등변다각형
1. 개요
등변다각형은 모든 변의 길이가 같은 다각형이다. 모든 정다각형은 등변다각형이며, 등변다각형이면서 원에 내접하는 다각형은 정다각형이다. 등변 사각형은 마름모이며, 볼록 등변 오각형은 두 개의 연속적인 각으로 결정될 수 있다. 변의 개수가 홀수인 접선 다각형이 등변다각형이면 정다각형이다. 등변다각형 내부의 한 점에서 각 변까지의 수직 거리의 합은 점의 위치와 관계없이 일정하다. 정삼각형이 뢰뢰 다각형에 내접할 때 레인하르트 다각형을 형성하며, 이는 같은 변의 개수를 가진 모든 볼록 다각형 중에서 지름, 둘레, 폭에 대해 가장 큰 값을 갖는다.
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다각형의 유형 -
정다각형
정다각형은 변의 길이와 각의 크기가 모두 같은 다각형으로, 볼록 정다각형과 오목 정다각형으로 나뉘며, 슐래플리 기호로 표현되고, 꼭짓점이 동일 원주 상에 존재하며, 다양한 수학적 성질과 작도 가능성, 여러 분야에서의 응용을 가진다. -
다각형의 유형 -
오목 다각형
오목 다각형은 내부의 한 점을 지나는 선이 다각형 경계와 두 개 이상 교차하거나 일부 대각선이 외부로 뻗어 있는 다각형으로, 볼록 다각형과 달리 일부 연장선이 다각형을 완전히 포함하는 두 개의 반평면으로 평면을 나누지 못하며, 내각의 합은 180° × (n-2)이고 볼록 다각형으로 분할 가능하다.
2. 예시
모든 정다각형은 등변다각형이다. 등변다각형이면서 원에 내접하는 다각형은 정다각형이다. 등변 사각형은 마름모(정사각형 포함)이다.
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볼록 등변 오각형은 두 개의 연속적인 각으로 결정될 수 있으며, 이 각들은 나머지 각들을 함께 결정한다. 하지만 등변 오각형과 5개 이상의 변을 가진 등변 다각형은 오목할 수도 있으며, 오목 오각형을 허용하면 두 각만으로는 오각형의 모양을 결정하기에 충분하지 않다.
접선 다각형(모든 변에 접하는 내접원을 갖는 다각형)은 변의 개수가 홀수인 경우에 정다각형일 때 등변다각형이다.
3. 측정
비비아니의 정리는 등변다각형으로 일반화될 수 있다. 등변다각형 내부의 한 점에서 각 변까지의 수직 거리의 합은 점의 위치와 관계없이 일정하다.
육각형의 주 대각선은 각각 육각형을 사각형으로 나눈다. 공통 변 a를 가진 임의의 볼록 등변육각형에서, 다음을 만족하는 주 대각선 d1이 존재한다.
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그리고 다음을 만족하는 주 대각선 d2가 존재한다.
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