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딜라톤

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목차

1. 개요

딜라톤은 일반 상대성 이론의 차원 확장 및 축소화 과정에서 나타나는 스칼라장으로, 끈 이론과 양자 중력 이론에서 중요한 역할을 한다. 딜라톤은 칼루차-클라인 이론에서 처음 등장했으며, 끈 이론의 결합 상수를 결정하는 핵심 요소이다. 또한, 딜라톤은 초대칭 이론에서 딜라티노라는 슈퍼파트너와 액시온을 결합하여 복소 스칼라장을 형성하며, 양자 중력 및 힉스 보손과의 관계 연구에도 활용된다.

2. 전개

일반 상대성 이론에서 딜라톤은 특정 방식으로 시공간의 구조에 영향을 미치는 스칼라장이다. 시간 차원은 그대로 두고 공간 차원을 확장하여 축소화하는 과정에서 딜라톤이 나타나며, 이 과정에서 아인슈타인-힐베르트 작용을 규격화하면 딜라톤이 스칼라장으로 행동하는 것을 확인할 수 있다.[8]

딜라톤은 브랜스-딕 이론의 스칼라장과 유사하게 행동하지만, 더 일반적인 퍼텐셜을 가질 수 있다. 칼루차-클라인 이론에서 차원 축소 후 유효 플랑크 질량은 콤팩트화된 공간 부피에 따라 달라지는데, 이것이 저차원 유효 이론에서 딜라톤이 나타나는 이유이다.

딜라톤은 칼루차-클라인 이론에서 처음 등장했으며, 끈 이론에도 나타난다. 로만 자키우의 장 이론적 접근 방식에 기반한 저차원 다체 중력 문제[2]의 중심이 되었는데, 이는 일반 상대성 이론에서 ''N''체계의 계량에 대한 완전한 해석적 해를 구하는 것이 일반적으로 불가능했기 때문이다. 문제를 단순화하기 위해 차원의 수를 1 + 1 (하나의 공간 차원과 하나의 시간 차원)로 낮췄고, 이 모델 문제는 ''R'' = ''T'' 이론[3]으로 알려져 있으며, 램버트 W 함수의 일반화를 통해 정확한 해를 구할 수 있었다. 또한, 미분 기하학에서 유도된 딜라톤을 지배하는 장 방정식은 슈뢰딩거 방정식처럼 양자화가 가능할 수 있다.[4]

이는 중력, 양자화, 심지어 전자기적 상호작용까지 결합하여 근본적인 물리 이론의 유망한 재료들을 제공하며, 일반 상대성 이론과 양자 역학 사이의 이전에 알려지지 않았던 자연스러운 연결고리를 드러냈다. 이 이론을 3 + 1 차원으로 일반화하는 것은 명확하지 않지만, 적절한 좌표 조건 하에서 3 + 1 차원에서 최근 유도된 결과는 응집 물질 물리학과 초유동성에서 보이는 로그 슈뢰딩거 방정식[5]에 의해 지배되는 딜라톤 장과 유사한 형식을 제시한다. 장 방정식은 하나의 그래비톤 과정을 포함하는 것으로 나타났으며,[6] ''d'' 차원에서 정확한 뉴턴 극한을 얻지만, 딜라톤을 통해서만 가능하다. 딜라톤과 힉스 보손 사이의 외관상 유사성에 대한 추측도 있지만,[7] 이 두 입자 간의 관계를 밝히기 위해서는 더 많은 실험이 필요하다. 이 이론은 중력, 전자기 및 양자 효과를 결합할 수 있으므로, 이들의 결합은 우주론 및 실험을 통해 이론을 테스트할 수 있는 수단을 제공할 수 있다.

2. 1. 칼루차-클라인 이론에서의 딜라톤

일반 상대성 이론에서 시간 차원은 그대로 두고 공간 차원을 3+d 차원으로 확장하고, d가 축소화된 차원이라고 가정할 때, 확장된 힐베르트 작용을 d차원에 대해 우선 적분하여 축소화하면, 스칼라장인 딜라톤으로 규격화할 수 있다.[8] 우주론적으로, 딜라톤은 브랜스-딕 이론의 스칼라장처럼 행동하나, 임의의 퍼텐셜을 가질 수 있어 좀 더 일반적이다. 칼루자-클라인 이론에서 차원 축소 후 유효 플랑크 질량은 콤팩트화된 공간 부피의 어떤 거듭제곱에 따라 달라진다. 이것이 부피가 저차원 유효 이론에서 딜라톤으로 나타날 수 있는 이유이다.

딜라톤을 처음 도입한 칼루자-클라인 이론을 끈 이론이 자연스럽게 통합하지만, I형 끈 이론, II형 끈 이론, 이종 끈 이론과 같은 섭동 끈 이론은 이미 최대 10차원에서 딜라톤을 포함하고 있다. 그러나 11차원의 M-이론은 콤팩트화되지 않으면 스펙트럼에 딜라톤을 포함하지 않는다. IIA형 끈 이론의 딜라톤은 원으로 콤팩트화된 M-이론의 라디온과 유사하며, 끈 이론의 딜라톤은 호르바-위튼 모형의 라디온과 유사하다.[1]

끈 이론에는 월드 시트 CFT – 2차원 컨포멀 장론에도 딜라톤이 있다. 그 진공 기대값의 지수 함수는 결합 상수와 오일러 지표를 가우스-보네 정리에 의해 결정한다. 따라서 끈 이론의 동적 변수 결합 상수는 상수인 양자장론과 대조된다. 초대칭이 깨지지 않는 한, 그러한 스칼라장은 임의의 값을 가질 수 있다(모듈). 그러나 초대칭 깨짐은 일반적으로 스칼라장에 대한 포텐셜 에너지를 생성하며, 스칼라장은 원칙적으로 끈 이론에서 계산해야 하는 최소값 근처로 국소화된다.

딜라톤은 유효 플랑크 척도가 끈 척도와 딜라톤장 모두에 의존하는 브란스-디케 이론 스칼라처럼 작용한다.

초대칭에서 딜라톤의 슈퍼파트너는 액시온과 결합하여 복소수 스칼라장을 형성하는데, 이를 딜라티노라고 부른다. 초끈 이론에서 딜라톤은 중력자와 함께 나타나는 스칼라장(클라인-고든 방정식을 따름)이다. 초끈 이론은 칼루차-클라인 이론을 자연스럽게 받아들이는 이론이지만, 섭동 이론적인 초끈 이론(타입 I, 타입 II 및 헤테로틱 초끈 이론)에서는, 콤팩트화되지 않은 10차원 시공간상의 이론에서도 이미 딜라톤이 포함된다.

이에 반해, 11차원의 M-이론(IIA형 초끈 이론의 강결합 극한)은, 콤팩트화하지 않는 한 딜라톤이 이론에 나타나지 않는다.

딜라톤장 φ의 진공 기댓값의 지수 함수는, 이론의 결합 상수 ''g''를 정한다. 따라서, 장의 양자론에서는 결합 상수가 상수인 데 반해, 초끈 이론에서의 결합 상수는 역학 변수이다.(상수는 아니지만, 편의상 결합 상수라고 불린다.)

초대칭성이 깨지지 않는 경우, 딜라톤의 진공 기댓값은 임의의 값이 허용되지만(모듈라이라고 불린다), 초대칭성의 붕괴에 따라 딜라톤에 대한 포텐셜 에너지가 생성되어 딜라톤장은 포텐셜의 최소값(원리적으로는 계산 가능하다고 여겨짐) 부근에 값이 정해진다.

3. 끈 이론에서의 딜라톤

끈 이론에서 딜라톤은 닫힌 보손 끈 이론에서 중력자, 캘브-라몽 장과 함께 나타나는 세 종류의 무질량 입자 중 하나이며, 모든 종류의 초끈이론에서도 존재한다. 그러나 M이론에서는 축소화 이전에는 존재하지 않는다.[1]

딜라톤의 진공 기댓값은 끈 이론의 결합 상수를 결정한다. 예를 들어 닫힌 끈의 결합 상수는 딜라톤장 \phi에 대하여 g_\text{s}=\exp(\langle\phi\rangle)이다. 즉, 끈 결합 상수는 일반적인 양자장론과 달리 고정된 기본 상수가 아니라, 동적으로 결정되는 값이다.

칼루자-클라인 이론에서 차원 축소 후 유효 플랑크 척도는 축소화된 공간 부피에 따라 달라지는데, 이것이 저차원 유효 이론에서 딜라톤으로 나타나는 이유이다.

끈 이론은 칼루자-클라인 이론을 자연스럽게 통합하지만, I형 끈 이론, II형 끈 이론, 이종 끈 이론과 같은 섭동 끈 이론은 이미 최대 10차원에서 딜라톤을 포함하고 있다. 그러나 11차원의 M-이론은 콤팩트화되지 않으면 스펙트럼에 딜라톤을 포함하지 않는다. IIA형 끈 이론의 딜라톤은 원으로 콤팩트화된 M-이론의 라디온과 유사하며, 끈 이론의 딜라톤은 호르바-위튼 모형의 라디온과 유사하다.[1]

끈 이론에서 월드 시트의 2차원 등각 장론에도 딜라톤이 있다. 그 진공 기대값의 지수 함수는 결합 상수와 오일러 지표를 가우스-보네 정리에 의해 결정하며 (\; \tfrac{1}{2\pi} \int R = \chi \;), 여기서 종수는 손잡이의 수, 즉 특정 월드 시트가 설명하는 루프 또는 끈 상호 작용의 수를 센다.

: g = \exp \left( \langle \varphi \rangle \right)

따라서 끈 이론의 동적 변수 결합 상수는 상수인 양자장론과 대조된다. 초대칭이 깨지지 않는 한, 그러한 스칼라장은 임의의 값을 가질 수 있다(모듈). 그러나 초대칭 깨짐은 일반적으로 스칼라장에 대한 포텐셜 에너지를 생성하며, 스칼라장은 원칙적으로 끈 이론에서 계산해야 하는 최소값 근처로 국소화된다.

딜라톤은 유효 플랑크 척도가 끈 척도와 딜라톤장 모두에 의존하는 브란스-디케 이론 스칼라처럼 작용한다.

초대칭 이론에서 딜라톤의 슈퍼파트너는 액시온과 결합하여 복소수 스칼라장을 형성한다.

3. 1. 딜라톤 작용

일반 상대성 이론에서 시간 차원은 그대로 두고 공간 차원을 3+d 차원으로 확장하고, d가 축소화된 차원이라고 가정할 때, 확장된 힐베르트 작용을 d차원에 대해 우선 적분하여 축소화하고 규격화하면 축소화되지 않은 부분의 등각 변환으로 나타낼 수 있다. 이때 축소화되는 차원의 크기와 관계 있는 \ln b(x)를 다시 규격화하여 쓴 것이 스칼라장인 딜라톤이다.[8]

우주론적으로, 딜라톤은 브랜스-딕 이론의 스칼라장처럼 행동하나, 임의의 퍼텐셜을 가질 수 있어 좀 더 일반적이다. 닫힌 보손 끈 이론에서는 중력자와 캘브-라몽 장과 함께 3종의 무질량 입자 가운데 하나이며, 모든 종류의 초끈이론에서도 존재한다. M이론에서는 축소화 이전에는 존재하지 않는다.

딜라톤의 진공 기댓값은 끈 이론의 결합 상수를 결정한다. 예를 들어 닫힌 끈의 결합 상수는 딜라톤장 \phi에 대하여 g_\text{s}=\exp(\langle\phi\rangle)이다. 즉 끈 결합 상수는 통상적인 양자장론과 달리 기본 상수가 아니라 동적으로 결정되는 값이다.

딜라톤-중력 작용은 다음과 같다.

:\int d^Dx \, \sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \Phi R - \omega\left[ \Phi \right]\frac{g^{\mu\nu}\partial_\mu \Phi \partial_\nu \Phi}{\Phi} \right) - V[\Phi] \right].

이는 딜라톤 포텐셜을 갖는다는 점에서 진공에서의 브란스-디케 이론보다 더 일반적이다. 초끈 이론에서 딜라톤은 중력자와 함께 나타나는 스칼라장(클라인-고든 방정식을 따름)이다. 초끈 이론은 칼루차-클라인 이론을 자연스럽게 받아들이는 이론이지만, 섭동 이론적인 초끈 이론(타입 I, 타입 II 및 헤테로틱 초끈 이론)에서는, 콤팩트화되지 않은 10차원 시공간상의 이론에서도 이미 딜라톤이 포함된다.

이에 반해, 11차원의 M-이론(IIA형 초끈 이론의 강결합 극한)은, 콤팩트화하지 않는 한 딜라톤이 이론에 나타나지 않는다.

딜라톤장 φ의 진공 기댓값의 지수 함수는, 이론의 결합 상수 ''g''를 정한다.

: g = \exp(\langle \phi \rangle)

따라서, 장의 양자론에서는 결합 상수가 상수인 데 반해, 초끈 이론에서의 결합 상수는 역학 변수이다.(상수는 아니지만, 편의상 결합 '''상수'''라고 불린다.)

초대칭성이 깨지지 않는 경우, 딜라톤의 진공 기댓값은 임의의 값이 허용되지만(모듈라이라고 불린다), 초대칭성의 붕괴에 따라 딜라톤에 대한 포텐셜 에너지가 생성되어 딜라톤장은 포텐셜의 최소값(원리적으로는 계산 가능하다고 여겨짐) 부근에 값이 정해진다.

초대칭 이론에서는 딜라톤에 대한 초대칭 입자가 존재하며, 딜라티노라고 불린다. 또한, 딜라톤은 액시온을 조합하여 복소 스칼라장으로 취급된다.

4. 양자 중력에서의 딜라톤

딜라톤은 칼루차-클라인 이론에서 처음 등장했는데, 이는 중력과 전자기력을 결합한 5차원 이론이다. 딜라톤은 끈 이론에도 나타난다. 하지만, 로만 자키우의 장 이론적 접근 방식에 기반한 저차원 다체 중력 문제[2]의 중심이 되었다. 이러한 동기는 일반 상대성 이론에서 공변하는 ''N''체계의 계량에 대한 완전한 해석적 해를 구하는 것이 일반적으로 불가능하다는 사실에서 비롯되었다. 문제를 단순화하기 위해, 차원의 수는 1 + 1, 즉 하나의 공간 차원과 하나의 시간 차원으로 낮춰졌다. 이 모델 문제는 일반적인 ''G'' = ''T'' 이론과는 달리 ''R'' = ''T'' 이론[3]으로 알려져 있는데, 이는 램버트 W 함수의 일반화를 통해 정확한 해를 구할 수 있었다. 또한, 미분 기하학에서 유도된 딜라톤을 지배하는 장 방정식은 슈뢰딩거 방정식처럼 양자화가 가능할 수 있다.[4]

이는 중력, 양자화, 심지어 전자기적 상호작용까지 결합하여 근본적인 물리 이론의 유망한 재료들을 제공한다. 이 결과는 일반 상대성 이론과 양자 역학 사이의 이전에 알려지지 않았던, 이미 존재하는 자연스러운 연결고리를 드러냈다. 이 이론을 3 + 1 차원으로 일반화하는 데에는 명확성이 부족하다. 하지만, 적절한 좌표 조건 하에서 3 + 1 차원에서 최근 유도된 결과는 응집 물질 물리학과 초유동성에서 보이는 로그 슈뢰딩거 방정식[5]에 의해 지배되는 딜라톤 장과 유사한 형식을 제시한다. 장 방정식은 하나의 그래비톤 과정을 포함하는 것으로 나타난 것처럼 이러한 일반화가 가능하며,[6] ''d'' 차원에서 정확한 뉴턴 극한을 얻지만, 딜라톤을 통해서만 가능하다. 또한, 딜라톤과 힉스 보손 사이의 외관상 유사성에 대한 견해를 추측하는 사람들도 있다.[7] 하지만, 이 두 입자 간의 관계를 밝히기 위해서는 더 많은 실험이 필요하다. 마지막으로, 이 이론은 중력, 전자기 및 양자 효과를 결합할 수 있으므로, 이들의 결합은 우주론 및 실험을 통해 이론을 테스트할 수 있는 수단을 제공할 수 있다.

참조

[1] 논문 M-theory and the string genus expansion 2006-04-06
[2] 논문 Canonical reduction of two-dimensional gravity for particle dynamics 1996
[3] 논문 Gravitation and cosmology in (1 + 1) dimensions 1991
[4] 논문 N-body Gravity and the Schroedinger Equation 2007
[5] 논문 Canonical reduction for dilatonic gravity in 3 + 1 dimensions 2016
[6] 논문 Exact solution for the metric and the motion of two bodies in (1 + 1)-dimensional gravity 1997
[7] 논문 A higgs-like dilaton 2013
[8] 서적 Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity 2003


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