그린 관계

1. 개요

그린 관계는 모노이드 M 위에 정의되는 다섯 가지 표준적인 동치 관계를 의미하며, 이들은 왼쪽 아이디얼, 오른쪽 아이디얼, 양쪽 아이디얼, H 관계, D 관계를 통해 원소들을 분류한다. 이 관계들은 모노이드의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 특히 그린 정리를 통해 H-클래스의 성질을 파악할 수 있다. 그린 관계는 반군 및 모노이드의 조합론 연구에 활용되며, 유한 모노이드의 구조를 시각적으로 나타내는 데 사용되는 계란통 그림으로 표현될 수 있다. 이 개념은 반군, 환, 그리고 일반적인 대수적 구조를 연구하는 데 활용되며, 이론을 확장하고 일반화하는 데 기여한다.

2. 정의

임의의 모노이드 $M$ 위에는 다음과 같이 5개의 표준적인 동치 관계가 존재하며, 이를 그린 관계라고 한다.

* $m\; \backslash ;\backslash mathcal\; L\backslash ;\; n\backslash iff\; Mm=Mn$
* $m\; \backslash ;\backslash mathcal\; R\backslash ;\; n\backslash iff\; mM=nM$
* $m\; \backslash ;\backslash mathcal\; J\backslash ;\; n\backslash iff\; MmM=MnM$
* $m\; \backslash ;\backslash mathcal\; H\backslash ;\; n\backslash iff\; (m\; \backslash ;\backslash mathcal\{L\}\backslash ;\; n)\backslash land(m\; \backslash ;\backslash mathcal\{R\}\backslash ;\; n)$
* $m\; \backslash ;\backslash mathcal\; D\backslash ;\; n\backslash iff\backslash exists\; p\backslash in\; M\backslash colon\; m\backslash ;\backslash mathcal\; L\backslash ;p\backslash ;\backslash mathcal\; R\backslash ;n\backslash iff\; \backslash exists\; q\backslash in\; M\backslash colon\; m\backslash ;\backslash mathcal\; R\backslash ;q\backslash ;\backslash mathcal\; L\backslash ;n$

즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.

* $\backslash mathcal\; L$은 두 원소가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
* $\backslash mathcal\; R$는 두 원소가 생성하는 오른쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
* $\backslash mathcal\; J$는 두 원소가 생성하는 양쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
* $\backslash mathcal\; H$는 두 원소가 생성하는 왼쪽·오른쪽 아이디얼이 둘 다 같은지 (즉, $\backslash mathcal\; L$과 $\backslash mathcal\; R$가 동시에 성립하는지) 여부이다.
* $\backslash mathcal\; D$는 첫째가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 둘째가 생성하는 오른쪽 아이디얼과 교차하는지 여부이다.

S의 원소 a와 b에 대해, 그린 관계 L, R, J는 다음과 같이 정의된다.

* a L b는 만약 그리고 오직 만약 S¹ a = S¹ b일 경우.
* a R b는 만약 그리고 오직 만약 a S¹ = b S¹일 경우.
* a J b는 만약 그리고 오직 만약 S¹ a S¹ = S¹ b S¹일 경우.

다시 말해, a와 b는 같은 왼쪽 아이디얼을 생성하면 L 관계에 있고, 같은 오른쪽 아이디얼을 생성하면 R 관계에 있으며, 같은 양면 아이디얼을 생성하면 J 관계에 있다. 이들은 S 상의 동치 관계이므로, 각각 S를 동치 클래스로 분할한다. a의 L 클래스는 L_a로 표기된다 (다른 관계도 마찬가지). L 클래스와 R 클래스는 S¹의 왼쪽 및 오른쪽 케일리 그래프의 강결합 성분으로 동일하게 이해될 수 있다. 또한, L, R, J 관계는 세 개의 전순서 ≤_L, ≤_R, ≤_J를 정의하며, 여기서 a ≤_J b는 S의 두 원소 a와 b에 대해 a에 의해 생성된 아이디얼이 b의 아이디얼에 포함될 경우, 즉 S¹ a S¹ ⊆ S¹ b S¹일 경우 성립하며, ≤_L과 ≤_R은 유사하게 정의된다.

그린은 이러한 관계에 소문자 고딕체 $\backslash mathfrak\{l\}$, $\backslash mathfrak\{r\}$ 및 $\backslash mathfrak\{f\}$를 사용했으며, a L b를 $a\; \backslash equiv\; b\; (\backslash mathfrak\{l\})$로 표기했다 (R과 J도 마찬가지). 오늘날의 수학자들은 $\backslash mathcal\{R\}$과 같은 필기체를 사용하는 경향이 있으며, 그린의 모듈러 산술 스타일 표기를 여기서 사용된 중위 표기법으로 대체한다. 보통 글자는 동치 클래스에 사용된다.

L과 R 관계는 서로 좌우 이중적이다. 한 관계에 대한 정리는 다른 관계에 대한 유사한 명제로 변환될 수 있다. 예를 들어, L은 오른쪽 호환이다: 만약 a L b이고 c가 S의 또 다른 원소이면, ac L bc이다. 이중적으로, R은 왼쪽 호환이다: 만약 a R b이면, ca R cb이다.

만약 S가 가환적이면, L, R, J는 일치한다.

나머지 관계는 L과 R에서 파생된다. 그들의 교집합은 H이다.

:a H b if and only if a L b and a R b.

이것은 또한 S에 대한 동치 관계이다. 클래스 H_a는 L_a와 R_a의 교집합이다. 더 일반적으로, 임의의 L-클래스와 임의의 R-클래스의 교집합은 H-클래스이거나 공집합이다.

그린의 정리(Green's Theorem)는 반군 S의 모든 $\backslash mathcal\; H$-클래스 H에 대해 (i) $H^2\; \backslash cap\; H\; =\; \backslash emptyset$ 또는 (ii) $H^2\; \backslash subseteq\; H$이고 H가 S의 부분군임을 명시한다. 중요한 따름 정리는 멱등원인 e에 대한 동치 클래스 H_e가 S의 부분군(항등원은 e이고 모든 원소는 역원을 가짐)이며, 실제로 e를 포함하는 S의 가장 큰 부분군이라는 것이다. 하나의 $\backslash mathcal\; H$-클래스는 둘 이상의 멱등원을 포함할 수 없으므로 $\backslash mathcal\; H$는 멱등 분리(idempotent separating)이다. 모노이드 M에서 클래스 H₁은 전통적으로 단위군이라고 불린다. (단위는 이 맥락에서 항등원을 의미하는 것이 아님에 유의해야 한다. 즉, 일반적으로 H₁에는 비항등원 소자가 있다. "단위" 용어는 환 이론에서 유래되었다.) 예를 들어, n개 원소에 대한 변환 모노이드 T_n에서 단위군은 대칭군 S_n이다.

마지막으로, D는 다음과 같이 정의된다. a D b if and only if S에 a L c and c R b를 만족하는 c가 존재한다. 격자의 언어에서 D는 L과 R의 결합이다. (동치 관계의 결합은 일반적으로 정의하기 어렵지만, 이 경우 어떤 c에 대해 a L c and c R b이면 어떤 d에 대해 a R d and d L b라는 사실에 의해 단순화된다.)

D는 L과 R을 모두 포함하는 가장 작은 동치 관계이므로, a D b는 a J b를 의미한다—그래서 J는 D를 포함한다. 유한 반군에서 D와 J는 같으며, 유리 모노이드에서도 마찬가지이다. 또한 모든 에피군에서도 일치한다.

또한 위에 정의된 것을 직접적으로 사용하여 동치 클래스의 관점에서 D를 공식화하는 방법이 있다.

: a D b if and only if the intersection of R_a and L_b is not empty.

결과적으로, 반군의 D-클래스는 L-클래스의 합집합, R-클래스의 합집합 또는 H-클래스의 합집합으로 볼 수 있다.

3. 성질

그린 관계에는 다음과 같은 성질이 있다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\mathcal H&\implies&\mathcal L\\
\Downarrow&&\Downarrow\\
\mathcal R&\implies&\mathcal D&\implies&\mathcal J
\end{matrix}

여기서 $\backslash mathcal\; H$는 $\backslash mathcal\; L$과 $\backslash mathcal\; R$를 함의하는 가장 섬세한 동치 관계이며, $\backslash mathcal\; D$는 $\backslash mathcal\; L$과 $\backslash mathcal\; R$를 함의하는 가장 거친 동치 관계이다.

유한 모노이드에서는 $\backslash mathcal\; D$와 $\backslash mathcal\; J$가 서로 동치이지만, 무한 모노이드에서는 그렇지 않을 수 있다. 가환 모노이드와 군에서는 5개의 그린 관계가 모두 서로 동치이다. 군의 경우, 동치류는 군 전체가 된다.

S의 원소 a와 b에 대해, 그린 관계 L, R, J는 다음과 같이 정의된다.
* a L b는 S¹ a = S¹ b일 때 (그리고 그때만) 성립한다.
* a R b는 a S¹ = b S¹일 때 (그리고 그때만) 성립한다.
* a J b는 S¹ a S¹ = S¹ b S¹일 때 (그리고 그때만) 성립한다.

즉, a와 b가 같은 왼쪽 아이디얼을 생성하면 L 관계, 같은 오른쪽 아이디얼을 생성하면 R 관계, 같은 양면 아이디얼을 생성하면 J 관계이다. 이들은 S를 동치 클래스로 분할하며, a의 L 클래스는 L_a로 표기한다(다른 관계도 마찬가지).

L과 R 관계는 서로 좌우 이중적이다. L은 오른쪽 호환이고, R은 왼쪽 호환이다. S가 가환적이면 L, R, J는 일치한다.

H는 L과 R의 교집합으로 정의된다.
:a H b if and only if a L b and a R b.

D는 L과 R의 결합으로, a D b는 S에 a L c and c R b를 만족하는 c가 존재함을 의미한다. 유한 반군과 유리 모노이드에서 D와 J는 같다. 또한 모든 에피군에서도 일치한다.

반군의 조합론에서 그린 관계는 특정 속성을 가진 반군을 열거하는 데 사용된다. 예를 들어, 순서가 8인 비동치 반군은 1,843,120,128개이며, 그 중 221,805개가 가환적이다.

3.1. 동치류와 그린 정리

주어진 $\backslash mathcal\; D$-동치류 속에 포함된 $\backslash mathcal\; H$-동치류들의 크기는 모두 같다.

그린 정리(Green’s theorem^영어)에 따르면, 임의의 모노이드의 임의의 $\backslash mathcal\; H$-동치류 $H$에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* $H^2\; \backslash cap\; H\; =\; \backslash varnothing$
* $H^2\; =\; H$이며 $H$는 군을 이룬다.

그린 정리는 반군 S의 모든 $\backslash mathcal\; H$-클래스 H에 대해 (i) $H^2\; \backslash cap\; H\; =\; \backslash emptyset$ 또는 (ii) $H^2\; \backslash subseteq\; H$이고 H가 S의 부분군임을 명시한다. 중요한 따름 정리는 멱등원인 e에 대한 동치 클래스 H_e가 S의 부분군(항등원은 e이고 모든 원소는 역원을 가짐)이며, 실제로 e를 포함하는 S의 가장 큰 부분군이라는 것이다. 하나의 $\backslash mathcal\; H$-클래스는 둘 이상의 멱등원을 포함할 수 없으므로 $\backslash mathcal\; H$는 멱등 분리이다. 모노이드 M에서 클래스 H₁은 전통적으로 단위군이라고 불린다.

D-클래스 내에서 모든 H-클래스는 크기가 동일함을 알 수 있다.

3.2. 쉬첸베르제 군

모노이드 $M$의 $\backslash mathcal\; H$-동치류 $H$가 주어졌을 때,
:$T(H)=\backslash \{t\backslash in\; M\backslash colon\; Ht\backslash subseteq\; H\backslash \}$
를 정의한다. 이는 $M$의 부분 모노이드를 이룬다. 이 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여한다.
:$t\backslash sim\; t\text{'}\backslash iff\; \backslash forall\; h\backslash in\; H\backslash colon\; ht=ht\text{'}$
그러면 $\backslash Gamma(H)=T(H)/\{\backslash sim\}$ 역시 모노이드를 이루며, 이는 사실 군을 이룬다. 이를 $H$의 쉬첸베르제 군(Schützenberger group^영어)이라고 한다.

일반적으로 $|H|=|\backslash Gamma(H)|$이다. 만약 $H$가 군을 이룬다면 $\backslash Gamma(H)=T(H)=H$이다. 같은 $\backslash mathcal\; D$-동치류에 속하는 $\backslash mathcal\; H$-동치류들의 쉬첸베르제 군은 서로 동형이다. 오른쪽 작용 대신 왼쪽 작용을 사용하여 쉬첸베르제 군을 정의할 수 있으며, 이들은 서로 반대군을 이루므로 서로 동형이다.

4. 역사

1951년에 제임스 알렉산더 그린(James Alexander Green^영어, 1926〜2014)이 그린 관계를 도입하였다. 그린은 이 동치 관계들을 오늘날 사용되는 표기 대신 합동 산술과 유사하게 표기하였다.

5. 예시

유한 모노이드의 그린 관계는 보통 '계란통 그림'(eggbox diagram^영어)으로 표현한다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}에서 자신으로 가는 자기 함수들의 모노이드나, 덧셈에 대한 자연수 집합 $\backslash mathbb\; N=\backslash \{0,1,2,\backslash dotsc\backslash \}$의 모노이드를 들 수 있다.

5.1. 유한 모노이드의 계란통 그림

유한 모노이드에서 그린 관계는 '계란통 그림'(eggbox diagram^영어)으로 표현할 수 있다. 이 그림에서:

* $\backslash mathcal\; R$ 동치류는 각 행에 해당한다.
* $\backslash mathcal\; L$ 동치류는 각 열에 해당한다.
* $\backslash mathcal\; H$ 동치류는 각 칸에 해당한다.
* $\backslash mathcal\; D$ (또는 $\backslash mathcal\; J$) 동치류는 각 행렬에 해당한다.

예를 들어, 집합 {1, 2, 3}에서 자신으로 가는 모든 자기 함수들의 모노이드 $T\_3$를 생각해보자. 함수 $(1\backslash mapsto\; x,2\backslash mapsto\; y,3\backslash mapsto\; z)$를 $(x,y,z)$로 표기하면, $T\_3$의 계란통 그림은 다음과 같다.