억 개의 항이 필요함), 라이프니츠 공식은 \(\tfrac{1}{4}\pi\)를 계산하는 데 실용적인 방법이 아니다. 이러한 느린 수렴 속도를 극복하는 방법을 찾는 것은 매우 큰 수학적 관심사였다.

3. 2. 수렴 속도

arctan영어에 대한 급수는 복소수 디스크 |x| < 1 내에서 수렴하며, 이 영역에서 두 함수는 모두 정칙이다. |x| > 1의 경우 x = \pm i일 때 극점이 존재하므로 발산한다.

:\frac1{1 + i^2} = \frac1{1 - 1} = \frac10 = \infty.

x = \pm1일 때 부분 합 \sum_{k=0}^n (-x^2)^k는 0과 1 사이에서 진동하며, \arctan'(\pm1) = \tfrac12에 수렴하지 않는다.

그러나 항별 적분인 arctan영어에 대한 급수는 x = \pm 1일 때 (간신히) 수렴하는데, 그 이유는 arctan'영어이 급수와 일치하지 않는 지점이 \pm1 뿐이므로, 충분히 많은 항을 취함으로써 적분의 차이를 임의로 작게 만들 수 있기 때문이다.

:\lim_{N \to \infty} \int_0^1\biggl(\frac{1}{1 + u^2} - \sum_{k=0}^N (-u^2)^k\biggr)du = 0

매우 느린 수렴 속도 때문에 (10개의 정확한 소수점 자릿수를 얻으려면 50억 개의 항이 필요함), 라이프니츠 공식은 \tfrac14\pi를 계산하는 데 실용적인 방법이 아니다. 이러한 느린 수렴 속도를 극복하는 방법을 찾는 것은 매우 큰 수학적 관심사였다.

4. 가속 급수

아이작 뉴턴과 레온하르트 오일러는 아크탄젠트 급수의 수렴 속도를 높이기 위한 다양한 방법을 고안했다.[3]

4. 1. 뉴턴 급수

아이작 뉴턴은 1684년에 아크탄젠트 급수의 수렴 속도를 향상시킨 급수를 발견했다. (이는 미발표 논문에서 발견되었으며, 다른 사람들도 독립적으로 이 결과를 발견했다. 나중에 레온하르트 오일러의 1755년 교과서에 의해 대중화되었고, 오일러는 1779년에 두 개의 증명을 작성했다.)[3] 이 급수는 다음과 같다.

:\begin{align}

\arctan x

&= \frac {x} {1 + x^2}

\sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1} \, \frac{x^2}{1 + x^2} \\[10mu]

&= \frac {x} {1 + x^2} + \frac23 \frac {x^3} {(1 + x^2)\vphantom{l}^2} + \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 5} \frac {x^5} {(1 + x^2)\vphantom{l}^3}

+ \frac{2\cdot4\cdot6}{3\cdot5\cdot7} \frac {x^7} {(1 + x^2)\vphantom{l}^4} + \cdots \\[10mu]

&= C(x)\left(

S(x) + \frac23S(x)^3 + \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 5}S(x)^5

+ \frac{2\cdot4\cdot6}{3\cdot5\cdot7}S(x)^7 + \cdots

\right),

\end{align}

여기서 \vphantom\Big| C(x) = 1 \big/ \!\sqrt{1 + x^2} = {}\cos(\arctan x) 이고 \vphantom\Big| S(x) = x \big/ \!\sqrt{1 + x^2} = {}\sin(\arctan x).이다.

이 수정된 급수의 각 항은 유리 함수이며, 극점은 복소 평면에서 x = \pm i에 위치한다. 이는 아크탄젠트 함수가 극점을 갖는 위치와 같다. 이와 대조적으로, 아크탄젠트에 대한 테일러 급수와 같은 다항식은 모든 극점을 무한대로 강제한다.

5. 역사

마다바는 문헌상 그레고리 급수를 처음으로 제시한 사람 중 한 명으로 알려져 있다. 마다바의 원본 문헌은 소실되었지만, 케랄라 천문학 및 수학 학파에서 그의 후계자들의 저서를 통해 그의 업적이 알려졌다.

5. 1. 인도의 마다바

그레고리 급수는 인도의 수학자 산가마그라마 마다바(c. 1340 – c. 1425)가 처음으로 제시한 것으로 알려져 있다. 마다바의 원본 연구 자료는 남아있지 않지만, 그가 세운 케랄라 천문학 및 수학 학파의 후계자들의 저작을 통해 그의 업적이 전해진다.

5. 1. 1. 케랄라 학파의 기여

산가마그라마 마다바의 원본 문헌은 소실되었지만, 그의 업적은 케랄라 천문학 및 수학 학파의 후계자들인 닐라칸타 소마야지의 탄트라삼그라하(c. 1500),[9][10] 제하데바의 유키브하(c. 1530),[11] 샨카라 바리야르의 유키디피카 주석[12] 등을 통해 알려졌다. 이들 문헌에는 아크탄젠트 급수에 대한 구체적인 언급이 포함되어 있다.

5. 2. 유럽의 재발견

제임스 그레고리는 1668년에 '기기학의 보편적인 부분'(The Universal Part of Geometry영어), '기하학적 운동'(Geometrical Exercises영어)이라는 두 출판물에서 이 아크탄젠트 급수를 인용했다고 알려져 있다. 이러한 저술에서 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 원주율 π를 재발견하고 이에 대한 라이프니츠 공식을 얻는 것과 관련이 있다고 알려져 있다.[13]

6. 원주율

제임스 그레고리는 1668년에 출판한 저술에서 라이프니츠가 원주율 π를 재발견하고 라이프니츠 공식을 얻는 것에 영향을 주었다고 알려져 있다.[13]

6. 1. 라이프니츠의 원주율 공식

제임스 그레고리는 1668년에 '기기학의 보편적인 부분'(Geometriae pars universalis, The Universal Part of Geometry영어), '기하학적 운동'(Exercitationes geometrica, Geometrical Exercises영어)이라는 두 출판물에서 이 아크탄젠트 급수를 인용했다고 알려져 있다. 이러한 저술에서 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 원주율 π를 재발견하고 이에 대한 라이프니츠 공식을 얻는 것과 관련이 있다고 알려져 있다.[13]

참조

[1] 문서
[2] 저널 Nīlakaṇṭha, Euler and {{mvar|π}} https://www.ias.ac.i[...]
[3] 서적 Series and Products in the Development of Mathematics Cambridge University Press
[4] 웹사이트 Tantrasamgraha with English translation http://www.new.dli.e[...] Indian National Academy of Science 2010-01-17
[5] 문서
[6] 웹사이트 A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy—An analytic appraisal http://www.new.dli.e[...] 2006-07-09
[7] 서적 Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from India to Europe in the 16 c. CE https://books.google[...] Centre for Studies in Civilisation
[8] 서적 A History of Mathematics https://archive.org/[...] Wiley
[9] 웹인용 Tantrasamgraha with English translation http://www.new.dli.e[...] Indian National Academy of Science 2010-01-17
[10] 문서
[11] 웹인용 A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy—An analytic appraisal http://www.new.dli.e[...] 2006-07-09
[12] 서적 Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transsmision of the Calculus from India to Europe in the 16 c. CE https://books.google[...] Centre for Studies in Civilistaion
[13] 웹인용 Gregory Series http://mathworld.wol[...] Wolfram Math World 2012-07-26


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