라우에 방정식

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1. 개요
2. 라우에 방정식
- 2.1. 수학적 유도
3. 역격자 및 브래그 법칙과의 관계
- 3.1. 브래그 법칙 유도
참조

1. 개요

라우에 방정식은 결정 격자의 회절 현상을 설명하는 세 가지 조건의 방정식이다. 결정 격자의 원시 병진 벡터와 입사 및 회절 파동 벡터를 사용하여 산란 벡터를 정의하고, 이 산란 벡터가 결정 격자의 역격자를 형성한다는 것을 나타낸다. 라우에 방정식은 수학적으로 유도되며, 입사파와 회절파의 위상 일치를 통해 표현된다.

라우에 방정식은 역격자와 브래그 법칙과 밀접한 관련이 있으며, 회절이 일어나기 위한 조건을 제공한다. 탄성 산란 조건을 적용하여 브래그 평면을 유도하고, 이를 통해 브래그 법칙을 유도할 수 있다.

라우에 방정식은 X선 회절을 이용한 결정 구조 분석의 기초가 되며, 회절 패턴을 통해 역격자를 측정하고 결정 격자를 결정하는 데 활용된다. X선 결정학, 재료 과학, 분자생물학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 재료 과학 분야에서 신소재 개발 등에 응용될 수 있다.

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라우에 방정식
라우에 방정식
유형	물리학 방정식
분야	결정학, 엑스선 회절
관련 인물	막스 폰 라우에
상세 내용
설명	결정 내에서 회절이 일어나는 조건을 설명
수식	a ⋅ (k - k') = 2πh b ⋅ (k - k') = 2πk c ⋅ (k - k') = 2πl
변수	a, b, c: 결정 격자의 기본 벡터 k: 입사파의 파수 벡터 k': 회절파의 파수 벡터 h, k, l: 정수 (밀러 지수)
추가 정보
다른 이름	라우에 조건

2. 라우에 방정식

결정 격자의 원시 병진 벡터(원시 벡터)를 $\mathbf{a}\, ,\mathbf{b}\, ,\mathbf{c}$ 라고 할 때, 입사하는 빔의 파동 벡터를 $\mathbf{k}_{\mathrm{in}}$ , 회절된 빔의 파동 벡터를 $\mathbf k_{\mathrm{out}}$ 으로 표현한다. 산란 벡터 $\mathbf{\Delta k} = \mathbf k_{\mathrm{out}} - \mathbf k_{\mathrm{in}}$ 는 입사 파동 벡터와 출사 파동 벡터의 차이를 나타낸다.

'''라우에 방정식'''은 다음 세 가지 조건으로 표현된다.

: $\mathbf{\Delta k}\cdot \mathbf{a} =2\pi h$

: $\mathbf{\Delta k}\cdot \mathbf{b} =2\pi k$

: $\mathbf{\Delta k}\cdot \mathbf{c} =2\pi l$

여기서 $h, k, l$ 은 밀러 지수라고 불리는 정수이다. 각 밀러 지수는 하나의 산란 벡터를 결정하며, 라우에 방정식을 만족하는 산란 벡터는 무한히 많다. 이 산란 벡터들은 결정 격자의 역격자를 형성한다. 이러한 방정식만으로도 역격자의 기저를 찾을 수 있으며, 이를 통해 결정 격자를 결정할 수 있다. 이것이 X선 결정학의 원리이다.^[1]

2. 1. 수학적 유도

단일 주파수

\displaystyle f

(각 주파수

\displaystyle \omega =2\pi f

)의 평면파가 결정에 입사할 때, 회절된 파는 결정에서 나오는 평면파의 합으로 나타낼 수 있다. 입사파와 회절파는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

\displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }),

:

\displaystyle f_{\mathrm {out} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x}+\varphi _{\mathrm {out} }),

여기서

\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }

및

\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }

는 입사파 및 출사파에 대한 파수 벡터이고,

\displaystyle \mathbf {x}

는 위치 벡터이며,

\displaystyle t

는 시간을 나타내는 스칼라이고,

\varphi _{\mathrm {in} }

및

\varphi _{\mathrm {out} }

는 파의 초기 위상이다.

결정 격자의 각 점

\mathbf x = p\,\mathbf a+q\,\mathbf b+r\,\mathbf c

에서 입사파와 회절파의 위상이 일치해야 하므로, 다음 식이 성립한다.^[1]

:

\cos (\omega\,t-\mathbf k_{\mathrm{in}}\cdot\mathbf x+\varphi _{\mathrm {in} }) = \cos (\omega\,t-\mathbf k_{\mathrm{out}}\cdot\mathbf x+\varphi _{\mathrm {out} }),

위 식을 정리하면

\mathbf{\Delta k}\cdot \mathbf x = (\mathbf k_{\mathrm{out}}-\mathbf k_{\mathrm{in}})\cdot \mathbf x = 2\pi n

(n은 정수)을 얻는다. 이 조건이 원시 벡터

\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c

에서 만족되면, 임의의 격자점

\mathbf x

에서도 만족된다.^[1]

:

\mathbf{\Delta k} \cdot \mathbf x= \mathbf{\Delta k}\cdot (p\,\mathbf a+q\,\mathbf b+r\,\mathbf c)= p(\mathbf{\Delta k}\cdot \mathbf a) + q(\mathbf{\Delta k}\cdot \mathbf b) + r(\mathbf{\Delta k}\cdot \mathbf c)= p\,(2\pi h) + q\,(2\pi k) + r\,(2\pi l)= 2\pi(ph+qk+rl)=2\pi n,

여기서

n

은 정수

ph+qk+rl

이다.

\boldsymbol{k}_{\mathrm{i}}

를 입사광의 파수 벡터,

\boldsymbol{k}_{\mathrm{o}}

를 회절광의 파수 벡터라고 할 때, 입사광과 산란광의 파수 벡터의 차

\boldsymbol{k}_{\mathrm{o}} - \boldsymbol{k}_{\mathrm{i}} = \Delta \boldsymbol{k}

를 '''산란 벡터'''라고 부른다.

\boldsymbol{a}

,

\boldsymbol{b}

,

\boldsymbol{c}

를 결정 격자의 단위 세포 기본 벡터라고 하면, 산란 벡터에 대한 '''라우에 조건''' 또는 '''라우에 방정식'''은 정수 값인 반사 지수 (''h'', ''k'', ''l'')에 대한 다음 3개의 식으로 표현된다.

:

\begin{align}\boldsymbol{a} \cdot \Delta \boldsymbol{k} &= 2\pi h, \\\boldsymbol{b} \cdot \Delta \boldsymbol{k} &= 2\pi k, \\\boldsymbol{c} \cdot \Delta \boldsymbol{k} &= 2\pi l.\end{align}

즉, 회절이 일어나기 위해서는 산란 벡터가 결정 격자의 기본 벡터와 관련된 특정 방향이어야 한다.

3. 역격자 및 브래그 법칙과의 관계

결정 격자 $L$ 의 역격자는 $\mathbf{G}=h \mathbf{A}+k \mathbf{B}+l \mathbf{C}$ 로 표현된다. 여기서 $h, k, l$ 은 정수이고, $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 는 역격자 공간의 기저 벡터이다. 역격자 벡터와 결정 격자 벡터 사이의 직교성으로 인해 $\mathbf{G}\cdot \mathbf{x} = 2\pi n$ ( $n$ 은 정수)이 성립한다. 이는 라우에 방정식과 동일하며, 따라서 산란 벡터 $\mathbf{\Delta k}= \mathbf{k}_{\mathrm{out}} - \mathbf{k}_{\mathrm{in}}$ 는 역격자 벡터 $\mathbf{G}$ 와 같다고 할 수 있다. 즉, $\mathbf{\Delta k}= \mathbf{k}_{\mathrm{out}} - \mathbf{k}_{\mathrm{in}} = \mathbf{G}$ 이다.^[2]

라우에 조건은 탄성 산란 조건 ( $|\mathbf{k}_{\mathrm{out}}|^2=|\mathbf{k}_{\mathrm{in}}|^2$ )을 적용하여 다음과 같이 변형될 수 있다.^[2]

: $2\mathbf{k}_{\mathrm{out}}\cdot\mathbf{G}=|\mathbf{G}|^2$ 또는 $2_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf{G})=|\mathbf{G}$

이는 기하학적으로 브래그 평면을 나타낸다. 브래그 평면은 역격자 원점 $\mathbf{G}=0$ 과 $\mathbf{G}$ 사이의 직선에 수직이고, 그 선의 중간에 위치하는 평면이다.^[3]

3. 1. 브래그 법칙 유도

\mathbf{k}_{\mathrm{out}}

와

\mathbf{G}

사이의 각도를

\pi/2 - \theta

라고 하면,

\mathbf{k}_{\mathrm{out}}\cdot\mathbf{G} = |\mathbf{k}_{\mathrm{out}}||\mathbf{G}|\sin\theta

이다.^[3]

|\mathbf{k}_{\mathrm{out}}| = 2\pi/\lambda

(

\lambda

는 파장)이고,

|\mathbf{G}| = \frac{2\pi}{d}n

(

d

는 격자면 간 거리,

n

은 정수)임을 이용하면,^[3] 라우에 방정식으로부터 다음과 같이 브래그 법칙을 유도할 수 있다.

\begin{align}2\mathbf{k}_{\mathrm{out}}\cdot\mathbf{G}=|\mathbf{G}|^2 \\2|\mathbf{k}_{\mathrm{out}}||\mathbf{G}|\sin\theta =|\mathbf{G}|^2 \\2 (2\pi/\lambda) (2\pi n/d) \sin\theta =(2\pi n/d )^2 \\2d\sin\theta=n\lambda.\end{align}

^[3]

참조

_[1] 문서
_[2] 서적 Principles of condensed matter physics
_[3] 서적 Solid State Physics Saunders College Publishing

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