디리클레 합성곱

3. 성질

• 닫혀 있다: ''f''와 ''g''가 모두 곱셈적이면, ''f'' * ''g''도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.)^[1]
• 교환 법칙: ''f'' * ''g'' = ''g'' * ''f''^[1]
• 결합 법칙: (''f'' * ''g'') * ''h'' = ''f'' * (''g'' * ''h'')^[1]
• 분배 법칙: ''f'' * (''g'' + ''h'') = ''f'' * ''g'' + ''f'' * ''h''^[1]
• 항등원: ''f'' * ε = ε * ''f'' = ''f'', 여기서 ε은 ''n'' = 1에서 ε(''n'') = 1, ''n'' > 1에서 ε(''n'') = 0으로 정의되는 함수.^[1]
• 역원: 모든 곱셈적 함수 ''f''에 대해, 어떤 곱셈적 함수 ''g''가 존재하여 ''f'' * ''g'' = ε를 만족한다.^[1]

4. 디리클레 역원

주어진 수론적 함수 $f(n)$에 대해, 디리클레 합성곱에 대한 역원 $f^\{-1\}(n)$이 존재한다. $f(1)\; \backslash neq\; 0$이면, $f\; *\; f^\{-1\}\; =\; \backslash varepsilon$인 수론적 함수 $f^\{-1\}$가 존재하며, 이를 $f$의 '''디리클레 역원'''이라고 한다.^[1] 여기서 $\backslash varepsilon$은 단위 함수이다.

디리클레 역원은 다음과 같은 성질을 갖는다.^[4]

• 함수 ''f''가 디리클레 역원을 갖는 것과 $f(1)\; \backslash neq\; 0$는 동치이다.
• 곱셈적 함수의 디리클레 역원도 곱셈적이다.
• 디리클레 합성곱의 디리클레 역원은 각 함수의 역원의 합성곱이다: $(f\; \backslash ast\; g)^\{-1\}\; =\; f^\{-1\}\; \backslash ast\; g^\{-1\}$.
• 곱셈적 함수 ''f''가 완전 곱셈적 함수인 것과 $f^\{-1\}(n)\; =\; \backslash mu(n)\; f(n)$인 것은 동치이다.
• ''f''가 완전 곱셈적 함수일 때, $g(1)\; \backslash neq\; 0$이고 $\backslash cdot$가 함수의 점별 곱을 나타낸다면 $(f\; \backslash cdot\; g)^\{-1\}\; =\; f\; \backslash cdot\; g^\{-1\}$이다.

4. 1. 주요 수론적 함수의 디리클레 역원

• $f^\{-1\}(1)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{f(1)\}$
• $n>1$일 경우:

5. 주요 수론적 함수 간의 관계

다음은 주요 수론적 함수 간의 디리클레 합성곱 관계이다.

• $1\; *\; \backslash mu\; =\; \backslash varepsilon$ : 상수 함수 $1$의 디리클레 역원은 뫼비우스 함수이다. (뫼비우스 함수 문서의 증명 참조)
• $g\; =\; f\; *\; 1$이면 $f\; =\; g\; *\; \backslash mu$이다. (뫼비우스 반전 공식)
• $\backslash sigma\_k\; =\; \backslash text\{Id\}\_k\; *\; 1$ : 약수의 k제곱 합 함수 ''σ''_''k''
• $\backslash sigma\; =\; \backslash text\{Id\}\; *\; 1$ : 약수의 합 함수
• $\backslash tau\; =\; 1\; *\; 1$ : 약수의 개수 함수
• $\backslash text\{Id\}\_k\; =\; \backslash sigma\_k\; *\; \backslash mu$ : ''σ''_''k'', ''σ'', ''τ''에 대한 뫼비우스 반전
• $\backslash text\{Id\}\; =\; \backslash sigma\; *\; \backslash mu$
• $1\; =\; \backslash tau\; *\; \backslash mu$
• $\backslash phi\; *\; 1\; =\; \backslash text\{Id\}$ : 오일러의 토션트 함수 ''φ'' (오일러의 토션트 함수 문서의 증명 참조)
• $\backslash phi\; =\; \backslash text\{Id\}\; *\; \backslash mu$ : 뫼비우스 반전에 의해
• $\backslash sigma\; =\; \backslash phi\; *\; \backslash tau$ : $\backslash phi\; *\; 1\; =\; \backslash text\{Id\}$의 양쪽에 1을 합성곱하여 얻음
• $\backslash lambda\; *\; |\backslash mu|\; =\; \backslash varepsilon$ : 리우빌 함수 ''λ''
• $\backslash lambda\; *\; 1\; =\; 1\_\{\backslash text\{Sq\}\}$ : 여기서 Sq = {1, 4, 9, ...}는 제곱수의 집합
• $\backslash text\{Id\}\_k\; *\; (\backslash text\{Id\}\_k\; \backslash mu)\; =\; \backslash varepsilon$
• $\backslash tau^3\; *\; 1\; =\; (\backslash tau\; *\; 1)^2$
• $J\_k\; *\; 1\; =\; \backslash text\{Id\}\_k$ : 요르단 토션트 함수
• $(\backslash text\{Id\}\_s\; J\_r)\; *\; J\_s\; =\; J\_\{s\; +\; r\}$
• $\backslash Lambda\; *\; 1\; =\; \backslash log$ : 폰 망골트 함수 $\backslash Lambda$
• $|\backslash mu|\; \backslash ast\; 1\; =\; 2^\{\backslash omega\}$ : 소인수 함수 $\backslash omega(n)$ (''n''의 서로 다른 소인수의 개수)
• $\backslash Omega\; \backslash ast\; \backslash mu\; =\; 1\_\{\backslash mathcal\{P\}\}$ : 소수 거듭제곱의 특성 함수
• $\backslash omega\; \backslash ast\; \backslash mu\; =\; 1\_\{\backslash mathbb\{P\}\}$ : $1\_\{\backslash mathbb\{P\}\}(n)\; \backslash mapsto\; \backslash \{0,1\backslash \}$는 소수의 특성 함수

6. 디리클레 급수와의 관계

수론적 함수 ''f''의 L-급수(L-series)는 다음과 같이 정의된다.

:$$

L(f,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}



급수가 수렴하는 복소수 s에 대해, L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계를 갖는다. 좌변이 존재하는 모든 s에 대해,

:$$

L(f,s) L(g,s) = L(f*g,s)



위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 합성곱 정리와 긴밀하다.

만약 $f\; ,\; g\; :\; \backslash mathbb\{N\}\backslash to\backslash mathbb\{C\}$가 양의 정수에서 복소수로 가는 두 산술 함수일 때, ''디리클레 합성곱'' ''f'' ∗ ''g''는 다음과 같이 정의되는 새로운 산술 함수이다.

:$$

(f*g)(n) \ =\ \sum_{d\,\mid \,n} f(d)\,g\!\left(\frac{n}{d}\right) \ =\ \sum_{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)



여기서 합은 ''n''의 모든 양의 약수 ''d''에 대해, 또는 동등하게 곱이 ''n''인 서로 다른 양의 정수의 모든 쌍 (''a'', ''b'')에 대해 이루어진다.

이 곱은 리만 제타 함수와 같은 디리클레 급수 연구에서 자연스럽게 발생한다. 이는 두 디리클레 급수의 곱셈을 계수를 통해 나타낸다.

:$\backslash left(\backslash sum\_\{n\backslash geq\; 1\}\backslash frac\{f(n)\}\{n^s\}\backslash right)$

\left(\sum_{n\geq 1}\frac{g(n)}{n^s}\right)

\ = \

\left(\sum_{n\geq 1}\frac{(f*g)(n)}{n^s}\right).



''f''가 산술 함수라면, 디리클레 급수 생성 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$$

DG(f;s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}



이는 급수가 수렴하는 (만약 있다면) 복소수 ''s''에 대한 것이다. 디리클레 급수의 곱셈은 다음과 같은 의미에서 디리클레 합성곱과 호환된다.

:$$

DG(f;s) DG(g;s) = DG(f*g;s)\,



이는 좌변의 두 급수가 모두 수렴하고, 그 중 적어도 하나가 절대 수렴하는 모든 ''s''에 대한 것이다 (좌변의 두 급수가 단순 수렴한다고 해서 우변의 수렴을 ''보장하는 것은 아니다''!). 이는 디리클레 급수를 푸리에 변환으로 생각한다면 합성곱 정리와 유사하다.

7. 수론적 함수의 미분과의 관계

물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.

주어진 산술함수 $f(n)$의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 $\backslash Lambda$는 망골트 함수이다.^[7]

:$f\text{'}(n)\; =\; f(n)\; \backslash log\; n\backslash ;$

예를 들어, 모든 $n$에 대해 1인 수론적 함수 $u(n)$이 있다고 할 때, 관계식 $\backslash sum\_\{d|n\}\backslash Lambda(d)\; =\; \backslash log\; n$ 때문에 다음이 성립한다.^[7]

:$\backslash Lambda\; *\; u\; =\; u\text{'}$

위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.^[7]

• $(f\; +\; g)\text{'}\; =\; f\text{'}\; +\; g\text{'}$
• $(f\; *\; g)\text{'}\; =\; f\text{'}*g\; +\; f*g\text{'}$
• $(f^\{-1\})\text{'}\; =\; -f\text{'}*(f*f)^\{-1\}$

8. 관련 개념

단위, 이중 단위 또는 무한 약수로 제한하면, 뫼비우스 반전, 곱셈성 유지, 오일러형 곱 공식, 관련 소수에 대한 총수 정의 등 디리클레 곱셈과 많은 특징을 공유하는 유사한 가환 연산이 정의된다.^[1]

디리클레 곱셈은 나눗셈 순서로 정렬된 양의 정수의 poset에 대한 사건 대수 곱셈의 특별한 경우이다.^[1]

디리클레 쌍곡선 방법은 함수와 그 합의 함수 측면에서 곱셈의 합을 계산한다.^[1] 단순 약수, 이중 단순 약수, 무한 중복 단순 약수로 약수를 제한하여 디리클레 합성곱과 많은 특징(뫼비우스 반전 공식의 존재, 곱셈적 성질의 지속, 오일러 피 함수 정의, 관련 소수에 대한 오일러 형식 곱 공식 등)을 공유하는 유사한 가환 연산을 정의할 수 있다.^[1]

디리클레 합성곱은 순서 집합의 인접 대수에 대한 합성곱의 특수한 경우이며, 이 경우 정렬된 양의 정수의 순서 집합은 정제성을 갖는다.^[1]

참조

_[1] 문서 Proofs are in Chan, ch. 2
_[2] 문서 A proof is in the article Completely multiplicative function#Proof of distributive property.
_[3] 서적 Apostol's Introduction to Analytic Number Theory
_[4] 문서 Again see Apostol Chapter 2 and the exercises at the end of the chapter.
_[5] 문서 See Apostol Chapter 2.
_[6] 서적 Apostol's Introduction to Analytic Number Theory
_[7] 서적