라플라스 방법

3.1. 정식화 및 증명

Laplace^영어 방법의 정식화 및 증명은 다음과 같다.

$f(x)$가 구간 $[a,\; b]$에서 두 번 연속 미분 가능하고, $x\_0\; \backslash in\; (a,\; b)$에서 유일한 최댓값을 가지며 $f$(x_0) < 0이면 다음이 성립한다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash int\_a^b\; e^\{nf(x)\}\; \backslash ,\; dx\}\{e^\{nf(x\_0)\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\backslash left(-f$(x_0)\right)}}}= 1.

증명은 하한과 상한을 구하여 극한을 취하는 방식으로 이루어진다.

하한: $\backslash varepsilon\; >\; 0$이라고 하자. $f$는 연속이므로 이면 $f$(c) \ge f(x_0) - \varepsilon를 만족하는 $\backslash delta\; >0$가 존재한다. 테일러 정리에 의해 모든 $x\; \backslash in\; (x\_0\; -\; \backslash delta,\; x\_0\; +\; \backslash delta)$에 대해,

:$f(x)\; \backslash ge\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}(f$(x_0) - \varepsilon)(x-x_0)^2.

그러면 다음 하한을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
\int_a^b e^{nf(x)} \, dx &\ge \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} e^{nf(x)} \, dx \\
&\ge e^{nf(x_0)} \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} e^{\frac{n}{2}(f(x_0) - \varepsilon)(x-x_0)^2} \, dx \\
&= e^{nf(x_0)} \sqrt{\frac{1}{n(-f(x_0) + \varepsilon)}} \int_{-\delta \sqrt{n(-f(x_0) + \varepsilon)} }^{\delta \sqrt{n(-f(x_0) + \varepsilon)} } e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy
\end{align}

여기서 마지막 등식은 변수 변환 $y=\; \backslash sqrt\{n(-f$(x_0) + \varepsilon)} (x-x_0)을 통해 얻었다. $f$(x_0)<0이므로 음수의 제곱근을 취할 수 있다.

위 부등식의 양변을 $e^\{nf(x\_0)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{n(-f$(x_0))}}으로 나누고 극한을 취하면 다음을 얻는다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash int\_a^b\; e^\{nf(x)\}\; \backslash ,dx\}\{e^\{nf(x\_0)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n(-f$(x_0))}}} \ge \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\delta\sqrt{n(-f(x_0) + \varepsilon)} }^{\delta \sqrt{n(-f(x_0) + \varepsilon)}} e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy \, \cdot \sqrt{\frac{-f(x_0)}{-f(x_0) + \varepsilon}} = \sqrt{\frac{-f(x_0)}{-f(x_0) + \varepsilon}}

이는 임의의 $\backslash varepsilon$에 대해 참이므로 하한 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash int\_a^b\; e^\{nf(x)\}\; \backslash ,\; dx\}\{\; e^\{nf(x\_0)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n(-f$(x_0))}}} \ge 1을 얻는다.

상한: 상한 증명은 하한과 유사하지만, $\backslash varepsilon$이 $f$(x_0) + \varepsilon < 0를 만족할 만큼 작아야 한다. $f$의 연속성과 테일러 정리에 의해 이면

:$f(x)\; \backslash le\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (f$(x_0) + \varepsilon)(x-x_0)^2.

또한, $|x-x\_0|\backslash ge\; \backslash delta$이면 $f(x)\; \backslash le\; f(x\_0)\; -\; \backslash eta$를 만족하는 $\backslash eta\; >0$가 존재한다.

그러면 다음 상한을 계산할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\int_a^b e^{nf(x)} \, dx &\le \int_a^{x_0-\delta} e^{nf(x)} \, dx + \int_{x_0-\delta}^{x_0 + \delta} e^{nf(x)} \, dx + \int_{x_0 + \delta}^b e^{nf(x)} \, dx \\
&\le (b-a)e^{n(f(x_0)-\eta)} + \int_{x_0-\delta}^{x_0 + \delta} e^{n f(x) } \, dx \\
&\le (b-a)e^{n(f(x_0)-\eta)} + e^{nf(x_0)} \int_{x_0-\delta}^{x_0 + \delta} e^{\frac{n}{2}(f(x_0)+\varepsilon)(x-x_0)^2} \, dx\\
&\le (b-a)e^{n(f(x_0)-\eta)} + e^{nf(x_0)} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{n}{2}(f(x_0)+\varepsilon)(x-x_0)^2} \, dx \\
&\le (b-a)e^{n(f(x_0)-\eta)} + e^{nf(x_0)} \sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f(x_0) - \varepsilon)}}
\end{align}

위 부등식의 양변을 $e^\{nf(x\_0)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{n\; (-f$(x_0))}}으로 나누고 극한을 취하면 다음을 얻는다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash int\_a^b\; e^\{nf(x)\}\; \backslash ,\; dx\}\{e^\{nf(x\_0)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n(-f$(x_0))}}} \le \lim_{n \to \infty} (b-a) e^{-\eta n} \sqrt{\frac{n(-f(x_0))}{2\pi}} + \sqrt{\frac{-f(x_0)}{-f(x_0) - \varepsilon}} = \sqrt{\frac{-f(x_0)}{-f(x_0) - \varepsilon}}

$\backslash varepsilon$은 임의적이므로 상한 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash int\_a^b\; e^\{nf(x)\}\; \backslash ,\; dx\}\{e^\{nf(x\_0)\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{n\; (-f$(x_0))}}} \le 1을 얻는다.

하한과 상한을 결합하면 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash int\_a^b\; e^\{nf(x)\}\; \backslash ,\; dx\}\{e^\{nf(x\_0)\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\backslash left(-f$(x_0)\right)}}}= 1을 얻는다.

무한 구간의 경우, $n\; =\; 1$에 대해 이고, $|x\; -\; x\_0|\; \backslash ge\; \backslash delta$이면 $f(x)\; \backslash le\; f(x\_0)\; -\; \backslash eta$를 만족하는 $\backslash eta\; >\; 0$가 존재해야 한다. 이 조건 하에 위와 동일한 방식으로 증명이 가능하다.

3.2. 라플라스 방법의 핵심 개념

라플라스 방법은 특정 형태의 적분을 근사하는 기법으로, 특히 적분 안에 지수 함수가 포함된 경우에 유용하다. 이 방법의 핵심은 다음과 같은 몇 가지 개념에 기반한다.

* 정지점 근사: 함수 $f(x)$가 $x\_0$에서 유일한 전역 최댓값을 갖고, $M>0$이 상수일 때, 다음 두 함수를 고려한다.

:$\backslash begin\{align\}$
g(x) &= Mf(x), \\
h(x) &= e^{Mf(x)}.
\end{align}

$x\_0$는 $g$와 $h$의 전역 최댓값이기도 하다. $M$이 충분히 클 때, $e^\{M(f(x)\; -\; f(x\_0))\}$는 정지점($x\_0$) 근처에서 $e^\{-\backslash pi\; y^2\}$에 근접한다. 즉, 함수의 최댓값 근처에서 함수를 가우스 함수로 근사할 수 있다.

* 범위 축소: $M$이 커질수록 적분에 유의미한 영향을 주는 $x$의 범위는 $x\_0$ 주변으로 작아진다. 이는 $h(x)$에 대한 비율이 $M$이 증가함에 따라 기하급수적으로 증가하는 반면, $g(x)$에 대한 비율은 변하지 않기 때문이다.
:$\backslash begin\{align\}$
\frac{g(x_0)}{g(x)} &= \frac{M f(x_0)}{M f(x)} = \frac{f(x_0)}{f(x)}, \\[4pt]
\frac{h(x_0)}{h(x)} &= \frac{e^{M f(x_0)}}{e^{M f(x)}} = e^{M(f(x_0) - f(x)))}.
\end{align}
* 나머지 적분 수렴: 라플라스 방법의 적분이 수렴하는 경우, 정지점 주변이 아닌 영역의 기여는 $M$이 증가함에 따라 0으로 수렴한다.

이러한 개념들을 바탕으로, 라플라스 방법은 다음과 같은 근사식을 제공한다.

:$\backslash int\_a^b\; e^\{M\; f(x)\}\backslash ,\; dx\backslash approx\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{M|f$(x_0)|}}e^{M f(x_0)} \text { as } M\to\infty.

여기서 $f$(x_0)는 $f(x)$의 $x\_0$에서의 이계 도함수이다. 이 근사식은 $M$이 클수록 더 정확해진다.

4. 다양한 형태

Laplace's method^영어은 다음과 같이 표현되기도 한다.

:$\backslash int\_a^b\; h(x)\; e^\{M\; g(x)\}\backslash ,\; dx\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{M|g\text{'}\text{'}(x\_0)|\}\}\; h(x\_0)\; e^\{M\; g(x\_0)\}\; \backslash \; \backslash text\; \{\; as\; \}\; M\backslash to\backslash infty$

여기서 $h$는 양수이다.

근사의 정확도는 적분 변수에 따라 달라진다. 즉, $g(x)$에 유지되는 것과 $h(x)$에 들어가는 것에 따라 달라진다.

다변수의 경우, $\backslash mathbf\{x\}$가 $d$차원 벡터이고 $f(\backslash mathbf\{x\})$가 $\backslash mathbf\{x\}$의 스칼라 함수인 경우, 라플라스 방법은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash int\; h(\backslash mathbf\{x\})e^\{M\; f(\backslash mathbf\{x\})\}\backslash ,\; d\backslash mathbf\{x\}\; \backslash approx\; \backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\}\{M\}\backslash right)^\{d/2\}\; \backslash frac\{h(\backslash mathbf\{x\}\_0)e^\{M\; f(\backslash mathbf\{x\}\_0)\}\}\{\backslash left|-H(f)(\backslash mathbf\{x\}\_0)\backslash right|^\{1/2\}\}\; \backslash text\; \{\; as\; \}\; M\backslash to\backslash infty$

여기서 $H(f)(\backslash mathbf\{x\}\_0)$는 $\backslash mathbf\{x\}\_0$에서 평가된 $f$의 헤세 행렬이고 $|\backslash cdot|$는 행렬식을 나타낸다. 단변수의 경우와 유사하게, 헤세 행렬은 음의 정부호여야 한다.

$\backslash mathbf\{x\}$가 $d$차원 벡터를 나타내지만, 항 $d\backslash mathbf\{x\}$는 무한소 부피, 즉 $d\backslash mathbf\{x\}\; :=\; dx\_1dx\_2\backslash cdots\; dx\_d$를 나타낸다.

5. 최급강하법 (Steepest Descent Method)

복소해석학, 특히 코시 적분 공식을 사용하는 라플라스 방법의 확장은 (점근적으로 큰 M에 대해) 등가 적분을 위해 최급강하의 윤곽선을 찾으며, 이는 선적분으로 표현된다. 특히, $f$의 도함수가 0이 되는 점 x₀가 실수선상에 존재하지 않는 경우, 적분 윤곽선을 최적 윤곽선으로 변형해야 할 수 있다. 주요 아이디어는 주어진 적분의 계산을, 적어도 점근적으로, 명시적으로 평가할 수 있는 더 간단한 적분으로 줄이는 것이다.

복소 z-평면에 대한 적절한 공식은 다음과 같다.

:$\backslash int\_a^b\; e^\{M\; f(z)\}\backslash ,\; dz\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{-Mf$(z_0)}}e^{M f(z_0)} \text{ as } M\to\infty.

z₀에서 안장점을 통과하는 경로에 대해. 두 번째 도함수의 방향을 나타내기 위해 명시적으로 마이너스 부호가 나타난다. 피적분 함수가 유리형 함수인 경우, 윤곽선을 변형하는 동안 통과한 극점에 해당하는 잔류물을 추가해야 할 수 있다.

최급강하법의 확장으로 소위 비선형 정상 위상/최급강하법이 있다. 여기서 적분 대신 리만-힐베르트 인수분해 문제의 점근적 해를 평가해야 한다.

복소 구의 윤곽선 C, 해당 윤곽선에서 정의된 함수 $f$, 그리고 무한대와 같은 특수 점이 주어지면, 윤곽선 C에서 점프가 지정되고 무한대에서 주어진 정규화를 가진 정칙 함수 M을 찾는다. $f$와 따라서 M''이 스칼라가 아닌 행렬이라면, 이것은 일반적으로 명시적인 해를 허용하지 않는 문제이다.

그런 다음 선형 정상 위상/최급강하법과 같은 방식으로 점근적 평가가 가능하다. 아이디어는 주어진 리만-힐베르트 문제의 해를 더 간단하고 명시적으로 풀 수 있는 리만-힐베르트 문제의 해로 점근적으로 줄이는 것이다. 코시 정리는 점프 윤곽선의 변형을 정당화하는 데 사용된다.

비선형 정상 위상은 1993년 Deift와 Zhou에 의해 Its의 이전 연구를 기반으로 도입되었다. 비선형 최급강하법은 2003년 Kamvissis, K. McLaughlin, P. Miller에 의해 Lax, Levermore, Deift, Venakides, Zhou의 이전 연구를 기반으로 도입되었다. 선형의 경우와 마찬가지로 "최급강하 윤곽선"은 최소-최대 문제를 푼다. 비선형의 경우, 이들은 "S-곡선"이 된다(80년대에 Stahl, Gonchar 및 Rakhmanov에 의해 다른 맥락에서 정의됨).

비선형 정상 위상/최급강하법은 솔리톤 방정식 및 적분 가능 모델, 랜덤 행렬 및 조합론 이론에 적용된다.

6. 중앙값 근사 일반화

일반화 과정에서 적분 평가를 밀도 함수 :$e^\{Mf(x)\}$를 갖는 분포의 노름을 찾는 것과 동일하게 간주한다.

누적 분포 $F(x)$를 표기하고, 밀도 함수 :$e^\{-g\; -\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}y^2\}$를 갖는 미분 동형 가우스 분포가 있다면, 노름은 다음과 같다.

:$\backslash sqrt\{2\backslash pi\backslash gamma^\{-1\}\}e^\{-g\}$

그리고 해당 미분 동형 사상은

:$y(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash gamma\}\}\backslash Phi^\{-1\}\{\backslash left(\backslash frac\{F(x)\}\{F(\backslash infty)\}\backslash right)\},$

이며, 여기서 $\backslash Phi$는 누적 표준 정규 분포 함수를 나타낸다.

일반적으로, 가우스 분포와 미분 동형인 모든 분포는 밀도 함수 :$e^\{-g\; -\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}y^2(x)\}y\text{'}(x)$를 가지며, 중앙값 점은 가우스 분포의 중앙값으로 매핑된다. 중앙값 점에서 주어진 차수까지 밀도 함수의 로그와 그 도함수를 일치시키면 $\backslash gamma$와 $g$의 근사값을 결정하는 일련의 방정식이 생성된다.

이 근사는 2019년 D. 마코곤(D. Makogon)과 C. 모라이스 스미스(C. Morais Smith)에 의해 주로 상호 작용하는 페르미온 시스템에 대한 분배 함수 평가의 맥락에서 소개되었다.

7. 복소 적분

$t\; \backslash gg\; 1$일 때, t = iu로 치환하고 변수 $s=c+ix$를 변경하여 양방향 라플라스 변환을 얻는다.

:$\backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; g(c+ix)e^\{-ux\}e^\{icu\}\; \backslash ,\; dx.$

그런 다음 g(c + ix)를 실수 부분과 허수 부분으로 나누고, u = t/i를 복구한다. 이는 역 라플라스 변환, 페론 공식 및 복소 적분에 유용하다.

8. 역사

피에르시몽 라플라스가 1774년에 도입하였다.

9. 응용: 스털링 근사

라플라스 방법을 사용하여 큰 정수 N에 대한 스털링 근사를 유도할 수 있다.

:$N!\backslash approx\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; N\}\; (\backslash frac\{N\}\{e\})^N\; \backslash ,$

감마 함수의 정의에 의해 다음이 성립한다.

:$N!\; =\; \backslash Gamma(N+1)=\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-x\}\; x^N\; \backslash ,\; dx.$

변수 치환 $x=Nz$를 하면 $dx\; =\; Ndz$이므로, 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
N! &= \int_0^\infty e^{-Nz} (Nz)^N N \, dz \\
&= N^{N+1} \int_0^\infty e^{-Nz} z^N \, dz \\
&= N^{N+1} \int_0^\infty e^{-Nz} e^{N\ln z} \, dz \\
&= N^{N+1} \int_0^\infty e^{N(\ln z-z)} \, dz.
\end{align}

이 적분은 라플라스 방법에 필요한 형식이며, 여기서

:$f(z)\; =\; \backslash ln\{z\}-z$

는 두 번 미분 가능하다.

:$f\text{'}(z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{z\}-1,$
:$f$(z) = -\frac{1}{z^2}.

$f(z)$의 최댓값은 z''₀ = 1에서 나타나고, $f(z)$의 이계도함수는 이 점에서 −1의 값을 갖는다. 따라서 다음을 얻는다.

:$N!\; \backslash approx\; N^\{N+1\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{N\}\}\; e^\{-N\}=\backslash sqrt\{2\backslash pi\; N\}\; N^N\; e^\{-N\}.$