매개계

1. 개요

매개계는 뇌터 국소 가환환 R과 R-유한 생성 가군 M에 대해 정의되는 개념으로, M의 크룰 차원 d를 만족하는 R의 부분 집합 S이다. 특히 R = M인 경우, S는 R의 매개계가 되며, S가 정칙 매개계가 될 수도 있다. 정칙 국소환은 정칙 매개계를 가지며, 코언-매콜리 국소환은 모든 매개계가 정칙열이거나 적어도 하나의 정칙열을 매개계로 가진다. 아르틴 국소환의 경우 매개계는 공집합이며, 정수환의 국소화와 같은 구체적인 예시를 통해 매개계의 개념을 이해할 수 있다. 매개계 개념은 1943년 클로드 슈발레에 의해 사용되었으며, 대수다양체에서 국소 좌표계와 유사한 역할을 한다.

2. 정의

뇌터 국소 가환환 $(R,\backslash mathfrak\; m)$ 위의 유한 생성 가군 $M$의 크룰 차원을 $\backslash dim\_R\; M\; =\; d$라고 하자. $|S|\; =\; d$이고 인 (즉, $\backslash exists\; N\backslash in\backslash mathbb\; Z^+\backslash colon\; \backslash mathfrak\; m^NM\; \backslash subseteq\; SM$인) 부분 집합 $S\backslash subseteq\; R$를 $M$의 매개계라고 한다. 여기서 $\backslash operatorname\{length\}(-)$는 가군의 길이이다.

특히, $M\; =\; R$인 경우, $|S|\; =\; d$이고 $\backslash exists\; N\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z^+\backslash colon\; \backslash mathfrak\; m^N\; \backslash subseteq\; S$인 부분 집합 $S$를 $R$의 매개계라고 한다. 만약 $N\; =\; 1$으로 놓을 수 있다면, $S$를 정칙 매개계(regular system of parameters^영어)라고 한다.

3. 성질

뇌터 국소 가환환에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* 정칙 국소환이다.
* 정칙 매개계를 갖는다.

뇌터 국소 가환환 $(R,\backslash mathfrak\; m)$에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.

* 코언-매콜리 국소환이다.
* 모든 매개계가 정칙열이다.
* 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.

3.1. 정칙 국소환

$d$차원 정칙 국소환 $(R,\backslash mathfrak\; m,\backslash kappa=R/\backslash mathfrak\; m)$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\backslash mathfrak\; m$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.
* $S\; \backslash subseteq\; S\text{'}$인 정칙 매개계 $S\text{'}\backslash subseteq\; R$가 존재한다.
* $R/(S)$는 $d-|S|$차원 정칙 국소환이다.
* $\backslash \{s+\backslash mathfrak\; m^2\backslash colon\; s\backslash in\; S\backslash \}\; \backslash subseteq\; \backslash mathfrak\; m/\backslash mathfrak\; m^2$는 $\backslash kappa$-벡터 공간인 자리스키 공변접공간 $\backslash mathfrak\; m/\backslash mathfrak\; m^2$ 속에서 선형 독립이다.

3.2. 독립성

정칙 국소환 $(R,\backslash mathfrak\; m,\backslash kappa=R/\backslash mathfrak\; m)$의 $d$차원 매개계 $(r\_1,\backslash dotsc,r\_d)$가 주어졌다고 하자. 임의의 $R$계수 $k$차 동차 다항식 $p\; \backslash in\; R[x\_1,\backslash dotsc,x\_d]$에 대하여, 만약 $p(r\_1,\backslash dotsc,r\_d)\; =\; 0$이라면, $p$의 모든 계수는 $\backslash mathfrak\; m$에 속한다. (즉, $p$의 $\backslash kappa[x\_1,\backslash dotsc,x\_d]$ 속의 상이 0이다.)

4. 예

아르틴 국소 가환환 $(R,\backslash mathfrak\; m)$의 경우, 매개계는 공집합이다. 이 경우 극대 아이디얼 $\backslash mathfrak\; m$은 멱영 아이디얼이다. 예를 들어, 소수 $p$에 대하여 국소 가환환 $R\; =\; \backslash mathbb\; Z/(p^d)$가 이에 해당한다. 이 경우, $R$가 정칙 국소환인지 여부는 $R$가 체인지 여부와 동치이다. 체의 경우 $\backslash mathfrak\; m\; =\; (0)$이므로, 공집합이 정칙 매개계를 이룬다.

체 $K$ 위의 아핀 평면 $K[x,y]$의 원점에서의 국소환 $K[x,y]\_\{(x,y)\}$을 생각하자. 이는 2차원 정칙 국소환이다. 이 경우
:$\backslash \{x,y\backslash \}\; \backslash subset\; K[x,y]\_\{(x,y)\}$
는 정칙 매개계이다. 보다 일반적으로, 임의의
:$\backslash begin\{pmatrix\}$
a&b\\
c&d
\end{pmatrix} \in \operatorname{GL}(2;K)
에 대하여
:$\backslash \{ax+cy,bx+dy\backslash \}$
역시 정칙 매개계이다.

반면,
:$\backslash \{x,y^2-x\backslash \}\; \backslash subset\; K[x,y]\_\{(x,y)\}$
는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다. 이 경우
:$\backslash mathfrak\; m\; =\; (x,y)\; \backslash not\backslash subseteq\; (x,y^2-x)$
:$\backslash mathfrak\; m^2\; =\; (x^2,xy,y^2)\; \backslash subsetneq\; (x,y^2-x)$
이다.

정수환의 소수 $p$에서의 국소화 $\backslash mathbb\; Z\_\{(p)\}$를 생각하자. 이는 1차원 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 $p$로 생성되는 주 아이디얼이다. 따라서 $\backslash \{p\backslash \}$는 정칙 매개계를 이룬다. 보다 일반적으로, $p$와 서로소인 임의의 0이 아닌 정수 $a$에 대하여 $\backslash \{ap\backslash \}$는 $\backslash mathbb\; Z\_\{(p)\}$의 정칙 매개계이다. 또한, 2 이상의 양의 정수 $k$에 대하여 $\backslash \{ap^k\backslash \}$는 $\backslash mathbb\; Z\_\{(p)\}$의 정칙 매개계이지만, 이는 매개계가 아니다.

5. 역사

볼프강 크룰이 1938년에 국소환의 개념을 도입한 뒤, 1943년에 클로드 슈발레가 매개계의 개념을 사용하였다.

데이비드 아이젠버드는 매개계의 개념에 대하여 다음과 같이 적었다.

{{llang|en|Geometrically, if R is the local ring of a point p on an