극관성모멘트

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 단위
4. 응용
- 4.1. 비틀림 공식
- 4.2. 비틀림 강성
5. 한계
6. 예제
- 6.1. 원형 단면
- 6.2. 증기 터빈 샤프트 반경 계산 (예시)
7. 다른 관성 모멘트와의 비교
참조

1. 개요

극관성 모멘트는 단면의 형상에 대한 관성 모멘트의 일종으로, 단면의 면적 요소에서 중심축까지의 거리의 제곱을 면적에 대해 적분하여 정의된다. 이는 물체가 비틀림을 받을 때 저항하는 정도를 나타내는 중요한 지표로, 주로 축이나 봉과 같이 회전하는 물체의 강성을 계산하는 데 사용된다. 극관성 모멘트는 단면 이차 모멘트와 밀접한 관련이 있으며, 수직축 정리에 의해 두 평면 축에 대한 단면 이차 모멘트의 합으로 표현될 수 있다. 원형 단면의 경우, 극관성 모멘트는 간단한 공식으로 계산되며, 비틀림 응력과 각 변위를 계산하는 데 활용된다. 하지만 비원형 단면의 경우에는 비틀림 상수와 같은 다른 개념을 사용해야 한다.

더 읽어볼만한 페이지

재료역학 - 비등방성
비등방성은 재료의 미세구조, 결정구조, 분자 배열 등으로 인해 물질의 물리적, 화학적 성질이 방향에 따라 달라지는 현상으로, 다양한 분야에서 중요한 역할을 하며 측정 및 분석을 통해 재료 설계 및 응용에 활용된다.
재료역학 - 비틀림
비틀림은 물체에 동일하고 반대 방향의 힘이 작용하여 꼬이는 현상으로, 구조 부재에 비틀림 모멘트가 작용할 때 발생하며, 전단 응력을 유발하고, 비틀림 상수, 전단 응력, 비틀림 각도 등으로 분석되며 샤프트 설계에 중요하다.
모멘트 (물리학) - 각운동량
각운동량은 회전 운동량을 나타내는 물리량으로, 질점의 경우 위치 벡터와 선운동량의 벡터곱으로 정의되며, 외부 토크가 없을 때 보존되고, 양자역학에서는 양자화되는 특성을 지닌다.
모멘트 (물리학) - 운동량
운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의되는 벡터량으로, 외부 힘이 작용하지 않는 계에서는 보존되며, 충돌, 충격량, 질량 변화, 상대론, 해석역학, 전자기학, 양자역학 등 다양한 역학 분야에서 중요한 물리량으로 다뤄진다.
구조역학 - 가상일
가상일은 역학계에서 외력이 가상 변위에 대해 하는 일의 합으로, 정역학에서는 계의 정적 평형 조건으로 활용되며, 달랑베르 원리를 통해 동역학에도 적용되어 구조 해석 및 계산에 널리 쓰이는 물리량이다.
구조역학 - 거더
교량 건설에 사용되는 구조 부재인 거더는 하중을 지지하며, 시공 방식과 형태에 따라 다양하게 제작된다.

극관성모멘트
개요
명칭	극관성모멘트 (geukgwanseongmomenteu)
다른 명칭	단면 2차 극 모멘트 (danmyeon icha geuk momenteu), 비틀림 상수 (biteolleom sangsu)
기호	J, Ip, Iz, Jp, Jt
단위	m^4 (미터의 4제곱)
정의
정의	면적에 대한 거리의 제곱의 적분 (myeonjeoge daehan georie daehan jegobui jeokbun)
공식	J = ∫r^2 dA
여기서	J = 극관성모멘트 (geukgwanseongmomenteu) r = 회전축으로부터의 거리 (hoejeonchugeurobuteoui geori) dA = 면적 요소 (myeonjeok yoso)
계산
원형 단면	J = πr^4/2
여기서	r = 원의 반지름 (wonui banjireum)
중공 원형 단면	J = π(Ro^4 - Ri^4)/2
여기서	Ro = 외부 반지름 (oeabu banjireum) Ri = 내부 반지름 (naeabu banjireum)
사각형 단면	J ≈ bh^3[0.3333 - 0.208(h/b)]
여기서	b는 긴 변 (gineun byeon) h는 짧은 변 (jjareun byeon)
비고	b > h 경우에만 유효함 (b > h gyeongeuman yuhyoham)
응용
비틀림 강성	재료의 비틀림에 대한 저항을 나타냄 (jaelyoui biteolleime daehan jeohangeul natanaem)
관련 항목	비틀림, 단면 2차 모멘트

2. 정의

오른쪽 그림과 같은 임의의 단면에 대해서 극관성 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

:

I_p = \int^{}_{A} \rho ^2 dA

`I`_`p` : 원점 ''O''를 지나며 평면에 수직인 축에 대한 극관성모멘트
`dA` : 미소 면적 요소
`ρ` : 중심축으로부터 면적 요소 `dA` 까지의 거리

한편,

\rho ^2 =  {x^2} + {y^2}

이므로, 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

I_p = \int^{}_{A} ( x^2 + y^2 ) dA = \int^{}_{A} x^2 dA + \int^{}_{A} y^2 dA = I_y + I_x

이때 `I`_`x`, `I`_`y`는 각각 `x`축, `y`축에 대한 단면 이차 모멘트이다.

극관성모멘트를 `I`_`p` 대신 `J`로 나타내기도 한다.

축 $O$ 에 대해 임의의 형상에 대한 '''면적의 극관성 모멘트'''가 어떻게 계산되는지 보여주는 개략도. 여기서 $\rho$ 는 요소 $dA$ 까지의 반경 거리입니다.

면적의 극관성 모멘트를 설명하는 방정식은 물체의 단면적 `A`에 대한 중적분이다.

:

J = \iint_A r^2 \, dA

여기서 `r`은 요소 `dA`까지의 거리이다.

피타고라스 정리를 사용하여 `x` 및 `y` 성분을 대입하면 다음과 같다.

:

J = \iint_A \left(x^2+y^2\right) dx \, dy

:

J = \iint_A x^2 \, dx\, dy + \iint_A y^2 \, dx \, dy

다음의 '''평면''' 면적의 2차 모멘트 방정식을 고려한다.

:

I_x = \iint_A y^2 dx \, dy

:

I_y = \iint_A x^2 dx \, dy

면적의 극관성 모멘트는 `x` 및 `y` '''평면''' 면적 모멘트 `I`_`x`와 `I`_`y`의 합으로 설명될 수 있다.

:

\therefore J = I_z = I_x + I_y

이는 수직축 정리에서도 나타난다.^[2] 실린더 또는 중공 튜브와 같이 회전 대칭을 갖는 물체의 경우^[3], 방정식은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

:

J = 2I_x

또는

J = 2I_y

반지름이 `R`인 원형 단면의 경우:

:

I_z = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 (r \, dr \, d\phi) = \frac{\pi R^4}{2}

3. 단위

극관성모멘트의 SI 단위는 단면 이차 모멘트와 같은 네제곱 미터(m⁴)이다. 야드파운드법과 미국 단위계에서는 네제곱 인치(in⁴)도 사용된다.

4. 응용

극관성 모멘트는 비틀림 전단 응력과 각 변위를 계산하는 데 사용된다.^[1] 원형 샤프트에서 전단 응력은 샤프트 표면에서 최대이다.

4. 1. 비틀림 공식

극관성모멘트는 비틂으로 인한 전단 응력과 비틀림각에 대한 공식에 나타난다.

비틀림 공식:^[1]

:'''τ'' = ''T''ρ/''I''_''p''

''τ'' - 전단 응력
''T'' - 돌림힘
''ρ'' - 중심축으로부터의 거리
''I''_''p'' - 극관성 모멘트

원형 단면봉에 대해서, 비틂으로 인한 최대 전단 응력은 단면의 가장 바깥 표면(돌림힘이 최대)에서 발생한다.

:''T''_max = ''τ''_max''I''_p/''r''

극관성 모멘트는 단면과 평행하게 작용하는 모멘트(토크)에 의해 받는 물체의 각변위를 계산하는 데 가장 많이 사용되지만, 제공된 강성 값은 구성 재료의 함수로 물체에 제공되는 비틀림 저항과는 관련이 없다. 물체의 재료가 제공하는 강성은 전단 탄성 계수 ''G''의 특성이다. 이 두 가지 특징과 샤프트의 길이 ''L''을 결합하면 적용된 토크 ''T''로 인한 샤프트의 각 변형 ''θ''를 계산할 수 있다.^[1]

:θ = ''TL''/''JG''

재료의 전단 탄성 계수와 극관성 모멘트(즉, 더 큰 단면적)가 클수록 비틀림 변형에 대한 저항이 커진다.

극관성 모멘트는 비틀림 응력과 각 변위를 설명하는 공식에 나타난다.^[1]

비틀림 응력:^[1]

:τ = ''T'' ''r''/''J''_z

여기서 τ는 비틀림 전단 응력, ''T''는 가해진 토크, ''r''는 중심축으로부터의 거리, ''J''_z는 극관성 모멘트이다.

'''참고:''' 원형 샤프트에서 전단 응력은 샤프트 표면에서 최대이다.

4. 2. 비틀림 강성

극관성모멘트는 비틂으로 인한 전단 응력과 비틀림각에 대한 공식에 나타난다. 원형단면봉에서 비틂으로 인한 최대 전단 응력은 단면의 가장 바깥 표면(돌림힘이 최대)에서 발생한다.

극관성 모멘트는 단면과 평행하게 작용하는 모멘트(토크)에 의해 받는 물체의 각변위를 계산하는 데 가장 많이 사용되지만, 제공된 강성 값은 구성 재료의 함수로, 물체에 제공되는 비틀림 저항과는 관련이 없다. 물체의 재료가 제공하는 강성은 전단 탄성 계수 ''G''의 특성이다. 이 두 가지 특징과 샤프트의 길이 ''L''을 결합하면 적용된 토크 ''T''로 인한 샤프트의 각 변형 ''θ''를 계산할 수 있다.

:

\theta = \frac{TL}{JG}

재료의 전단 탄성 계수와 극관성 모멘트(즉, 더 큰 단면적)가 클수록 비틀림 변형에 대한 저항이 커진다.

극관성 모멘트는 비틀림 전단 응력과 각 변위를 설명하는 공식에 나타난다.

'''참고:''' 원형 샤프트에서 전단 응력은 샤프트 표면에서 최대이다.

5. 한계

극관성모멘트는 비원형 단면을 가진 보와 축을 분석하는 데 부적합할 수 있는데, 이는 비원형 단면이 비틀릴 때 휘어지는 경향이 있어 평면 외 변형을 유발하기 때문이다. 이러한 경우, 비틀림 상수를 대신 사용해야 하며, 여기서 적절한 변형 상수가 휘어짐 효과를 보상하도록 포함된다. 이와 관련하여, '극관성모멘트' $I_z$ 와 '비틀림 상수' $J_t$ 를 구별하는 문서가 있으며, 더 이상 극관성모멘트를 설명하기 위해 $J$ 를 사용하지 않는다.^[4]

적용된 토크 축을 따라 단면의 변화가 큰 물체는 세분화하여 분석할 수 없으므로, 더 복잡한 접근 방식을 사용해야 할 수 있다. 3차원 탄성을 참조하라.

6. 예제

극관성모멘트의 예시로는 반지름이 ''r''인 원형 단면봉의 도심을 지나며 단면에 수직한 중심축에 대한 극관성 모멘트 계산과 터보세트용 증기 터빈 샤프트 반경 계산이 있다.

6. 1. 원형 단면

반지름이 ''r''인 원형 단면봉의 도심을 지나며 단면에 수직한 중심축에 대한 극관성 모멘트는 다음과 같다.

:

I_{p} = \int \rho ^2 dA = \int ^r _0 2 \pi \rho ^3 d \rho = \frac{\pi r^4}{2}

6. 2. 증기 터빈 샤프트 반경 계산 (예시)

터보세트용 증기 터빈 샤프트 반경은 다음과 같이 계산할 수 있다.

'''가정:'''

샤프트가 전달하는 동력은 1000MW이며, 이는 대형 원자력 발전소의 일반적인 값이다.
샤프트를 만드는 데 사용되는 강의 항복 응력(''τ''_yield)은 250MPa이다.
전기의 주파수는 50Hz이다. 이는 유럽의 일반적인 주파수이다. 북미에서는 주파수가 60Hz이다. 여기서는 터빈의 회전 속도와 주 전원의 주파수 사이에 1:1 상관관계가 있다고 가정한다.

각속도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:''ω'' = 2π''f''

샤프트가 전달하는 토크는 다음 방정식에 의해 일률과 관련된다.

:''P'' = ''Tω''

따라서 각속도는 314.16rad/s이고, 토크는 이다.

최대 토크는 다음과 같다.

:''T''_max = ''τ''_max''J''_z / ''r''

극관성모멘트를 대입하면 다음 식이 얻어진다.

:''r'' =

반경 ''r''은 0.200m, 즉 200mm이고, 지름은 400mm이다. 안전율 5를 적용하고 허용 응력을 ''τ''_adm=''τ''_yield/5와 같이 하여 반경을 다시 계산하면, 반경은 0.343m, 즉 지름 690mm가 되며, 이는 원자력 발전소 터보세트 샤프트의 대략적인 크기이다.

7. 다른 관성 모멘트와의 비교

오른쪽 그림과 같은 임의의 단면에 대해서 극관성 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

: $I_p = \int^{}_{A} \rho ^2 dA$

''I''_''p'' : 원점 ''O''를 지나며 평면에 수직인 축에 대한 극관성모멘트
''dA'' : 미소 면적 요소
''ρ'' : 중심축으로부터 면적 요소 ''dA'' 까지의 거리

한편,

\rho ^2 =  {x^2} + {y^2}

이므로, 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

I_p = \int^{}_{A} ( x^2 + y^2 ) dA = \int^{}_{A} x^2 dA + \int^{}_{A} y^2 dA = I_y + I_x

이때 ''I''_''x'', ''I''_''y''는 각각 ''x''축, ''y''축에 대한 단면 이차 모멘트이다.

극관성모멘트를 ''I''_''p'' 대신 ''J''로 나타내기도 한다.

참조

_[1] 서적 Advanced Strength and Applied Elasticity Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs, NJ
_[2] 웹사이트 Moment Of Inertia; Definition with examples http://www.efunda.co[...]
_[3] 서적 Mechanical Simmetry https://www.research[...] Author House
_[4] 웹사이트 What is the difference between the Polar Second Moment of Area ("Polar Moment of Inertia"), IPIP and the torsional constant, JTJT of a cross section? https://engineering.[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com