러브파

1. 개요

러브파는 선형 탄성 매질 내에서 발생하는 표면파의 한 종류로, 지진파의 일종이다. 러브파는 횡파의 형태를 가지며, 입자 운동이 파동의 전파 방향에 수직인 수평선상에서 발생한다. 러브파는 운동량 보존 방정식을 만족하는 특수한 해로, 경계 조건과 층상 구조의 매질 내에서 응력 성분의 연속성을 고려하여 해를 구할 수 있다. 러브파는 지구 표면에서 전파되며, 지진 진원으로부터 멀리 떨어진 지역에서 가장 파괴적인 영향을 미칠 수 있다. 러브파의 진폭은 깊이에 따라 감소하며, 지진 발생 시 동물들이 체적파를 먼저 감지하여 지진을 예측할 수 있다는 설이 있다.

2. 기초 이론

러브파는 선형탄성 물질에서 선형 운동량 보존 법칙을 따르는 특수한 파동이다. 물체력이 0이라고 가정할 때, 선형 운동량 보존 법칙은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\backslash cdot(\backslash mathsf\{C\}:\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\backslash mathbf\{u\})\; =\; \backslash rho~\backslash ddot\{\backslash mathbf\{u\}\}$

여기서 $\backslash mathbf\{u\}$는 변위 벡터, $\backslash mathsf\{C\}$는 강성 텐서, $\backslash rho$는 밀도를 나타낸다. 러브파는 이 방정식을 만족하는 특수한 해($\backslash mathbf\{u\}$)에 해당한다.

러브파는 직교 좌표계($x,y,z$)에서 $z$축 방향으로만 탄성 특성이 변하는 등방성 선형 탄성 매질에서 발생한다. 이 경우 라메 상수와 밀도는 $\backslash lambda(z),\; \backslash mu(z),\; \backslash rho(z)$로 표현된다.

2.1. 등방성 선형 탄성 매질에서의 러브파

탄성 특성이 z축 방향으로만 변하는 등방성 선형 탄성 매질을 가정하면, 러브파는 다음과 같은 특징을 갖는다.

* 변위는 (x, z) 평면에 수직인 y 방향으로만 발생한다. 즉, 수평 전단파(SH파)의 형태이다.
* 진폭은 깊이에 따라 지수적으로 감소하며, 표면 근처에 집중된다.
* 파수(k)와 진동수(ω)를 가진 여러 고조파의 중첩으로 표현될 수 있다.

가장 단순한 형태의 고조파는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash hat\{v\}(x,z,t)\; =\; V(k,\; z,\; \backslash omega)\backslash ,\backslash exp[i(k\; x\; -\; \backslash omega\; t)]$

여기서 $i\; =\; \backslash sqrt\{-1\}$ (허수 단위)이다.

이러한 변위에 의해 발생한 응력은 다음과 같다.

:$$
\sigma_{xx} = 0 ~,~~ \sigma_{yy} = 0 ~,~~ \sigma_{zz} = 0 ~, ~~ \tau_{zx} = 0
~,~~ \tau_{yz} = \mu(z)\,\frac{dV}{dz}\,\exp[i(k x - \omega t)]
~,~~ \tau_{xy} = i k \mu(z) V(k, z, \omega) \,\exp[i(k x - \omega t)] \,.


가정된 변위를 운동량 보존 방정식에 대입하면 다음과 같이 단순화된 방정식을 얻을 수 있다.

:$$
\frac{d}{dz}\left[\mu(z)\,\frac{dV}{dz}\right] = [k^2\,\mu(z) - \omega^2\,\rho(z)]\,V(k,z,\omega) \,.


러브파에 대한 경계 조건은 자유 표면 (z = 0)에서의 표면 견인이 0이어야 한다는 것이다. 또한 층 매질에서 응력 성분 $\backslash tau\_\{yz\}$가 층의 경계면에서 연속적이어야 한다.

2.2. 운동량 보존 방정식 및 경계 조건

선형탄성 물질의 선형 운동량 보존은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\backslash cdot(\backslash mathsf\{C\}:\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\backslash mathbf\{u\})\; =\; \backslash rho~\backslash ddot\{\backslash mathbf\{u\}\}$
여기서 $\backslash mathbf\{u\}$는 벡터 변위이고 $\backslash mathsf\{C\}$는 탄성 강도 텐서이다. 러브파 $\backslash mathbf\{u\}$는 위 방정식을 만족시키는 특수해에 해당한다.

탄성 특성이 $z$축으로만 연관되어 있는 함수인 등방성 선형 탄성 매질을 생각하자. 이러면 라메 상수와 밀도는 $\backslash lambda(z),\; \backslash mu(z),\; \backslash rho(z)$로 표현할 수 있다. 시간 $t$에 따른 변위 $(u,v,w)$의 러브파 파형은 다음 함수와 같이 된다.
:$u(x,y,z,t)\; =\; 0\; ~,~~\; v(x,y,z,t)\; =\; \backslash hat\{v\}(x,z,t)\; ~,~~\; w(x,y,z,t)\; =\; 0\; \backslash ,.$

즉 이 파는 $(x,z)$ 평면에 수직인 평행전단파(Antiplane shear wave)가 된다. $\backslash hat\{v\}(x,z,t)$ 함수는 다양한 파수 $k$와 진동수 $\backslash omega$를 가진 수많은 고조파의 중첩 형태로 표현할 수 있다. 여기서 가장 단순한 고조파인 다음 파동만 생각해 보자.
:$\backslash hat\{v\}(x,z,t)\; =\; V(k,\; z,\; \backslash omega)\backslash ,\backslash exp[i(k\; x\; -\; \backslash omega\; t)]$

여기서 $i\; =\; \backslash sqrt\{-1\}$이다. 이 변위로 인한 변형력은 다음과 같다.
:$$
\sigma_{xx} = 0 ~,~~ \sigma_{yy} = 0 ~,~~ \sigma_{zz} = 0 ~, ~~ \tau_{zx} = 0
~,~~ \tau_{yz} = \mu(z)\,\frac{dV}{dz}\,\exp[i(k x - \omega t)]
~,~~ \tau_{xy} = i k \mu(z) V(k, z, \omega) \,\exp[i(k x - \omega t)] \,.

여기서 추정된 변위를 운동량 보존 방정식에 대입하면 다음과 같은 단순한 방정식으로 정리할 수 있다.
:$\backslash frac\{d\}\{dz\}\backslash left[\backslash mu(z)\backslash ,\backslash frac\{dV\}\{dz\}\backslash right]\; =\; [k^2\backslash ,\backslash mu(z)\; -\; \backslash omega^2\backslash ,\backslash rho(z)]\backslash ,V(k,z,\backslash omega)\; \backslash ,.$

러브파의 경계조건은 자유표면$(z\; =\; 0)$에서 견인력(Traction)이 반드시 0이어야 한다는 것이다. 또한 층 매질에서 응력 성분 $\backslash tau\_\{yz\}$이 각 층 경계마다 전부 연속적이어야 한다. $V$의 2차 미분방정식을 2계 1차 미분방정식으로 표현하기 위해 응력 성분을 다음과 같이 표현한다.
:$\backslash tau\_\{yz\}\; =\; T(k,\; z,\; \backslash omega)\backslash ,\backslash exp[i(k\; x\; -\; \backslash omega\; t)]$

그럼 다음과 같이 운동량 방정식의 1차 방정식 형태를 얻게 된다.
:$$
\frac{d}{dz}\begin{bmatrix} V \\ T \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & 1/\mu(z) \\ k^2\,\mu(z) - \omega^2\,\rho(z) & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} V \\ T \end{bmatrix} \,.


위 방정식을 고윳값 문제로 풀면 수치해석학적으로 고유함수를 찾을 수 있는 방정식이 된다.

2.3. 고윳값 문제로의 변환

선형탄성 물질의 선형 운동량 보존 방정식은 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\backslash cdot(\backslash mathsf\{C\}:\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\backslash mathbf\{u\})\; =\; \backslash rho~\backslash ddot\{\backslash mathbf\{u\}\}$
여기서 $\backslash mathbf\{u\}$는 벡터 변위, $\backslash mathsf\{C\}$는 탄성 강도 텐서이다. 이 식에서 물체력은 0으로 가정한다. 러브파 $\backslash mathbf\{u\}$는 이 방정식을 만족하는 특수해이다.

직교 좌표계($x,y,z$)에서 탄성 특성이 $z$축으로만 연관된 함수인 등방성 선형 탄성 매질을 고려하면, 라메 상수와 밀도는 $\backslash lambda(z),\; \backslash mu(z),\; \backslash rho(z)$로 표현할 수 있다. 시간 $t$에 따른 변위 $(u,v,w)$의 러브파 파형은 다음과 같다.
:$u(x,y,z,t)\; =\; 0\; ~,~~\; v(x,y,z,t)\; =\; \backslash hat\{v\}(x,z,t)\; ~,~~\; w(x,y,z,t)\; =\; 0\; \backslash ,.$
이는 $(x,z)$ 평면에 수직인 평행전단파(Antiplane shear wave)이다. $\backslash hat\{v\}(x,z,t)$ 함수는 다양한 파수 $k$와 진동수 $\backslash omega$를 가진 고조파의 중첩으로 표현할 수 있는데, 가장 단순한 고조파는 다음과 같다.
:$\backslash hat\{v\}(x,z,t)\; =\; V(k,\; z,\; \backslash omega)\backslash ,\backslash exp[i(k\; x\; -\; \backslash omega\; t)]$
여기서 $i\; =\; \backslash sqrt\{-1\}$이다. 이 변위로 인한 변형력은 다음과 같다.
:$$
\sigma_{xx} = 0 ~,~~ \sigma_{yy} = 0 ~,~~ \sigma_{zz} = 0 ~, ~~ \tau_{zx} = 0
~,~~ \tau_{yz} = \mu(z)\,\frac{dV}{dz}\,\exp[i(k x - \omega t)]
~,~~ \tau_{xy} = i k \mu(z) V(k, z, \omega) \,\exp[i(k x - \omega t)] \,.

이 변위를 운동량 보존 방정식에 대입하면 다음과 같은 방정식으로 정리된다.
:$\backslash frac\{d\}\{dz\}\backslash left[\backslash mu(z)\backslash ,\backslash frac\{dV\}\{dz\}\backslash right]\; =\; [k^2\backslash ,\backslash mu(z)\; -\; \backslash omega^2\backslash ,\backslash rho(z)]\backslash ,V(k,z,\backslash omega)\; \backslash ,.$

러브파의 경계 조건은 자유표면$(z\; =\; 0)$에서 견인력(Traction)이 0이어야 하고, 층 매질에서 응력 성분 $\backslash tau\_\{yz\}$이 각 층 경계마다 연속적이어야 한다는 것이다. $V$의 2차 미분방정식을 2계 1차 미분 방정식으로 표현하기 위해 응력 성분을 다음과 같이 정의한다.
:$\backslash tau\_\{yz\}\; =\; T(k,\; z,\; \backslash omega)\backslash ,\backslash exp[i(k\; x\; -\; \backslash omega\; t)]$

그러면 다음과 같은 1차 방정식 형태의 운동량 방정식을 얻는다.
:$$
\frac{d}{dz}\begin{bmatrix} V \\ T \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & 1/\mu(z) \\ k^2\,\mu(z) - \omega^2\,\rho(z) & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} V \\ T \end{bmatrix} \,.


이 방정식을 고윳값 문제로 풀면 수치해석학적으로 고유함수를 찾을 수 있다.

3. 러브파의 특징

러브파는 전파 방향에 수직인 수평선을 형성하는 횡파이다. 물질 내부로 더 깊이 들어갈수록 운동은 "절점"으로 감소할 수 있으며, 이후 입자의 더 깊은 층을 검사함에 따라 번갈아 증가 및 감소한다. 진폭, 즉 최대 입자 운동은 종종 깊이에 따라 빠르게 감소한다.

큰 지진은 지구를 여러 번 돌고 소멸되기 전에 러브파를 생성할 수 있으며, 지진의 진원이나 진앙의 직접적인 지역 밖에서 가장 파괴적이다. 러브파는 대부분의 사람들이 지진 동안 직접 느끼는 것이다.

과거에는 고양이와 개와 같은 동물들이 지진이 일어나기 전에 예측할 수 있다고 종종 생각되었다. 그러나 그들은 인간보다 지반 진동에 더 민감하며, 러브파에 앞서 나타나는 P파 및 S파와 같은 더 미세한 체적파를 감지할 수 있다.

3.1. 진폭의 감소

러브파는 지구 표면에서 이동하기 때문에, 파동의 강도(또는 진폭)는 지진의 깊이에 따라 지수적으로 감소한다. 그러나 표면에 국한되기 때문에 진폭은 거리의 제곱근에 반비례하여 감소한다. 즉, 진폭은 $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{r\}\}$로만 감소하며, 여기서 $r$은 파동이 지진으로부터 이동한 거리를 나타낸다. 따라서 표면파는 3차원으로 이동하는 체적파보다 거리에 따라 더 느리게 감소한다.

3.2. 전파 속도 및 분산

러브파의 입자 운동은 전파 방향에 수직인 수평선을 형성한다(즉, 횡파이다). 물질 내부로 더 깊이 들어가면 운동은 감소하여 "절점"이 될 수 있으며, 이후 입자의 더 깊은 층을 검사함에 따라 번갈아 증가 및 감소한다. 진폭, 즉 최대 입자 운동은 종종 깊이에 따라 빠르게 감소한다.

러브파는 지구 표면에서 이동하기 때문에, 파동의 강도(또는 진폭)는 지진의 깊이에 따라 지수적으로 감소한다. 그러나 표면에 국한되기 때문에 진폭은 $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{r\}\}$로만 감소하며, 여기서 $r$은 파동이 지진으로부터 이동한 거리를 나타낸다. 따라서 표면파는 3차원으로 이동하는 체적파보다 거리에 따라 더 느리게 감소한다. 큰 지진은 지구를 여러 번 돌고 소멸되기 전에 러브파를 생성할 수 있다.

3.3. 지진 피해와의 관련성

러브파는 지구 표면에서 이동하기 때문에, 파동의 강도(진폭)는 지진의 깊이에 따라 지수적으로 감소한다. 그러나 표면에 국한되기 때문에 진폭은 $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{r\}\}$로만 감소하며, 여기서 $r$은 파동이 지진으로부터 이동한 거리를 나타낸다. 따라서 표면파는 3차원으로 이동하는 체적파보다 거리에 따라 더 느리게 감소한다. 큰 지진은 지구를 여러 번 돌고 소멸되기 전에 러브파를 생성할 수 있다.

러브파는 매우 느리게 감소하기 때문에 지진의 진원이나 진앙의 직접적인 지역 밖에서 가장 파괴적이다. 그것들은 대부분의 사람들이 지진 동안 직접 느끼는 것이다.

4. 동물들의 지진 감지 능력

과거에는 고양이, 개와 같은 동물들이 지진을 예측할 수 있다고 여겨졌다. 이는 동물들이 인간보다 지반 진동에 더 민감하여 러브파보다 먼저 도달하는 P파 및 S파를 감지할 수 있기 때문이다.