등변 미분 형식

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1. 개요

등변 미분 형식은 매끄러운 다양체 M 위에 정의되며, 리 군 G의 리 대수 g에 대한 함수로, G의 작용에 대해 일정한 조건을 만족하는 미분 형식이다. 등변 미분 형식 위에는 등변 외미분이라는 연산이 정의되며, 이를 통해 등변 코호몰로지를 정의할 수 있고, 등변 완전 미분 형식과 등변 닫힌 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 개념은 앙리 카르탕에 의해 도입되었다.

등변 미분 형식

개요

유형	미분 형식
분야	미분기하학, 미분 위상수학
관련 개념	동변 코호몰로지

정의

정의	다양체 M 위의 동변 미분 형식은 다음과 같은 형식을 가진다.

연산

동변 외미분	(d_G α)(x) = d(α(x)) - Σᵢ uᵢ(x) ⌟ (Xᵢ α)(x)
동변 곱	(α β)(x) = α(x) β(x)
동변 축소	∫M α = ∫M α₀

성질

성질

응용

응용

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 관련 용어
3. 연산
4. 역사
- 4.1. 앙리 카르탕의 공헌

2. 정의

등변 미분 형식(Equivariant differential form)은 다음과 같이 정의된다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 $M$
* 리 군 $G$ (그 리 대수는 $\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g$ 로 표기)
* $G$ 가 $M$ 위에 매끄럽게 작용하는 왼쪽 작용 $(\cdot)\colon G\times M\to M$

이러한 조건 아래, $M$ 위의 $G$ -등변 미분 형식은 특정 조건을 만족하는 다항식 사상으로 정의된다.

2.1. 기본 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 $M$
* 리 군 $G$ . 그 리 대수가 $\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g$ 라고 하자.
* $G$ 의 $M$ 위의 매끄러운 왼쪽 작용 $(\cdot)\colon G\times M\to M$ .

그렇다면, $M$ 위의 $G$ -등변 미분 형식 $\alpha$ 는 다음 벡터 공간의 원소이다.

: $\alpha\in\operatorname{Sym}[\mathfrak g^*]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)=\mathbb C[\mathfrak g]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)$

여기서 $\mathfrak g^*$ 는 $\mathfrak g$ 의 쌍대 공간이며, $\Omega(M;\mathbb C)=\Omega(M)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ 은 $M$ 위의 복소수 계수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이다. 이러한 원소는 다항식 사상

: $\alpha\colon\mathfrak g\to\Omega(M;\mathbb C)$

으로 간주할 수 있는데, 이 경우 $\alpha$ 는 다음 조건을 만족해야 한다.

: $\alpha\left(\operatorname{Ad}(g)x\right)=g\cdot\alpha(x)\qquad\forall g\in G,\;x\in\mathfrak g$

여기서 $\operatorname{Ad}(g)\colon G\to\operatorname{GL}(\mathfrak g)$ 는 $G$ 의 딸림표현이다.

2.2. 관련 용어

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 $M$
* 리 군 $G$ . 그 리 대수가 $\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g$ 라고 하자.
* $G$ 의 $M$ 위의 매끄러운 왼쪽 작용 $(\cdot)\colon G\times M\to M$ .

그렇다면, $M$ 위의 $G$ -등변 미분 형식 $\alpha$ 는 다음 벡터 공간의 원소이다.

: $\alpha\in\operatorname{Sym}[\mathfrak g^*]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)=\mathbb C[\mathfrak g]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)$

여기서 $\mathfrak g^*$ 는 $\mathfrak g$ 의 쌍대 공간이며, $\Omega(M;\mathbb C)=\Omega(M)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ 은 $M$ 위의 복소수 계수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이다. 이러한 원소는 다항식 사상

: $\alpha\colon\mathfrak g\to\Omega(M;\mathbb C)$

으로 간주할 수 있는데, 이 경우 $\alpha$ 는 다음 조건을 만족해야 한다.

: $\alpha\left(\operatorname{Ad}(g)x\right)=g\cdot\alpha(x)\qquad\forall g\in G,\;x\in\mathfrak g$

여기서 $\operatorname{Ad}(g)\colon G\to\operatorname{GL}(\mathfrak g)$ 는 $G$ 의 딸림표현이다.

3. 연산

등변 미분 형식에는 등변 외미분, 등변 완전 미분 형식, 등변 닫힌 미분 형식 등의 연산이 적용된다. 등변 외미분은 일반 외미분과 유사하게 $\mathrm d_{\mathfrak g}\circ \mathrm d_{\mathfrak g}=0$ 을 만족시키며, 이를 통해 등변 코호몰로지를 정의할 수 있다. 등변 코호몰로지는 등변 외미분의 핵(kernel)을 등변 외미분의 상(image)으로 나눈 것이다.

3.1. 등변 외미분

등변 미분 형식 $\alpha\in\left(\operatorname{Sym}[\mathfrak g^*]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)\right)^G$ 위에는 다음과 같은 등변 외미분(equivariant exterior derivative^영어)을 정의할 수 있다.

: $\mathrm d_{\mathfrak g}\alpha\colon x\mapsto \mathrm d(\alpha(x))-x^\sharp\lrcorner(\alpha(x))$

여기서
* $\mathrm d$ 는 (일반) 외미분이다.
* $\lrcorner$ 는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.
* $x^\sharp\in\Gamma(M)$ 는 $G$ 의 왼쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

이는 (일반 외미분과 마찬가지로) 다음을 만족시킨다.

: $\mathrm d_{\mathfrak g}\circ \mathrm d_{\mathfrak g}=0$

이에 따라 코호몰로지를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 등변 코호몰로지와 일치한다.

: $\operatorname H^\bullet_G(X;\mathbb C)=\frac{\ker\mathrm d_{\mathfrak g}}{\operatorname{im}\mathrm d_{\mathfrak g}}$

또한, 이를 통해 등변 완전 미분 형식(equivariantly exact differential form^영어) 및 등변 닫힌 미분 형식(equivariantly closed differential form^영어)을 정의할 수 있다.

3.2. 등변 코호몰로지

등변 미분 형식 $\alpha\in\left(\operatorname{Sym}[\mathfrak g^*]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)\right)^G$ 위에는 다음과 같은 등변 외미분(等變外微分, equivariant exterior derivative^영어)을 정의할 수 있다.

: $\mathrm d_{\mathfrak g}\alpha\colon x\mapsto \mathrm d(\alpha(x))-x^\sharp\lrcorner(\alpha(x))$

여기서

* $\mathrm d$ 는 (일반) 외미분이다.
* $\lrcorner$ 는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.
* $x^\sharp\in\Gamma(M)$ 는 $G$ 의 왼쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

이는 (일반 외미분과 마찬가지로) $\mathrm d_{\mathfrak g}\circ \mathrm d_{\mathfrak g}=0$ 을 만족시키며, 이에 따라 코호몰로지를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 등변 코호몰로지와 일치한다.

: $\operatorname H^\bullet_G(X;\mathbb C)=\frac{\ker\mathrm d_{\mathfrak g}}{\operatorname{im}\mathrm d_{\mathfrak g}}$

또한, 이를 통해 등변 완전 미분 형식(等變完全微分形式, equivariantly exact differential form^영어) 및 등변 닫힌 미분 형식(等變-微分形式, equivariantly closed differential form^영어)을 정의할 수 있다.

3.3. 등변 완전 미분 형식과 등변 닫힌 미분 형식

등변 미분 형식 $\alpha\in\left(\operatorname{Sym}[\mathfrak g^*]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)\right)^G$ 위에는 다음과 같은 등변 외미분(等變外微分, equivariant exterior derivative^영어)을 정의할 수 있다.

: $\mathrm d_{\mathfrak g}\alpha\colon x\mapsto \mathrm d(\alpha(x))-x^\sharp\lrcorner(\alpha(x))$

여기서
* $\mathrm d$ 는 (일반) 외미분이다.
* $\lrcorner$ 는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.
* $x^\sharp\in\Gamma(M)$ 는 $G$ 의 왼쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

이는 (일반 외미분과 마찬가지로) 다음을 만족시킨다.

: $\mathrm d_{\mathfrak g}\circ \mathrm d_{\mathfrak g}=0$

이에 따라 코호몰로지를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 등변 코호몰로지와 일치한다.

: $\operatorname H^\bullet_G(X;\mathbb C)=\frac{\ker\mathrm d_{\mathfrak g}}{\operatorname{im}\mathrm d_{\mathfrak g}}$

또한, 이를 통해 등변 완전 미분 형식(等變完全微分形式, equivariantly exact differential form^영어) 및 등변 닫힌 미분 형식(等變-微分形式, equivariantly closed differential form^영어)을 정의할 수 있다.

4. 역사

등변 미분 형식의 개념은 앙리 카르탕이 도입하였다.

4.1. 앙리 카르탕의 공헌

앙리 카르탕이 등변 미분 형식의 개념을 도입하였다.