극성화와 반환

1. 개요

극성화와 반환은 다항식에 적용되는 연산으로, 대수기하학 및 불변량 이론에서 활용된다. 극성화는 주어진 동차 다항식에서 유도된 다중 선형적이고 대칭적인 다항식인 극형식을 생성하며, 반환은 극성화의 역연산이다. 극성화는 동형 사상을 정의하며, 1변수 단항식, 선형 함수, 이차 형식 및 삼차 다항식과 같은 특정 다항식에 대한 예시가 존재한다.

2. 정의

$p$가 $n$개의 변수에 대한 $d$차 동차 다항식이고, $R$는 계승 $n!$이 가역원인 가환환일 때, $p$의 극성화와 반환을 정의할 수 있다. 극성화는 주어진 다항식으로부터 다중 선형 형식을 유도하는 과정이고, 반환은 이 다중 선형 형식으로부터 원래의 다항식을 복원하는 과정이다. 극성화와 반환의 구체적인 정의는 하위 섹션을 참고할 수 있다.

2.1. 극성화

$p$가 $n$개의 변수에 대한 $d$차 동차 다항식이고, $R$는 계승 $n!$이 가역원인 가환환이라고 하자. 그렇다면 $p$를 $R[x\_1,\backslash dots,x\_n]$의 원소로 여길 수 있다. $p$의 극성화 $\backslash mathcal\; Pp\backslash in\; R[x\_\{1,1\},x\_\{1,2\},\backslash dots,x\_\{i,j\},x\_\{i,j+1\},\backslash dots,x\_\{n,d\}]$는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; Pp(\backslash dots,x\_\{i,j\},\backslash dots)=\backslash frac1\{d!\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\_1\}\backslash cdots\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\_d\}f\backslash left(\backslash dots,\backslash sum\_\{j=1\}^dt\_jx\_\{i,j\},\backslash dots\backslash right)$

$f(\backslash mathbf\{u\})$를 $n$개의 변수 $\backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash left(u\_1,\; u\_2,\; \backslash ldots,\; u\_n\backslash right)$에 대한 다항식이라고 하자. $f$가 차수가 $d$인 동차식이라고 가정하면, 다음이 성립한다.

:

이 극형식은 각 $\backslash mathbf\{u\}^\{(i)\}$에 대해 선형적(즉, $F$는 다중 선형적)이며, $\backslash mathbf\{u\}^\{(i)\}$에 대해 대칭적이고, 다음을 만족한다.

:

다시 말해, $F$는 $f\backslash left(\backslash lambda\_1\; \backslash mathbf\{u\}^\{(1)\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash lambda\_d\; \backslash mathbf\{u\}^\{(d)\}\backslash right)$의 전개식에서 $\backslash lambda\_1\; \backslash lambda\_2\; \backslash ldots\; \backslash lambda\_d$의 계수에 상수배를 한 것이다.

2.2. 반환

극성화의 반대 연산은 반환이다. $nd$개의 변수를 갖는 다항식
:$P\backslash in\; R[x\_\{1,1\},x\_\{1,2\},\backslash dots,x\_\{i,j\},\backslash dots,x\_\{n,d\}]$
의 반환 $\backslash mathcal\; RP$는 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\; RP\backslash in\; R[x\_1,\backslash dots,x\_n]$
:$\backslash mathcal\; RP(x\_1,\backslash dots,x\_n)=P(\backslash overbrace\{x\_1,\backslash dots,x\_1\}^d,\backslash cdots,\backslash overbrace\{x\_i,\backslash dots,x\_i\}^d,\backslash cdots,\backslash overbrace\{x\_n,\backslash dots,x\_n\}^d)$

3. 성질

$(x\_\{1,j\},\backslash dots,x\_\{n,j\})=\backslash mathbf\; x\_j$라고 쓰면, 각 $j$에 대하여 $\backslash mathcal\; Pp$는 $\backslash mathbf\; x\_j$에 대한 선형 함수이다. 또한, $\backslash mathcal\; Pp$는 대칭군 $\backslash operatorname\{Sym\}(d)$의 작용($\backslash mathbf\; x\_1,\backslash dots,\backslash mathbf\; x\_d$의 순열)에 대하여 불변이다.

차수 $d$의 동차 다항식의 극성화는 $d!$이 단위인 모든 가환환에서 유효하다. 특히 표수가 0이거나 $d$보다 큰 체에서 성립한다.

3.1. 극성화 동형사상 (차수별)

$K$가 표수가 0인 체이고, $V$가 $n$차원 $K$-벡터 공간일 때, 극성화는 표준적 동형사상
:$\backslash mathcal\; P\backslash colon\; K[V]\_i\backslash to\backslash operatorname\{Sym\}^n(V^*)$
을 정의한다. 여기서 $K[V]\_i$는 다항식환 $K[V]$의 $i$차 동차 성분이며, $\backslash operatorname\{Sym\}^n(V^*)$는 $V$의 쌍대 공간 $V^*$의 $n$차 대칭 멱이다.

$k$를 표수가 0인 체, $A\; =\; k[\backslash mathbf\{x\}]$를 $k$ 위의 $n$개 변수를 갖는 다항식 환이라고 하면, $A$는 차수에 의해 등급을 가지므로,
:$A\; =\; \backslash bigoplus\_d\; A\_d$
와 같이 나타낼 수 있다.

이때, 대수 형식의 편광은 각 차수에서 벡터 공간의 동형 사상을 유도하며, 다음과 같이 표현된다.
:$A\_d\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Sym\}^d\; k^n$

이러한 동형 사상은 기저와 독립적이다. $V$가 유한 차원 벡터 공간이고, $A$가 $V$ 위의 동차 차수에 의해 등급이 매겨진 $k$ 값을 갖는 다항식 함수의 환인 경우, 편광은 다음 동형 사상을 생성한다.
:$A\_d\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Sym\}^d\; V^*.$

3.2. 대수적 동형사상

$K$가 표수가 0인 체이고, $V$가 $n$차원 $K$-벡터 공간일 때, 다항식환 $K[V]$는 차수에 따라 등급환이 된다.
:$K[V]=\backslash bigoplus\_\{i=0\}^\backslash infty\; K[V]\_i$
이 경우, 극성화는 표준적 동형사상
:$\backslash mathcal\; P\backslash colon\; K[V]\_i\backslash to\backslash operatorname\{Sym\}^n(V^*)$
을 정의한다. 또한, 극성화는 $R[V]$의 $K$-대수 구조와 호환되므로, $K$-등급대수로서 다음과 같은 동형사상이 존재한다.
:$\backslash mathcal\; P\backslash colon\; K[V]\backslash to\backslash operatorname\{Sym\}(V^*)$
차수 $d$의 동차 다항식의 극성화는 $d!$이 단위인 모든 가환환에서 유효하다. 특히 표수가 0이거나 $d$보다 큰 체에서 성립한다.

$k$를 표수가 0인 체, $A\; =\; k[\backslash mathbf\{x\}]$를 $k$ 위의 $n$개의 변수를 갖는 다항식 환이라고 하면, $A$는 차수에 의해 등급을 가지므로,
:$A\; =\; \backslash bigoplus\_d\; A\_d.$
와 같이 나타낼 수 있다. 대수 형식의 편광은 각 차수에서 벡터 공간의 동형 사상을 유도하며,
:$A\_d\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Sym\}^d\; k^n$
여기서 $\backslash operatorname\{Sym\}^d$는 $d$차 대칭 멱이다.

이러한 동형 사상은 기저와 독립적으로 표현할 수 있다. 즉, $V$가 유한 차원 벡터 공간이고, $A$가 $V$ 위의 동차 차수에 의해 등급이 매겨진 $k$ 값을 갖는 다항식 함수의 환인 경우, 편광은 동형 사상을 생성한다.
:$A\_d\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Sym\}^d\; V^*.$
또한, 극성화는 $A$에 대한 대수적 구조와 호환되므로,
:$A\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Sym\}^\{\backslash bullet\}\; V^*$
로 나타낼수 있으며, 여기서 $\backslash operatorname\{Sym\}^\{\backslash bullet\}\; V^*$는 $V^*$에 대한 전체 대칭 대수이다.

3.3. 추가 설명

표수가 0이거나 차수 $d$보다 큰 체에서 극성화가 성립한다.

* 양의 표수 $p$인 체의 경우, 등급 대수가 차수 $p\; -\; 1$에서 절단되면 앞서 언급한 동형 사상이 적용된다.
* $V$가 무한 차원 위상 벡터 공간인 경우 일반화가 존재한다.

4. 예

1변수 단항식 $ax^d$에 대하여, 극성화는 항등 함수이다. 마찬가지로, 선형 함수($d=1$)에 대하여, 극성화는 항등 함수이다.

2변수 이차 형식 $p(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$의 극성화는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; Pp(x\_1,y\_1,x\_2,y\_2)=ax\_1x\_2+b(x\_1y\_2+y\_1x\_2)+cy\_1y\_2$

2변수 3차 동차 다항식 $p(x,y)=ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3$의 극성화는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; Pp(x\_1,x\_2,x\_3,y\_1,y\_2,y\_3)=ax\_1x\_2x\_3+b(y\_1x\_2x\_3+x\_1y\_2x\_3+x\_1x\_2y\_3)+c(x\_1y\_2y\_3+y\_1x\_2y\_3+y\_1y\_2x\_3)+dy\_1y\_2y\_3$

4.1. 이차식 예시

$\backslash mathbf\{x\}\; =\; (x,y)$이고 $f(\backslash mathbf\{x\})$가 다음과 같은 이차 형식이라고 가정하자.

:$$f(\backslash mathbf\{x\})\; =\; x^2\; +\; 3\; x\; y\; +\; 2\; y^2.$$

그러면 $f$의 극성화는 $\backslash mathbf\{x\}^\{(1)\}\; =\; (x^\{(1)\},\; y^\{(1)\})$ 및 $\backslash mathbf\{x\}^\{(2)\}\; =\; (x^\{(2)\},\; y^\{(2)\})$에서 다음과 같이 주어진다.

:$$F\backslash left(\backslash mathbf\{x\}^\{(1)\},\; \backslash mathbf\{x\}^\{(2)\}\backslash right)\; =\; x^\{(1)\}\; x^\{(2)\}\; +\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; x^\{(2)\}\; y^\{(1)\}\; +\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; x^\{(1)\}\; y^\{(2)\}\; +\; 2\; y^\{(1)\}\; y^\{(2)\}.$$

더 일반적으로, 만약 $f$가 임의의 이차 형식이라면, $f$의 극성화는 극성화 항등식의 결론과 일치한다.

4.2. 삼차식 예시

$f(x,\; y)\; =\; x^3\; +\; 2xy^2$이라 하자. 그러면 $f$의 극성화는 다음과 같이 주어진다.

:$F\backslash left(x^\{(1)\},\; y^\{(1)\},\; x^\{(2)\},\; y^\{(2)\},\; x^\{(3)\},\; y^\{(3)\}\backslash right)\; =\; x^\{(1)\}\; x^\{(2)\}\; x^\{(3)\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; x^\{(1)\}\; y^\{(2)\}\; y^\{(3)\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; x^\{(3)\}\; y^\{(1)\}\; y^\{(2)\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; x^\{(2)\}\; y^\{(3)\}\; y^\{(1)\}.$

5. 응용

극성화와 반환은 대수기하학, 특히 불변량 이론에서 쓰인다.

6. The technique

$f(\backslash mathbf\{u\})$를 $n$개의 변수 $\backslash mathbf\{u\}\; =\; (u\_1,\; u\_2,\; \backslash ldots,\; u\_n)$에 대한 다항식이라고 하자. $f$가 차수가 $d$인 동차식이라고 가정하면, 다음이 성립한다.

:$$f(t\; \backslash mathbf\{u\})\; =\; t^d\; f(\backslash mathbf\{u\})\; \backslash quad\; \backslash text\{\; 모든\; \}\; t에\; \backslash \; 대해$$

$\backslash mathbf\{u\}^\{(1)\},\; \backslash mathbf\{u\}^\{(2)\},\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf\{u\}^\{(d)\}$를 $\backslash mathbf\{u\}^\{(i)\}\; =\; (u^\{(i)\}\_1,\; u^\{(i)\}\_2,\; \backslash ldots,\; u^\{(i)\}\_n)$로 구성된 미정 변수들의 집합이라고 하자. 그러면 전체 $dn$개의 변수가 존재한다. $f$의 극형식은 다음과 같은 다항식이다.

:

$f$의 극형식은 다음 구성에 의해 주어진다.

: