브래그 법칙

1. 개요

브래그 법칙은 결정성 물질에 X선 또는 유사한 파동이 입사할 때 발생하는 회절 현상을 설명하는 법칙이다. 이 법칙은 파동의 파장, 입사각, 결정면 간의 간격, 회절 차수 사이의 관계를 나타내는 2dsinθ = nλ 공식을 포함한다. 브래그 회절은 결정 격자 내 원자 평면에 의해 특정 각도로 입사한 파동이 정반사 방식으로 산란되어 보강 간섭을 일으킬 때 발생하며, 이 현상을 통해 결정 구조를 분석할 수 있다. 브래그 법칙은 X선, 중성자, 전자 회절 등 다양한 파동의 회절 현상에 적용되며, 콜로이드 결정이나 부피 브래그 격자와 같은 다른 시스템에서도 유사한 원리가 나타난다.

2. 브래그 조건

브래그 조건은 브래그 회절이 일어나는 조건을 나타내는 수식이다.

:$2d\backslash sin\backslash theta=n\backslash lambda$

여기서,

* d는 결정면의 간격
* θ는 결정면과 X선이 이루는 각도
* λ는 X선의 파장
* n은 자연수이다.

이 조건이 만족될 때, X선은 회절(반사)된다.

산란파의 각도에 따른 세기 지도를 회절 패턴이라고 한다. 산란각이 브래그 조건을 만족하면 회절 패턴에서 브래그 피크라고 하는 강한 세기가 얻어진다. 이는 보다 일반적인 라우에 방정식의 특별한 경우이며, 라우에 방정식은 추가 가정을 통해 브래그 조건으로 축소될 수 있음을 알 수 있다.

2.1. 브래그 조건의 기원 (또는 광로차에 의한 설명)

아래의 공식을 브래그 조건이라고 한다.

:$2d\backslash sin\backslash theta=n\backslash lambda$

여기서 *d*는 결정면 사이의 간격, *θ*는 결정면과 입사된 빛(X선) 사이의 각도, *λ*는 빛(X선)의 파장, *n*은 정수이다. 이 조건이 만족될 경우 빛은 회절한다. 단, 입사각과 반사각은 같다.

어떤 종류의 단색 파동이 면 간 거리가 d인 격자점에 입사각 θ로 입사한다고 가정하자. 입사된 광선과 반사된 광선 사이의 경로차는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$(AB+BC)\; -\; (AC\text{'})\; \backslash ,$

이 경로차가 파장의 정수배와 같으면, 두 파동은 같은 위상을 가지게 되어 보강 간섭을 일으킨다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:$(AB+BC)\; -\; (AC\text{'})\; =\; n\backslash lambda\; \backslash ,$

피타고라스 정리와 삼각함수 공식을 이용하면,

:$AB=\backslash frac\{d\}\{\backslash sin\backslash theta\}\backslash ,$, $BC=\backslash frac\{d\}\{\backslash sin\backslash theta\}\backslash ,$, $AC=\backslash frac\{2d\}\{\backslash tan\backslash theta\}\backslash ,$ 이고,

:$AC\text{'}=AC\backslash cdot\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{2d\}\{\backslash tan\backslash theta\}\backslash cos\backslash theta\backslash ,$ 이다.

위 식들을 경로차 공식에 대입하고 정리하면,

:$n\backslash lambda=\backslash frac\{2d\}\{\backslash sin\backslash theta\}-\backslash frac\{2d\}\{\backslash tan\backslash theta\}\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{2d\}\{\backslash sin\backslash theta\}(1-\backslash cos^2\backslash theta)=\backslash frac\{2d\}\{\backslash sin\backslash theta\}\backslash sin^2\backslash theta$

최종적으로 다음과 같은 브래그 법칙을 얻을 수 있다.

:$n\backslash lambda=2d\backslash cdot\backslash sin\backslash theta\; \backslash ,$

브래그 회절은 원자 간 간격과 비슷한 파장의 방사선이 결정성 물질 내의 원자 평면에 의해 정반사 방식으로 산란되어 보강 간섭을 일으킬 때 발생한다.

위 그림에서 동일한 파장과 위상을 가진 두 빔이 결정에 입사하여 다른 두 원자에서 산란된다. 아래쪽 빔은 2dsinθ만큼 더 이동하는데, 이 거리가 파장의 정수배일 때 보강 간섭이 일어난다. 즉, 산란파는 특정 각도에서 위상이 유지되며 보강 간섭한다.

하지만 실제 물질에는 많은 원자 평면이 존재하기 때문에, 보강 간섭에서 상쇄 간섭으로의 전환은 점진적이지 않고 날카로운 피크 형태로 나타난다.

3. 역사

1913년 윌리엄 헨리 브래그와 로렌스 브래그 부자는 결정성 고체가 특정 파장과 입사각에서 강한 X-선 반사를 일으킨다는 것을 발견했다.(액체로 생성된 패턴과는 대조적임) 로렌스 브래그는 이 현상을 결정이 일정한 간격의 평면으로 구성되어 있다는 모델로 설명하고, 브래그 조건을 제시했다. 브래그 부자는 이 업적으로 1915년 노벨 물리학상을 수상했다. 이들은 공동으로 수상한 유일한 부자 팀이다.

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브래그 회절은 이후 X-선 결정학뿐만 아니라 중성자 회절, 전자 회절 등 다양한 분야로 확장되어 물질 구조 연구에 활용되고 있다. 특히, 전자 회절의 경우, 전자가 X선보다 훨씬 강하게 고체와 상호작용하기 때문에, 더 얇은 시료의 분석에 유리하다.

4. 콜로이드 결정에 의한 가시광 산란

콜로이드 결정은 장거리에 걸쳐 형성되는 고도로 정렬된 입자 배열이다. 콜로이드 결정은 원자 또는 분자 대응물과 대략 유사한 외관과 특성을 갖는다. 오랫동안, 반발력 쿨롱 상호 작용으로 인해 전하를 띤 고분자가 수용액 환경에서 장거리 결정과 같은 상관 관계를 나타낼 수 있다는 사실이 알려져 왔으며, 입자 간의 분리 거리는 개별 입자 직경보다 상당히 클 때가 많다. 구형 입자의 주기적인 배열은 간극 공극(입자 사이의 공간)을 생성하며, 이 공극은 간극 간격이 입사 광파와 같은 차수일 때 가시 광선에 대한 자연적인 회절 격자 역할을 한다. 이 경우 밝은 채색 효과(또는 색상의 변화)는 결정성 고체에서 X-선의 산란과 유사한 방식으로 브래그 법칙에 따라 가시 광선의 회절과 보강 간섭에 기인한다. 이러한 효과는 면 간격이 실제 결정의 경우보다 훨씬 크기 때문에 가시광선 파장에서 발생한다. 귀중한 오팔은 광학 효과가 있는 콜로이드 결정의 한 예이다.

5. 부피 브래그 격자 (Volume Bragg Grating)

부피 홀로그래픽 격자(VHG) 또는 부피 브래그 격자(VBG)는 굴절률이 주기적으로 변화하는 부피로 구성된다. 굴절률 변조의 방향에 따라 VBG는 작은 대역폭의 파장을 전송하거나 반사하는 데 사용될 수 있다. 부피 홀로그램에 적용된 브래그의 법칙은 어떤 파장이 회절될지 결정한다.

:2Λsin(θ + φ)=mλ_B

여기서 m은 브래그 차수(양의 정수), λ_B는 회절된 파장, Λ는 격자의 간격, θ는 입사 빔과 입사 표면의 법선 사이의 각도, φ는 법선과 격자 벡터 사이의 각도이다. 브래그의 법칙과 일치하지 않는 방사선은 VBG를 통과하며 회절되지 않는다. 출력 파장은 입사각 (θ)을 변경하여 수백 나노미터 이상으로 조정할 수 있다. VBG는 광범위하게 조정 가능한 레이저 소스를 생성하거나 전역 하이퍼스펙트럼 영상을 수행하는 데 사용되고 있다 (Photon etc. 참조).

6. 선택 규칙과 실제 결정학

X선 결정학에서는 브래그 법칙을 이용하여 결정 구조를 분석한다. 결정 구조에 따라 특정한 밀러 지수 (h, k, l)를 갖는 결정면에서만 브래그 회절이 일어나는 선택 규칙이 존재한다. 예를 들어, 단순 입방 구조는 모든 밀러 지수에서 회절이 가능하지만, 체심 입방 구조는 h+k+l이 짝수인 경우에만 회절이 가능하다.

다양한 입방 브라베 격자에 대한 밀러 지수의 선택 규칙은 다른 곳에서 참조하거나 도출할 수 있다. 염화칼륨(KCl)은 면심 입방 브라베 격자를 갖지만, K⁺ 이온과 Cl⁻ 이온은 전자의 수가 같고 크기가 매우 비슷하여 회절 패턴이 격자 매개변수의 절반을 가진 단순 입방 구조와 본질적으로 동일하게 된다. 다른 결정계에 대한 격자 간격은 여기에서 찾을 수 있다.

6.1. 밀러 지수에 대한 선택 규칙 (표)