대응 정리

1. 개요

대응 정리는 대수 구조와 합동 관계에 관한 정리로, 몫 대수 위의 합동 관계 격자와 원래 대수의 합동 관계 격자 사이의 동형성을 설명한다. 이 정리는 군, 환, 가군 등 다양한 대수 구조에 적용 가능하며, 특히 몫 대수와 관련된 부분 구조 간의 관계를 파악하는 데 유용하다.

2. 정의

대수 구조 $A$와 그 위의 합동 관계 $\{\backslash sim\}\backslash in\backslash operatorname\{Cong\}(A)$가 주어졌을 때, 대응 정리에 따르면 다음 두 격자는 동형이다.

* 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 $\backslash operatorname\{Cong\}(A/\{\backslash sim\})$
* $A$의 합동 관계들 가운데, $\{\backslash sim\}$에 의하여 함의되는 것들의 격자 $\backslash mathop\backslash uparrow\{\backslash sim\}=\backslash \{\{\backslash sim\}\text{'}\backslash in\backslash operatorname\{Cong\}(A)\backslash colon\backslash forall\; a,b\backslash in\; A\backslash colon\; a\backslash sim\; b\backslash implies\; a\backslash sim\text{'}b\backslash \}$. 이는 $A$의 합동 관계 격자 $\backslash operatorname\{Cong\}(A)$의 부분 격자를 이룬다.

두 격자 사이의 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathop\backslash uparrow\{\backslash sim\}\backslash to\backslash operatorname\{Cong\}(A/\{\backslash sim\})$
:$\{\backslash sim\}\text{'}\backslash mapsto\{\backslash sim\}\text{'}/\{\backslash sim\}$

여기서 $\{\backslash sim\}\text{'}/\{\backslash sim\}$은 $A/\{\backslash sim\}$ 위의 이항 관계이며 다음과 같이 정의된다.

:$[a]\_\backslash sim\backslash mathrel[b]\_\backslash sim\backslash iff\; a\backslash sim\text{'}b$

대응 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

* 만약 $\{\backslash sim\}\text{'}$이 $\{\backslash sim\}$을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계라면, $\{\backslash sim\}\text{'}/\{\backslash sim\}$은 $A/\{\backslash sim\}$ 위의 합동 관계이다.
* $A/\{\backslash sim\}$ 위의 모든 합동 관계는 어떤 $\{\backslash sim\}$을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계 $\{\backslash sim\}\text{'}$에 대하여 $\{\backslash sim\}\text{'}/\{\backslash sim\}$의 꼴로 나타낼 수 있다.
* $\{\backslash sim\}$을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계 $\{\backslash sim\}\_1,\{\backslash sim\}\_2\backslash in\backslash mathop\backslash uparrow\{\backslash sim\}$에 대하여 다음이 성립한다.
* $a\backslash sim\_1b$가 $a\backslash sim\_2b$를 함의하는 것과 $a\backslash mathrelb$는 $a\backslash mathrelb$를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
* $(\{\backslash sim\}\_1\backslash vee\{\backslash sim\}\_2)/\{\backslash sim\}=\{\backslash sim\}\_1/\{\backslash sim\}\backslash vee\{\backslash sim\}\_2/\{\backslash sim\}$. 여기서 $\{\backslash sim\}\_1\backslash vee\{\backslash sim\}\_2$는 $\backslash sim\_1$과 $\backslash sim\_2$로 생성되는 합동 관계이다.
* $(\{\backslash sim\}\_1\backslash cap\{\backslash sim\}\_2)/\{\backslash sim\}=\{\backslash sim\}\_1/\{\backslash sim\}\backslash cap\{\backslash sim\}\_2/\{\backslash sim\}$. 여기서 $\{\backslash sim\}\_1\backslash cap\{\backslash sim\}\_2$는 $a\backslash mathrel\{\{\backslash sim\}\_1\backslash cap\{\backslash sim\}\_2\}b\backslash iff\; a\backslash sim\_1b\backslash land\; a\backslash sim\_2b$로 정의된다.

3. 예

대응 정리는 군, 환, 가군 등 다양한 대수 구조에 적용된다. 일부 대수 구조에서는 합동 관계가 특정한 부분 대수와 일대일 대응을 이루며, 대응 정리에 나타나는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대해 확장할 수 있다.

3.1. 군

군 $G$ 및 정규 부분군 $N\backslash vartriangleleft\; G$에 대하여, $N$을 포함하는 $G$의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

함수 $\backslash mathop\backslash uparrow\; N=\backslash \{H\backslash le\; G\backslash colon\; N\backslash subseteq\; H\backslash \}\backslash to\backslash operatorname\{Sub\}(G/N)$에서 $H\backslash mapsto\; H/N=\backslash \{hN\backslash colon\; h\backslash in\; H\backslash \}$를 생각하면, 다음이 성립한다.

* $H\backslash mapsto\; H/N$은 격자의 동형 사상이다. 즉,
임의의 $N\backslash le\; H\backslash le\; G$에 대하여, $H/N\backslash le\; G/N$
임의의 $K\backslash le\; G/N$에 대하여, $K=H/N$인 $N\backslash le\; H\backslash le\; G$가 존재한다.
임의의 $N\backslash le\; H,K\backslash le\; G$에 대하여,
* $H\backslash le\; K$일 필요충분조건은 $H/N\backslash le\; K/N$이다.
* $\backslash langle\; H\backslash cup\; K\backslash rangle/N=\backslash langle\; H/N\backslash cup\; K/N\backslash rangle$. 여기서 $\backslash langle\; H\backslash cup\; K\backslash rangle$는 $H\backslash cup\; K$로 생성된 부분군이다.
* $(H\backslash cap\; K)/N=H/N\backslash cap\; K/N$
* $H\backslash vartriangleleft\; G$일 필요충분조건은 $H/N\backslash vartriangleleft\; G/N$이다.

핵 $N$을 갖는 전사 군 준동형 사상 $\phi :\; G\; \backslash rarr\; H$를 고려하면, $U\; \backslash mapsto\; \backslash varphi(U)$는 $N$을 포함하는 $G$의 부분군과 $H$의 부분군 사이의 전단사이다. $V\; \backslash mapsto\; \backslash varphi^\{-1\}(V)$는 그 역함수이다. 이 때 정규 부분군은 정규 부분군에 대응한다.

이 주장을 $G/N\; \backslash cong\; H$의 경우에 적용하면, $G/N$의 (정규) 부분군은 $N\; \backslash le\; U\; \backslash le\; G$를 만족하는 (정규) 부분군 $U$를 사용하여 $U/N$으로 표시되는 것과 정확히 일치한다. 이 대응은 단조이다. 즉, 부분군 $N\; \backslash le\; U\_1,\; U\_2\; \backslash le\; G$에 대해 $U\_1\; \backslash le\; U\_2$인 것은 $U\_1/N\; \backslash le\; U\_2/N$일 때, 그리고 그 때에만 성립한다.

만약 $G/N$이 단순군이라면 정규 부분군 $N$은 정규 부분군 중에서 극대이다.

3.2. 환

환 $R$ 및 아이디얼 $\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; R$에 대하여, $\backslash mathfrak\; a$를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수
:$\backslash mathop\backslash uparrow\backslash mathfrak\; a=\backslash \{S\backslash in\backslash operatorname\{Sub\}(R)\backslash colon\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; S\backslash \}\backslash to\backslash operatorname\{Sub\}(R/\backslash mathfrak\; a)$
:$S\backslash mapsto\; S/\backslash mathfrak\; a=\backslash \{s+\backslash mathfrak\; a\backslash colon\; s\backslash in\; S\backslash \}$
를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

* $S\backslash mapsto\; S+\backslash mathfrak\; a$는 격자의 동형 사상이다. 즉,
임의의 부분환 $\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; S\backslash subset\; R$에 대하여, $S/\backslash mathfrak\; a$는 $R/\backslash mathfrak\; a$의 부분환이다.
임의의 부분환 $T\backslash subset\; R/\backslash mathfrak\; a$에 대하여, $T=S/\backslash mathfrak\; a$인 부분환 $\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; S\backslash subset\; R$가 존재한다.
임의의 부분환 $\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; S,T\backslash subset\; R$에 대하여,
* $S\backslash subset\; T$일 필요충분조건은 $S/\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; T/\backslash mathfrak\; a$이다.
* $\backslash langle\; S\backslash cup\; T\backslash rangle/\backslash mathfrak\; a=\backslash langle\; S/\backslash mathfrak\; a\backslash cup\; T/\backslash mathfrak\; b\backslash rangle$. 여기서 $\backslash langle\; S\backslash cup\; T\backslash rangle$는 $S\backslash cup\; T$로 생성된 부분환이다.
* $(S\backslash cap\; T)/\backslash mathfrak\; a=S/\backslash mathfrak\; a\backslash cap\; T/\backslash mathfrak\; a$
* $S$가 $R$의 아이디얼일 필요충분조건은 $S/\backslash mathfrak\; a$가 $R/\backslash mathfrak\; a$의 아이디얼인 것이다.

$R$을 단위원을 포함하는 환이라 하고, $I\; \backslash sube\; R$을 (양쪽) 아이디얼이라고 하자. 이때, 대응
:$J\; \backslash mapsto\; J/I$
은 $I$를 포함하는 $R$의 왼쪽 아이디얼과 $R/I$의 왼쪽 아이디얼 사이의 전단사이다. 이 대응은 단조이다. 즉, 왼쪽 아이디얼 $I\; \backslash sube\; J\_1,\; J\_2\; \backslash sube\; R$에 대해 $J\_1\; \backslash sube\; J\_2$가 성립하는 것은 $J\_1/I\; \backslash sube\; J\_2/I$가 성립할 때와 같으며, 그때에만 같다.

3.3. 가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 및 부분 가군 $N\backslash subset\; M$에 대하여, $N$을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수
:$\backslash mathop\backslash uparrow\; N=\backslash \{N\text{'}\backslash in\backslash operatorname\{Sub\}(M)\backslash colon\; N\backslash subset\; N\text{'}\backslash \}\backslash to\backslash operatorname\{Sub\}(M/N)$
:$N\text{'}\backslash mapsto\; N\text{'}/N=\backslash \{m+N\backslash colon\; m\backslash in\; N\text{'}\backslash \}$
는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

* 임의의 부분 가군 $N\backslash subset\; N\text{'}\backslash subset\; M$에 대하여, $N\text{'}/N$는 $M/N$의 부분 가군이다.
* 임의의 부분 가군 $N$\subset M/N에 대하여, $N$=N'/N인 부분 가군 $N\backslash subset\; N\text{'}\backslash subset\; M$가 존재한다.
* 임의의 부분 가군 $N\backslash subset\; N\text{'},N$\subset M에 대하여,
$N\text{'}\backslash subset\; N$일 필요충분조건은 $N\text{'}/N\backslash subset\; N$/N이다.
$(N\text{'}+N$)/N=N'/N+N/N
** $(N\text{'}\backslash cap\; N$)/N=N'/N\cap N''/N

$M$을 왼쪽 $R$ 가군이라 하고, $N\; \backslash subset\; M$을 부분 가군이라고 하자. 이 때 대응
:$V\; \backslash mapsto\; V/N$
은 $N$을 포함하는 $M$의 부분 가군과 $M/N$의 부분 가군 사이의 전단사이다. 이 대응은 단조이다. 즉 부분 가군 $N\; \backslash subset\; V\_1,\; V\_2\; \backslash subset\; M$에 대해 $V\_1\; \backslash subset\; V\_2$가 되는 것은 $V\_1/N\; \backslash subset\; V\_2/N$가 될 때와 동치이다.