레일리 페이딩

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1. 개요
2. 모델
- 2.1. 확률 밀도 함수
- 2.2. 복소수 표현
3. 특성
4. 응용성
- 4.1. 도심 환경
- 4.2. 대류권 및 전리층 전파
5. 레일리 페이딩 생성
참조

1. 개요

레일리 페이딩은 무선 신호가 다수의 물체에 의해 산란 및 분산되는 환경을 모델링하는 데 사용되는 무선 채널 페이딩의 한 유형이다. 채널 응답의 포락선은 레일리 분포를 따르며, 확률 밀도 함수와 복소수 표현을 통해 모델링된다. 레일리 페이딩은 무선 네트워크 성능에 영향을 미치는 특성을 가지며, 자기 상관 함수, 레벨 교차율, 평균 페이드 지속 시간, 도플러 전력 스펙트럼 밀도 등을 분석하는 데 사용된다. 이 모델은 가시선이 없는 도심 환경, 대류권 산란 및 전리층 반사 등에서 유용하며, 제이크스 모델, 필터링된 백색 잡음, 버터워스 필터 등을 사용하여 생성할 수 있다.

2. 모델

레일리 페이딩은 무선 경로에 많은 물체가 있어 무선 신호가 수신기에 도착하기 전까지 신호가 산란 또는 분산되는 환경에서 쓰이는 모델이다. 중심 극한 정리에 따라, 충분히 많은 신호 산란이 있다면 채널 응답은 개별적인 요소들의 분포와 관계없이 가우시안 분포와 같이 모델링된다. 신호가 산란되어 주요 신호 요소가 없으면, 이 신호는 평균은 0이 되고 위상은 0과 2π rad 사이에 균일하게 분포된다. 이때, 이 채널 응답의 포락선은 레일리 분포(Rayleigh Distribution)를 따르게 된다.^[1]

2. 1. 확률 밀도 함수

레일리 페이딩에서 채널 응답의 포락선은 레일리 분포(Rayleigh Distribution)를 따르며, 이 랜덤 변수의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.^[1]

:

P_r(r) = \frac{r}{\sigma^2}e^{\left( -\frac{r^2}{2\sigma^2} \right)}\ ,\ 0\leq r<\infty

여기서

\sigma

는 표준편차이다.

랜덤 변수를

R

이라고 하면 다음과 같은 확률 밀도 함수를 갖는다.^[1]

:

p_R(r) = \frac{2r} \Omega e^{-r^2/\Omega},\ r\geq 0

여기서

\Omega = \operatorname E(R^2)

이다.

채널 왜곡의 이득과 위상은 복소수로 표현할 수 있다. 이 경우 레일리 페이딩은 채널 응답의 실수부와 허수부가 독립적이고 동일하게 분포된 평균 0의 가우시안 분포로 모델링되며, 이때 채널 응답의 진폭은 그 두 개의 가우시안 분포의 합이다.

2. 2. 복소수 표현

채널 왜곡의 이득과 위상은 복소수로 편리하게 표현할 수 있다. 이 경우 레일리 페이딩은 채널 응답의 실수부와 허수부가 독립적이고 동일하게 분포되었으며, 평균 0값의 가우시안 분포로 모델링되고 이때 채널 응답의 진폭은 그 두 개의 가우시안 분포의 합이다.^[1]

레일리 페이딩은 수신기에 도달하기 전에 전파 신호를 산란시키는 많은 물체가 환경에 있을 때 합리적인 모델이다. 중심 극한 정리에 따르면 산란이 충분히 많으면 개별 구성 요소의 분포와 관계없이 채널 임펄스 응답이 가우시안 과정으로 잘 모델링된다. 산란에 지배적인 요소가 없으면 이러한 과정은 0 평균을 가지며 위상은 0과 2π 라디안 사이에 균등하게 분포된다. 따라서 채널 응답의 포락선은 레일리 분포를 따르게 된다.

3. 특성

레일리 페이딩은 수신기와 송신기 사이에 직접적인 가시선(LOS) 신호가 없고, 건물처럼 신호를 감쇠, 반사, 굴절, 회절시키는 물체가 많은 도심 환경에서 유용한 모델이다. 맨해튼에서의 실험은 레일리 페이딩에 가까운 결과를 보여주었다.^[1] 대류층 및 이온층 신호 전파에서 대기 중 입자들이 신호 산란 요소로 작용하여 레일리 페이딩과 유사한 환경을 조성한다.

레일리 페이딩은 소규모 페이딩이며, 채널에는 페이딩 외에도 경로 손실이나 음영 손실과 같은 기본적인 특성이 존재한다. 채널이 얼마나 빨리 페이딩되는지는 수신기나 송신기의 이동 속도에 영향을 받는다. 움직임은 수신된 신호 요소에 도플러 변이를 일으킨다. 신호 세기가 30-40dB씩 떨어지는 'deep fade' 현상에 주목할 필요가 있다.

레일리 페이딩은 시간에 따라 변하는 특성을 가지고 있다. 채널이 시간에 따라 변하지 않으면 페이딩은 발생하지 않고 특정 레벨을 유지한다.

3. 1. 상관 관계

레일리 페이딩은 분석하기에 적합한데, 이는 특수한 성질을 가진 유도된 분포에 기초하기 때문이다. 또한 무선 네트워크의 성능에 영향을 미치는 중요한 특징은 해석적 표현을 가진다.^[1]

여기서 논의하는 파라미터는 정적이지 않은 채널에 대한 것이다. 만약 채널이 시간에 따라 변하지 않으면, 명확히 감쇠하지 않고 특정 레벨을 유지하게 된다. 각 산란된 요소가 독립적으로 페이드된다는 가정 때문에, 서로 상관성이 없는 경우 채널의 특성은 분리된다. 송신기, 수신기 및 산란체 간에 상대적인 움직임이 도입되면 페이딩은 상관관계를 가지며 시간에 따라 변하게 된다.^[1]

일정 속도에서 이동할 때 레일리 페이딩된 채널의 일반화된 자기 상관 함수는 0차의 1종 베셀함수이다.^[1]

:

\,\! R(\tau) = J_0(2\pi{f_d}\tau)

^[1]

최대 도플러 쉬프트가

f_d

일 때 지연

\tau

에서, 최대 도플러 쉬프트값이 10Hz인 페이딩 채널의 자기상관함수를 가진다. 지연에 대하여 주기적이고 포락선은 최초 0번째 교차 이후에 점점 약해진다.^[1]

3. 2. 레벨 교차율 (Level Crossing Rate, LCR)

레벨 교차율(Level Crossing Rate, LCR)은 페이딩 속도를 측정하는 지표이다. 이는 페이딩이 특정 임계값을 얼마나 자주, 그리고 일반적으로 상승하는 방향으로 교차하는지를 나타낸다.^[4]

레일리 페이딩에서 레벨 교차율은 다음과 같이 계산된다.^[4]

:

\mathrm{LCR} = \sqrt{2\pi}f_d\rho e^{-\rho^2}

여기서

$f_d$ 는 최대 도플러 편이이다.
$\,\!\rho$ 는 제곱 평균 제곱근(RMS) 신호 레벨로 정규화된 임계 레벨이며, 다음과 같이 계산된다.

:

\rho = \frac{R_\mathrm{threshold}}{R_\mathrm{rms}}.

3. 3. 평균 페이드 지속 시간 (Average Fade Duration, AFD)

평균 페이드 지속 시간은 신호가 임계값

\,\!\rho

아래에 머무는 시간을 정량화한다. 레일리 페이딩의 경우, 평균 페이드 지속 시간은 다음과 같다.^[4]

:

\mathrm{AFD} = \frac{e^{\rho^2}-1}{\rho f_d \sqrt{2\pi}}.

레벨 교차율과 평균 페이드 지속 시간을 함께 사용하면 시간에 따른 페이딩의 심각도를 특징짓는 데 유용한 수단을 제공한다.

특정 정규화된 임계값

\rho

에 대해, 평균 페이드 지속 시간과 레벨 교차율의 곱은 상수이며 다음과 같이 주어진다.

:

\mathrm{AFD} \times \mathrm{LCR} = 1 - e^{-\rho^2}.

3. 4. 도플러 전력 스펙트럼 밀도 (Doppler Power Spectral Density)

레일리 페이딩 채널의 도플러 전력 스펙트럼 밀도는 채널이 얼마나 많은 스펙트럼 확장을 유발하는지 설명한다. 이는 순수한 주파수, 예를 들어 주파수 도메인에서 임펄스인 순수 사인파가 채널을 통과할 때 주파수 전반에 걸쳐 어떻게 퍼지는지 보여준다. 이는 시간 자기 상관 함수의 푸리에 변환이다. 모든 방향에서 동일한 감도를 가진 수직 수신 안테나를 사용하는 레일리 페이딩의 경우, 도플러 전력 스펙트럼 밀도는 다음과 같다.^[5]

:

S(\nu) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac \nu {f_d}\right)^2}},

여기서

\,\!\nu

는 반송파 주파수에 대한 주파수 편이다. 이 방정식은

\pm f_d

사이의

\,\!\nu

값에 대해서만 유효하며, 이 범위를 벗어난 스펙트럼은 0이다. 최대 도플러 편이가 10 Hz일 때 이 스펙트럼은 아래 그림과 같다. '그릇 모양' 또는 '욕조 모양'은 이 도플러 스펙트럼의 전형적인 형태이다.

최대 도플러 편이 10Hz인 레일리 페이딩의 정규화된 도플러 전력 스펙트럼

4. 응용성

레일리 페이딩은 다양한 환경에서 응용될 수 있다. 레일리 페이딩은 소규모 효과이며, 통신 채널에서는 페이딩에 중첩되는 경로 손실이나 음영 손실 같은 환경의 기본 특성이 있다.

4. 1. 도심 환경

고밀도로 건설된 맨해튼은 레일리 페이딩 환경에 근접하는 것으로 나타났다.

많은 산란체가 존재해야 한다는 요구 사항은 송신기와 수신기 사이에 가시선이 없고, 많은 건물 및 기타 물체가 신호를 감쇠, 반사, 굴절, 및 회절하는 고도로 개발된 도시 중심부에서 레일리 페이딩이 유용한 모델이 될 수 있음을 의미한다. 맨해튼에서의 실험 작업은 레일리 페이딩에 근접한 현상을 발견했다.^[3]

채널이 얼마나 빨리 페이드되는지는 수신기와/또는 송신기의 이동 속도에 따라 영향을 받는다. 이동은 수신된 신호 구성 요소에 도플러 효과를 일으킨다. 위 그림은 최대 도플러 천이가 10 Hz 및 100 Hz인 단일 경로 레일리 페이딩 채널을 통과한 후 상수 신호의 1초 동안의 전력 변화를 보여준다. 이러한 도플러 천이는 GSM 휴대폰의 작동 주파수 중 하나인 1800 MHz에서 각각 약 6km/h 및 60km/h의 속도에 해당한다. 이것이 레일리 페이딩의 전형적인 모양이다. 특히 신호 강도가 수천 배 또는 30–40 dB만큼 떨어질 수 있는 '깊은 페이드'에 유의해야 한다.

4. 2. 대류권 및 전리층 전파

수많은 산란 요소가 있다는 요건은 레일리 페이딩이 "수신기와 송신기 사이에 가시선 신호가 없고, 많은 건물과 신호를 감쇠, 반사, 굴절, 회절시키는 다른 물체가 존재하는" 건물이 많이 세워진 도심지에서 유용한 모델이라는 것을 의미한다. 맨해튼에서의 실험에서 레일리 페이딩에 가까운 결과가 나왔다.^[3] 대류권 산란 및 전리층 반사 신호 전파에서 대기층의 입자들은 신호 산란의 요소로써 작용하고, 이런 종류의 환경은 레일리 페이딩과 비슷해진다. 환경이 위와 같고 수신기에서 강한 주요 신호가 수신되었을 때, 이는 주로 가시선 신호에 기인한다. 그러면 확률 변수의 평균은 0이 아니게 되고, 그 대신에 주요 신호 경로의 전력 레벨값 정도로 바뀐다. 이런 경우에서는 라이시안 페이딩으로 더욱 잘 모델링될 수 있다.

레일리 페이딩이 소규모의 효과라는 것을 상기하자. 통신 채널에서는 경로 손실이나 음영 손실 같은 환경의 기본 특성이 있다. 얼마나 채널이 빨리 사라지는가는 얼마나 빨리 수신기 혹은 송신기가 이동하는가에 영향을 받는다. 움직임은 수신된 신호 요소에서 도플러 효과를 일으킨다. 다음 그림은 최대 도플러 쉬프트가 10Hz, 100Hz인 단일 경로 레일리 페이딩 채널을 통과한 1초간의 일정한 신호의 전력 변화를 보여준다.

이런 도플러 쉬프트들은 각각 주파수 1800MHz에서 속도가 약 6km와 60km로 이동할 때에 대응되며, GSM 방식 휴대폰에서 운용되고 있는 주파수 중 하나이다. 이것이 레일리 페이딩의 기본적인 형태이다. 신호 세기가 수천 가지 요인에 의해 30-40 dB씩 떨어지는 'deep fade'라는 특수한 현상을 알아두자.

5. 레일리 페이딩 생성

앞서 설명한 것처럼, 레일리 페이딩 채널은 자체적으로 독립적인 정규 가우스 변수에 따라 복소수의 실수부와 허수부를 생성하여 모델링할 수 있다. 그러나 때로는 단순히 진폭 변동에만 관심이 있는 경우도 있다. 이러한 진폭 변동을 모델링하기 위한 주요 접근 방식으로는 제이크스 모델, 필터링된 백색 잡음, 버터워스 필터 등이 있다. 이들은 모두 동일한 자기상관 특성을 갖는 신호를 생성하는 것을 목표로 한다.^[6]

5. 1. 제이크스 모델 (Jakes' Model)

그의 저서에서,^[6] 제이크는 정현파를 합산하는 것을 기반으로 하는 레일리 페이딩 모델을 대중화했다. 산란체들이 각 산란체에서

k

개의 광선이 나오는 각도

\alpha_n

에서 원 주위에 균일하게 분포되어 있다고 가정한다. 광선

n

에 대한 도플러 편이는 다음과 같다.

:

\,\!f_n = f_d\cos\alpha_n

그리고

M

개의 이러한 산란체를 사용하여 시간

t

에 대한

k^\text{th}

파형의 레일리 페이딩은 다음과 같이 모델링할 수 있다.

:

\begin{align}R(t,k) = 2\sqrt{2}\left[\sum_{n=1}^M \right. & \left(\cos\beta_n + j\sin\beta_n\right)\cos\left(2 \pi f_n t + \theta_{n,k}\right) \\[4pt]& \left. {} + \frac 1 {\sqrt{2}} \left(\cos\alpha + j\sin\alpha\right)\cos(2 \pi f_d t)\right].\end{align}

여기서

\,\!\alpha

와

\,\!\beta_n

및

\,\!\theta_{n,k}

는 모델 매개변수이며,

\,\!\alpha

는 일반적으로 0으로 설정되고,

\,\!\beta_n

은

R(t)

의 실수부와 허수부 사이에 상호 상관 관계가 없도록 다음과 같이 선택된다.

:

\,\!\beta_n = \frac{\pi n}{M+1}

\,\!\theta_{n,k}

는 여러 파형을 생성하는 데 사용된다. 단일 경로 채널을 모델링하여 파형이 하나만 있는 경우

\,\!\theta_n

은 0이 될 수 있다. 여러 파형이 필요한 다중 경로, 주파수 선택적 채널을 모델링하는 경우 제이크는 비상관 파형이 다음과 같다고 제안한다.

:

\theta_{n,k} = \beta_n + \frac{2\pi(k-1)}{M+1}.

사실, 파형은 특수한 상황을 제외하고 서로 상관 관계가 있는 것으로 나타났다—비영 상호 상관 관계를 갖는다.^[7] 이 모델은 또한 결정론적이다(매개변수가 선택되면 무작위 요소가 없다). 수정된 제이크 모델^[8]은 산란체의 간격을 약간 다르게 선택하고 왈시-하데마드 시퀀스를 사용하여 파형을 스케일링하여 0 상호 상관 관계를 보장한다. 다음을 설정하면

:

\alpha_n = \frac{\pi(n-0.5)}{2M} \text{ and }\beta_n = \frac{\pi n} M,

다음 모델이 생성되며, 일반적으로 덴트 모델 또는 수정된 제이크 모델이라고 한다.

:

R(t,k) = \sqrt{\frac 2 M} \sum_{n=1}^M A_k(n)\left( \cos\beta_n + j\sin\beta_n \right)\cos\left(2\pi f_d t \cos\alpha_n + \theta_n\right).

가중 함수

A_k(n)

은

n

에서

k

^th 왈시-하데마드 시퀀스이다. 이는 설계상 0 상호 상관 관계를 가지므로 이 모델은 비상관 파형을 생성한다. 위상

\,\!\theta_n

은 무작위로 초기화할 수 있으며 상관 관계 속성에 영향을 미치지 않는다. 이 모델을 사용하여 샘플을 효율적으로 생성하려면 고속 왈시 변환을 사용할 수 있다.

제이크 모델은 또한 레일리 페이딩과 관련된 도플러 스펙트럼을 대중화했으며, 결과적으로 이 도플러 스펙트럼은 종종 제이크 스펙트럼이라고 한다.

5. 2. 필터링된 백색 잡음 (Filtered White Noise)

도플러 전력 스펙트럼이 필요한 신호를 생성하는 또 다른 방법은 필요한 도플러 스펙트럼의 제곱근과 같은 주파수 응답을 갖는 가우시안 필터를 통해 백색 가우스 잡음 신호를 통과시키는 것이다. 이 모델은 앞서 설명한 모델보다 간단하고 비결정론적이지만, 응답에서 무리수 제곱근 함수를 근사하기 위해 고차 필터가 필요하고 적절한 속도로 가우스 파형을 샘플링하는 것과 관련된 몇 가지 구현 문제가 있다.

5. 3. 버터워스 필터 (Butterworth Filter)

버터워스 필터로 필터링된 레일리 시계열 (샘플링 주파수는 120 Hz이다.)

^[9]^[10]^[11]에 따르면 도플러 PSD는 다음과 같이 버터워스 필터를 통해 모델링될 수도 있다.

:

S_{Doppler}(f) = |H_{Butterworth}|^2 = \frac{B}{\sqrt{1 - (f/f_0)^{2k}}}

여기서 ''f''는 주파수,

H_{Butterworth}

는 버터워스 필터 응답, ''B''는 정규화 상수, ''k''는 필터 차수이며,

f_0

는 최대 도플러 편이에 따라 선택해야 하는 차단 주파수이다.

참조

_[1] 서적 Digital Communications https://archive.org/[...] McGraw–Hill Book Co
_[2] 간행물 Rayleigh Fading Channels in Mobile Digital Communication Systems Part I: Characterization 1997-07
_[3] 간행물 Multiple-Input–Multiple-Output Measurements and Modeling in Manhattan http://dmitrychizhik[...] 2003-04
_[4] 서적 Wireless Communications: Principles and Practice Prentice Hall PTR 2001-12-31
_[5] 간행물 A Statistical Theory of Mobile Radio Reception 1968-07
_[6] 서적 Microwave Mobile Communications John Wiley & Sons Inc 1975-02-01
_[7] 서적 Kanalmodeller för radiotransmission (Channel models for radio transmission) Royal Institute of Technology 1991-12
_[8] 간행물 Jakes Fading Model Revisited 1993-06-24
_[9] 문서 Fernando Pérez-Fontán, Iria Sanchez-Lago, Roberto Prieto Cerdeira, andAna Bolea-Alama nac. Consolidation of a multi-state narrowband land mo-bile satellite channel model. In The Second European Conference on Anten-nas and Propagation, EuCAP 2007., pages 1 –6, nov. 2007
_[10] 서적 Modelling the wireless propagation channel: a simulation approach with Matlab https://d1wqtxts1xzl[...] John Wiley & Sons 2008
_[11] 학위논문 On channel modelling for land mobile satellite reception https://www.db-thuer[...] 2015
_[12] 문서 어떤 물체가 다른 방해없이 시야에 들어올 경우 즉 두 물체상의 직선 거리에 장애물이 없는 경우를 의미한다.

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