점 (기하학)

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1. 개요
2. 유클리드 기하학에서의 점
- 2.1. 유클리드의 정의
- 2.2. 유클리드 공리
3. 좌표 표현
- 3.1. 데카르트 좌표
- 3.2. 삼각함수 좌표
4. 점의 차원
5. 점을 사용하지 않는 기하학
- 5.1. 비가환 기하학
- 5.2. 점 없는 위상수학
6. 물리학에서의 점
- 6.1. 디랙 델타 함수
- 6.2. 점 표기 방법
참조

1. 개요

점은 유클리드 기하학에서 가장 기본적인 대상 중 하나로, 위치는 있지만 크기는 없는, 즉 부분을 갖지 않는 것으로 정의된다. 2차원 유클리드 평면에서 점은 두 숫자의 순서쌍 (x, y)로 표현되며, 3차원 유클리드 공간에서는 (x, y, z)로 표현된다. 점은 유클리드 기하학, 좌표 표현, 차원, 물리학 등 다양한 분야에서 사용되며, 특히 물리학에서는 0이 아닌 질량이나 전하를 갖는 점으로 이상화하여 사용되기도 한다. 또한 점의 개념을 사용하지 않는 기하학적 시스템도 존재한다.

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점 (기하학)

2. 유클리드 기하학에서의 점

유클리드 기하학에서 점은 가장 기본적인 대상 중 하나이며, 유클리드는 점을 "부분이 없는 것"으로 정의했다. 2차원 유클리드 평면에서 점은 두 숫자의 순서쌍 (x, y)로 표현되며, 여기서 첫 번째 숫자는 관례에 따라 수평면을 나타내고 x로, 두 번째 숫자는 수직 방향을 나타내고 y로 표기한다. 이 아이디어는 3차원 유클리드 공간으로 일반화되어 점은 세 번째 숫자, 즉 깊이를 나타내는 순서 삼중항 (x, y, z)으로 표현되며 z로 표기한다. 더 나아가, 점은 n개의 항의 순서 튜플 (a₁, a₂, …, a_n)으로 표현되며, 여기서 n은 점이 위치한 공간의 차원이다.

유클리드 기하학 내의 많은 구조는 특정 공리를 따르는 무한히 많은 점의 집합으로 구성된다. 이는 일반적으로 점의 집합으로 표현된다. 예를 들어, 선은 다음과 같은 형태의 무한한 점의 집합이다.

: $L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n) \mid a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace,$

여기서 c₁부터 c_n까지, 그리고 d는 상수이며 n은 공간의 차원이다. 유사한 구성을 통해 평면, 선분 및 기타 관련 개념을 정의한다. 단일 점으로 구성된 선분은 퇴화 선분이라고 한다.

현대 수학에서는 점을 직접 정의하지 않고, 단순히 기하학적인 집합(공간)의 원소로 간주한다. 점은 유클리드 공간에서 다음과 같은 공리들을 만족한다.

임의의 한 점에서 다른 한 점에 대해 선분을 그을 수 있다.
임의의 점을 중심으로 임의의 길이(반지름)로 원을 그릴 수 있다.

2. 1. 유클리드의 정의

유클리드 기하학에서 점은 다음과 같이 정의된다.^[5]^[6]

제1권 정의 1: 점은 위치를 갖지만 차원은 없다. 즉 쪼갤 수 없는 것이다.
제1권 정의 16, 17 등에서 원과 원점 등을 정의할 때 사용되기도 한다.
제1권 공리 1: 어떤 점에서 다른 점으로 직선을 그릴 수 있다. 따라서, 유한한 직선의 양 끝은 점이다.

유클리드는 점을 "부분이 없는 것"으로 정의하고, 두 점을 직선으로 연결할 수 있다고 가정했다. 이는 유클리드 기하학의 현대적 확장을 통해 확인되며, 당시 거의 모든 기하학적 개념을 구성할 수 있게 했다. 그러나 유클리드의 점에 대한 가설은 완전하거나 명확하지 않았고, 선 위의 점의 순서나 특정 점의 존재 등 그의 공리에서 직접 따르지 않는 점에 대한 가정을 하기도 했다. 현대적 확장은 이러한 가정을 제거하는 데 기여한다.^[1]

유클리드의 『원론』에 따르면, 점은 "위치를 가지며, 부분을 갖지 않는 것"으로 정의된다.

2. 2. 유클리드 공리

유클리드는 두 점이 주어지면 그 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있다고 가정하였다.^[5]^[6] 이는 유클리드 기하학의 현대적 확장을 통해 쉽게 확인되며, 도입 당시 지속적인 결과를 가져와 당시 알려진 거의 모든 기하학적 개념의 구성을 가능하게 했다. 그러나 유클리드의 점에 대한 가설은 완전하거나 명확하지 않았으며, 그는 선 위의 점의 순서나 특정 점의 존재와 같이, 그의 공리에서 직접적으로 따르지 않는 점에 대한 사실을 가끔 가정했다. 그럼에도 불구하고 시스템의 현대적 확장은 이러한 가정을 제거하는 데 기여한다.^[1]

3. 좌표 표현

유클리드 기하학에서 점은 좌표계를 이용하여 수치적으로 표현할 수 있다. 2차원, 3차원, 또는 더 높은 차원의 공간에서 점의 위치는 숫자들의 순서쌍이나 튜플로 표현된다.^[1] 이러한 표현 방식은 점을 다루는 다양한 기하학적 구성 및 연산에서 핵심적인 역할을 한다.

3. 1. 데카르트 좌표

2차원 유클리드 평면에서 점은 (x, y)와 같이 두 숫자의 순서쌍으로 표현되며, 여기서 첫 번째 숫자는 관례에 따라 수평면을 나타내고 흔히 x로 표기하며, 두 번째 숫자는 관례에 따라 수직 방향을 나타내고 흔히 y로 표기한다. 3차원 유클리드 공간에서 점은 (x, y, z)와 같이 세 숫자의 순서쌍으로 표현되며, 흔히 z로 표기되는 세 번째 숫자는 깊이를 나타낸다. 더 나아가, 일반적인 n차원 유클리드 공간에서 점은 n개의 항의 순서 튜플 (''a''₁, ''a''₂, … , ''a''_''n'')으로 표현되며 여기서 n은 점이 위치한 공간의 차원이다.^[1]

3. 2. 삼각함수 좌표

단위원에서 삼각함수는 (cos θ, sin θ)의 좌표로 나타낼 수 있다.

4. 점의 차원

수학에는 여러 가지 차원 정의가 있다. 모든 일반적인 정의에서 점은 0차원이다.

유클리드 기하학에서 점은 크기, 방향 등 위치 이외의 모든 특징을 갖지 않는다. 유클리드는 공리를 통해 점의 존재를 명확히 했다. 예를 들어 평면 위에서 평행하지 않은 두 직선은 반드시 한 점에서 만난다.

유클리드는 때때로 공리에 따르지 않는 사실을 상정하기도 했다. 예를 들어 선 위의 점들의 순서나, 유한하지 않은 점들의 존재에 대한 경우가 그러하다. 따라서 점에 대한 전통적인 공리는 완전하고 결정적이지 않다.

원론에 따르면, 점은 "위치를 가지며, 부분을 갖지 않는 것"으로 정의된다. 현대 수학에서는 공리로부터의 연역을 중시하여, "점이란 무엇인가"를 직접 정의하지 않고, 기하학적 집합(공간)의 원소로 간주한다. 즉, 점(또는 직선 등)을 실체 없는 무정의 용어로 놓고, 그 성질로서 몇 가지 공리를 만족할 것을 요구한다.

예를 들어 유클리드 공간에서는 점이 아래와 같은 공리를 만족해야 유클리드 기하학이 성립한다.

임의의 한 점에서 다른 한 점으로 선분을 그을 수 있다.
임의의 점을 중심으로 임의의 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

유클리드 기하학은 다른 무정의 술어와 정의된 술어에 관한 공리들을 포함한다. 자세한 내용은 유클리드 원론을 참고할 수 있다.

4. 1. 벡터 공간 차원

벡터 공간의 차원은 선형 독립 부분 집합의 최대 크기이다. 단일 점(반드시 영벡터 '''0'''이어야 함)으로 구성된 벡터 공간에는 선형 독립인 부분 집합이 없다. 영벡터는 스스로 선형 독립이 아닌데, 영벡터를 0으로 만드는 비자명한 선형 결합

1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}

이 존재하기 때문이다.

4. 2. 위상 차원

위상 공간

X

의 위상 차원은 모든 유한 열린 덮개

\mathcal{A}

가

X

의 유한 열린 덮개

\mathcal{B}

를 허용하는 최소값 ''n''으로 정의되며, 여기서

\mathcal{B}

는

\mathcal{A}

를 세분하며, 어떠한 점도 ''n''+1개 이상의 원소에 포함되지 않는다. 이러한 최소 ''n''이 존재하지 않으면, 해당 공간은 무한 덮개 차원을 갖는다고 한다.

점은 덮개 차원에 관해 0차원이며, 이는 공간의 모든 열린 덮개가 단일 열린 집합으로 구성된 세분을 갖기 때문이다.

4. 3. 하우스도르프 차원

''X''를 거리 공간이라고 하자. ''S'' ⊂ ''X''이고 ''d'' ∈ [0, ∞)일 때, ''S''의 ''d''차원 '''하우스도르프 내용'''은

\{B(x_i,r_i):i\in I\}

와 같이 ''S''를 덮는 (색인된) 공의 모임이 존재하고, 각 ''i'' ∈ ''I''에 대해 ''r_i'' > 0이며, 다음 부등식을 만족하는 수 δ ≥ 0의 집합의 하한으로 정의된다.

\sum_{i\in I} r_i^d<\delta.

''X''의 '''하우스도르프 차원'''은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.

점은 임의로 작은 반지름을 가진 단일 공으로 덮을 수 있기 때문에 하우스도르프 차원이 0이다.

5. 점을 사용하지 않는 기하학

현대 수학에서는 주류 기하학과 위상수학에서 일반적으로 기본적으로 간주되는 점의 개념을 사용하지 않는 기하학 및 위상수학 체계도 존재한다. 이러한 시스템에는 비가환 기하학과 점 없는 위상수학이 있다. "점 없는" 또는 "점 없는 공간"은 집합으로 정의되지 않고, 대수적 또는 논리적 구조를 통해 정의된다. 즉, 연속 함수의 대수 또는 집합 대수를 사용한다. 이러한 구조는 "이 점에서 값을 취한다"는 연산이 정의되지 않을 수 있는 방식으로 함수의 공간을 일반화한다.^[2] A. N. 화이트헤드의 책에서 시작된 또 다른 전통에서는 영역의 개념을 '포함' 또는 '연결' 개념과 함께 원시 개념으로 가정한다.

5. 1. 비가환 기하학

비가환 기하학은 대수적 구조를 이용하여 "점 없는 공간"을 정의하는데, 이는 연속 함수의 대수와 유사하다. 이 구조에서는 "이 점에서 값을 취한다"라는 연산이 정의되지 않을 수 있다.^[2]

5. 2. 점 없는 위상수학

점 없는 위상수학은 영역의 개념을 기본으로 하여 공간을 정의하는 방법이다. 이는 집합으로 정의되지 않고, 함수 공간과 유사한 구조(대수적 또는 논리적 구조)를 통해 정의된다.^[2] 즉, 연속 함수의 대수 또는 집합 대수를 사용한다. 더 정확하게 말하면, 이러한 구조는 "이 점에서 값을 취한다"는 연산이 정의되지 않을 수 있는 방식으로 함수의 잘 알려진 공간을 일반화한다. 이 개념은 A. N. 화이트헤드의 일부 책에서 시작되었는데, 여기서 영역의 개념은 '포함' 또는 '연결'의 개념과 함께 원시 개념으로 가정한다.

6. 물리학에서의 점

물리학에서 점은 점 질량이나 점 전하와 같이 이상적인 상황을 가정하기 위해 사용되는 개념이다. 고전 전자기학에서는 전자를 0이 아닌 전하를 가진 점으로 이상화하여 다루는 경우가 흔하다.

6. 1. 디랙 델타 함수

물리학과 수학에서, 점이 0이 아닌 질량이나 전하를 갖는다고 생각하는 것이 유용하다(이는 전자를 0이 아닌 전하를 가진 점으로 이상화하는 고전 전자기학에서 특히 흔하다). '''디랙 델타 함수'''는 0을 제외한 모든 곳에서 0이고 전체 실수선에 대해 1의 적분 값을 갖는 일반화 함수이다.^[1] 델타 함수는 때때로 원점에서 무한히 높고 무한히 얇은 스파이크로 생각되며, 스파이크 아래의 총 면적은 1이고, 물리적으로 이상적인 점 질량 또는 점 전하를 나타낸다.^[2] 이는 이론 물리학자 폴 디랙에 의해 도입되었다. 신호 처리의 맥락에서 이는 종종 '''단위 임펄스 기호''' (또는 함수)라고 한다.^[3] 이산적인 아날로그는 일반적으로 유한한 영역에서 정의되고 0과 1의 값을 갖는 크로네커 델타 함수이다.

6. 2. 점 표기 방법

문서 등에 점을 기재하는 경우, 면적을 가진 칠해진 원이나 X와 같은 기호가 사용된다. 또한, 평면상, 공간상의 좌표를 나타내는 방법도 있다.

참조

_[1] Citation Hilbert's axioms https://en.wikipedia[...] 2024-09-29
_[2] 서적
_[3] 문서 부피, 넓이, 길이
_[4] 간행물 점 글로벌 세계 대백과
_[5] 서적 유클리드 기하학 원론 1권 정의들 http://www.gutenberg[...] 구텐베르크 프로젝트
_[6] 서적 기하학 원론-평면기하-가(제1,2,3,4권) 교우사 1997

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