라이프니츠의 원주율 공식

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1. 개요

라이프니츠의 원주율 공식은 원주율 π를 계산하는 데 사용되는 멱급수 형태의 공식이다. 이 공식은 삼각 함수, 등비 급수, 적분, 푸리에 급수 등을 활용하여 증명될 수 있으며, 다양한 수렴 가속 기법을 통해 π의 고정밀도 계산에 활용될 수 있다. 하지만 수렴 속도가 느려 실제 원주율 계산에는 부적합하다. 라이프니츠 공식은 디리클레 급수와 오일러 곱으로도 해석될 수 있다.

라이프니츠의 원주율 공식

개요

다른 이름	라이프니츠 급수
설명	라이프니츠 공식은 값을 구하는 방법 중 하나로, 다음과 같이 표현됨. 이 공식은 그레고리-라이프니츠 공식이라고도 불림.

역사

발견	1673년 고트프리트 빌헬름 라이프니츠
최초 증명	마드하바 (14세기)
수렴 속도	매우 느림
응용	라이프니츠의 원주율 공식은 프로그래밍에서 파이 값을 계산하는 데 사용될 수 있음.

활용

관련 항목	원주율 파이 수학 상수 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 그레고리-라이프니츠 공식 바젤 문제 닐라칸타 소마야지

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1. 개요
2. 증명
3. 수렴
4. 특이한 동작
5. 오일러 곱

2. 증명

라이프니츠 공식은 다양한 방법으로 증명할 수 있다.

조임 정리를 이용하면 다음과 같이 증명할 수 있다.

: $\begin{align}\frac{\pi}{4} &= \arctan(1) \\ &= \int_0^1 \frac 1{1+x^2} \, dx \\[8pt]& = \int_0^1\left(\sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}\right) \, dx \\[8pt]& = \left(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}\right)+(-1)^{n+1} \left(\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \, dx\right)\end{align}$

마지막 항의 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $0 \le \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx \le \int_0^1 x^{2n+2}\,dx = \frac{1}{2n+3} \;\rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow \infty.$

따라서, 조임 정리에 의해, $n \rightarrow \infty$ 일 때, 라이프니츠 급수를 얻는다.

: $\frac{\pi}4 = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}$

복소 함수와 아벨 정리를 이용한 증명도 가능하다. $|z|<1$ 일 때, $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1}$ 이고, 급수 $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k z^{2k}$ 가 균등하게 수렴하면, 다음이 성립한다.

: $\arctan(z) = \int_{0}^{z} \frac {1}{1+t^2} dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} = f(z) \ (|z|<1).$

$f(z)$ 가 $f(1)$ 에 접근하여 연속적이고 균등하게 수렴하면 증명은 완료된다. 급수 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ 는 라이프니츠 판정법에 의해 수렴하고, $f(z)$ 는 아벨 정리에 따라 슈톨츠 각도 내에서 $f(1)$ 에 접근하므로, 이 증명은 타당하다.

2.1. 멱급수 전개를 이용한 증명

삼각 함수 중 하나인 tan^영어 θ를 θ에 대해 미분하면

:1+tan² θ

가 된다. 여기서 tan^영어 θ = x라고 하면

:dx/dθ^영어 = 1+x² , dθ/dx^영어 = 1/(1+x²) ⋯ (1)

이 유도된다.

또한 다음의 등비 급수를 생각한다.

:1-x² +x⁴ -x⁶ + x⁸ -⋯^영어 = 1/(1+x²) (x^영어|< 1) ⋯ (2)

좌변은 공비가 −x²^영어이며, {{mabs^영어 < 1 즉 {{mabs^영어 < 1일 때 1/(1 + x²)^영어로 수렴한다. (1), (2)식으로부터

:dθ/dx^영어 =1-x² +x⁴ -x⁶ +x⁸ -⋯^영어 (x^영어|<1)

을 얻을 수 있다. 이 양변을 x에 대해 항별 적분하면

:θ^영어 =x-x³/3 +x⁵/5 -x⁷/7 +x⁹/9 -⋯^영어 (x^영어|<1) ⋯ (3)

이 된다 (이 때, 좌변을 arctan x로 나타내면 그레고리 급수의 형태가 된다). (x^영어 = 0일 때 θ^영어 = 0이므로 상수항은 0이다.) tan^영어 θ = x이므로 θ^영어 = 일 때 x^영어 = 1이다. 이것을 이용하여 (3)식에 θ^영어 = 와 x^영어 = 1을 대입하면

:π/4^영어 =1-1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -⋯^영어

라는 식이 나타난다. 단, x^영어 = 1은 {{mabs^영어 < 1 의 조건에 반하므로 (3)식에 x^영어 = 1을 대입할 수 있는지의 여부가 문제이지만, 이 경우에는 대입해도 좋다는 것을 알 수 있다 (아벨의 연속성 정리).

2.2. 푸리에 급수를 이용한 증명

구형파를 푸리에 급수로 나타내는 증명법도 있다. 구형파 f(x)^영어를 다음과 같이 정의한다.

: $f(x)=\begin{cases}-1 &\quad -\pi \le x<0 \\1 &\quad 0\le x<\pi\end{cases}$

이 함수는 구간별로 매끄러운 함수로 [-π, π)^영어 상에서 적분가능하다. 푸리에 계수 a_n^영어은 이 구형파가 기함수이므로 0이며, b_n^영어은 다음 식으로 나타낸다.

: $\begin{align}b_n &=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\, dx \\&=\frac{1}{\pi} \left\{ \int_{-\pi}^0 (-1)\sin nx\, dx+\int_0^{\pi} 1\cdot \sin nx\, dx\right\} \\\end{align}$

이것을 계산하면 다음과 같다.

: $b_n =\begin{cases}\dfrac{4}{n\pi} &\quad n=2k+1\quad (k\in \mathbb{N} ) \\0 &\quad n=2k \\\end{cases}$

따라서 구형파의 푸리에 급수는 다음과 같다.

: $f(x)=\frac{4}{\pi} \left( \sin x+\frac{1}{3} \sin 3x+\frac{1}{5} \sin 5x+\dotsb \right)$

f(x)^영어는 $x = \frac{\pi}{2}$ 에서 연속이므로, 양변에 $x = \frac{\pi}{2}$ 를 대입하면 다음과 같다.

: $1=\frac{4}{\pi} \left( 1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\dotsb \right)$

그러므로 라이프니츠의 공식이 유도된다.

2.3. 기타 증명

조임 정리를 이용한 증명은 다음과 같다.

$\begin{align}\frac{\pi}{4} &= \arctan(1) \\ &= \int_0^1 \frac 1{1+x^2} \, dx \\[8pt]& = \int_0^1\left(\sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}\right) \, dx \\[8pt]& = \left(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}\right)+(-1)^{n+1} \left(\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \, dx\right)\end{align}$

마지막 항의 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$0 \le \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx \le \int_0^1 x^{2n+2}\,dx = \frac{1}{2n+3} \;\rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow \infty.$

따라서, 조임 정리에 의해, $n \rightarrow \infty$ 가 될 때, 라이프니츠 급수를 얻는다.

$\frac{\pi}4 = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}$

복소 함수와 아벨 정리를 이용한 증명은 다음과 같다.

$|z|<1$ 일 때, $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1}$ 이고, 급수 $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k z^{2k}$ 가 균등하게 수렴하면, 다음이 성립한다.

$\arctan(z) = \int_{0}^{z} \frac {1}{1+t^2} dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} = f(z) \ (|z|<1).$

따라서, $f(z)$ 가 $f(1)$ 에 접근하여 연속적이고 균등하게 수렴하면 증명은 완료된다. 여기서 급수 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ 는 라이프니츠 판정법에 의해 수렴하고, 또한 $f(z)$ 는 아벨 정리에 따라 슈톨츠 각도 내에서 $f(1)$ 에 접근하므로, 이 증명은 타당하다.

3. 수렴

라이프니츠 공식은 매우 느리게 수렴하며, 아(亞)선형 수렴을 보인다. 이 급수를 직접 합산하여 를 소수점 10자리까지 계산하려면 정확히 50억 개의 항이 필요하다. 소수점 4자리까지 정확하게 얻으려면(오차 0.00005) 5000개의 항이 필요하다.

그러나 라이프니츠 공식은 다양한 수렴 가속 기법을 사용하여 를 고정밀도(수백 자리 이상)로 계산하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 교대 급수에 대한 일반적인 방법인 Shanks 변환, 오일러 변환 또는 반 바잉가르덴 변환을 라이프니츠 급수의 부분 합에 효과적으로 적용할 수 있다. 또한, 항을 쌍으로 결합하면 다음과 같은 비(非)교대 급수를 얻을 수 있다.

:

\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(4n+1)(4n+3)}

이 급수는 Richardson 외삽법 또는 오일러-매클로린 공식을 사용하여 소수의 항으로도 높은 정밀도로 계산할 수 있다. 이 급수는 또한 아벨-플라나 공식을 사용하여 적분으로 변환하고 수치 적분 기법을 사용하여 계산할 수도 있다.

이 공식은 단순한 형태를 띠고 있지만, 실제 원주율 계산에 사용하기에는 수렴 속도가 매우 느려 전혀 적합하지 않다. 십진법에서의 정확한 값(= 3.1415926535…)을 10자리 계산하는 데만 100억 번 이상의 계산을 필요로 할 정도이다.

4. 특이한 동작

수열을 적절한 시점에서 자르면, 근사의 십진법 전개는 고립된 숫자나 숫자 그룹을 제외하고 π의 십진법 전개와 훨씬 더 많은 자리수에서 일치한다. 예를 들어, 5백만 개의 항을 사용하면 3.1415924535897932384646433832795027841971693993873058... 이 되는데, 밑줄 친 숫자는 잘못된 숫자이다. 이 오차는 오일러 수 Euler number^영어에 의한 점근 전개 공식에 따라 예측할 수 있다.

: $\frac{\pi}{2} - 2 \sum_{k=1}^{N/2} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \sim \sum_{m=0}^\infty \frac{E_{2m}}{N^{2m+1}}$

여기서 N은 4로 나누어지는 정수이다. N을 10의 거듭제곱으로 선택하면 오른쪽 합의 각 항은 유한 소수가 된다. 이 공식은 교대 급수를 위한 오일러-불 합산 공식의 특수한 경우로, 라이프니츠 급수에 적용할 수 있는 또 다른 수렴 가속 기술의 예시를 제공한다. 1992년, 조나단 보르와인과 마크 림버는 처음 1,000개의 오일러 수를 사용하여 라이프니츠 공식을 통해 π를 소수점 5,263자리까지 계산했다.

5. 오일러 곱

라이프니츠 공식은 모듈로 4의 고유하지 않은 디리클레 지표를 사용하여 디리클레 급수로 해석할 수 있다. 다른 디리클레 급수와 마찬가지로, 이는 무한 합을 각 소수에 대해 하나의 항을 갖는 무한 곱(오일러 곱)으로 변환할 수 있게 한다. 오일러 곱은 다음과 같다.

: $\begin{align}\frac\pi4 &= \biggl(\prod_{p \,\equiv\, 1\ (\text{mod}\ 4)}\frac{p}{p-1}\biggr)\biggl( \prod_{p\,\equiv\, 3\ (\text{mod}\ 4)}\frac{p}{p+1}\biggr) \\[7mu]&= \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot\frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{16} \cdot\frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{29}{28} \cdots\end{align}$

이 곱에서 각 항은 초과 분수이며, 각 분자는 홀수인 소수이고, 각 분모는 분자에 가장 가까운 4의 배수이다. 이 곱은 조건 수렴하며, 그 항은 p가 증가하는 순서대로 취해야 한다.