다중지표

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1. 개요

다중지표는 여러 개의 음이 아닌 정수로 이루어진 순서쌍으로, 다변수 미적분학 및 조합론에서 널리 사용되는 표기법이다. n차원 다중지표는 n개의 음이 아닌 정수의 순서쌍이며, 이를 통해 다중 멱, 고차 편도함수 등을 정의한다. 다중지표 표기법은 다항 정리, 다중 이항 정리, 라이프니츠 공식, 테일러 급수, 편미분 연산자, 부분 적분 공식 등 다양한 수학적 개념과 공식들을 간결하게 표현하고 확장하는 데 기여한다. 또한, 다중지표의 계승과 이항계수를 정의하여 조합론적 문제 해결에도 활용된다.

다중지표

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1. 개요
2. 정의 및 기본 성질
- 2.1. 정의
- 2.2. 기본 연산
3. 다변수 미적분학에서의 활용
4. 조합론에서의 활용
- 4.1. 계승 및 이항계수
- 4.2. 다항 계수
5. 예제

2. 정의 및 기본 성질

n차원 다중지표 $I=(I_1,I_2,\dots,I_n)$ 는 $n$ 개의 음이 아닌 정수들의 순서쌍이며, 덧셈에 대하여 모노이드를 이룬다. 다중지표의 절댓값은 그 성분들의 합이다.

: $|I|=\sum_{i=1}^nI_i\in\mathbb N$

다중 지수를 이용하면 수 벡터나 기울기 연산자의 다중 지수에 의한 멱을 정의할 수 있다.

* 다중 멱 지수: $x^\alpha := x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \dotsb x_n^{\alpha_n}.$ (단, $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n.$ )
* 고계 편미분의 계수: $\partial^\alpha := \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \dotsb \partial_n^{\alpha_n}\quad (\partial_i^{\alpha_i}=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i}).$ (단, $\partial = (\partial_1, \partial_2, \ldots, \partial_n)=$ ∇.)

2.1. 정의

다중지표(Multi-index)는 여러 개의 음이 아닌 정수로 구성된 순서쌍으로, 미적분학, 편미분방정식, 분포이론 등에서 사용되는 개념이다.

n차원 다중지표는 다음과 같은 형태이다.

: $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)$

여기서 $\alpha_i$ 는 음이 아닌 정수이다. 즉, $\alpha$ 는 $\mathbb N^n$ ( $n$ 개의 음이 아닌 정수들의 집합)의 원소이다.

다중지표 $\alpha, \beta$ 와 $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

* 성분별 합 및 차:
: $\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)$

* 부분 순서:
: $\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}$

* 성분 합(절댓값):
: $| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$

* 계승:
: $\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$

* 이항 계수:
: $\binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}$

* 다항 계수:
: $\binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!}$ (여기서 $k:=|\alpha|$ )

* 거듭제곱:
: $x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}$

* 고차 편도함수:
: $\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n} = \frac{\partial^$

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}{\partial x_1^{\alpha_1} \partial x_2^{\alpha_2} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} (때때로

D^{\alpha} = \partial^{\alpha}

표기도 사용됨)

2.2. 기본 연산

다중지표는 덧셈에 대해 모노이드를 이룬다. 다중지표 $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0$ 와 $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

* 성분별 합 및 차: $\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)$
* 부분 순서: $\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}$
* 성분 합(절댓값): $| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$
* 계승: $\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$
* 이항 계수: $\binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}$
* 다항 계수: $\binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!}$ (단, $k:=|\alpha|\in\mathbb{N}_0$ )

3. 다변수 미적분학에서의 활용

다중지표 표기법은 다변수 함수의 편미분, 테일러 급수, 라이프니츠 공식 등을 간결하게 표현하는 데 유용하다. 이 표기법을 사용하면 초급 미적분학의 여러 공식들을 다변수 함수에 대해서도 쉽게 확장할 수 있다.

예를 들어, 다항 정리, 다중 이항 정리, 라이프니츠 규칙, 테일러 급수, 일반 선형 편미분 연산자, 부분 적분 공식 등을 다중지표를 사용하여 간결하게 나타낼 수 있다. 이러한 공식들은 분포나 약한 미분과 같은 고급 수학 개념을 정의하는 데에도 활용된다.

3.1. 다중 멱지수와 편미분

$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 이 $n$ 개의 변수들의 튜플이라고 하자. 다중지표 $I\in\mathbb N^n$ 이 주어졌다면, 다중지표로의 지수를 다음과 같이 정의한다.
: $x^I=x_1^{I_1}x_2^{I_2}\dotsb x_n^{I_n}$
마찬가지로, $n$ 차원 매끄러운 다양체의 국소좌표계 $(\partial/\partial x^1,\partial/\partial x^2,\dots,\partial/\partial x^n)$ 이 주어졌다면, 다중지표에 대한 편미분을 다음과 같이 정의한다.
: $\partial_I=\frac\partial{\partial x^I}=\frac{\partial^{I_1}}{(\partial x^1)^{I_1}}\frac{\partial^{I_2}}{(\partial x^2)^{I_2}}\dotsb\frac{\partial^{I_n}}{(\partial x^n)^{I_n}}$
$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ 에 대해 다중 멱 지수는 다음과 같이 정의한다.
: $x^\alpha := x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \dotsb x_n^{\alpha_n}.$
∇ $=(\partial_1, \partial_2, \ldots, \partial_n)$ 에 대해 고계 편미분의 계수는 다음과 같이 정의한다.
: $\partial^\alpha := \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \dotsb \partial_n^{\alpha_n}\quad (\partial_i^{\alpha_i}=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i}).$

3.2. 다항 정리 및 다중 이항 정리

다중 지표 표기법을 사용하면, 초급 미적분학의 여러 공식들을 다변수 함수에 대해서도 확장할 수 있다. $x,y,h\in\Complex^n$ (또는 $\R^n$ ), $\alpha,\nu\in\N_0^n$ , 그리고 $f,g,a_\alpha\colon\Complex^n\to\Complex$ (또는 $\R^n\to\R$ )일 때, 다음이 성립한다.

* 다항 정리

: $\left( \sum_{i=1}^n x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k} \binom{k}{\alpha} \, x^\alpha$

* 다중 이항 정리

: $(x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, x^\nu y^{\alpha - \nu}.$

: 여기서 $(x+y)$ 는 벡터이고 $\alpha$ 는 다중 지표이므로, 왼쪽의 표현은 $(x_1 + y_1 )^{\alpha_1} \cdots (x_n + y_n )^{\alpha_n}$ 의 축약형이다.

3.3. 라이프니츠 공식

매끄러운 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해, 다음이 성립한다.

: $\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.$

3.4. 테일러 급수

multi-index notation^영어을 사용하면, n 변수의 해석 함수 f에 대한 테일러 급수를 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.

: $f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0}^{}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.$

여기서 $x, h \in \mathbb{C}^n$ (또는 $\R^n$ ), $\alpha \in \mathbb{N}_0^n$ 는 다중지표이다.

충분히 매끄러운 함수에 대해서는 다음과 같은 테일러 전개를 얻는다.

: $f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_{n}(x,h).$

여기서 마지막 항 $R_n(x,h)$ 은 테일러 공식의 버전에 따라 달라지는 나머지 항이다. 예를 들어 코시 공식(적분 나머지와 함께)을 사용하면 다음과 같다.

: $R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !} \int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th) \, dt.$

3.5. 편미분 연산자

$n$ 차원 매끄러운 다양체의 국소좌표계 $(\partial/\partial x^1,\partial/\partial x^2,\dots,\partial/\partial x^n)$ 이 주어졌다면, 다중지표에 대한 편미분은 다음과 같이 정의된다.

: $\partial_I=\frac\partial{\partial x^I}=\frac{\partial^{I_1}}{(\partial x^1)^{I_1}}\frac{\partial^{I_2}}{(\partial x^2)^{I_2}}\dotsb\frac{\partial^{I_n}}{(\partial x^n)^{I_n}}$

이를 바탕으로 일반 선형 편미분 연산자는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N} {a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.$

3.6. 부분 적분

다중지표를 사용하면, 유계 영역 $\Omega \subset \R^n$ 에서 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수에 대해 다음과 같은 부분 적분 공식을 표현할 수 있다.

: $\int_{\Omega} u(\partial^{\alpha}v) \, dx = (-1)^$

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\int_{\Omega} {(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.

이 공식은 분포와 약한 미분의 정의에 사용된다.

4. 조합론에서의 활용

다중지표는 조합론에서 여러 개의 변수를 가진 식을 간결하게 표현하고 계산하는 데 사용된다.

4.1. 계승 및 이항계수

다중지표의 계승은 각 성분들의 계승들의 곱이다.

: $I!=\prod_{i=1}^nI_i!$

이를 통해 다중지표의 이항계수도 정의할 수 있다.

: $\binom IJ=\frac{I!}{J!(I-J)!}=\prod_{i=1}^n\binom{I_i}{J_i}$

다중 지표 $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

;계승
: $\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$

;이항 계수
: $\binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}$

4.2. 다항 계수

다중지표 $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0$ 와 $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ 에 대해, $k:=|\alpha|\in\mathbb{N}_0$ 일 때, 다항 계수는 다음과 같이 정의된다.

: $\binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!}$

5. 예제

다항 정리
: $\left( \sum_{i=1}^n x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k} \binom{k}{\alpha} \, x^\alpha$

다중 이항 정리
: $(x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, x^\nu y^{\alpha - \nu}.$
여기서 $x+y$ 는 벡터이고 $\alpha$ 는 다중 지표이므로, 왼쪽의 표현은 $(x_1 + y_1)^{\alpha_1} \cdots (x_n + y_n)^{\alpha_n}$ 의 축약형입니다.

라이프니츠 공식
:매끄러운 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해,
$\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.$

테일러 급수
: $n$ 변수의 해석 함수 $f$ 에 대해,
$f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0} {\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.$
실제로, 충분히 매끄러운 함수에 대해서는 다음과 같은 테일러 전개가 있습니다.
$f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_{n}(x,h),$
여기서 마지막 항(나머지)은 테일러 공식의 정확한 버전에 따라 달라집니다. 예를 들어, 코시 공식(적분 나머지와 함께)의 경우,
$R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !} \int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th) \, dt.$

일반 선형 편미분 연산자
: $n$ 변수의 형식적인 $N$ 차 편미분 연산자는 다음과 같이 작성됩니다.
$P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N} {a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.$

부분 적분
:유계 영역 $\Omega \subset \R^n$ 에서 컴팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수에 대해 다음이 성립합니다.
$\int_{\Omega} u(\partial^{\alpha}v) \, dx = (-1)^$

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좌우로 밀어서 보기

\int_{\Omega} {(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.
이 공식은 분포와 약한 미분의 정의에 사용됩니다.

만약

\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n_0

가 다중 지표이고

x=(x_1,\ldots, x_n)

이면,

\partial^\alpha x^\beta = \begin{cases}\frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \text{if}~ \alpha\le\beta,\\0 & \text{otherwise.}\end{cases}