닫힌 그래프 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 닫힌 그래프
3. 점집합 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리
- 3.1. 증명
4. 함수 해석학에서의 닫힌 그래프 정리
- 4.1. 닫힌 선형 연산자
5. 열린 사상 정리와의 관계
6. 집합 값 함수에 대한 닫힌 그래프 정리
7. 일반화
8. 예시
참조

1. 개요

닫힌 그래프 정리는 함수 f의 그래프가 닫힌 집합일 때 f가 특정 조건을 만족하면 연속임을 보장하는 정리이다. 위상수학에서는 하우스도르프 공간에서 정의된 함수의 그래프가 닫혀있으면, 함수가 연속이거나, 공역이 콤팩트 공간일 때 그래프가 닫혀있으면 함수가 연속이라는 정리가 있다. 함수 해석학에서는 닫힌 선형 연산자가 특정 조건 하에서 연속임을 보장하며, 열린 사상 정리를 이용하여 증명할 수 있다. 또한 집합 값 함수, 준완비 공간 등 더 일반적인 공간으로 확장될 수 있다.

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닫힌 그래프 정리
일반 정보
분야	수학, 함수해석학
하위 분야	해석학
이름	닫힌 그래프 정리
설명
내용	함수가 닫힌 그래프를 가질 조건에 대한 정리
관련 개념	연속 함수, 닫힌 그래프
관련 정리
관련 정리	열린 사상 정리
범주	베릴 공간

2. 정의

두 집합 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 의 '''그래프'''는 $(x, f(x))$ 형태의 순서쌍들의 집합으로 정의되며, 이는 $X \times Y$ 의 부분집합이다.^[5]

: $\operatorname{graph}f=\{(x,f(x))\}\subseteq X\times Y$

'''닫힌 그래프 정리'''에 따르면, 위상 공간 $X$ 와 하우스도르프 공간 $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $f$ 의 그래프 $\operatorname{graph}f$ 는 $X\times Y$ 의 닫힌 집합이다.^[5]

2. 1. 닫힌 그래프

함수

f : X \to Y

의 '''그래프'''는 집합

\Gamma_f := \{ (x, f(x)) : x \in X \}

이며, 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\Gamma_f := \{ (x, y) \in X \times Y : y = f(x) \}

f

의 '''그래프가 닫혀 있다'''는 것은

\Gamma_f

가 곱 위상을 사용했을 때

X \times Y

의 닫힌 부분 집합인 경우를 말한다.^[5]

하우스도르프 공간으로의 모든 연속 함수는 닫힌 그래프를 갖는다. 항등 함수

\operatorname{Id} : X \to X

는 연속이지만, 그 그래프인 대각선

\Gamma_{\operatorname{Id}} := \{ (x, x) : x \in X \}

는

X

가 하우스도르프 공간일 때에만

X \times X

에서 닫힌 집합이다.

X

를 유클리드 위상을 가진 실수

\mathbb{R}

로,

Y

를 부정 위상을 가진

\mathbb{R}

로 나타내자. 이때

Y

는 하우스도르프 공간이 아니며,

Y

를 값으로 가지는 모든 함수는 연속이다.

f : X \to Y

를

f(0) = 1

이고 모든

x \neq 0

에 대해

f(x) = 0

으로 정의하면,

f : X \to Y

는 연속이지만, 그 그래프는

X \times Y

에서 닫힌 집합이 아니다.

3. 점집합 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리

두 집합 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 의 '''그래프'''는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{graph}f=\{(x,f(x))\}\subseteq X\times Y$

'''닫힌 그래프 정리'''에 따르면, 위상 공간 $X$ 와 하우스도르프 공간 $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\operatorname{graph}f\subseteq X\times Y$ 는 닫힌 집합이다.^[5]

점 집합 위상수학에서 닫힌 그래프 정리는 다음과 같이 요약할 수 있다.

만약 $f : X \to Y$ 가 위상 공간 $X$ 에서 하우스도르프 공간 $Y$ 로의 함수라면, $f$ 의 그래프는 $f$ 가 연속일 경우 닫혀 있다.
역으로, $Y$ 가 콤팩트 공간일 때, $f$ 의 그래프가 닫혀 있으면 $f$ 는 연속 함수이다. (콤팩트성과 하우스도르프성은 서로를 함축하지 않는다.)

3. 1. 증명

f\colon X\to Y

가 연속 함수라고 가정한다. 증명의 목표는 임의의 점

(x,y)\in X\times Y\setminus\operatorname{graph}f

이

X\times Y\setminus\operatorname{graph}f

에 포함되는 근방을 갖는다는 것을 보이는 것이다. 정의에 따라,

f(x)\ne y

이다. 여기서

Y

가 하우스도르프 공간이므로,

f(x)

와

y

를 포함하는 서로소 열린 근방

U\ni f(x)

,

V\ni y

가 존재한다.

f

가 연속 함수이므로,

f^{-1}(U)\times V\subseteq X\times Y\setminus\operatorname{graph}f

는

(x,y)

를 포함하는 근방이 된다.^[5]

만약

f : X \to Y

가 위상 공간

X

에서 하우스도르프 공간

Y

로의 함수라면,

f

의 그래프는

f

가 연속일 경우 닫혀 있다. 역은

Y

가 콤팩트 공간일 때 참이다.
역의 증명:어떤 열린 집합

V\subset Y

에 대해,

f^{-1}(V)

가 열려 있는지 확인한다.

x\in f^{-1}(V)

를 선택하고,

f(U)\subset V

가 되도록

x

의 열린 근방

U

를 구성한다.

f

의 그래프가 닫혀 있으므로,

y'\neq f(x)

인 x축의 "수직선"의 모든 점

(x, y')

에 대해

f

의 그래프와 겹치지 않는 열린 직사각형

U_{y'}\times V_{y'}

를 그린다. 이러한 열린 직사각형은 y축으로 투영될 때,

f(x)

를 제외하고 y축을 덮으므로, 하나의 집합

V

를 더한다.

U:= \bigcap_{y'\neq f(x)} U_{y'}

를 취하면

x

를 포함하는 집합을 구성하지만, 열려 있는지 보장되지 않으므로, 여기에서 콤팩트성을 사용한다.

Y

는 콤팩트하므로,

\{V, V_{y'_1}, ..., V_{y'_n}\}

와 같이

Y

의 유한한 열린 덮개를 사용할 수 있다.

이제

U:= \bigcap_{i=1}^n U_{y'_i}

를 취한다. 이것은 유한 교차이기 때문에

x

의 열린 근방이다. 이것이 우리가 원하는

U

의 열린 근방이라고 주장한다.

그렇지 않다고 가정하면,

x'\in U

가 있어

f(x') \not\in V

가 되며, 이는 열린 덮기에 의해

f(x')\in V_{y'_i}

가 됨을 의미한다. 그러면

(x', f(x'))\in U\times V_{y'_i} \subset U_{y'_i}\times V_{y'_i}

가 되어

f

의 그래프와 겹치지 않아야 하므로 모순이다.

4. 함수 해석학에서의 닫힌 그래프 정리

함수해석학에서 바나흐 공간에 대하여 적용되는 더 강한 형태의 닫힌 그래프 정리가 존재한다. 이는 바나흐-샤우데르 정리의 따름정리이다.^[5]

잘 알려진 닫힌 그래프 정리의 버전은 다음과 같다.

이 정리는 열린 사상 정리의 결과이다. (반대로, 열린 사상 정리는 닫힌 그래프 정리로부터 추론될 수 있다).

임의의 함수 $T : X \rightarrow Y$ 에 대해, ''T''의 '''그래프'''는 다음과 같이 정의된다.

: $\lbrace (x,y) \in X\times Y \mid Tx=y\rbrace$

만약 ''X''가 위상 공간이고 ''Y''가 하우스도르프 공간이라면, ''T''가 연속일 경우 ''T''의 그래프는 닫혀 있다는 것을 보이는 것은 어렵지 않다.

닫힌 그래프 정리의 일반적인 증명에는 열린 사상 정리가 사용된다. 실제로 닫힌 그래프 정리, 열린 사상 정리 및 유계 역 사상 정리는 모두 동치이다. 이 동치성은 또한 ''X'' 및 ''Y''가 바나흐 공간일 필요성을 명시하기 위해 유용하다. 예를 들어, 콤팩트 지지(compact support)를 갖는 연속 함수나, 또는 상극한 노름을 갖춘 유한 개의 비 제로 원소로 구성된 수열을 사용함으로써, 유계 역을 갖는 선형 연산자를 구성할 수 있다.

하위 섹션에서 이미 닫힌 그래프 정리를 이용해 다시 쓴 표현이 제시되어 있으므로, 여기서는 간략하게 언급만 하고 넘어간다.

4. 1. 닫힌 선형 연산자

위상 벡터 공간(TVS) 사이의 선형 연산자

T : X \to Y

의 그래프가

X \times Y

에 곱 위상을 부여했을 때

X \times Y

에서 닫혀있으면

T

를 '''닫힌 연산자'''라고 한다.^[5]

닫힌 그래프 정리는 함수 해석학에서 닫힌 선형 연산자가 특정 조건 하에서 연속임을 보장하는 중요한 결과이다. 만약

X

와

Y

가 바나흐 공간이고,

T

가 모든 곳에서 정의된 (즉,

T

의 정의역

D(T)

가

X

인) 선형 연산자라면,

T

의 그래프가 (곱 위상을 갖춘) 공간

X \times Y

에서 닫혀 있다면,

T

는 닫힌 연산자이고, 이 설정 하에서

T

는 연속이라고 결론 지을 수 있다.

위와 같은 정의역에 관한 제한은, 닫힌 비유계 선형 연산자의 존재 때문에 필요하다.

C([0,1])

상의 미분 연산자가 전형적인 반례이다.

닫힌 그래프 정리는 다음과 같이 다시 쓸 수도 있다. 만약

T : X \to Y

가 바나흐 공간 사이의 선형 연산자라면, 다음 두 가지는 동치이다.

$X$ 내의 임의의 점렬 {''x''_''n''}에 대해, 만약 {''x''_''n''}이 $X$ 에서 어떤 원소 $x$ 로 수렴하고, {''T''(''x''_''n'')}이 $Y$ 에서 어떤 원소 $y$ 로 수렴한다면, $y = T(x)$ 가 성립한다.

5. 열린 사상 정리와의 관계

$f : X \to Y$ 를 임의의 사상이라고 하면, 다음과 같이 분해할 수 있다.^[1]^[4]

: $f: X \overset{i}\to \Gamma_f \overset{q}\to Y$ .

여기서 $i$ 는 사영 $p: \Gamma_f \to X$ 의 역함수이다. 따라서 열린 사상 정리가 $p$ 에 대해 성립한다면, 즉 $p$ 가 열린 사상이라면, $i$ 는 연속이며, 따라서 $f$ 는 연속이다(연속 사상의 합성으로).

예를 들어, 위의 논증은 $f$ 가 닫힌 그래프를 가진 바나흐 공간 사이의 선형 연산자이거나, $f$ 가 닫힌 그래프를 가진 콤팩트 하우스도르프 공간 사이의 사상인 경우에 적용된다.

닫힌 그래프 정리의 일반적인 증명에는 열린 사상 정리가 사용된다. 실제로 닫힌 그래프 정리, 열린 사상 정리 및 유계 역 사상 정리는 모두 동치이다. 이 동치성은 또한 ''X'' 및 ''Y''가 바나흐 공간일 필요성을 명시하기 위해 유용하다.

6. 집합 값 함수에 대한 닫힌 그래프 정리

하우스도르프 콤팩트 공역 $Y$ 에 대해, 집합 값 함수 $F : X \to 2^Y$ 는 상반연속이고 모든 $x \in X$ 에 대해 $F(x)$ 는 닫힌 집합일 경우에만 닫힌 그래프를 갖는다.^[2]

7. 일반화

준완비 공간 ''X''에서 프레셰 공간 ''Y''로 가는 선형 연산자가 연속일 필요충분조건은, 그 그래프가 곱 위상을 갖춘 공간 ''X''×''Y''에서 닫혀 있는 것이다.^[3]

8. 예시

Id^영어: X → X 항등 함수는 연속이지만, X가 하우스도르프 공간이 아닐 경우 그 그래프는 닫혀 있지 않을 수 있다.^[5] 예를 들어, X가 하우스도르프 공간이 아니라면, Id^영어: X → X는 연속이지만, 닫힌 그래프를 가지지 않는다.

$X$ 를 일반적인 유클리드 위상을 가진 실수 $\R$ 로, $Y$ 를 부정 위상을 가진 $\R$ 로 나타낼 때 (여기서 $Y$ 는 하우스도르프 공간이 아니며, $Y$ 를 값으로 가지는 모든 함수는 연속이다), $f : X \to Y$ 를 $f(0) = 1$ 이고 모든 $x \neq 0$ 에 대해 $f(x) = 0$ 으로 정의할 수 있다. 그러면 $f : X \to Y$ 는 연속이지만, 그 그래프는 $X \times Y$ 에서 닫힌 집합이 아니다.

참조

_[1] 웹사이트 The closed graph theorem in various categories https://terrytao.wor[...] 2012-11-21
_[2] 서적 Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide Springer
_[3] 문서
_[4] 논문 Topological spaces satisfying a closed graph theorem 2024
_[5] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1991

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