브랜스-딕 이론

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 이론의 탄생
3. 일반 상대성 이론과의 비교
4. 수학적 정의
5. 추가 설명
- 5.1. 결합 상수 ω의 역할과 중요성
- 5.2. 스칼라장 φ의 물리적 의미
참조

1. 개요

브랜스-딕 이론은 마흐의 원리를 만족하는 중력 이론을 만들기 위해 1961년 로버트 헨리 딕과 칼 브랜스에 의해 도입되었다. 이 이론은 일반 상대성 이론과 마찬가지로 중력을 계량 이론으로 설명하며, 시공간은 계량 텐서를 갖고 중력장은 리만 곡률 텐서로 표현된다. 브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론과 비교하여 스칼라장을 포함하며, 브랜스-딕 결합 상수라는 매개변수를 가지며, 실험 관측을 통해 이 상수 값에 대한 하한이 설정되었다. 또한, 끈 이론과 관련이 있으며, 딜라톤과 유사한 스칼라장을 포함한다.

2. 역사

1961년에 미국의 로버트 헨리 딕과 칼 브랜스(Carl Henry Brans)가 마흐의 원리를 만족하는 중력 이론을 만들기 위해 이 이론을 도입하였다.^[6]

2. 1. 이론의 탄생

1961년에 미국의 로버트 헨리 딕과 칼 브랜스(Carl Henry Brans)가 마흐의 원리를 만족하는 중력 이론을 만들기 위해 브랜스-딕 이론을 도입하였다.^[6]

3. 일반 상대성 이론과의 비교

일반 상대성 이론과 브랜스-딕 이론은 모두 상대성 이론의 한 예이며, 중력에 대한 고전적 장 이론의 부류인 계량 이론에 속한다. 이러한 이론에서 시공간은 계량 텐서 $g_{ab}$ 를 가지며, 중력장은 (전체 또는 부분적으로) 계량 텐서에 의해 결정되는 리만 곡률 텐서 $R_{abcd}$ 로 표현된다.

모든 계량 이론은 아인슈타인 등가 원리를 만족한다. 이는 매우 작은 영역(측정 가능한 곡률 효과를 나타내기에는 너무 작음)에서 특수 상대성 이론에서 알려진 모든 물리 법칙이 ''국소 로렌츠 틀''에서 유효하다는 것을 의미한다. 이는 모든 계량 이론이 중력 적색편이 효과를 나타낸다는 것을 의미한다.

일반 상대성 이론에서와 마찬가지로, 중력장의 근원은 응력-에너지 텐서 또는 ''물질 텐서''로 간주된다. 그러나 어떤 영역에서 질량-에너지가 직접적으로 존재하여 해당 영역의 중력장에 영향을 미치는 방식은 일반 상대성 이론과 다르다. 시공간 곡률이 물질의 운동에 영향을 미치는 방식도 마찬가지다. 브랜스-딕 이론에서는 계량 외에도, ''스칼라장'' $\phi$ 가 존재하며, 이는 ''유효 중력 상수''를 장소에 따라 변경하는 물리적 효과를 갖는다.

브랜스-딕 이론의 장 방정식에는 ''브란스-딕 결합 상수''라고 불리는 매개변수 $\omega$ 가 포함되어 있다. 이는 무차원 상수이다. 이 값은 관측에 맞게 선택할 수 있다. 유효 중력 상수의 현재 주변 값은 경계 조건으로 선택해야 한다. 일반 상대성 이론에는 무차원 매개변수가 전혀 없으므로, 브랜스-딕 이론보다 반증하기 더 쉽다. 조정 가능한 매개변수가 있는 이론은 관측과 일치하는 두 이론 중 더 간결한 이론이 선호된다는 원칙에 따라 때때로 기피된다.

브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론보다 더 많은 해를 허용한다. 일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식에 $\phi=1$ 을 추가한 진공 해는 브랜스-딕 이론에서 진공 해가 되지만, 아인슈타인 장 방정식의 진공 해가 ''아닌'' 일부 시공간은 스칼라장을 적절히 선택하면 브랜스-딕 이론의 진공 해가 된다. pp-파 계량도 일반 상대성 이론과 브랜스-딕 이론 모두의 널 먼지 해이지만, 브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론과 호환되지 않는 기하학을 가진 ''파동 해''를 허용한다.

3. 1. 기본 원리 비교

일반 상대성 이론과 브랜스-딕 이론은 모두 중력을 시공간의 계량 텐서로 설명하는 계량 이론이다. 두 이론 모두 등가 원리를 따르며, 이는 아주 작은 영역에서는 특수 상대성 이론의 법칙이 성립한다는 것을 의미한다.

일반 상대성 이론에서 중력장은 리만 곡률 텐서로 표현되며, 이는 계량 텐서에 의해 결정된다. 중력의 근원은 응력-에너지 텐서로, 물질의 분포와 운동을 나타낸다.

브랜스-딕 이론에서는 계량 텐서 외에 스칼라장

\phi

가 추가적으로 존재한다. 이 스칼라장은 유효 중력 상수를 변화시키는 역할을 한다. 즉, 중력 상수가 고정된 값이 아니라 장소에 따라 달라질 수 있다는 것이다. 이는 브랜스-딕 이론의 핵심적인 특징 중 하나이다.

브랜스-딕 이론에는

\omega

라는 무차원 상수인 매개변수가 포함되어 있다. 이 값은 관측 결과에 맞게 조정될 수 있으며, 이를 통해 이론의 예측을 검증할 수 있다. 일반 상대성 이론에는 이러한 조정 가능한 매개변수가 없기 때문에, 브랜스-딕 이론보다 더 엄격하게 검증될 수 있다.

브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론보다 더 많은 해를 허용한다. 예를 들어, 일반 상대성 이론의 진공 해에 스칼라장을 추가하면 브랜스-딕 이론의 해가 될 수 있지만, 그 반대는 항상 성립하지 않는다. 또한, pp-파 계량과 같은 특수한 시공간은 두 이론 모두에서 해가 되지만, 브랜스-딕 이론은 추가적인 파동 해를 허용한다.

두 이론 모두 중력 렌즈나 행성의 주점 세차 운동과 같은 현상을 예측하지만, 브랜스-딕 이론에서는 그 정확한 공식이

\omega

값에 따라 달라진다. 따라서 이러한 현상들에 대한 관측을 통해

\omega

값의 범위를 제한할 수 있다.

일반 상대성 이론의 장 방정식은 다음과 같다.

:

G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.

이는 아인슈타인 텐서가 응력-에너지 텐서에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미한다.

반면, 브랜스-딕 이론의 장 방정식은 다음과 같다.

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi} T_{ab} + \frac{\omega}{\phi^2}\left(\partial_a\phi \partial_b\phi - \frac{1}{2} g_{ab} \partial_c\phi\partial^c\phi\right)+ \frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi - g_{ab} \Box\phi) - g_{ab}\frac{V(\phi)}{2\phi},

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T + \frac{2V(\phi) - \phi V'(\phi)}{3+2\omega}

여기서

G_{ab}

는 아인슈타인 텐서,

T_{ab}

는 응력-에너지 텐서,

\phi

는 스칼라장,

\omega

는 결합 상수,

V(\phi)

는 스칼라 포텐셜이다. 이 방정식들은 아인슈타인 텐서가 응력-에너지 텐서뿐만 아니라 스칼라장

\phi

에 의해서도 영향을 받는다는 것을 보여준다.

3. 2. 수학적 기술 비교

브랜스-딕 이론과 일반 상대성 이론은 모두 계량 이론에 속하며, 중력을 시공간의 기하학적 특성으로 설명한다. 두 이론 모두 계량 텐서

g_{ab}

를 사용하여 시공간의 구조를 나타내고, 리만 곡률 텐서

R_{abcd}

를 통해 중력장을 표현한다.
장 방정식 비교두 이론의 주요 차이점은 장 방정식의 형태에 있다.

일반 상대성 이론:

:

G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.

: 아인슈타인 텐서

G_{ab}

는 응력-에너지 텐서

T_{ab}

에 의해 완전히 결정된다. 즉, 물질과 에너지의 분포가 시공간의 곡률을 결정한다.

브랜스-딕 이론:

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi} T_{ab} + \frac{\omega}{\phi^2}\left(\partial_a\phi \partial_b\phi - \frac{1}{2} g_{ab} \partial_c\phi\partial^c\phi\right)+ \frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi - g_{ab} \Box\phi) - g_{ab}\frac{V(\phi)}{2\phi},

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T + \frac{2V(\phi) - \phi V'(\phi)}{3+2\omega}

: 아인슈타인 텐서는 물질과 에너지뿐만 아니라 스칼라장

\phi

에 의해서도 영향을 받는다. 스칼라장

\phi

는 유효 중력 상수를 변화시키는 역할을 하며, 이는 장소에 따라 중력의 세기가 달라질 수 있음을 의미한다.
브랜스-딕 결합 상수 ω브랜스-딕 이론에는 무차원 상수인 브랜스-딕 결합 상수

\omega

가 등장한다. 이 값은 관측을 통해 결정되며, 실험 결과에 따라 그 값이 점점 커지고 있다. 1973년에는

\omega > 5

, 1981년에는

\omega > 30

이었으며, 2003년 카시니-호이겐스 실험에서는

\omega > 40,000

이라는 결과가 나왔다.^[2]

\omega \rightarrow \infty

극한에서 브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론으로 수렴하는 경향을 보인다. 그러나 응력-에너지 운동량의 대각합이 사라지는 경우(

T^{\mu}_{\mu} = 0

)에는 이 극한이 성립하지 않는다는 주장도 있다.^[3]^[4]
결론브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론을 확장한 이론으로, 스칼라장과 조정 가능한 매개변수를 도입하여 중력 현상을 보다 유연하게 설명한다.

3. 3. 예측 및 관측 결과 비교

일반 상대성 이론과 마찬가지로, 브랜스-딕 이론은 중력 렌즈와 태양을 공전하는 행성의 주점의 세차 운동을 예측한다. 그러나 브랜스-딕 이론에서 이러한 효과를 지배하는 정확한 공식은 결합 상수

\omega

의 값에 달려 있다.^[2] 이는 태양계 및 기타 중력 시스템의 관측을 통해

\omega

의 가능한 값에 대한 관측 하한을 설정할 수 있음을 의미한다.

실험과 일치하는

\omega

의 값은 시간이 지남에 따라 증가했다.

연도	$\omega$ 값	실험
1973년	$\omega > 5$	알려진 데이터와 일치
1981년	$\omega > 30$	알려진 데이터와 일치
2003년	$\omega > 40,000$	카시니-호이겐스 실험

일반 상대성 이론은 브랜스-딕 이론에서 $\omega \rightarrow \infty$ 극한에서 얻어진다고 자주 알려져 있다.^[2] 그러나 응력-에너지 텐서 운동량의 대각합이 사라질 때( $T^{\mu}_{\mu} = 0$ ) 이는 성립하지 않는다는 주장이 있다.^[3] 이때의 예시는 캄파넬리-루스토 웜홀 해이다.^[4]

3. 4. 이론적 한계와 논쟁

브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론과 같이 상대성 이론이며, 중력을 다루는 고전적 장 이론인 계량 이론에 속한다. 이 두 이론은 모두 아인슈타인 등가 원리를 따르는데, 이는 아주 작은 영역에서는 특수 상대성 이론의 물리 법칙이 그대로 적용된다는 것을 의미한다.

하지만 브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론과 달리 ''스칼라장''

\phi

를 도입하여 ''유효 중력 상수''가 장소에 따라 변할 수 있도록 하였다. 이는 이론의 주요 목표 중 하나였다.^[2] 또한, 브랜스-딕 이론에는 ''브란스-딕 결합 상수''

\omega

라는 매개변수가 포함되어 있는데, 이 값은 관측 결과에 맞춰 조정될 수 있다.

이러한 특징 때문에 브랜스-딕 이론은 일반 상대성 이론보다 더 많은 해를 가지며, 일반 상대성 이론에서는 진공 해가 아닌 시공간도 브랜스-딕 이론에서는 진공 해가 될 수 있다. pp-파 계량과 같은 경우에도 브랜스-딕 이론은 추가적인 ''파동 해''를 허용한다.

브랜스-딕 이론은 중력 렌즈나 행성의 주점 세차 운동과 같은 현상을 예측하지만, 그 정확한 공식은 결합 상수

\omega

값에 따라 달라진다. 따라서 태양계 관측 등을 통해

\omega

값에 대한 하한을 설정할 수 있으며, 실험 결과와 일치하는

\omega

값은 시간이 지남에 따라 증가해 왔다. 2003년 카시니-호이겐스 실험 결과에 따르면

\omega

값은 40,000을 초과해야 한다.^[2]

일반적으로

\omega \rightarrow \infty

극한에서 브랜스-딕 이론이 일반 상대성 이론으로 수렴한다고 알려져 있지만,^[2] 파라오니^[3]는 응력-에너지 텐서의 대각합이 0이 될 때 이 관계가 깨진다고 주장하며, 이는 캄파넬리-루스토 웜홀 해^[4]와 같은 경우에 해당한다. 또한, 일반 상대성 이론만이 강한 등가 원리를 만족한다는 주장도 있다.

4. 수학적 정의

브랜스-딕 이론의 핵심 수학 방정식은 다음과 같다.

브랜스-딕 이론의 작용은 다음과 같이 정의된다.^[5]

: $S=\frac1{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\phi R - \omega\frac{(\partial\phi)^2}{\phi}\right)$

여기서,

$g$ 는 계량 텐서의 행렬식이다.
$\sqrt{-g} \, d^4 x$ 는 4차원 부피 형식이다.
$\mathcal{L}_\mathrm{M}$ 은 ''물질 항'' 또는 ''물질 라그랑지안 밀도''이다.

이 작용으로부터 유도되는 브랜스-딕 이론의 장 방정식은 다음과 같다.

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi} T_{ab} + \frac{\omega}{\phi^2}\left(\partial_a\phi \partial_b\phi - \frac{1}{2} g_{ab} \partial_c\phi\partial^c\phi\right)+ \frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi - g_{ab} \Box\phi) - g_{ab}\frac{V(\phi)}{2\phi},

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T + \frac{2V(\phi) - \phi V'(\phi)}{3+2\omega}

여기서 사용되는 기호들의 의미는 다음과 같다.

$\omega$ 는 무차원 딕(Dicke) 결합 상수이다.
$g_{ab}$ 는 계량 텐서이다.
$G_{ab} = R_{ab} - \tfrac{1}{2} R g_{ab}$ 는 아인슈타인 텐서이다.
$R_{ab} = R^m{}_{a m b}$ 는 리치 텐서이다.
$R = R^m{}_{m}$ 는 리치 스칼라이다.
$T_{ab}$ 는 응력-에너지 텐서이다.
$T = T_a^a$ 는 응력-에너지 텐서의 대각합이다.
$\phi$ 는 스칼라 장이다.
$V(\phi)$ 는 스칼라 포텐셜이다.
$V'(\phi)$ 는 $\phi$ 에 대한 스칼라 포텐셜의 미분이다.
$\Box$ 는 라플라스-벨트라미 연산자이다.

첫 번째 방정식은 응력-에너지 텐서와 스칼라 장

\phi

가 시공간 곡률에 함께 어떻게 영향을 미치는지를 설명한다. 여기서 아인슈타인 텐서는 일종의 평균 곡률로 이해할 수 있다.^[1]

두 번째 방정식은 응력-에너지 텐서의 대각합이 스칼라 장

\phi

의 근원 역할을 한다는 것을 보여준다. 전자기장은 응력-에너지 텐서에 무대각합 항만 기여하므로, 시공간 영역에 전자기장(및 중력장)만 존재한다면 우변이 사라지고

\phi

는 (곡선 시공간에서) 파동 방정식을 따르게 된다. 결과적으로

\phi

의 변화는 ''전기 진공'' 영역을 통해 전파된다.^[1]

참고로, 일반 상대성 이론의 장 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.

4. 1. 작용(Action)

브랜스-딕 이론의 작용은 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

S=\frac1{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\phi R - \omega\frac{(\partial\phi)^2}{\phi}\right)

이 작용으로부터 다음과 같은 장 방정식을 유도할 수 있다.

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2}(\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi)+\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi)

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

$\omega$ 는 무차원 결합 상수 ('''딕 결합 상수''')이다.
$g_{ab}$ 는 계량 텐서이다.
$G_{ab}$ 는 아인슈타인 텐서이다.
$T_{ab}$ 는 에너지-운동량 텐서 ( $T$ 는 그 대각합)이다.
$\phi$ 는 스칼라장이다.
$\Box$ 는 라플라스-벨트라미 연산자이다.

첫 번째 식은 스칼라장의 샘마당이 응력-에너지 텐서의 대각합임을 의미한다. 전자기장의 응력-에너지 텐서는 무대각합이므로, 전자기장은 스칼라장에 영향을 미치지 않는다. 두 번째 식은 아인슈타인 방정식을 스칼라항을 더하여 일반화한 것이다.^[5]

브란스-딕 이론을 완벽하게 설명하는 라그랑지안은 다음과 같다.^[5]

:

S = \frac{1}{16 \pi}\int d^4x\sqrt{-g}\left(\phi R - \frac{\omega}{\phi}\partial_a\phi\partial^a\phi\right) + \int d^4 x \sqrt{-g} \,\mathcal{L}_\mathrm{M},

여기서,

$g$ 는 계량 텐서의 행렬식이다.
$\sqrt{-g} \, d^4 x$ 는 4차원 부피 형식이다.
$\mathcal{L}_\mathrm{M}$ 은 ''물질 항'' 또는 ''물질 라그랑지안 밀도''이다.

물질 항은 일반적인 물질(예: 기체)의 기여분과 전자기장을 포함한다. 진공 영역에서 물질 항은 항등적으로 사라진다. 나머지 항은 ''중력 항''이다. 진공 장 방정식을 얻기 위해, 라그랑지안의 중력 항을 계량 텐서

g_{ab}

에 대해 변분하면 첫 번째 장 방정식을, 스칼라 장

\phi

에 대해 변분하면 두 번째 장 방정식을 얻는다.^[5]

일반 상대성 이론의 장 방정식과 달리,

\delta R_{ab}/\delta g_{cd}

항은 결과가 전체 미분이 아니기 때문에 사라지지 않는다. 다음이 성립한다.

:

\frac{\delta(\phi R)}{\delta g^{ab}} = \phi R_{ab} + g_{ab}g^{cd}\phi_{;c;d} - \phi_{;a;b}.

이 결과는 다음을 사용하여 증명할 수 있다.

:

\delta (\phi R) = R \delta \phi + \phi R_{mn} \delta g^{mn} + \phi \nabla_s (g^{mn} \delta\Gamma^s_{nm} - g^{ms}\delta\Gamma^r_{rm} ).

리만 정규 좌표에서

\delta\Gamma

s를 평가하면 6개의 개별 항이 사라진다. 스토크스 정리를 사용하여 조작하면 6개의 추가 항이 결합되어

(g_{ab}g^{cd}\phi_{;c;d} - \phi_{;a;b})\delta g^{ab}

를 얻는다.^[5]

비교를 위해, 일반 상대성 이론을 정의하는 라그랑지안은 다음과 같다.

:

S = \int d^4x \sqrt{-g} \, \left(\frac{R}{16\pi G} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right).

중력 항을

g_{ab}

에 대해 변분하면 진공 아인슈타인 장 방정식을 얻는다. 두 이론 모두에서, 완전한 장 방정식은 전체 라그랑지안의 변분을 통해 얻을 수 있다.^[5]

4. 2. 장 방정식(Field Equations)

브랜스-딕 이론에서 장 방정식은 다음과 같이 주어진다.

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2}(\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi)+\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi)

여기서 각 항은 다음과 같은 의미를 갖는다.

$\omega$ 는 무차원 결합 상수 ('''딕 결합 상수''')이다.
$g_{ab}$ 는 계량 텐서이다.
$G_{ab}$ 는 아인슈타인 텐서이다.
$T_{ab}$ 는 에너지-운동량 텐서 ( $T$ 는 그 대각합)이다.
$\phi$ 는 스칼라장이다.
$\Box$ 는 라플라스-벨트라미 연산자이다.

첫 번째 식은 스칼라장의 샘마당이 에너지-운동량 텐서의 대각합임을 의미한다. 전자기장의 에너지-운동량 텐서는 무대각합이므로, 전자기장은 스칼라장에 영향을 미치지 않는다. 두 번째 식은 아인슈타인 방정식을 스칼라항을 더하여 일반화한 것이다.

좀 더 자세한 형태의 장 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi} T_{ab} + \frac{\omega}{\phi^2}\left(\partial_a\phi \partial_b\phi - \frac{1}{2} g_{ab} \partial_c\phi\partial^c\phi\right)+ \frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi - g_{ab} \Box\phi) - g_{ab}\frac{V(\phi)}{2\phi},

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T + \frac{2V(\phi) - \phi V'(\phi)}{3+2\omega}

여기서 추가된 항은 다음과 같다.

$V(\phi)$ 는 스칼라 포텐셜이다.
$V'(\phi)$ 는 $\phi$ 에 대한 스칼라 포텐셜의 미분이다.

첫 번째 방정식은 에너지-운동량 텐서와 스칼라 장

\phi

가 시공간 곡률에 함께 어떻게 영향을 미치는지를 설명한다. 좌변, 즉 아인슈타인 텐서는 일종의 평균 곡률로 생각할 수 있다.^[1]

두 번째 방정식은 에너지-운동량 텐서의 대각합이 스칼라 장

\phi

의 근원 역할을 한다고 말한다. 전자기장은 에너지-운동량 텐서에 무대각합 항만 기여하므로, 시공간 영역에 전자기장(및 중력장)만 포함된 경우 우변이 사라지고

\phi

가 (곡선 시공간) 파동 방정식을 따른다. 따라서

\phi

의 변화는 ''전기 진공'' 영역을 통해 전파된다; 이러한 의미에서

\phi

는 ''장거리 장''이라고 말한다.^[1]

일반 상대성 이론의 장 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.

이는 일반 상대성 이론에서 어떤 사건에서의 아인슈타인 곡률은 그 사건에서의 에너지-운동량 텐서에 의해 완전히 결정됨을 의미한다. 다른 부분인 바일 곡률은 진공 영역을 가로질러 중력파로 전파될 수 있는 중력장의 일부이다. 그러나 브랜스-딕 이론에서는 아인슈타인 텐서가 질량-에너지와 운동량의 즉각적인 존재와 장거리 스칼라 장

\phi

에 의해 부분적으로 결정된다.^[1]

4. 3. 끈 이론과의 관계

끈 이론에서는 낮은 에너지의 중력에서 자연스럽게 딜라톤을 포함한다. 딜라톤은

\omega=-1

인 브랜스-딕 스칼라

\phi

와 유사하다.^[7] 다만, 딜라톤은 퍼텐셜을 가질 수 있다.

4. 4. 주요 개념

브랜스-딕 이론의 작용은 다음과 같다.^[7]

:

S=\frac1{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\phi R - \omega\frac{(\partial\phi)^2}{\phi}\right)

작용으로부터 다음과 같은 장방정식을 유도할 수 있다.^[7]

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2}(\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi)+\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi)

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

기호	설명
$\omega$	무차원 결합 상수 (딕 결합 상수)
$g_{ab}$	계량 텐서
$G_{ab}$	아인슈타인 텐서
$T_{ab}$	에너지-운동량 텐서 ( $T$ 는 그 대각합)
$\phi$	스칼라장
$\Box$	라플라스-벨트라미 연산자

즉 첫 번째 식은 스칼라장의 샘마당이 응력-에너지 텐서의 대각합임을 의미한다. (전자기장의 응력-에너지 텐서는 무대각합이므로, 전자기장은 스칼라장에 영향을 미치지 않는다.)^[7] 두 번째 식은 아인슈타인 방정식을 스칼라항을 더하여 일반화한 것이다.^[7]

끈 이론에서는 낮은 에너지의 중력에서 자연스럽게 딜라톤을 포함한다. 딜라톤은 $\omega=-1$ 인 브랜스-딕 스칼라 $\phi$ 와 유사하다.^[7] 다만, 딜라톤은 퍼텐셜을 가질 수 있다.

5. 추가 설명

(이전 단계에서 원본 소스가 제공되지 않아 빈 출력값이 생성되었습니다. 따라서 이번 단계에서도 수정할 내용이 없습니다.)

5. 1. 결합 상수 ω의 역할과 중요성

브랜스-딕 이론에서 딕 결합 상수

\omega

는 무차원 결합 상수이다. 브랜스-딕 이론의 작용은 다음과 같다.

:

S=\frac1{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\phi R - \omega\frac{(\partial\phi)^2}{\phi}\right)

작용으로부터 유도되는 장방정식에서, 스칼라장의 샘마당은 응력-에너지 텐서의 대각합임을 의미한다. 이는 전자기장의 응력-에너지 텐서는 무대각합이므로, 전자기장은 스칼라장에 영향을 미치지 않음을 뜻한다.

:

\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T

또한, 장방정식에서 아인슈타인 방정식을 스칼라항을 더하여 일반화한 것을 확인할 수 있다.

:

G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2}(\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi)+\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi)

5. 2. 스칼라장 φ의 물리적 의미

브랜스-딕 이론에서 스칼라장

\phi

는 다음과 같은 물리적 의미를 갖는다. 첫 번째 장방정식은 스칼라장의 원천이 에너지-운동량 텐서의 대각합임을 의미한다.^[1] 즉, 물질의 분포가 스칼라장을 생성한다.^[1] 전자기장의 에너지-운동량 텐서는 대각합이 0이므로, 전자기장은 스칼라장에 영향을 주지 않는다.^[1]

두 번째 장방정식은 아인슈타인 방정식에 스칼라장 항을 추가하여 일반화한 것이다.^[1] 이는 스칼라장이 중력 현상에 영향을 미침을 보여준다.^[1]

참조

_[1] 논문 Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation 1961-11-01
_[2] 서적 Gravitation and cosmology: principles and applications of the general theory of relativity https://archive.org/[...] Wiley 1971
_[3] 논문 Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity
_[4] 간행물 https://doi.org/10.1[...] 1993
_[5] 간행물 On the action of the complete Brans-Dicke theories https://arxiv.org/ab[...] 2016-11-28
_[6] 저널
_[7] 저널

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