대기량

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1. 개요

대기량은 천문학 및 태양 에너지 분야에서 사용되는 개념으로, 관측 대상까지의 대기를 통과하는 빛의 경로 길이를 나타낸다. 절대 공기 질량, 천정에서의 절대 공기 질량, 상대 공기 질량으로 정의되며, 대기 밀도를 경로에 따라 적분하여 계산한다. 대기 굴절을 고려한 다양한 계산 공식과 모델이 존재하며, 천문학에서는 시상과 이미지 열화에, 태양 에너지 분야에서는 태양 복사 감쇠 및 광전지 모듈 평가에 활용된다.

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대기량
대기량
정의	천체가 관측자로부터 천정(머리 바로 위의 지점)에 있을 때 통과하는 대기의 양에 대한 상대적인 경로 길이
기호	X
단위	없음 (상대적인 길이)
세부 사항
천정에서의 대기량	1
고도가 낮아질수록 대기량	증가
지평선에서의 대기량	약 38
대기량 계산 방법	다양한 근사식 사용 (예: sec z, Chapman 함수)
z	천정각 (천정과 천체 사이의 각도)
중요성
대기 감쇄 보정	천문 관측에서 대기를 통과하며 빛이 흡수되거나 산란되는 현상 보정
관측 정확도 향상	대기 효과를 고려하여 천체의 실제 밝기나 색깔 등을 정확하게 측정
활용
분광 관측	대기 보정은 분광 관측에서 매우 중요
측광 관측	측광 관측에도 대기 보정이 필요
데이터 분석	관측 데이터 분석 시 대기량을 고려해야 함

2. 정의

''절대 공기 질량''( $\sigma$ )은 공기가 통과하는 경로를 따라 대기 밀도( $\rho$ )를 적분한 값으로 정의된다.

$\sigma = \int \rho \, \mathrm ds \,.$

수직 방향, 즉 천정 방향으로의 경로에 대한 ''천정에서의 절대 공기 질량''( $\sigma_\mathrm{zen}$ )은 다음과 같다.

$\sigma_\mathrm{zen} = \int \rho \, \mathrm dz$

''상대 공기 질량''( $X$ )은 특정 경로의 절대 공기 질량( $\sigma$ )을 천정 방향의 절대 공기 질량( $\sigma_\mathrm{zen}$ )으로 나눈 비율로 정의된다.

$X = \frac \sigma {\sigma_\mathrm{zen}}$

2. 1. 절대 공기 질량

''절대 공기 질량''은 다음과 같이 정의된다.

\sigma = \int \rho \, \mathrm ds \,.

여기서

\rho

는 부피 밀도의 대기 밀도이다. 따라서

\sigma

는 일종의 사선 기둥 밀도이다.

수직 방향에서, ''천정에서의 절대 공기 질량''은 다음과 같다.

\sigma_\mathrm{zen} = \int \rho \, \mathrm dz

따라서

\sigma_\mathrm{zen}

은 일종의 수직 기둥 밀도이다.

마지막으로, ''상대 공기 질량''은 다음과 같다.

X = \frac \sigma {\sigma_\mathrm{zen}}

공기 밀도가 균일하다고 가정하면 적분에서 제거할 수 있다. 그러면 절대 공기 질량은 다음과 같은 곱셈으로 단순화된다.

\sigma = \bar\rho s

여기서

\bar\rho = \mathrm{const.}

는 평균 밀도이고, 사선 및 천정 광선의 호의 길이

s

는 다음과 같다.

\begin{align}s &= \int \, \mathrm ds \\s_\mathrm{zen} &= \int \, \mathrm dz\end{align}

대응되는 단순화된 상대 공기 질량에서 평균 밀도는 분수에서 상쇄되어 경로 길이의 비율로 이어진다.

X = \frac s {s_\mathrm{zen}} \,.

아래에서 설명하는 바와 같이, 직선 전파(광선 굴절 무시)를 가정하여 추가적인 단순화가 종종 이루어진다.

2. 2. 상대 공기 질량

'''절대 공기 질량'''(

\sigma

)은 공기가 통과하는 경로를 따라 대기 밀도(

\rho

)를 적분한 값으로 정의된다. 이는 특정 경로를 따라 공기의 총량을 나타내는 값으로, 일종의 사선 기둥 밀도이다.

\sigma = \int \rho \, \mathrm ds \,.

특히, 관측 지점에서 천정(머리 바로 위 방향)까지의 수직 방향 경로에 대한 '''천정에서의 절대 공기 질량'''(

\sigma_\mathrm{zen}

)은 다음과 같이 정의되며, 이는 수직 기둥 밀도에 해당한다.

\sigma_\mathrm{zen} = \int \rho \, \mathrm dz

'''상대 공기 질량'''(

X

)은 특정 경로의 절대 공기 질량(

\sigma

)을 천정 방향의 절대 공기 질량(

\sigma_\mathrm{zen}

)으로 나눈 값, 즉 두 값의 비율로 정의된다. 이는 천정 방향의 공기 질량을 기준으로 특정 경로의 공기 질량이 얼마나 되는지를 상대적으로 나타내는 값이다.

X = \frac \sigma {\sigma_\mathrm{zen}}

만약 계산의 편의를 위해 대기의 밀도가 고도에 관계없이 일정하다고 가정하면(

\bar\rho = \mathrm{const.}

), 절대 공기 질량은 평균 밀도(

\bar\rho

)와 경로의 호의 길이(

s

)의 곱으로 간단하게 표현할 수 있다.

\sigma = \bar\rho s

이때 사선 경로의 길이는

s = \int \, \mathrm ds

이고, 천정 경로의 길이는

s_\mathrm{zen} = \int \, \mathrm dz

이다.

이러한 단순화된 가정 하에서는 상대 공기 질량을 계산할 때 평균 밀도(

\bar\rho

)가 분자와 분모에서 서로 약분되므로, 결국 경로 길이의 비율만 남게 된다.

X = \frac s {s_\mathrm{zen}} \,.

이처럼 상대 공기 질량을 경로 길이의 비율로 단순화하는 방식은 빛이 대기 중에서 굴절하지 않고 직선으로 나아간다고 가정할 때 자주 사용된다.

2. 3. 균일 밀도 가정

''절대 공기 질량''은 다음과 같이 정의된다.

\sigma = \int \rho \, \mathrm ds \,.

여기서

\rho

는 부피 밀도의 대기 밀도이다. 따라서

\sigma

는 일종의 사선 기둥 밀도이다.

수직 방향에서, ''천정에서의 절대 공기 질량''은 다음과 같다.

\sigma_\mathrm{zen} = \int \rho \, \mathrm dz

따라서

\sigma_\mathrm{zen}

은 일종의 수직 기둥 밀도이다.

마지막으로, ''상대 공기 질량''은 다음과 같다.

X = \frac \sigma {\sigma_\mathrm{zen}}

공기 밀도가 균일하다고 가정하면 적분에서 제거할 수 있다. 그러면 절대 공기 질량은 다음과 같은 곱셈으로 단순화된다.

\sigma = \bar\rho s

여기서

\bar\rho = \mathrm{const.}

는 평균 밀도이고, 사선 및 천정 광선의 호의 길이

s

는 다음과 같다.

\begin{align}s &= \int \, \mathrm ds \\s_\mathrm{zen} &= \int \, \mathrm dz\end{align}

대응되는 단순화된 상대 공기 질량에서 평균 밀도는 분수에서 상쇄되어 경로 길이의 비율로 이어진다.

X = \frac s {s_\mathrm{zen}} \,.

아래에서 설명하는 바와 같이, 직선 전파(광선 굴절 무시)를 가정하여 추가적인 단순화가 종종 이루어진다.

3. 계산

대기 질량은 천체의 빛이 지구 대기를 통과하는 광학적 경로의 길이를 나타내는 값으로, 다양한 방법으로 계산할 수 있다. 계산 방법은 주로 관측하는 천체의 천정각과 가정하는 대기의 상태에 따라 달라진다.

가장 기본적인 계산은 대기를 평평하고 균일한 층으로 가정하는 것이지만, 이는 천정각이 작을 때만 유효한 근사적인 방법이다. 천정각이 커질수록 지구의 곡률과 대기 밀도 변화를 고려해야 하므로 더 복잡한 계산이 필요하다. 이를 위해 다양한 보간 공식들이 개발되어 특정 조건 하에서 비교적 정확한 대기 질량 값을 제공한다.

보다 정밀한 계산을 위해서는 실제 대기의 물리적 특성을 반영하는 대기 모델을 사용한다. 이러한 모델에는 대기 밀도가 일정하다고 가정하는 균질 대기 모델, 온도가 일정하다고 가정하는 등온 대기 모델, 온도 변화를 고려하는 폴리트로피 대기 모델, 여러 층으로 나누어 계산하는 층상 대기 모델 등이 있다. 또한, 빛이 대기를 통과하면서 휘어지는 대기 굴절 현상이나 관측자의 고도 등을 고려하여 더욱 정확한 대기 질량을 계산하기도 한다. 각 계산 방법은 정확도 요구 수준과 적용 분야에 따라 선택적으로 사용된다.

3. 1. 배경

천정에서 천체의 각도는 천정각(또는 천문학에서 흔히 사용하는 천정 거리)이다. 천체의 위치는 기하학적 지평선 위의 각도인 고도로 나타낼 수도 있다. 고도

h

와 천정각

z

사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

h = 90^\circ - z \,.

대기 굴절 현상 때문에 대기로 들어오는 빛은 직선 경로가 아닌 약간 더 길고 휘어진 경로를 따라 이동한다. 따라서 공기 질량을 계산할 때는 이 길어진 경로를 고려해야 한다. 또한 대기 굴절은 천체가 실제 위치보다 더 높이 떠 있는 것처럼 보이게 만든다. 지평선 부근에서는 이 차이, 즉 실제 천정각과 겉보기 천정각의 차이가 약 34분각에 달한다. 대부분의 공기 질량 계산 공식은 겉보기 천정각을 사용하지만, 일부는 실제 천정각을 사용하기도 한다. 따라서 특히 지평선 근처의 천체를 관측할 때는 어떤 값을 사용하는지 확인하는 것이 중요하다.^[2]

3. 2. 평행 평면 대기

천정각 (

z

)이 작거나 중간 정도일 때, 균질 평행 대기(즉, 밀도가 일정하고 지구의 곡률을 무시하는 대기)를 가정하면 좋은 근사치를 얻을 수 있다. 이 경우 공기 질량

X

는 천정각

z

의 삼각 함수 중 시컨트 함수 값과 같다.^[1]

X = \sec\, z \,.

예를 들어 천정각이 60°일 때 공기 질량은 약 2이다. 그러나 실제 지구는 평평하지 않으므로^[2] 이 공식은 정확도 요구 수준에 따라 최대 약 60°~75°의 천정각 범위에서만 유용하다. 천정각이 이보다 커지면 정확도가 급격히 떨어지며,

X = \sec\, z

공식에 따르면 지평선(z=90°)에서는 공기 질량이 무한대가 되는 문제가 발생한다. 실제 구형 대기를 고려하면 지평선에서의 공기 질량은 일반적으로 40 미만이다.^[1]

3. 3. 보간 공식

Hardie (1962)는

\sec\,z - 1

에 대한 다항식을 도입했다.

X = \sec\,z \,-\, 0.0018167 \,(\sec\,z \,-\, 1) \,-\, 0.002875 \,(\sec\,z \,-\, 1)^2\,-\, 0.0008083 \,(\sec\,z \,-\, 1)^3

이 공식은 천정각이 약 85°까지 사용 가능한 결과를 제공한다. 하지만 계산된 대기량은 최대값에 도달한 다음 지평선에서 음의 무한대에 접근하는 한계가 있다.

Rozenberg (1966)는 다음 공식을 제안했다.

X = \left (\cos\,z + 0.025 e^{-11 \cos\, z} \right )^{-1} \,,

이 공식은 높은 천정각에 대해 적절한 결과를 제공하며, 지평선에서의 대기량은 40으로 계산된다.

Young과 Irvine (1967)은 간단한 보정 항을 포함하는 공식을 개발했다.

X = \sec\,z_\mathrm t \, \left [ 1 - 0.0012 \,(\sec^2 z_\mathrm t - 1) \right ] \,,

여기서

z_\mathrm t

는 진 천정각이다. 이 공식은 약 80°까지 유효한 결과를 제공하지만, 천정각이 더 커지면 정확도가 급격히 떨어진다. 계산된 대기량은 86.6°에서 최대 11.13에 도달하고, 88°에서는 0이 되며, 지평선에서는 음의 무한대에 접근한다. 이 공식은 대기 굴절에 대한 보정을 포함하므로, 계산된 대기량은 진 천정각이 아닌 겉보기 천정각에 대한 값이다.

Kasten과 Young (1989)은 다음 공식을 개발했다.^[3]

X = \frac{1} { \cos\, z + 0.50572 \,(6.07995^\circ + 90^\circ - z)^{-1.6364}} \,,

이 공식은 최대 90°까지의 천정각에 대해 적절한 결과를 제공하며, 지평선에서 대기량은 약 38이다. 여기서 두 번째

z

항은 ''도'' 단위이다.

Young (1994)은 진 천정각

z_\mathrm t

을 이용한 다음 공식을 개발했다.

X = \frac{ 1.002432\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.148386 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.0096467 }{ \cos^3 z_\mathrm t + 0.149864\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.0102963 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.000303978 } \,

Young은 이 공식이 지평선 근처까지 최대 0.0037 대기량의 오차를 가진다고 주장했다.

Pickering (2002)은 겉보기 고도

h

(단위: 도,

h = 90^\circ - z

)를 이용한 공식을 개발했다.

X = \frac{1} { \sin (h + {244}/(165+47 h^{1.1}) ) } \,,

Pickering은 자신의 방정식이 지평선 근처에서 Schaefer (1998)의 공식보다 오차가 10분의 1 수준이라고 주장했다.^[4]

3. 4. 대기 모델

보간 공식은 최소한의 계산으로 대기 질량의 표 형식 값에 가까운 결과를 얻으려는 방법이다.^[1] 하지만 이 표 형식 값 자체는 실제 측정이나, 지구와 대기의 기하학적 및 물리적 특성을 고려한 다양한 대기 모델을 통해 결정되어야 한다. 따라서 정확한 대기 질량 계산을 위해서는 여러 대기 모델에 대한 이해가 필요하다.

3. 4. 1. 비굴절 구형 대기

광학적 투과에 대한 대기 효과는 대략 하부 에 대기가 집중된 것처럼 모델링할 수 있다.

대기 굴절을 무시하면, 간단한 기하학적 고려 사항(Schoenberg 1929, 173)으로부터 천정각

z

에서 지구 위의 높이

y_{\mathrm {atm}}

인 방사형 대기를 통과하는 광선의 경로

s

는 다음과 같이 주어진다.

s = \sqrt {R_\mathrm {E}^2 \cos^2 z + 2 R_\mathrm {E} y_\mathrm{atm}+ y_\mathrm{atm}^2}

R_\mathrm {E} \cos\, z \,

또는,

s = \sqrt {\left ( R_\mathrm {E} + y_\mathrm{atm} \right )^2

R_\mathrm {E}^2 \sin^2 z}
R_\mathrm {E} \cos\, z \,

여기서

R_\mathrm E

는 지구의 반지름이다.

상대적인 대기 질량은 다음과 같다.

X = \frac s {y_\mathrm{atm}}= \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \sqrt {\cos^2 z+ 2 \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}}+ \left ( \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}} \right )^2 }

\frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \cos\, z \,.

3. 4. 2. 균질 대기

대기가 균질하다고(즉, 밀도가 일정) 가정하면, 대기의 높이

y_{\mathrm {atm}}

는 유체 정역학적 원리에 따라 다음과 같이 계산할 수 있다.

y_\mathrm{atm} = \frac {kT_0} {mg}

여기서

k

는 볼츠만 상수,

T_0

는 해수면 온도,

m

은 공기의 평균 분자량,

g

는 중력 가속도이다. 이 높이는 등온 대기의 압력 스케일 높이와 동일한 값을 가지지만, 그 의미는 약간 다르다. 등온 대기에서는 대기의 37% (1/e)가 압력 스케일 높이 위에 존재하지만, 균질 대기에서는 계산된 대기 높이 위에 대기가 전혀 존재하지 않는다고 가정한다.

실제 값으로

T_0 = \mathrm{288.15~K}

,

m = \mathrm{ 28.9644 \times 1.6605 \times 10^{-27} ~ kg}

,

g = \mathrm{9.80665 ~ m/s^2}

를 사용하면, 균질 대기의 높이는

y_\mathrm{atm} \approx \mathrm{8435 ~ m}

(8435m)가 된다. 지구의 평균 반경을 6371km로 가정하면, 지평선에서의 해수면 공기 질량은 다음과 같이 계산된다.

X_\mathrm{horiz} = \sqrt {1 + 2 \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}}} \approx 38.87

균질 구형 모델은 지평선 근처에서 공기 질량의 증가율을 실제보다 약간 낮게 예측하는 경향이 있다. 더 정확한 모델 값에 근사하기 위해, 천정각이 90° 미만일 때의 공기 질량 값을 조정하여 사용할 수 있다. 공기 질량 방정식은 다음과 같이 변형될 수 있다.

\frac {R_\mathrm{E}} {y_\mathrm{atm}}= \frac {X^2 - 1} {2 \left ( 1 - X \cos z \right )}

만약 천정각

z

= 88°에서 Bemporad가 제시한 공기 질량 값 19.787에 맞추면,

R_\mathrm{E} / y_\mathrm{atm}

≈ 631.01이 되고, 이를 통해 계산된 지평선 공기 질량

X_\mathrm{horiz}

는 약 35.54가 된다. 앞서 사용한 지구 반경

R_\mathrm{E}

값을 그대로 사용하면, 조정된 균질 대기 높이

y_\mathrm{atm}

는 약 10096m가 된다.

균질 대기 모델은 물리적으로 실제 대기와는 차이가 있지만, 대기의 스케일 높이가 행성의 반경에 비해 충분히 작을 경우에는 비교적 합리적인 근사치를 제공한다. 이 모델은 90°보다 큰 천정각을 포함하여 모든 천정각에 대해 적용할 수 있다는 장점이 있다. 또한 계산이 비교적 간단하여 높은 정확도가 요구되지 않는 상황에서 유용하게 사용될 수 있다.^[5]

그러나 천정각이 90° 미만인 경우에는, 실제 관측값이나 더 정교한 모델에서 얻어진 공기 질량 값에 더 잘 맞추기 위해 다양한 보간 공식을 사용하는 것이 일반적이다.

3. 4. 3. 변수 밀도 대기

실제 대기에서는 공기의 밀도가 일정하지 않다. 일반적으로 평균 해수면에서의 고도가 높아질수록 밀도는 감소한다. 이러한 밀도 변화를 고려하여, 평균 해수면 높이에서 관측할 때 천체의 빛이 통과하는 대기의 총량, 즉 대기량(airmass)은 다음 적분식으로 계산할 수 있다.

\sigma = \int_0^{y_\mathrm{atm}}\frac {\rho \, \left ( R_\mathrm {E} + y \right ) \mathrm d y}{\sqrt {R_\mathrm {E}^2 \cos^2 z + 2 R_\mathrm {E} y + y^2}} \,.

3. 4. 4. 등온 대기

일반적으로 고도에 따른 밀도 변화를 설명하는 몇 가지 기본 모델이 사용된다. 그중 가장 단순한 모델은 등온 대기 모델로, 밀도(

\rho

)를 다음과 같이 나타낸다.

\rho = \rho_0 e^{-y / H}

여기서

\rho_0

는 해수면에서의 공기 밀도이고,

H

는 밀도 스케일 높이를 의미한다. 이 식을 고도 0부터 무한대까지 적분한 결과는 채프먼 함수로 알려져 있다. 고차항을 일부 생략하면 다음과 같은 근사적인 결과를 얻을 수 있다.

X \approx \sqrt { \frac {\pi R} {2 H}}\exp {\left ( \frac {R \cos^2 z} {2 H} \right )} \,\mathrm {erfc} \left ( \sqrt {\frac {R \cos^2 z} {2 H}} \right )

대기 굴절에 의한 영향을 보정하기 위해 다음과 같은 근사식을 사용할 수 있다.

R = 7/6 \, R_\mathrm E

여기서

R_\mathrm E

는 지구의 물리적 반지름이다. 특히 지평선(천정각

z = 90^\circ

)에서의 공기 질량은 다음 방정식으로 근사할 수 있다.

X_\mathrm{horiz} \approx \sqrt { \frac {\pi R} {2 H}}

예를 들어, 스케일 높이를 8435m, 지구의 평균 반지름을 6371km로 가정하고 굴절 효과를 보정하면, 지평선에서의 공기 질량은 대략 37.20으로 계산된다.

X_\mathrm{horiz} \approx 37.20

3. 4. 5. 폴리트로픽 대기

등온 대기의 가정은 단순하다. 더 현실적인 모델은 다음과 같은 폴리트로피 대기이다.

T = T_0 - \alpha y

여기서

T_0

는 해수면 온도이고

\alpha

는 온도 감율이다. 고도에 따른 밀도는 다음과 같다.

\rho = \rho_0 \left ( 1 - \frac \alpha T_0 y \right )^{1 / (\kappa - 1)}

여기서

\kappa

는 폴리트로피 지수이다. 폴리트로피 모델에 대한 공기 질량 적분은 천정에서를 제외하고는 폐쇄형 해를 제공하지 않으므로, 일반적으로 수치적인 방법을 통해 적분을 수행한다.

3. 4. 6. 층상 대기

지구 대기는 온도와 밀도가 다른 여러 층으로 구성되어 있으며, 일반적인 대기 모델에는 국제 표준 대기와 미국 표준 대기가 있다. 많은 경우, 높이 11km까지 기온이 6.5 K/km의 비율로 감소하는 다변 대류권과 그 위로 무한한 높이의 등온 성층권을 가정하는 근사 모델을 사용하는데, 이는 국제 표준 대기의 처음 두 층과 매우 유사하다. 더 높은 정확도가 필요할 때는 더 많은 층을 사용하는 모델을 적용할 수 있다.^[6]

3. 4. 7. 굴절 방사형 대칭 대기

대기 굴절을 고려할 때는 광선 추적이 필요하게 되며, 절대 공기 질량 적분은 다음과 같이 표현될 수 있다.^[7]

\sigma = \int_{r_\mathrm{obs}}^{r_\mathrm{atm}} \frac {\rho\, \mathrm d r}{\sqrt { 1 - \left ( \frac {n_\mathrm{obs}} n \frac {r_\mathrm{obs}} r \right )^2 \sin^2 z}} \,

여기서

n_\mathrm{obs}

는 관찰자의 해수면 위 고도

y_\mathrm{obs}

에서의 공기 굴절률이고,

n

은 해수면 위 고도

y

에서의 굴절률이다.

r_\mathrm{obs} = R_\mathrm{E} + y_\mathrm{obs}

는 지구 중심에서 관찰자까지의 거리,

r = R_\mathrm{E} + y

는 지구 중심에서 고도

y

에 있는 지점까지의 거리,

r_\mathrm{atm} = R_\mathrm{E} + y_\mathrm{atm}

는 고도

y_\mathrm{atm}

에서 대기의 상한까지의 거리를 나타낸다. 밀도에 따른 굴절률은 일반적으로 충분한 정확도로 Garfinkel (1967)이 제시한 글래드스톤-데일 관계식에 의해 주어진다.

\frac {n - 1} {n_\mathrm{obs} - 1} = \frac {\rho} {\rho_\mathrm{obs}} \,.

이 관계식을 재배열하여 절대 공기 질량 적분에 대입하면 다음과 같다.

\sigma = \int_{r_\mathrm{obs}}^{r_\mathrm{atm}} \frac {\rho\, \mathrm d r}{\sqrt { 1 - \left ( \frac {n_\mathrm{obs}} {1 + ( n_\mathrm{obs} - 1 ) \rho/\rho_\mathrm{obs}} \right )^2 \left ( \frac {r_\mathrm{obs}} r \right )^2 \sin^2 z}} \,.

n_\mathrm{obs} - 1

의 값은 매우 작다. 괄호 안의 첫 번째 항을 전개하고, 여러 번 재배열한 다음, 각 재배열 후에

(n_\mathrm{obs} - 1)^2

항을 무시하면 Kasten과 Young (1989)에 따라 다음과 같은 근사식을 얻을 수 있다.

\sigma = \int_{r_\mathrm{obs}}^{r_\mathrm{atm}} \frac {\rho\, \mathrm d r}{\sqrt { 1 - \left [ 1 + 2 ( n_\mathrm{obs} - 1 )(1 - \frac \rho {\rho_\mathrm{obs}} ) \right ]\left ( \frac {r_\mathrm{obs}} r \right )^2 \sin^2 z}} \,.

3. 4. 8. 고도 관측자를 가진 균질 구형 대기

오른쪽 그림은 높이가

y_\mathrm{atm}

인 균일한 방사형 대칭 대기에서, 해수면 위

y_\text{obs}

고도에 있는 관측자(O)를 보여준다. 천정각

z

에서 광선의 경로 길이는

s

이고,

R_\mathrm{E}

는 지구의 반지름이다. 삼각형 OAC에 코사인 법칙을 적용하면 다음 식을 얻을 수 있다.

\begin{align}\left(R_{E}+y_\text{atm}\right)^2 & =s^2+\left(R_{E}+y_\text{obs}\right)^2-2\left(R_{E}+y_\text{obs}\right)s \cos\left(180^{\circ}-z\right)\\& =s^2+\left(R_{E}+y_\text{obs}\right)^2+2\left(R_{E}+y_\text{obs}\right)s\cos z\end{align}

이 식의 양변을 전개하고 공통 항을 소거한 뒤 정리하면, 경로 길이

s

에 대한 이차 방정식을 얻는다.

}+{y_{\text{obs}}} \right)s\cos z-2{R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}-y_{\text{atm}}^2+2{R_{\text{E}}}{y_{\text{obs}}}+y_{\text{obs}}^2=0 \,.

이 이차 방정식을 경로 길이 ''s''에 대해 풀면 다음과 같다.

s=\pm \sqrt}+{y_{\text{obs}}} \right)}^2}}\left( {y_{\text{atm }}}-{y_{\text{obs}}} \right)+y_{\text{atm}}^2-y_{\text{obs}}^2}-({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}})\cos z \,.

여기서 근호 앞의 음수 부호(-)는 물리적으로 의미 없는 음수 길이 값을 주므로, 양수 부호(+)를 사용한다. 이 경로 길이

s

를 대기 높이

y_\mathrm{atm}

으로 나누어 상대 공기 질량

X

를 구하면 다음과 같다.

X=\sqrt}}}} \right)}^2}}}{y_{\text{atm}}^2}\left( {y_{\text{atm}}}-{y_{\text{obs}}} \right)-}} \right)}^2}+1}-\frac}+{y_{\text{obs}}}}}}\cos z \,.

식을 더 간단하게 표현하기 위해

\hat{r} = R_\mathrm{E} / y_\mathrm{atm}

및

\hat{y} = y_\mathrm{obs} / y_\mathrm{atm}

로 치환하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

X = \sqrt \right)}^2} \cos^2 z + \frac{2 R_\text{E}}{y_\text{atm}} + 1} - \frac{R_\text{E}}{y_\text{atm}} \cos z \,.

]

천체를 비스듬히 관측할 때(경사 입사각), 절대 공기 질량은 지평선까지의 거리와 같아진다. 또한, 관측자가 고도에 있는 경우, 지평선에 대한 천정각은 90°보다 클 수 있다.

3. 4. 9. 감쇠 종의 불균일 분포

대기의 압력이나 밀도 변화만을 고려하는 단순한 모델은 대기가 일정한 조성을 가지며 빛이 약해지는 과정이 단 하나라고 가정하지만, 이는 실제 대기와는 차이가 있다. 빛이 약해지는 데에는 크게 세 가지 주요 원인이 있다(Hayes & Latham, 1975): 공기 분자에 의한 레일리 산란, 에어로졸에 의한 미 산란, 그리고 주로 오존에 의한 분자 흡수이다. 각 원인이 빛을 약하게 만드는 정도는 해수면 위의 고도에 따라 다르며, 특히 에어로졸과 오존의 농도는 단순히 대기의 압력이나 밀도 변화만으로는 알 수 없다.

원칙적으로는, 빛의 소멸 계수가 고도에 따라 달라지기 때문에, 대기량을 계산할 때 이러한 변화를 함께 고려해야 한다(Thomason, Herman, & Reagan, 1983). 하지만 현실적으로는 좀 더 간편한 접근 방식들이 사용되기도 한다. 각 감쇠 요인별 소멸 정도를 폐쇄형 표현식을 이용해 개별적으로 계산하는 방법이 있으며(Schaefer, 1993; Schaefer, 1998), 후자 연구에서는 이를 계산하는 BASIC 프로그램 소스 코드도 제공한다. 또한, 비교적 정확하게 빛의 감쇠를 계산하기 위해 간단한 대기량 공식을 사용하면서 각 감쇠 요인에 대한 소멸 계수를 따로 결정하는 방법도 있다(Green, 1992; Pickering, 2002).

4. 응용

대기량, 특히 절대 공기 질량의 개념은 다양한 과학 및 공학 분야에서 응용된다. 대표적으로 천문학 분야에서는 천체 관측 시 대기의 영향을 보정하는 데 사용되며, 태양 에너지 분야에서는 지표면에 도달하는 태양 복사량을 계산하고 태양광 발전 시스템의 효율을 평가하는 데 중요한 요소로 작용한다.

4. 1. 천문학

천체의 위치는 천정으로부터의 각도인 천정각(천문학에서는 보통 ''천정 거리''라고 부른다)으로 나타낼 수 있다. 또는 기하학적 지평선 위의 각도인 고도로도 표시하며, 고도 ''h''와 천정각 ''z''는 ''h'' = 90° - ''z''의 관계를 가진다.

대기 굴절 현상 때문에 대기를 통과하는 빛은 직선 경로보다 약간 더 긴, 거의 원형에 가까운 경로를 따라 이동한다. 따라서 공기 질량을 계산할 때는 이 길어진 경로를 고려해야 한다. 또한, 대기 굴절은 천체가 실제 위치보다 더 높은 고도에 있는 것처럼 보이게 만든다. 지평선 근처에서는 실제 천정각과 겉보기 천정각의 차이가 약 34분각에 달한다. 대부분의 공기 질량 공식은 겉보기 천정각을 사용하지만, 일부는 실제 천정각을 사용하므로, 특히 지평선 근처의 천체를 관측할 때는 어떤 값을 사용하는지 확인하는 것이 중요하다.^[2]

가시광선 천문학 분야에서 공기 질량은 관측 결과에 여러 영향을 미친다. 대기에 의한 빛의 분광 흡수, 산란, 그리고 밝기 감소가 직접적인 영향이다. 또한, 대기 난류로 인해 발생하는 시각적 수차는 관측 이미지의 질을 떨어뜨리는데, 이를 통틀어 '천문 시상(seeing)'이라고 부른다.^[8] 윌리엄 허셜 망원경(WHT)이나 초대형 망원경(VLT)과 같이 구경이 큰 망원경의 경우, 대기 분산 효과가 매우 커서 망원경이 목표 천체를 정확히 겨냥하는 데 어려움을 겪을 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 일반적으로 두 개의 프리즘으로 구성된 대기 분산 보정기(ADC, Atmospheric Dispersion Corrector)를 사용한다.

적응 광학 시스템에서 중요한 그린우드 주파수와 프리드 매개변수 역시 관측 대상 위의 공기 질량, 즉 천정각에 따라 값이 달라진다.

전파 천문학에서는 광학 경로 길이에 영향을 주는 공기 질량 자체는 큰 문제가 되지 않는다. 대기의 하층부는 가시광선과 달리 주파수가 훨씬 낮은 전파에는 거의 영향을 미치지 않기 때문이다. 대신, 일부 전파는 대기 상층에 있는 전리층의 영향을 받는다. 특히 하늘의 넓은 영역을 동시에 관측하는 새로운 개구 합성 방식의 전파 망원경은 전리층 효과에 더욱 민감하다. 예를 들어, 저주파 배열(LOFAR)과 같은 망원경은 이러한 전리층에 의한 왜곡 효과를 보정하는 과정을 거쳐야 한다. 반대로, 이러한 왜곡 현상을 정밀하게 측정하여 전리층 자체를 연구하는 데 활용하기도 한다.

4. 2. 태양 에너지

태양 에너지 및 광전지와 같은 분야에서는 대기 질량을 약어 AM으로 표시한다. 대기 질량 값은 AM 뒤에 해당 숫자를 붙여 나타내는데, 예를 들어 AM1은 대기 질량 1을, AM2는 대기 질량 2를 의미한다. 지구 대기권 밖, 즉 대기 질량 제로(AM0) 상태는 태양 복사가 대기에 의해 전혀 감쇠되지 않은 상태로 간주된다.

태양 복사가 대기를 통과할 때 모든 파장에서 동일하게 감쇠되는 것은 아니다. 이 때문에 대기를 거치면서 복사 강도가 약해질 뿐만 아니라, 스펙트럼 복사 조도 역시 변화하게 된다. 광전지 모듈의 성능은 일반적으로 대기 질량 1.5(AM1.5) 조건에서의 스펙트럼 복사 조도를 기준으로 평가한다. 이 표준 스펙트럼에 대한 자세한 정보는 ASTM G 173-03 표준에서 찾아볼 수 있으며, 대기권 밖(AM0)의 외계 스펙트럼 복사 조도는 ASTM E 490-00a 표준에 명시되어 있다.^[9]

지평선 근처에서의 높은 정확도가 요구되지 않는 많은 태양 에너지 응용 분야에서는, 대기 질량을 평행 평면 대기 모델에서 사용되는 간단한 시컨트 공식을 이용해 계산하기도 한다.

참조

_[1] 논문 Allen's air mass table 1904
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 논문 2002
_[5] 논문 1987
_[6] 웹사이트 air mass calculator http://reed.gigacorp[...]
_[7] 논문 1983
_[8] 웹사이트 Observing tips: air mass and differential refraction http://www.astro.uni[...] 2011-05-15
_[9] 간행물 ASTM E 490-00a 2006

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