멱등원

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 특별한 멱등원
5. 멱등원에 의한 환의 특징화
6. 분해와의 관계
7. 대합과의 관계
8. R-가군 범주
9. 멱등원의 격자
참조

1. 개요

멱등원은 수학에서 자기 자신을 곱해도 변하지 않는 원소를 의미하며, 환, 모노이드, 범주 등 다양한 대수적 구조에서 정의된다. 환의 멱등원은 곱셈에 대한 멱등원을 뜻하며, 두 멱등원이 곱해서 0이 될 때 서로 직교한다고 한다. 멱등원은 환의 구조를 특징짓는 데 중요한 역할을 하며, 특히 멱등원에 의한 환의 분해는 가군 이론과 밀접한 관련이 있다. 특별한 멱등원으로는 직교 멱등원, 중심 멱등원, 원시 멱등원 등이 있으며, 이들은 환의 성질을 파악하는 데 중요한 단서를 제공한다. 또한, 멱등원은 대합과 밀접한 관련을 가지며, 멱등원의 올림은 가군 범주에 중요한 영향을 미친다. 멱등원들은 부분 순서를 이루며 격자 구조를 형성하기도 한다.

더 읽어볼만한 페이지

반군론 - 화환곱
화환곱은 군론에서 두 군의 구조를 결합하여 더 큰 군을 만드는 연산으로, 반군 작용을 통해 정의되며 다양한 종류가 존재하고 결합 법칙을 따르며 여러 분야에 응용된다.
반군론 - 군의 작용
군의 작용은 군이 집합의 원소에 특정한 방식으로 작용하는 모노이드 작용의 특수한 경우로, G-집합이라는 작용을 갖춘 집합은 궤도, 안정자군 등의 성질을 가지며 다양한 분야에서 활용된다.
환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
범주론 - 작은 범주
그로텐디크 전체 $\mathcal{U}$ 가 주어졌을 때, $\mathcal{U}$ -작은 범주는 대상과 사상의 모임이 모두 $\mathcal{U}$ 의 원소인 범주를 의미하며, 이는 함자와 자연 변환과 함께 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 2-범주를 이룬다.
범주론 - 토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.

멱등원
정의
용어	수학에서 멱등원(冪等元, 영어: idempotent element)은 제곱해도 자기 자신이 되는 원소를 말한다.
수식	a² = a
일반화	임의의 양의 정수 n에 대하여, aⁿ = a이다.
예시
실수	실수의 곱셈에서, 0과 1은 멱등원이다.
행렬	행렬의 곱셈에서, 단위 행렬은 멱등원이다.
함수	함수 합성에서, 항등 함수는 멱등원이다.
성질
환	환 R의 멱등원 a에 대해, 1 - a 역시 멱등원이다.
불 대수	불 대수에서 모든 원소는 멱등원이다.
참고
관련 개념	멱영원

2. 정의

환의 '''멱등원'''(冪等元, idempotent)은 거듭제곱 연산에 대해 닫혀 있는 원소이다. 즉, $e^2 = e$를 만족하는 원소 $e$를 말한다.^[1]

정수 모듈로 n의 환을 생각해 보자. 여기서 $n$은 제곱 인수가 없는 정수이다. 중국인의 나머지 정리에 의해 이 환은 소수 $p$에 대한 모듈로 $p$의 정수의 환의 곱으로 분해된다. 각 인수는 체이므로, 유일한 멱등원은 0과 1이다. 즉, 각 인수는 두 개의 멱등원을 갖는다. 따라서 $m$개의 인수가 있다면 $2^m$개의 멱등원이 존재한다.

예를 들어, 정수 ${\text{mod }}6$의 환, 즉 $R = \mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}$에서는 6이 두 개의 소인수(2와 3)를 가지므로 $2^2 = 4$개의 멱등원을 갖는다. 실제로 0, 1, 3, 4는 멱등원이고, 2와 5는 아니다. 이는 다음과 같이 확인할 수 있다.

$0^2 \equiv 0 \equiv 0 ({\text{mod }}6)$
$1^2 \equiv 1 \equiv 1 ({\text{mod }}6)$
$2^2 \equiv 4 \equiv 4 ({\text{mod }}6)$
$3^2 \equiv 9 \equiv 3 ({\text{mod }}6)$
$4^2 \equiv 16 \equiv 4 ({\text{mod }}6)$
$5^2 \equiv 25 \equiv 1 ({\text{mod }}6)$

$3 + 4 \equiv 1 ({\text{mod }}6)$이므로, 환 분해 $3\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z} \oplus 4\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}$가 존재한다. $3\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}$에서 곱셈 항등원은 $3 + 6\mathbb{Z}$이고, $4\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}$에서 곱셈 항등원은 $4 + 6\mathbb{Z}$이다.

$f \in R$ 이고 $f^2 \ne 0$인 환 $R$의 원소 $f$가 주어졌을 때, 몫환 $R / (f^2 - f)$는 멱등원 $f$를 갖는다. 예를 들어, 이는 $x \in \mathbb{Z}[x]$ 또는 임의의 다항식 $f \in k[x_1, \dots, x_n]$에 적용될 수 있다.

분할 사원수 환에는 원을 이루는 멱등원이 존재한다. 분할 사원수는 실수 대수의 구조를 가지므로, 원소는 기저 {1, i, j, k}를 사용하여 $w + xi + yj + zk$와 같이 표현할 수 있으며, 여기서 $j^2 = k^2 = +1$이다. 임의의 $\theta$에 대해, $s = j\cos\theta + k\sin\theta$는 $s^2 = +1$을 만족하는데, 이는 j와 k가 반가환 성질을 만족하기 때문이다. 이제 $\left(\frac{1+s}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2s + s^2}{4} = \frac{1+s}{2}$ 이므로 멱등원 성질을 만족한다. 원소 $s$는 쌍곡 단위라고 불리며, 지금까지 i-좌표는 0으로 간주되었다. 이 좌표가 0이 아닐 때, 분할 사원수에는 일엽 쌍곡면의 쌍곡 단위가 존재한다. 동일한 등식은 $\frac{1 + s}{2}$가 멱등원임을 보여준다.

두 멱등원 $a$와 $b$가 $ab = ba = 0$일 때 '''직교한다'''고 한다. $R$에서 $a$가 멱등원이면, $b = 1 - a$도 멱등원이며, $a$와 $b$는 직교한다.

$R$의 멱등원 $a$가 모든 $x \in R$에 대해 $ax = xa$를 만족하면, 즉 $a$가 $R$의 중심에 있으면 '''중심 멱등원'''이라고 한다.

'''자명 멱등원'''은 항상 멱등원인 0과 1을 말한다.

$aR$이 기약 불가능한, 즉 두 개의 영이 아닌 부분 가군의 직합이 아닌 영이 아닌 멱등원 $a$를 링 $R$의 '''원시 멱등원'''이라고 한다.

$aRa$가 국소환인 멱등원 $a$를 '''국소 멱등원'''이라고 한다. 이는 $aR$이 직접 기약 불가능함을 의미하므로, 국소 멱등원은 원시적이다.

$aR$이 단순 가군인 멱등원 $a$를 '''오른쪽 기약 멱등원'''이라고 한다. 슈어의 보조정리에 의해 ${\text{End}}_R(aR) = aRa$는 나눗셈환이므로 국소환이고, 따라서 오른쪽(및 왼쪽) 기약 멱등원은 국소적이다.

두 개의 영이 아닌 직교 중심 멱등원의 합으로 쓸 수 없는 중심 멱등원 $a$를 '''중심 원시 멱등원'''이라고 한다.

$R/I$의 멱등원 $a + I$에 대해 $b + I = a + I$인 멱등원 $b$가 $R$에 존재하면, $a+I$는 '''$I$를 법으로 올려진다'''고 한다.

$R$의 멱등원 $a$가 $RaR = R$일 경우 '''전체 멱등원'''이라고 한다.

'''분리가능성 멱등원'''은 분리가능 대수를 참조한다.

$ab = 0$이고 $a$와 $b$ 모두 0이 아닌 비자명 멱등원 $a$ ($b = 1 - a$)는 영인자이다. 정역과 나눗셈환에는 그러한 멱등원이 없다. 국소환에도 없지만, 이유는 다르다. 링의 제이콥슨 근기에 포함된 유일한 멱등원은 0이다.

모든 원소가 멱등원인 환은 불 대수 환이다. (일부 저자는 "멱등원 환" 용어 사용). 곱셈은 가환적이며 모든 원소는 그 자체의 덧셈 역원이다.

환은 모든 오른쪽(또는 왼쪽) 아이디얼이 멱등원으로 생성될 때만 반단순환이다.

환은 모든 유한 생성 오른쪽(또는 왼쪽) 아이디얼이 멱등원으로 생성될 때만 폰 노이만 정규 환이다.

$R$의 모든 부분집합 $S$에 대한 소멸자 $r.{\text{Ann}}(S)$가 멱등원으로 생성되면 베어 환, $R$의 모든 싱글톤 부분집합에 대해서만 유지되면 오른쪽 리카트 환이다. 이들은 곱셈 항등원이 없을 때도 흥미롭다.

모든 멱등원이 중심인 환을 '''아벨 환'''이라고 한다. 가환적일 필요는 없다.

환은 0과 1이 유일한 중심 멱등원일 때만 직접 기약환이다.

각 $e_i$가 국소 멱등원일 때만 $R = e_1R \oplus e_2R \oplus \dots \oplus e_nR$로 표현될 수 있으면, $R$은 반완비 환이다.

$R$의 모든 멱등원이 제이콥슨 근기를 법으로 들어 올려지면 '''SBI 환''' 또는 '''Lift/rad''' 환이라고 한다.

환은 오른쪽 직접 합에 대한 상승 연쇄 조건을 만족하는 것은 왼쪽 직접 합에 대한 하강 연쇄 조건을 만족하는 것과 같고, 모든 쌍별 직교 멱등원의 집합이 유한한 것과 같다.

$a$가 환 $R$에서 멱등원이면, $aRa$는 곱셈 항등원이 $a$인 환이다. $aRa$는 '''코너 환'''이라고 불린다. 자기 사상 환 ${\text{End}}_R(aR) \cong aRa$에서 자연스럽게 발생한다.

$R$의 멱등원은 $R$-가군의 분해와 관련이 있다. $M$이 $R$-가군이고 $E = {\text{End}}_R(M)$이 자기 준동형 사환이면, $A = eM$이고 $B = (1 - e)M$를 만족하는 고유한 멱등원 $e$가 $E$에 존재할 때만 $M = A \oplus B$이다. 따라서 $M$은 0과 1이 $E$의 유일한 멱등원일 때만 직접 분해 불가능하다.

$M = R$이면, 자기 준동형 사환 ${\text{End}}_R(R) = R$에서 각 자기 준동형 사상은 고정된 환 원소에 의한 좌 곱셈으로 나타난다. $A = eR$이고 $B = (1 - e)R$를 만족하는 고유한 멱등원 $e$가 존재할 때만, $R = A \oplus B$이다. 따라서 $R$의 모든 직접 피승수는 멱등원으로 생성된다.

$a$가 중심 멱등원이면, $aRa = Ra$는 곱셈 항등원 $a$를 갖는 환이다. 멱등원이 $R$의 직접 분해를 결정하듯, $R$의 중심 멱등원은 환의 직합으로의 분해를 결정한다. $R$이 $R_1, \dots, R_n$의 직합이면, $R_i$의 항등원은 $R$에서 쌍으로 직교하고 합이 1인 중심 멱등원이다. 반대로, 쌍으로 직교하고 합이 1인 중심 멱등원 $a_1, \dots, a_n$이 주어지면, $R$은 $Ra_1, \dots, Ra_n$의 직합이다. $R$의 모든 중심 멱등원 $a$는 $aRa$와 $(1 - a)R(1 - a)$의 직합으로의 $R$의 분해를 초래한다. 환 $R$이 환으로서 직접 분해 불가능한 것과 항등원 1이 중심적으로 원시적인 것은 동치이다.

귀납적으로, 1을 중심 원시 원소의 합으로 분해할 수 있다. 1이 중심 원시적이면 완료된다. 그렇지 않으면, 중심 직교 멱등원의 합이며, 이는 다시 원시적이거나 더 많은 중심 멱등원의 합 등으로 이어진다. 문제는 이것이 끝없이 계속되어 무한 중심 직교 멱등원 집합을 생성할 수 있다는 것이다. "$R$''은 중심 직교 멱등원의 무한 집합을 포함하지 않는다''"는 환의 유한성 조건이다. 이는 환이 오른쪽 뇌터가 되도록 요구하는 것과 같이 달성될 수 있다. 각 $c_i$가 중심 원시 멱등원인 분해 $R = c_1R \oplus c_2R \oplus \dots \oplus c_nR$가 존재하면, $R$은 $c_iRc_i$의 직합이며, 각 환은 환 기약이다.

체 위의 결합 대수 또는 요르단 대수의 경우, 페르스 분해는 대수를 교환하는 멱등원 원소의 고유 공간의 합으로 분해한다.

2. 1. 범주의 멱등 사상

범주

\mathcal C

의 자기 사상

e\colon X\to X

가

e\circ e=e

를 만족시킨다면,

e

를

\mathcal C

의 '''멱등 사상'''(idempotent morphism^영어)이라고 한다.

만약

e=g\circ f

이며

f\circ g=\operatorname{id}_Y

가 되는 사상

f\colon X\to Y

,

g\colon Y\to X

가 존재한다면,

e

를 '''분할 멱등 사상'''(split idempotent morphism^영어)이라고 한다.

\mathcal C

의 '''카루비 껍질'''(Karoubi envelope^영어)

\operatorname{Split}(\mathcal C)

는 다음과 같은 범주이다.

$\operatorname{Split}(\mathcal C)$ 의 대상 $(X,e)$ 는 $\mathcal C$ 의 대상 $X\in\mathcal C$ 과 $X$ 위의 멱등 사상 $e\colon X\to X$ 의 순서쌍이다.
$\operatorname{Split}(\mathcal C)$ 의 사상 $f\colon (X,e)\to(X',e')$ 는 $\mathcal C$ 의 사상 $f\colon X\to X'$ 가운데, $e'\circ f=f=f\circ e$ 인 것이다.

::

\begin{matrix}X&\overset e\to&X\\{\scriptstyle f}\downarrow&{\scriptstyle f}\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\X'&\underset{e'}\to&X'\end{matrix}

$(X,e)$ 위의 항등 사상은 $e\in\hom_{\mathcal C}(X,X)$ 이다.

카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, 충실충만한 함자

:

\mathcal C\to\operatorname{Split}(\mathcal C)

:

X\mapsto(X,\operatorname{id}_X)

:

f\mapsto f

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

:

\operatorname{PSh}(\mathcal C)\simeq\operatorname{PSh}(\operatorname{Split}(\mathcal C))

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

:

\operatorname{Split}(\mathcal C)\to\operatorname{PSh}(\operatorname{Split}(\mathcal C))\simeq\operatorname{PSh}(\mathcal C)

가 존재한다.

2. 2. 모노이드의 멱등원

모노이드 $(R,\cdot)$의 원소 $e\in R$가 $e^2=e\cdot e=1$을 만족시킨다면, $e$를 $R$의 '''멱등원'''이라고 한다.

모노이드 $R$의 멱등원들만으로 구성된 집합 $E\subseteq R$에서, 만약

:$ee'=e'e\qquad\forall e\in E$

가 성립한다면, $E$를 '''직교 멱등원 집합'''(set of mutually orthogonal idempotents|상호 직교 멱등원 집합^영어)이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 '''멱등 모노이드'''(nilpotent monoid|멱영 모노이드^영어)라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. $n$개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다.

:$\sum_{k=0}^n\binom nk\prod_{i=1}^k(k-i+1)^{2^i}$

2. 3. 환의 멱등원

환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원은 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

환

R

의 멱등원

e\in R

에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 '''원시 멱등원'''(primitive idempotent^영어)이라고 한다.

$(eR)_R$ 는 $R$ -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
$_R(Re)$ 는 $R$ -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
환 $eRe$ 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
$e=e_1+e_2$ 이자 $e_1e_2=e_1e_2$ , $e_1\ne0\ne e_2$ 인 멱등원 $e_1,e_2\in R$ 가 존재하지 않는다.

환

R

의 멱등원

e\in R

에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 '''국소 멱등원'''(local idempotent^영어)이라고 한다.

오른쪽 가군 자기 사상환 $\operatorname{End}(eR_R,eR_R)$ 는 국소환이다.
왼쪽 가군 자기 사상환 $\operatorname{End}({}_RRe,{}_RRe)$ 는 국소환이다.
$eRe$ 는 국소환이다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

정수 모듈로 n의 환을 생각해 볼 수 있으며, 여기서 n은 제곱 인수가 없는 정수이다. 중국인의 나머지 정리에 의해 이 환은 모듈로 p의 정수의 환의 곱으로 분해되며, 여기서 p는 소수이다. 이제 이러한 각 인수는 체이므로, 인수의 유일한 멱등원은 0과 1임이 분명하다. 즉, 각 인수는 두 개의 멱등원을 갖는다. 따라서 m개의 인수가 있다면 2^m개의 멱등원이 있을 것이다.

정수 6에 대해 이를 확인할 수 있으며,

R = \mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}

이다. 6은 두 개의 소인수(2와 3)를 가지므로 2²개의 멱등원을 가져야 한다.

: 0² ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)

: 1² ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)

: 2² ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)

: 3² ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)

: 4² ≡ 16 ≡ 4 (mod 6)

: 5² ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

이러한 계산으로부터, 0, 1, 3, 4는 이 환의 멱등원인 반면, 2와 5는 그렇지 않다. 이것은 또한 분해 속성을 보여준다. 왜냐하면 3 + 4 ≡ 1 (mod 6)이므로, 환 분해

3\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z} \oplus 4\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}

가 존재한다.

3\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}

에서 곱셈 항등원은 3 + 6'''Z'''이고,

4\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}

에서 곱셈 항등원은 4 + 6'''Z'''이다.

환

R

과

f \in R

이고

f^2 \ne 0

인 원소가 주어졌을 때, 몫환

:

R / (f^2 - f)

는 멱등원

f

를 갖는다. 예를 들어, 이는

x \in \mathbb{Z}[x]

또는 임의의 다항식

f \in k[x_1, ..., x_n]

에 적용될 수 있다.

분할 사원수 환에는 원을 이루는 멱등원이 존재한다. 분할 사원수는 실수 대수의 구조를 가지므로, 원소는 기저 {1, i, j, k}를 사용하여 ''w'' + ''x''i + ''y''j + ''z''k와 같이 표현할 수 있으며, 여기서 j² = k² = +1이다. 임의의 θ에 대해,

:

s = j \cos \theta + k \sin \theta

는 s² = +1을 만족하는데, 이는 j와 k가 반가환 성질을 만족하기 때문이다. 이제

:

(\frac{1+s}{2})^2 = \frac{1 + 2s + s^2}{4} = \frac{1+s}{2},

이므로 멱등원 성질을 만족한다.

원소 ''s''는 쌍곡 단위라고 불리며, 지금까지 i-좌표는 0으로 간주되었다. 이 좌표가 0이 아닐 때, 분할 사원수에는 일엽 쌍곡면의 쌍곡 단위가 존재한다. 동일한 등식은

\frac{1 + s}{2}

가 멱등원임을 보여주며, 여기서 ''s''는 쌍곡면에 위치한다.

중요한 멱등원의 유형은 다음과 같다.

두 멱등원 $a$ 와 $b$ 는 $ab = ba = 0$ 일 때 '''직교'''라고 한다. 만약 링 $R$ 에서 $a$ 가 멱등원이라면(단위성 포함), $b = 1 - a$ 도 멱등원이며, 게다가 $a$ 와 $b$ 는 직교한다.
$R$ 에서 멱등원 $a$ 는 모든 $x$ in $R$ 에 대해 $ax = xa$ 일 경우, 즉 $a$ 가 $R$ 의 중심에 있을 경우 '''중심 멱등원'''이라고 한다.
'''자명 멱등원'''은 항상 멱등원인 요소 0과 1 중 하나를 지칭한다.
링 $R$ 의 '''원시 멱등원'''은 오른쪽 $R$ -가군으로서 $aR$ 이 기약불가능한, 즉 $aR$ 이 두 개의 영이 아닌 부분 가군의 직합이 아닌 영이 아닌 멱등원 $a$ 이다. 동치적으로, $a$ 는 $a = e + f$ 로 쓸 수 없을 때 원시 멱등원이며, 여기서 $e$ 와 $f$ 는 $R$ 에서 영이 아닌 직교 멱등원이다.
'''국소 멱등원'''은 $aRa$ 가 국소환인 멱등원 $a$ 이다. 이는 $aR$ 이 직접 기약불가능함을 의미하므로, 국소 멱등원은 또한 원시적이다.
'''오른쪽 기약 멱등원'''은 $aR$ 이 단순 가군인 멱등원 $a$ 이다. 슈어의 보조정리에 의해, $End_R(aR) = aRa$ 는 나눗셈환이며, 따라서 국소환이므로, 오른쪽(및 왼쪽) 기약 멱등원은 국소적이다.
'''중심 원시 멱등원'''은 두 개의 영이 아닌 직교 중심 멱등원의 합으로 쓸 수 없는 중심 멱등원 $a$ 이다.
몫환 $R/I$ 에서 멱등원 $a + I$ 는 $b + I = a + I$ 인 멱등원 $b$ 가 $R$ 에 존재한다면 ''' $I$ 를 법으로''' '''올려진다'''고 한다.
$R$ 의 멱등원 $a$ 는 $RaR = R$ 일 경우 '''전체 멱등원'''이라고 한다.
'''분리가능성 멱등원'''; 분리가능 대수 참조.

어떤 비자명 멱등원

a

는 영인자이다 (

ab = 0

이고

a

와

b

모두 0이 아닌 경우, 여기서

b = 1 - a

). 이는 정역과 나눗셈환에는 그러한 멱등원이 없음을 보여준다. 국소환에도 그러한 멱등원이 없지만, 그 이유는 다르다. 링의 제이콥슨 근기에 포함된 유일한 멱등원은 0이다.

모든 원소가 멱등원인 환을 불 대수 환이라고 한다. 일부 저자는 이러한 유형의 환에 "멱등원 환"이라는 용어를 사용한다. 이러한 환에서 곱셈은 가환적이며 모든 원소는 그 자체의 덧셈 역원이다.
환은 모든 오른쪽(또는 모든 왼쪽) 아이디얼이 멱등원에 의해 생성될 때 그리고 그 때만 반단순환이다.
환은 모든 유한 생성 오른쪽(또는 모든 유한 생성 왼쪽) 아이디얼이 멱등원에 의해 생성될 때 그리고 그 때만 폰 노이만 정규 환이다.
환 $R$ 의 모든 부분집합 $S$ 에 대한 소멸자 $r.Ann(S)$ 가 멱등원에 의해 생성되면 베어 환이라고 한다. 이 조건이 $R$ 의 모든 싱글톤 부분집합에 대해서만 유지되면, 환은 오른쪽 리카트 환이다. 이 두 종류의 환은 곱셈 항등원이 없을 때도 흥미롭다.
모든 멱등원이 중심인 환을 '''아벨 환'''이라고 한다. 이러한 환은 가환적일 필요는 없다.
환은 0과 1이 유일한 중심 멱등원일 때 그리고 그 때만 직접 기약환이다.
환 $R$ 은 각 $e_i$ 가 국소 멱등원일 때 그리고 그 때만 $R = e_1R \oplus e_2R \oplus ... \oplus e_nR$ 로 표현될 수 있으며, 이 때 $R$ 은 반완비 환이다.
환은 $R$ 의 모든 멱등원이 제이콥슨 근기를 법으로 들어 올려지면 '''SBI 환''' 또는 '''Lift/rad''' 환이라고 한다.
환은 오른쪽 직접 합에 대한 상승 연쇄 조건을 만족하는 것은 환이 왼쪽 직접 합에 대한 하강 연쇄 조건을 만족하는 것과 같고, 모든 쌍별 직교 멱등원의 집합이 유한한 것과 같다.
$a$ 가 환 $R$ 에서 멱등원이면, $aRa$ 는 다시 환이며, 곱셈 항등원은 $a$ 이다. 환 $aRa$ 는 종종 $R$ 의 '''코너 환'''이라고 불린다. 코너 환은 자기 사상 환 $End_R(aR) \cong aRa$ 에서 자연스럽게 발생한다.

R

의 멱등원은

R

-가군의 분해와 중요한 관련이 있다.

M

이

R

-가군이고

E = End_R(M)

이 그 자기 준동형 사환인 경우,

M = A \oplus B

는

E

에

A = eM

이고

B = (1 - e)M

를 만족하는 고유한 멱등원

e

가 존재할 때에만 참이다. 따라서

M

은 0과 1이

E

의 유일한 멱등원일 때에만 직접적으로 분해 불가능하다.

M = R

(단위원을 갖는다고 가정)의 경우, 자기 준동형 사환

End_R(R) = R

에서 각 자기 준동형 사상은 고정된 환 원소에 의한 좌 곱셈으로 나타난다. 이 표기법으로 수정하면,

R = A \oplus B

는 오른편 가군으로,

A = eR

이고

B = (1 - e)R

를 만족하는 고유한 멱등원

e

가 존재할 때에만 참이다. 따라서

R

의 모든 직접적 피승수는 멱등원에 의해 생성된다.

a

가 중심 멱등원인 경우, 모서리 환

aRa = Ra

는 곱셈 항등원

a

를 갖는 환이다. 멱등원이 가군으로서의

R

의 직접적 분해를 결정하는 것처럼,

R

의 중심 멱등원은 환의 직합으로의

R

의 분해를 결정한다.

R

이 환

R_1

, ...,

R_n

의 직합인 경우, 환

R_i

의 항등원은

R

에서 쌍으로 직교하고 그 합이 1인 중심 멱등원이다. 반대로, 쌍으로 직교하고 합이 1인 중심 멱등원

a_1

, ...,

a_n

이 주어진 경우,

R

은 환

Ra_1

, ...,

Ra_n

의 직합이다. 따라서 특히,

R

의 모든 중심 멱등원

a

는 모서리 환

aRa

와

(1 - a)R(1 - a)

의 직합으로의

R

의 분해를 초래한다. 결과적으로, 환

R

은 환으로서 직접적으로 분해 불가능한 것과 항등원 1이 중심적으로 원시적인 것은 동치이다.

귀납적으로 작업하면, 1을 중심적으로 원시적인 원소의 합으로 분해하려고 시도할 수 있다. 1이 중심적으로 원시적이면 완료된다. 그렇지 않으면, 중심 직교 멱등원의 합이며, 이는 다시 원시적이거나 더 많은 중심 멱등원의 합 등으로 이어진다. 발생할 수 있는 문제는 이것이 끝없이 계속되어 무한한 중심 직교 멱등원 집합을 생성할 수 있다는 것이다. "

R

''은 중심 직교 멱등원의 무한 집합을 포함하지 않는다''"는 환에 대한 일종의 유한성 조건이다. 이는 환이 오른쪽 뇌터가 되도록 요구하는 것과 같은 다양한 방식으로 달성될 수 있다. 각

c_i

가 중심적으로 원시적인 멱등원인 분해

R = c_1R \oplus c_2R \oplus ... \oplus c_nR

가 존재하면,

R

은 모서리 환

c_iRc_i

의 직합이며, 각 환은 환 기약이다.

체 위의 결합 대수 또는 요르단 대수의 경우, 페르스 분해는 대수를 교환하는 멱등원 원소의 고유 공간의 합으로 대수를 분해하는 것이다.

3. 예

범주에서 멱등 사상의 예는 다음과 같다.

정수 모듈로 n의 환에서, 제곱 인수가 없는 정수 n에 대해, 중국인의 나머지 정리에 따라 멱등원의 개수를 설명할 수 있다. 이 환은 모듈로 p인 정수의 환의 곱으로 분해되며, 여기서 p는 소수이다. 각 인수는 체이므로, 유일한 멱등원은 0과 1이다. 즉, 각 인수는 두 개의 멱등원을 갖는다. 따라서 m개의 인수가 있다면 2^m개의 멱등원이 존재한다.
전체 행렬환에서, 멱등원은 사영 행렬이라고도 불린다.
환 R과 f ∈ R이고 f² ≠ 0인 원소가 주어졌을 때, 몫환 R / (f² − f)는 멱등원 f를 갖는다.
분할 사원수 환에는 원을 이루는 멱등원이 존재한다.

정수 모듈로 6의 환을 예로 들어보자. 6은 두 개의 소인수(2와 3)를 가지므로, 2² = 4개의 멱등원을 가져야 한다.

계산	결과 (mod 6)	멱등원 여부
0² ≡ 0	0	예
1² ≡ 1	1	예
2² ≡ 4	4	아니오
3² ≡ 9	3	예
4² ≡ 16	4	예
5² ≡ 25	1	아니오

위 표에서 볼 수 있듯이, 0, 1, 3, 4는 멱등원이고, 2와 5는 멱등원이 아니다.

3. 1. 멱등 함수

집합의 범주

\operatorname{Set}

에서의 멱등 사상은 '''멱등 함수'''(idempotent function^영어)라고 한다. 즉, 집합

X

위의 함수

e\colon X\to X

가 다음 조건을 만족시키면,

X

위의 '''멱등 함수'''라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $e(e(x))=e(x)$

멱등 함수

e\colon X\to X

의 경우, 고정점 집합과 상이 일치한다.

:

\{x\in X\colon x=e(x)\}=\{e(x)\colon x\in X\}

또한, 이는 함자

:

\operatorname{Split}(\operatorname{Set})\to\operatorname{Set}

:

(X,e)\mapsto e(X)

:

(f\colon(X,e)\to(X',e'))\mapsto(f|_{e(X)}\colon e(X)\to e'(X'))

를 이루며, 이는 충실충만한 매장

:

\operatorname{Set}\to\operatorname{Split}(\operatorname{Set})

:

X\mapsto(X,\operatorname{id}_X)

:

f\mapsto f

의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

멱등 함수의 예는 다음과 같다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 폐포 $\operatorname{cl}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)$ 는 멱등 함수이다. 그 상이자 고정점 집합은 닫힌집합들이다.
함수 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 가 $f(x_1,\dots,x_n)=(x_1-(x_1+\cdots+x_n)/n,\dots,x_n-(x_1+\cdots+x_n)/n)$ 으로 정의되었을 때, $f$ 는 멱등 함수이다. $f$ 의 상이자 고정점 집합은 산술 평균이 0인 원소들이다. 이는 분산의 정의에서 산술 평균 대신 제곱 평균을 사용하는 한 가지 동기가 된다.

3. 2. 정수 모듈로 n의 환

정수 모듈로 n의 환에서 멱등원의 개수는 중국인의 나머지 정리를 이용하여 설명할 수 있다. 이 제곱 인수가 없는 정수일 때, 정수 모듈로 의 환은 중국인의 나머지 정리에 의해 모듈로 인 정수의 환의 곱으로 분해된다. 여기서 는 소수이다. 각 인수는 체이므로, 유일한 멱등원은 0과 1이다. 즉, 각 인수는 두 개의 멱등원을 갖는다. 따라서 개의 인수가 있다면 개의 멱등원이 존재한다.

예를 들어, 정수 모듈로 6의 환, 를 생각해보자. 6은 두 개의 소인수(2와 3)를 가지므로, 개의 멱등원을 가져야 한다. 실제로 다음 계산을 통해 확인할 수 있다.

:

:

:

:

:

:

위 계산에서 0, 1, 3, 4는 멱등원이고, 2와 5는 멱등원이 아니다. 이므로, 환 분해 가 존재한다. 에서 곱셈 항등원은 이고, 에서 곱셈 항등원은 이다.

3. 3. 다항식 환의 몫환

환

R

과

f \in R

이고

f^2 \ne 0

인 원소가 주어졌을 때, 몫환

:

R / (f^2 - f)

는 멱등원

f

를 갖는다. 예를 들어, 이는

x \in \mathbb{Z}[x]

또는 임의의 다항식

f \in k[x_1, \dots, x_n]

에 적용될 수 있다.

3. 4. 분할 사원수 환

분할 사원수 환에는 원을 이루는 멱등원이 존재한다. 분할 사원수는 실수 대수의 구조를 가지므로, 원소는 기저 {1, i, j, k}를 사용하여 ''w'' + ''x''i + ''y''j + ''z''k와 같이 표현할 수 있으며, 여기서 j² = k² = +1이다. 임의의 θ에 대해, 다음이 성립한다.

:

s = j \cos \theta + k \sin \theta

는 s² = +1을 만족하는데, 이는 j와 k가 반가환 성질을 만족하기 때문이다.

:

(\frac{1+s}{2})^2 = \frac{1 + 2s + s^2}{4} = \frac{1+s}{2},

이므로 멱등원 성질을 만족한다.

원소 ''s''는 쌍곡 단위라고 불리며, 지금까지 i-좌표는 0으로 간주되었다. 이 좌표가 0이 아닐 때, 분할 사원수에는 일엽 쌍곡면의 쌍곡 단위가 존재한다. 동일한 등식은

\frac{1 + s}{2}

가 멱등원임을 보여준다. 여기서 ''s''는 쌍곡면에 위치한다.

4. 특별한 멱등원

환의 멱등원 가운데 특별한 의미를 갖는 것들은 다음과 같다.

직교 멱등원: 두 멱등원 $a$ 와 $b$ 가 $ab = ba = 0$ 을 만족하면 서로 '''직교'''(orthogonal)한다고 한다. 환 $R$ 의 멱등원 $a$ 에 대하여, $b = 1 - a$ 역시 멱등원이며, $a$ 와 $b$ 는 직교한다.
중심 멱등원(central idempotent): 환 $R$ 의 멱등원 $a$ 가 모든 $x \in R$ 에 대해 $ax = xa$ 를 만족시키면, 즉 $a$ 가 $R$ 의 중심에 속하면, $a$ 를 중심 멱등원이라고 한다.
자명 멱등원(trivial idempotent): 0과 1은 항상 멱등원이며, 이를 자명 멱등원이라고 한다.
원시 멱등원(primitive idempotent): 환 $R$ 의 멱등원 $e \in R$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치하며, 이들을 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원이라고 한다.^[1]
$(eR)_R$ 는 $R$ -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
$_R(Re)$ 는 $R$ -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
환 $eRe$ 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
$e = e_1 + e_2$ 이자 $e_1e_2 = e_1e_2$ , $e_1 \ne 0 \ne e_2$ 인 멱등원 $e_1, e_2 \in R$ 가 존재하지 않는다.
국소 멱등원(local idempotent): 환 $R$ 의 멱등원 $e \in R$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치하며, 이들을 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원이라고 한다.
오른쪽 가군 자기 사상환 $\operatorname{End}(eR_R, eR_R)$ 는 국소환이다.
왼쪽 가군 자기 사상환 $\operatorname{End}({}_RRe, {}_RRe)$ 는 국소환이다.
$eRe$ 는 국소환이다.
모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.
오른쪽 기약 멱등원(right irreducible idempotent): $aR$ 이 단순 가군인 멱등원 $a$ 이다.^[2] 슈어의 보조정리에 의해, $\operatorname{End}_R(aR) = aRa$ 는 나눗셈환이며, 따라서 국소환이므로, 오른쪽(및 왼쪽) 기약 멱등원은 국소적이다.
중심 원시 멱등원(centrally primitive idempotent): 중심 멱등원 $a$ 가 0이 아닌 두 직교 중심 멱등원의 합으로 표현될 수 없으면, $a$ 를 중심 원시 멱등원이라고 한다.
전체 멱등원(full idempotent): 환 $R$ 의 멱등원 $a$ 가 $RaR = R$ 을 만족시키면, $a$ 를 전체 멱등원이라고 한다.
분리가능성 멱등원(separability idempotent): 분리가능 대수 참고.

정역과 나눗셈환은 자명하지 않은 멱등원을 갖지 않는다. 국소환 역시 자명하지 않은 멱등원을 갖지 않는데, 이는 환의 제이콥슨 근기에 포함된 유일한 멱등원이 0이기 때문이다.

5. 멱등원에 의한 환의 특징화

모든 원소가 멱등원인 환은 불 대수 환이라고 한다. 이러한 환에서 곱셈은 가환적이며 모든 원소는 그 자체의 덧셈 역원이다.
환은 모든 오른쪽(또는 모든 왼쪽) 아이디얼이 멱등원에 의해 생성될 때 그리고 그 때만 반단순환이다.
환은 모든 유한 생성 오른쪽(또는 모든 유한 생성 왼쪽) 아이디얼이 멱등원에 의해 생성될 때 그리고 그 때만 폰 노이만 정규 환이다.
환의 모든 부분집합에 대한 소멸자가 멱등원에 의해 생성되면 베어 환이라고 한다. 이 조건이 환의 모든 싱글톤 부분집합에 대해서만 유지되면, 환은 오른쪽 리카트 환이다.
모든 멱등원이 중심인 환을 '''아벨 환'''이라고 한다.
환은 0과 1이 유일한 중심 멱등원일 때 그리고 그 때만 직접 기약환이다.
환 R은 각 e_i가 국소 멱등원일 때 그리고 그 때만 1=e₁R ⊕ e₂R ⊕ ... ⊕ e_nR로 표현될 수 있으며, 이 때 R은 반완비 환이다.
환의 모든 멱등원이 제이콥슨 근기를 법으로 들어 올려지면 '''SBI 환'''이다.
환은 오른쪽 직접 합에 대한 상승 연쇄 조건을 만족하는 것은 환이 왼쪽 직접 합에 대한 하강 연쇄 조건을 만족하는 것과 같고, 모든 쌍별 직교 멱등원의 집합이 유한한 것과 같다.

6. 분해와의 관계

R^la의 멱등원은 R^la-가군의 분해와 중요한 관련이 있다. M^la이 R^la-가군이고 E = End_R(M)^la이 그 자기 준동형 사환인 경우, A ⊕ B = M^la는 A = eM^la이고 B = (1 − e)M^la를 만족하는 고유한 멱등원 e^la가 존재할 때에만 참이다. 따라서 M^la은 0과 1이 E^la의 유일한 멱등원일 때에만 직접적으로 분해 불가능하다.

M = R^la (단위원을 갖는다고 가정)의 경우, 자기 준동형 사환 End_R(R) = R^la에서 각 자기 준동형 사상은 고정된 환 원소에 의한 좌 곱셈으로 나타난다. 이 표기법으로 수정하면, A ⊕ B = R^la는 오른편 가군으로, eR = A^la이고 (1 − e)R = B^la를 만족하는 고유한 멱등원 e^la가 존재할 때에만 참이다. 따라서 R^la의 모든 직접적 피승수는 멱등원에 의해 생성된다.

a^la가 중심 멱등원인 경우, 모서리 환 aRa = Ra^la는 곱셈 항등원 a^la를 갖는 환이다. 멱등원이 가군으로서의 R^la의 직접적 분해를 결정하는 것처럼, R^la의 중심 멱등원은 환의 직합으로의 R^la의 분해를 결정한다. R^la이 환 R₁^la, ..., R_n^la의 직합인 경우, 환 R_i^la의 항등원은 R^la에서 쌍으로 직교하고 그 합이 1인 중심 멱등원이다. 반대로, 쌍으로 직교하고 합이 1인 중심 멱등원 a₁^la, ..., a_n^la이 주어진 경우, R^la은 환 Ra₁^la, ..., Ra_n^la의 직합이다. 따라서 특히, R^la의 모든 중심 멱등원 a^la는 모서리 환 aRa^la와 (1 − a)R(1 − a)^la의 직합으로의 R^la의 분해를 초래한다. 결과적으로, 환 R^la은 환으로서 직접적으로 분해 불가능한 것과 항등원 1이 중심적으로 원시적인 것은 동치이다.

귀납적으로 작업하면, 1을 중심적으로 원시적인 원소의 합으로 분해하려고 시도할 수 있다. 1이 중심적으로 원시적이면 완료된다. 그렇지 않으면, 중심 직교 멱등원의 합이며, 이는 다시 원시적이거나 더 많은 중심 멱등원의 합 등으로 이어진다. 발생할 수 있는 문제는 이것이 끝없이 계속되어 무한한 중심 직교 멱등원 집합을 생성할 수 있다는 것이다. "R^la''은 중심 직교 멱등원의 무한 집합을 포함하지 않는다''"는 환에 대한 일종의 유한성 조건이다. 이는 환이 오른쪽 뇌터가 되도록 요구하는 것과 같은 다양한 방식으로 달성될 수 있다. 각 c_i^la가 중심적으로 원시적인 멱등원인 분해 R = c₁R ⊕ c₂R ⊕ ... ⊕ c_nR^la가 존재하면, R^la은 모서리 환 c_iRc_i^la의 직합이며, 각 환은 환 기약이다.^[1]

체 위의 결합 대수 또는 요르단 대수의 경우, 페르스 분해는 대수를 교환하는 멱등원 원소의 고유 공간의 합으로 대수를 분해하는 것이다.

7. 대합과의 관계

만약 가 자기 사상환 의 멱등원이라면, 자기 사상 는 의 -대합이다. 즉, 는 가 의 항등 자기 사상인 -가군 준동형사상이다.

의 멱등원 와 그와 관련된 대합 는 을 왼쪽 또는 오른쪽 가군으로 보느냐에 따라 모듈 의 두 가지 대합을 생성한다. 만약 이 의 임의의 원소를 나타낸다면, 는 와 같은 오른쪽 -가군 준동형사상으로 볼 수 있으며, 이 때 이다. 또한 는 와 같은 왼쪽 -가군 준동형사상으로 볼 수도 있으며, 이 때 이다.

이 과정은 가 의 가역원인 경우 반대로 적용될 수 있다.^[3] 만약 가 대합이라면, 와 는 와 에 해당하는 직교 멱등원이다. 따라서 가 가역원인 환의 경우, 멱등원은 일대일 방식으로 대합에 대응한다.

8. R-가군 범주

멱등원의 올림은 -가군 범주에 매우 중요한 영향을 미친다. 모든 멱등원이 를 모듈로 올리는 것은 의 모든 직합이 -가군으로서 사영 피복을 가질 때와 동치이다.^[1] 멱등원은 항상 영 멱등원 이상과 이 -아디적으로 완비된 환을 모듈로 올린다.

야코브슨 근기 에 포함되는 아이디얼 를 법으로 하는 모든 멱등원이 올려지는 것과, 가군으로서 의 모든 직합 성분이 사영 피복을 갖는 것은 동치이다.^[1] 멱등원은 mod 멱영 아이디얼이나 가 진 완비인 환에서는 항상 올려진다.

9. 멱등원의 격자

환의 멱등원에는 다음과 같은 부분 순서를 정의할 수 있다. 두 멱등원 ''a''^영어, ''b''^영어에 대해, ''ab'' = ''ba'' = ''a''^영어일 때만 ''a'' ≤ ''b''^영어라고 한다. 이 순서에서 0은 가장 작은 멱등원이고 1은 가장 큰 멱등원이다. 직교 멱등원 ''a''^영어와 ''b''^영어에 대해 ''a'' + ''b''^영어 역시 멱등원이며, ''a'' ≤ ''a'' + ''b''^영어와 ''b'' ≤ ''a'' + ''b''^영어가 성립한다. 이 부분 순서의 원자는 정확히 원시 멱등원이다.

이 부분 순서를 환 ''R''^영어의 중심 멱등원으로 제한하면, 격자 구조, 또는 심지어 부울 대수 구조를 부여할 수 있다. 두 중심 멱등원 ''e''^영어와 ''f''^영어에 대해, 여집합은 ¬''e'' = 1 − ''e''^영어이고, 만남은 ''e'' ∧ ''f'' = ''ef''^영어이며, 결합은 ''e'' ∨ ''f'' = ¬(¬''e'' ∧ ¬''f'') = ''e'' + ''f'' − ''ef''^영어이다.

이제 순서는 ''eR'' ⊆ ''fR''^영어일 때만 ''e'' ≤ ''f''^영어가 되며, 만남과 결합은 (''e''∨''f'')''R'' = ''eR'' + ''fR''^영어 및 (''e''∧''f'')''R'' = ''eR'' ∩ ''fR'' = (''eR'')(''fR'')^영어를 만족한다. ''R''^영어이 폰 노이만 정칙 환이고 오른쪽 자기 단사이면, 격자는 완비 격자가 된다.^[1]

참조

_[1] 서적 0 을 멱등원으로부터 제외하는 저자도 있다 https://books.google[...] 1962
_[2] 서적 반완전환의 basic idempotent는 그 예이다 https://books.google[...] 1999
_[3] 문서 2 가 가역적이지 않은 환을 찾는 것은 어렵지 않다

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com