동차다항식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동차다항식의 정의
3. 성질
- 3.1. 오일러 항등식
- 3.2. 동차 성분의 차원
4. 준동차다항식
5. 동차화
6. 일반적인 대수적 형식
참조

1. 개요

동차다항식은 환 또는 체 R 위의 n변수 다항식에서 특정 조건을 만족하는 다항식을 의미한다. 다항식의 각 항의 차수가 같거나, 임의의 스칼라 λ에 대해 다항식에 변수 λ를 곱한 결과가 λ의 거듭제곱으로 표현될 때 이를 k차 동차다항식이라고 한다. 모든 다항식은 동차다항식의 합으로 표현 가능하며, 동차다항식은 동차 함수를 정의하고, 사영 대수다양체의 정의에 중요한 역할을 한다. 또한, 동차 다항식은 오일러 항등식을 만족하며, 준동차다항식, 동차화, 대수적 형식 등과 연관된다.

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동차다항식

2. 정의

환(또는 체) ''R'' 위의 ''n''변수 다항식에 대해, 다음 두 성질은 서로 동치이다. 이 중 하나를 만족하는 다항식을 ''k''차 동차다항식이라고 한다.

$a_i \ne 0$ 이면 $\sum i = k$
임의의 $\lambda \in R$ 에 대해 $f(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots,\lambda x_n) = \lambda^kf(x_1,x_2,\dots,x_n)$

(여기서

k

는 음이 아닌 정수)

동차 다항식은 동차 함수를 정의한다. 다변수 다항식 ''P''가 ''d''차 동차라는 것은 계수(체)의 모든 원소

\lambda

에 대해

P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=\lambda^d\,P(x_1,\ldots,x_n)

가 성립하는 것과 같다. 특히, ''P''가 동차이면, 모든

\lambda

에 대해

P(x_1,\ldots,x_n)=0 \quad\Rightarrow\quad P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=0

이 성립한다. 이 성질은 사영 다양체의 정의에서 중요하다.

영 다항식이 아닌 다항식은 서로 다른 차수의 동차 다항식의 합으로 유일하게 분해할 수 있다. 이때 각 동차 다항식을 원래 다항식의 '''동차 성분'''이라고 부른다.

동차 다항식의 곱은 동차 다항식이 된다. 또한 동차 다항식을 인수분해하면, 그 인수 역시 동차 다항식이다.

체(또는 환) ''K'' 위의 다항식환

R=K[x_1, \ldots,x_n]

에서, ''d'' 차 동차식 전체는 벡터 공간(또는 가군)

R_d

를 이룬다.

R

은

R_d

들의 직합(음이 아닌 정수 전체)이다.

벡터 공간 (또는 자유 가군)

R_d

의 차원은 ''n'' 변수의 ''d'' 차 단항식의 개수(즉, ''n'' 변수의 ''d'' 차 동차 다항식의 영이 아닌 항의 최대 개수)이며, 이항 계수

\binom{d+n-1}{n-1}=\binom{d+n-1}{d}=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}

와 같다.

2. 1. 동차다항식의 정의

환(또는 체) ''R'' 위의 ''n''변수 다항식

:

f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i \in I \subset \N^n} a_ix_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}

이 다음 두 성질 중 하나를 만족하면, ''k''차 '''동차다항식'''이라고 한다.

$a_i \ne 0$ 이면 $\sum i = k$
임의의 $\lambda \in R$ 에 대해 $f(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots,\lambda x_n) = \lambda^kf(x_1,x_2,\dots,x_n)$

(

k

는 음이 아닌 정수)

이때, f의 모든 항의 차수는 k (음이 아닌 정수)로 같다.

3. 성질

동차다항식은 동차 함수를 정의한다. 다변수 다항식 ''P''가 ''d''차 동차이면, ''P''의 계수를 포함하는 모든 체에서 모든 $\lambda$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=\lambda^d\,P(x_1,\ldots,x_n)\,,$

반대로, 위의 관계가 무한히 많은 $\lambda$ 에 대해 참이면, 다항식은 ''d''차 동차이다.

특히, ''P''가 동차이면 모든 $\lambda$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $P(x_1,\ldots,x_n)=0 \quad\Rightarrow\quad P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=0$

이 성질은 사영 대수다양체의 정의에서 기본적이다.

모든 영이 아닌 다항식은 서로 다른 차수의 동차다항식들의 합으로 유일하게 분해될 수 있으며, 이를 다항식의 '''동차성분'''이라고 한다. 예를 들어 다항식 $f = f_0 + \cdots + f_{\deg f}$ 에서 $f_k$ 는 $f$ 의 $k$ 차 동차성분이다.

동차다항식의 곱은 동차다항식이다. 또한 동차다항식을 인수분해하면, 그 인수들은 모두 동차다항식이다.

3. 1. 오일러 항등식

x_1, \ldots, x_n

의 미지수에서

P

가 ''d''차 동차 다항식이면, 계수의 가환환이 무엇이든 간에, 다음의 동차 함수에 대한 오일러 항등식을 만족한다.

:

dP=\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial P}{\partial x_i},

여기서

\textstyle \frac{\partial P}{\partial x_i}

는

x_i

에 대한

P

의 형식적 편미분을 나타낸다.

3. 2. 동차 성분의 차원

체(또는 환) ''K'' 위의 다항식 환

R=K[x_1, \ldots,x_n]

에서 ''d''차 동차다항식들이 이루는 벡터 공간(또는 가군)

R_d

의 차원은 ''n''개의 변수에서 ''d''차의 서로 다른 단항식의 개수와 같으며, 이는 이항 계수

:

\binom{d+n-1}{n-1}=\binom{d+n-1}{d}=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}

와 같다.

4. 준동차다항식

음이 아닌 정수 $k, p_1, p_2, \dots, p_n$ 가 존재하여, $f$ 가 모든 $\lambda \in R$ 에 대하여

: $\lambda^kf(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(\lambda^{p_1}x_1,\lambda^{p_2}x_2,\dots,\lambda^{p_n}x_n)$

의 꼴이라면, $f$ 를 '''준동차다항식'''(quasihomogeneous polynomial|준동차다항식^영어)이라 한다. 동차다항식은 준동차다항식에서 $p_i = 1$ 인 경우이다.

5. 동차화

비제차 다항식 ''P''(''x''₁, ..., ''x''_''n'')은 추가 변수 ''x''₀를 도입하고, ^''h''''P''로 표기되는 동차 다항식을 정의하여 동차화할 수 있다.^[5]

: ${^h\!P}(x_0, x_1, \dots, x_n) = x_0^d P \left( \frac{x_1}{x_0}, \dots, \frac{x_n}{x_0} \right)$

여기서 ''d''는 ''P''의 차수이다. 예를 들어,

: $P(x_1, x_2, x_3) = x_3^3 + x_1 x_2 + 7$

이면,

: ${^h\!P}(x_0, x_1, x_2, x_3) = x_3^3 + x_0 x_1 x_2 + 7 x_0^3$

이다.

동차화된 다항식은 추가 변수 ''x''₀ = 1로 설정하여 비동차화할 수 있다. 즉,

: $P(x_1, \dots, x_n) = {^h\!P}(1, x_1, \dots, x_n)$

이다.

6. 일반적인 대수적 형식

대수적 형식(또는 형식)은 이차 형식을 임의의 차수로 일반화한 것이다. 과거에는 ''quantics''라고도 불렸다(케일리의 용어이다). 형식의 유형을 특정하려면 차수 ''d''와 변수 ''n''의 개수를 주어야 한다. 형식이 어떤 주어진 체 ''K'' ''위의'' 형식이라는 것은, ''n''을 형식의 변수의 개수로서, ''K''^''n''에서 ''K''로의 사상임을 말한다.

어떤 체 ''K'' 위의 ''n'' 변수의 형식 ''f''가 0을 나타낸다는 것은, ''x''_''i''들 중 적어도 하나가 0과 같지 않은 원소 (''x''₁, ..., ''x_n'') ∈ ''K''^''n''가 존재하여 ''f''(''x''₁,...,''x''_''n'') = 0이 되는 것을 말한다.

실수체 위의 이차 형식이 0을 나타내는 것과 정부호가 아닌 것은 동치이다.

참조

_[1] 서적 Using Algebraic Geometry https://books.google[...] Springer 2005
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] Harvp 2005
_[6] 서적 Using Algebraic Geometry Springer-Verlag 2005
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 서적 Using Algebraic Geometry Springer-Verlag 2005

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