레드헤퍼 행렬

1. 개요

레드헤퍼 행렬은 n × n 정사각 행렬로, 행렬식은 메르텐스 함수와 관련이 있다. 이 행렬은 두 개의 (0,1) 행렬의 합으로 표현되며, 램버트 급수와도 관련이 있다. 레드헤퍼 행렬은 디리클레 합성곱 및 역을 표현하는 데 사용되며, 최대공약수(GCD) 합 및 특수한 수론적 합을 표현하는 데에도 활용된다. 행렬의 스펙트럼 반지름과 고유 공간에 대한 특징을 가지며, 고유 벡터는 재귀적으로 계산할 수 있다.

2. 정의 및 변형

레드헤퍼 행렬은 일반적으로 두 가지 방식으로 정의된다.

12 × 12 레드헤퍼 행렬은 다음과 같다.

:$\backslash left(\backslash begin\{smallmatrix\}$
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{smallmatrix}\right)

2.1. 기본 정의

n × n 레드헤퍼 행렬 $A\_n\; =\; [a\_\{ij\}]$의 각 원소 $a\_\{ij\}$는 다음과 같이 정의된다.

:

일반적인 행렬 표기법으로 $n$차 레드헤퍼 (전치) 행렬은 nxn 정사각 행렬 $R\_n\; =\; [M\_j(i)]\_\{1\; \backslash leq\; i,j\; \backslash leq\; n\}$으로 정의할 수 있다.

2.2. 구성 행렬을 이용한 정의

레드헤퍼 행렬은 두 개의 (0,1) 행렬의 합으로 표현될 수 있다. 즉, $A\_n\; =\; C\_n\; +\; D\_n$으로 나타낼 수 있다. 여기서 $C\_n\; :=\; [c\_\{ij\}]$는 $j=1$이고 $i\; \backslash neq\; 1$일 때만 엔트리(entry)가 1인 (0,1) 행렬이다. $A\_n$에서 나머지 1 값을 갖는 엔트리는 행렬 $D\_n$에 반영된 가분성 조건에 해당한다. 뫼비우스 반전을 적용하면 $D\_n^\{-1\}\; =\; \backslash left[\backslash mu(j/i)\; M\_i(j)\backslash right]$와 같이 $D\_n$은 항상 역행렬을 갖는 가역 행렬임을 알 수 있다. 따라서 $\backslash det\backslash left(A\_n\backslash right)\; =\; \backslash det\backslash left(D\_n^\{-1\}C\_n+I\_n\backslash right)$으로 $A\_n$의 특이성을 나타낼 수 있다.

함수를 다음과 같이 정의한다.

:

이 경우, 일반적인 행렬 표기법으로 $n^\{th\}$ 레드헤퍼 (전치) 행렬은 nxn 정사각 행렬 $R\_n\; =\; [M\_j(i)]\_\{1\; \backslash leq\; i,j\; \backslash leq\; n\}$으로 정의할 수 있다.

3. 주요 성질

레드헤퍼 행렬은 여러 흥미로운 성질을 가지며, 특히 수론과 깊은 관련이 있다.

* 가역성과 메르텐스 함수: n × n 정사각 레드헤퍼 행렬의 행렬식은 메르텐스 함수 M(n)과 같다. 특히, 메르텐스 함수가 0이 될 때 행렬은 가역적이지 않다. 메르텐스 추측이 반증됨에 따라, 메르텐스 함수는 부호를 무한히 바꾸고 0이 되므로, 레드헤퍼 행렬은 무한히 많은 자연수에서 특이 행렬이 된다.
* 램버트 급수와의 관계: 램버트 급수의 인수분해와 관련하여, 고정된 산술 함수 f에 대해 f의 램버트 급수 전개의 계수는 레드헤퍼 행렬을 통해 표현될 수 있다.
* 스펙트럼 반지름과 고유 공간: $A\_n$의 스펙트럼 반지름을 $\backslash rho\_n$으로 표기하면, 이는 $A\_n$의 스펙트럼에서 가장 큰 절댓값 고유값이다. 이며, 정밀한 분석을 통해 $\backslash rho\_n\; =\; \backslash sqrt\{n\}\; +\; \backslash log\backslash sqrt\{n\}\; +\; O(1)$임을 알 수 있다.
* $A\_n$은 고유값 1을 중복도 $n\; -\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash log\_2(n)\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$로 갖는다.
* 고유값 $\backslash lambda\; :=\; 1$에 해당하는 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$이다. 따라서 $n\; \backslash geq\; 5$이면 $A\_n$은 대각화 가능하지 않다.
* $A\_n$의 다른 모든 고유값 $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$에 대해, 해당 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 1이다.
* 고유 벡터의 특징: $[a\_1,\; a\_2,\; \backslash ldots,\; a\_n]$이 $A\_n$의 스펙트럼에서 고유값 $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash sigma(A\_n)$에 해당하는 $A\_n^\{T\}$의 고유벡터가 되기 위한 조건을 만족한다.

3.1. 가역성과 메르텐스 함수

n × n 정사각 레드헤퍼 행렬의 행렬식은 Mertens 함수 M(n)과 같다. 특히, 행렬 $A\_n$은 메르텐스 함수가 0이 될 때 가역적이지 않다. Mertens 추측의 반증으로, 메르텐스 함수는 부호를 무한히 많이 바꾸고 0이 되므로, 레드헤퍼 행렬 $A\_n$은 무한히 많은 자연수에서 특이 행렬이다.

레드헤퍼 행렬의 행렬식은 메르텐스 함수와의 관계 때문에 리만 가설과 연결되는데, 리만 가설은 모든 (충분히 작은) $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해 $M(x)\; =\; O\backslash left(x^\{1/2+\backslash varepsilon\}\backslash right)$임을 보이는 것과 동치이기 때문이다.

3.2. 램버트 급수와의 관계

램버트 급수의 인수분해와 관련하여, 고정된 산술 함수 f에 대해 f의 램버트 급수 전개의 계수는 레드헤퍼 행렬을 통해 표현될 수 있다. 다음 식을 통해 확인할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{d|n\}\; f(d)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; M\_k(n)\; \backslash cdot\; f(k)\; =\; [q^n]\backslash left(\backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; \backslash frac\{f(n)\; q^n\}\{1-q^n\}\backslash right).$

여기서, 자연수 n의 약수의 집합에 대한 부울(0 또는 1) 값 포함은 약수 합의 특별한 경우로, 위의 전개에서 볼 수 있듯이, 이러한 합을 열거하는 램버트 급수 생성 함수를 재해석할 수 있다. 즉, Merca와 Schmidt (2017-2018)는 이러한 생성 함수를 다음과 같은 형식으로 확장하는 가역 행렬 인수분해를 증명했다.

:$\backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; \backslash frac\{f(n)\; q^n\}\{1-q^n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{(q;\; q)\_\{\backslash infty\}\}\; \backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; \backslash left(\backslash sum\_\{k=1\}^n\; s\_\{n,k\}\; f(k)\backslash right)\; q^n,$

여기서 $(q;\; q)\_\{\backslash infty\}$는 무한 q-포흐머 기호를 나타내고, 하삼각 행렬 시퀀스는 정확하게 $s\_\{n,k\}\; =\; [q^n]\; \backslash frac\{q^k\}\{1-q^k\}\; (q;\; q)\_\{\backslash infty\}$의 계수로 생성되며, 이러한 항은 특수한 짝수(홀수) 인덱스 분할 함수의 차이로도 해석된다.

Merca와 Schmidt (2017)는 또한 암묵적 함수 f를 $\backslash ell(n)\; =\; (f\; \backslash ast\; 1)(n)$ 형식으로 원래 램버트 급수 생성 함수의 컨볼루션 계수의 합으로 표현할 수 있는 간단한 반전 공식을 증명했다.

:$f(n)\; =\; \backslash sum\_\{d|n\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; p(d-k)\; \backslash mu(n/d)\; \backslash left[\backslash sum\_\{j\; \backslash geq\; 0\; \backslash atop\; k-j\; \backslash geq\; 0\}\; \backslash ell(k\; -\; j)\; [q^j](q;\; q)\_\{\backslash infty\}\backslash right],$

여기서 p(n)는 분할 함수를 나타내고, $\backslash mu(n)$는 뫼비우스 함수를 나타내며, $(q;\; q)\_\{\backslash infty\}$의 계수는 오각수 정리를 통해 j에 대한 2차 의존성을 상속한다.

2018년에 Mousavi와 Schmidt는 이러한 행렬 기반 인수분해 보조 정리를 앤더슨-아포스톨 약수 합 (여기서 라마누잔 합은 주목할 만한 특별한 경우)과 각 n과 서로소인 정수로 인덱싱된 합(예: 오일러 파이 함수로 고전적으로 정의된 합)의 경우로 확장했다.

3.3. 스펙트럼 반지름과 고유 공간

$A\_n$의 스펙트럼 반지름을 $\backslash rho\_n$으로 표기한다. 이는 $A\_n$의 스펙트럼에서 가장 큰 절댓값 고유값이다.
:$\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash rho\_n\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\; =\; 1,$
이 식은 n이 클 때 $A\_n$의 스펙트럼의 점근적 거동을 나타낸다. 이며, 정밀한 분석을 통해 $\backslash rho\_n\; =\; \backslash sqrt\{n\}\; +\; \backslash log\backslash sqrt\{n\}\; +\; O(1)$임을 알 수 있다.

* $A\_n$은 고유값 1을 중복도 $n\; -\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash log\_2(n)\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$로 갖는다.
* 고유값 $\backslash lambda\; :=\; 1$에 해당하는 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$이다. 따라서 $n\; \backslash geq\; 5$이면 $A\_n$은 대각화 가능하지 않다.
* $A\_n$의 다른 모든 고유값 $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$에 대해, 해당 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 1이다.

3.4. 고유 벡터의 특징

$[a\_1,\; a\_2,\; \backslash ldots,\; a\_n]$이 $A\_n$의 스펙트럼에서 고유값 $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash sigma(A\_n)$에 해당하는 $A\_n^\{T\}$의 고유벡터가 되기 위한 필요충분조건은 $n\; \backslash geq\; 2$일 때 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

:$\backslash lambda\; a\_n\; =\; \backslash sum\_\{d|n\}\; a\_d$ 그리고 $\backslash lambda\; a\_1\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; a\_k.$

만약 $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$인 "자명하지 않은" 경우로 제한하면, 초기 고유벡터 성분 $a\_1$이 주어졌을 때 다음 공식을 사용하여 나머지 "n-1"개의 성분을 재귀적으로 계산할 수 있다.

:

이를 염두에 두고, $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$에 대해 다음 수열을 정의할 수 있다.

:

이 수열의 정의와 관련된 몇 가지 흥미로운 함의가 있다. 먼저, 다음이 성립할 때 $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash sigma(A\_n)$이다.

:$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; v\_\{\backslash lambda\}(k)\; =\; \backslash lambda.$

둘째, 고정된 $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$에 대한 이 수열의 디리클레 급수 또는 디리클레 생성 함수에 대한 다음 공식이 존재하며, 이는 $\backslash Re(s)\; >\; 1$인 모든 경우에 성립한다.

:$\backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; \backslash frac\{v\_\{\backslash lambda\}(n)\}\{n^s\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda-1\}\{\backslash lambda-\backslash zeta(s)\},$

여기서 $\backslash zeta(s)$는 리만 제타 함수를 나타낸다.

4. 응용 및 일반화

레드헤퍼 행렬은 증가하는 인덱스 집합의 포함 여부를 나타내는 (0,1) 행렬로 해석할 수 있으며, 이는 여러 분야에서 유용하게 사용된다. 이러한 해석은 메르텐스 함수와 리만 가설의 동치 명제에 대한 행렬식의 관계를 보여준다. 레드헤퍼 행렬의 일반화는 산술 함수와 관련하여 연구되고 있으며, 역행렬 항은 일반화된 뫼비우스 함수라고 불린다. 또한, 레드헤퍼 행렬은 토플리츠 행렬을 사용하여 잘린 거듭제곱 급수 표현을 나타내는 형태로 볼 수도 있다.

4.1. 디리클레 합성곱과 디리클레 역

레드헤퍼 행렬은 디리클레 합성곱과 디리클레 역을 표현하는 데 사용될 수 있다. 특히, 행렬 곱셈을 통해 디리클레 역 함수 값을 계산하는 방법이 가능하다.

0이 아닌 서로 다른 두 산술 함수 f와 g가 주어지면, 자연수 $n\; \backslash geq\; 1,\; 1\; \backslash leq\; n\; \backslash leq\; x$로 인덱싱된 행에서 디리클레 합성곱을 다음과 같은 행렬로 표현할 수 있다.

:

여기서 $e^\{T\}\; :=\; [1,1,\backslash ldots,1]$를 모든 원소가 1인 벡터라고 하면, 행렬-벡터 곱 $e^\{T\}\; \backslash cdot\; D\_\{f,g\}(x)$의 $n^\{th\}$ 행은 다음과 같이 컨볼루션된 디리클레 합을 나타낸다.

:$(f\; \backslash ast\; g)(n)\; =\; \backslash sum\_\{d|n\}\; f(d)\; g(n/d),$

이때 상한 $x\; \backslash geq\; 2$는 임의의 값이며, 모든 $1\; \backslash leq\; n\; \backslash leq\; x$에 적용된다.

일반적으로 함수 f의 디리클레 역 $f^\{-1\}(n)$는 다음을 만족하는 유일하게 정의된 산술 함수이다.

:$(f^\{-1\}\; \backslash ast\; f)(n)\; =\; \backslash delta\_\{n,1\}$

이는 깊이가 1부터 $\backslash omega(n)$까지 중첩된 약수 합을 포함하며, 여기서 $\backslash omega(n)$은 n의 서로 다른 소인수의 수를 세는 소수 오메가 함수이다.

이러한 디리클레 역 함수 값은 변형된 레드헤퍼 행렬 $R\_n$을 사용하여 행렬 반전을 통해 구할 수 있다.

4.2. GCD 합과 특수 행렬

레드헤퍼 행렬은 최대공약수(GCD) 합 및 기타 특수한 수론적 합을 표현하는 데 사용될 수 있다. 앤더슨-아포스톨 약수 합, 오일러 파이 함수, 뫼비우스 함수 등이 이러한 방식으로 표현될 수 있다.

:$S\_\{\backslash mathcal\{A\},f\}(n)\; \backslash mapsto\; S\_f(n)\; :=\; \backslash sum\_\{k\; \backslash in\; \backslash mathcal\{A\}\_n\}\; f(k).$

여기서 $\backslash mathcal\{A\}\_n$은 인덱스 집합의 수열이고, $f$는 고정된 산술 함수이다.

Mousavi와 Schmidt는 인덱스 집합을 다음과 같이 설정하여 상대적으로 소수인 제수 합을 정의했다.

:$\backslash mathcal\{A\}\_n\; \backslash mapsto\; \backslash mathcal\{G\}\_n\; :=\; \backslash \{1\; \backslash leq\; d\; \backslash leq\; n:\; \backslash gcd(d,\; n)\; =\; 1\backslash \}.$

이 합은 오일러 파이 함수($m\; :=\; 0$으로 정의)를 포함하여 수론적으로 중요한 특수 산술 함수를 표현하는 데 사용될 수 있다.

:$\backslash varphi(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\; \backslash in\; \backslash mathcal\{G\}\_n\}\; d^m,$

또한, 뫼비우스 함수는 다음과 같이 이산(유한) 푸리에 변환으로 표현될 수 있다.

:$\backslash mu(n)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash stackrel\{1\backslash le\; k\; \backslash le\; n\; \}\{\; \backslash gcd(k,\backslash ,n)=1\}\}\; e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash frac\{k\}\{n\}\}.$

이러한 합을 확장하기 위한 인수 분해 정리와 유사한 처리가 개발되었으며, 원분 다항식을 포함한 다른 예들도 존재한다. 인덱스 집합 $\backslash mathcal\{A\}\_n$과 관련된 행렬과 그 역행렬을 사용하면 제수 합에 대해 뫼비우스 반전과 유사한 작업을 수행할 수 있다. 이를 통해 좌변 특수 함수 및 역행렬 엔트리에 대한 준 컨볼루션 합으로 피가수 함수 f를 표현할 수 있다.

상위 인덱스 $x\; :=\; 21$인 경우에 대해 정의된 관련 행렬은 다음과 같다.

5. 예시

다음은 12 × 12 레드헤퍼 행렬이다.

$A\_\{12\}\; :=\; C\_\{12\}\; +\; D\_\{12\}$에 대한 분할 행렬 합 표기법에서, $C\_n$에서 1의 초기 열에 해당하는 항목은 아래와 같이 파란색으로 표시된다.



뫼비우스 반전 공식을 적용하면 $n$번째 레드헤퍼 전치 행렬은 항상 가역적이며, 그 역행렬은 다음과 같이 주어진다.

:$R\_n^\{-1\}\; =\; \backslash left[M\_j(i)\; \backslash cdot\; \backslash mu\backslash left(\backslash frac\{i\}\{j\}\backslash right)\backslash right]\_\{1\; \backslash leq\; i,j\; \backslash leq\; n\},$

여기서 $\backslash mu(n)$는 뫼비우스 함수를 나타낸다. 12 × 12 역 레드헤퍼 전치 행렬은 다음과 같다.