레일리 분포

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 모수 추정
- 4.1. 최대 우도 추정
- 4.2. 신뢰 구간
5. 난수 생성
6. 다른 확률 분포와의 관계
7. 응용
참조

1. 개요

레일리 분포는 척도 매개변수를 갖는 연속 확률 분포로, 확률 밀도 함수와 누적 분포 함수를 통해 정의된다. 이 분포는 기대값, 분산, 최빈값 등의 성질을 가지며, 최대 우도 추정 및 난수 생성을 위한 공식이 존재한다. 정규 분포, 카이 제곱 분포 등 다른 확률 분포와 관계가 있으며, 자기 공명 영상, 영양학, 탄도학, 물리 해양학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.^[2]

: $f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/(2\sigma^2)}, \quad x \geq 0,$

여기서 $\sigma$ 는 분포의 척도 매개변수이다. 누적 분포 함수는 다음과 같다.^[1]

: $F(x;\sigma) = 1 - e^{-x^2/(2\sigma^2)}$

( $x \in [0,\infty)$ ).

확률 변수를 실수 ''x'' (''x'' ≥ 0)로 할 때 레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음 식으로 정의된다.

: $\frac{x}{\sigma^2} \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right)$

기대값은 $\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ , 분산은 $\left( 2-\frac{\pi}{2} \right) \sigma^2$ 이다.

확률 변수의 관측값이 ''X''로 얻어졌을 때, 파라미터 σ의 최우 추정값은 다음과 같다.

: $\hat{\sigma} =\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}$

3. 성질

레일리 분포는 여러 가지 유용한 성질을 가진다. 확률 변수의 관측값이 $X_i$ 로 주어질 때, 파라미터 $\sigma$ 의 최우 추정값은 다음과 같이 계산된다.

: $\hat{\sigma} =\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}$

3. 1. 모멘트

원점 모멘트는 다음과 같다.

:

\mu_j = \sigma^j2^{j/2}\,\Gamma\left(1 + \frac j 2\right),

여기서

\Gamma(z)

는 감마 함수이다.

평균은 다음과 같다.

:

\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253\ \sigma.

표준 편차는 다음과 같다.

:

\operatorname{std}(X) = \sqrt{\left (2-\frac{\pi}{2}\right)} \sigma \approx 0.655\ \sigma

분산은 다음과 같다.

:

\operatorname{var}(X) = \mu_2-\mu_1^2 =  \left(2-\frac{\pi}{2}\right) \sigma^2 \approx 0.429\ \sigma^2

최빈값은

\sigma,

이고, 최대 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같다.

:

f_{\max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} e^{-1/2} \approx \frac{0.606}{\sigma}.

왜도는 다음과 같다.

:

\gamma_1 = \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4 - \pi)^{3/2}} \approx 0.631

초과 첨도는 다음과 같다.

:

\gamma_2 = -\frac{6\pi^2 - 24\pi + 16}{(4 - \pi)^2} \approx 0.245

특성 함수는 다음과 같다.

:

\varphi(t) = 1 - \sigma te^{-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left[\operatorname{erfi}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) - i\right]

여기서

\operatorname{erfi}(z)

는 허수 오차 함수이다. 모멘트 생성 함수는 다음과 같다.

:

M(t) = 1 + \sigma t\,e^{\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left[\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) + 1\right]

여기서

\operatorname{erf}(z)

는 오차 함수이다.

확률 변수를 실수 ''x'' (''x'' ≥ 0)로 할 때 레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음 식으로 정의된다.

:

\frac{x}{\sigma^2} \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right)

기대값은

\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}

, 분산은

\left( 2-\frac{\pi}{2} \right) \sigma^2

이다.

확률 변수의 관측값이

X_i

로 얻어졌을 때, 파라미터

\sigma

의 최우 추정값은 다음과 같다.

:

\hat{\sigma} =\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

3. 2. 특성 함수와 모멘트 생성 함수

원점 모멘트는 다음과 같다.

:

\mu_j = \sigma^j2^{j/2}\,\Gamma\left(1 + \frac j 2\right),

여기서

\Gamma(z)

는 감마 함수이다.

평균은 다음과 같다.

:

\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253\ \sigma.

표준 편차는 다음과 같다.

:

\operatorname{std}(X) = \sqrt{\left (2-\frac{\pi}{2}\right)} \sigma \approx 0.655\ \sigma

분산은 다음과 같다.

:

\operatorname{var}(X) = \mu_2-\mu_1^2 =  \left(2-\frac{\pi}{2}\right) \sigma^2 \approx 0.429\ \sigma^2

왜도는 다음과 같다.

:

\gamma_1 = \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4 - \pi)^{3/2}} \approx 0.631

초과 첨도는 다음과 같다.

:

\gamma_2 = -\frac{6\pi^2 - 24\pi + 16}{(4 - \pi)^2} \approx 0.245

특성 함수는 다음과 같다.

:

\varphi(t) = 1 - \sigma te^{-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left[\operatorname{erfi}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) - i\right]

여기서

\operatorname{erfi}(z)

는 허수 오차 함수이다.

모멘트 생성 함수는 다음과 같다.

:

M(t) = 1 + \sigma t\,e^{\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left[\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) + 1\right]

여기서

\operatorname{erf}(z)

는 오차 함수이다.

3. 3. 미분 엔트로피

미분 엔트로피는 다음과 같이 주어진다.

:

H = 1 + \ln\left(\frac \sigma {\sqrt{2}}\right) + \frac \gamma 2

여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다.

4. 모수 추정

레일리 분포의 모수를 추정하는 방법에는 최대우도추정과 신뢰 구간을 이용하는 방법이 있다. 최대우도추정값을 구하는 공식은 다음과 같다.

: $\hat{\sigma} =\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}$

신뢰 구간을 이용하면 모수가 특정 구간 안에 있을 확률을 추정할 수 있다.

4. 1. 최대 우도 추정

\sigma

매개변수의 최대우도 추정공식은 다음과 같다.

:

\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}

파라미터

\sigma

를 갖는 ''N''개의 독립적이고 동일하게 분포된 레일리 확률 변수

x_i

의 표본이 주어졌을 때,

:

\widehat{\sigma^2} = \!\,\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2

는 최대 우도 추정치이며 비편향 추정치이기도 하다.

:

\widehat{\sigma}\approx \sqrt{\frac 1 {2N} \sum_{i=1}^N x_i^2}

는 다음 공식을 통해 보정될 수 있는 편향된 추정량이다.

:

\sigma = \widehat{\sigma} \frac {\Gamma(N)\sqrt{N}} {\Gamma\left(N + \frac 1 2\right)} = \widehat{\sigma} \frac {4^N N!(N-1)!\sqrt{N}} {(2N)!\sqrt{\pi}}

^[4]

확률 변수를 실수 ''x'' (''x'' ≥ 0)로 할 때 레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음 식으로 정의된다.

:

\frac{x}{\sigma^2} \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right)

확률 변수의 관측값이

X_i

로 얻어졌을 때, 파라미터

\sigma

의 최우 추정값은

:

\hat{\sigma} =\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

이다.

4. 2. 신뢰 구간

(1 - ''α'') 신뢰 구간을 찾으려면 먼저 다음과 같은 경계

[a,b]

를 찾는다.

:

P\left(\chi_{2N}^2 \leq a\right) = \alpha/2, \quad P\left(\chi_{2N}^2 \leq b\right) = 1 - \alpha/2

그러면 척도 모수는 다음 경계 내에 속하게 된다.

:

\frac{b} \leq {\widehat{\sigma^2}} \leq \frac{a}

^[5]

5. 난수 생성

구간 균등 분포에서 추출된 임의 변수 ''U''가 (0, 1) 구간에 주어지면,

: $X = \sigma \sqrt{-2 \ln U}\,$

변수는 모수 $\sigma$ 를 갖는 레일리 분포를 갖는다. 이는 역변환 표본 추출 방법을 적용하여 얻어진다.

6. 다른 확률 분포와의 관계

$X \sim N(0, \sigma^2)$ 와 $Y \sim N(0, \sigma^2)$ 가 서로 독립인 정규 분포일 때 $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ 는 레일리 분포 $R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$ 이다.^[6]
$R \sim \mathrm{Rayleigh}(1)$ 이면 $R^2$ 은 자유도가 2인 카이 제곱 분포이다. $R^2 \sim \chi^2_2$
$X$ 가 지수 분포 $X \sim \mathrm{Exponential}(x|\lambda)$ 이면, $Y=\sqrt{2X\sigma\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)$ 이다.
카이 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
라이스 분포는 레일리 분포를 일반화 한 것이다.
베이불 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
표준 복소 정규 분포 변수 ''z''의 크기 $|z|$ 는 레일리 분포를 따른다.
자유도 ''v'' = 2인 카이 분포는 ''σ'' = 1인 레일리 분포와 동일하다: $R(\sigma) \sim \sigma\chi_2^{\,}\ .$
만약 $R \sim \mathrm{Rayleigh} (1)$ 이라면, $R^2$ 는 자유도가 2인 카이제곱 분포를 따른다: $[Q=R(\sigma)^2] \sim \sigma^2\chi_2^2\ .$
만약 $R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$ 라면, $\sum_{i=1}^N R_i^2$ 는 모수가 $N$ 과 $\frac{1}{2\sigma^2}$ 인 감마 분포를 따른다.
: $\left[Y=\sum_{i=1}^N R_i^2\right] \sim \Gamma\left(N,\frac{1}{2\sigma^2}\right) .$
라이스 분포는 레일리 분포의 비중심 분포 일반화이다: $\mathrm{Rayleigh}(\sigma) = \mathrm{Rice}(0,\sigma)$ .
형상 모수 ''k'' = 2인 와이블 분포는 레일리 분포를 생성한다. 이때 레일리 분포 모수 $\sigma$ 는 와이블 척도 모수와 $\lambda = \sigma \sqrt{2} .$ 에 따라 관련된다.
만약 $X$ 가 지수 분포 $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ 를 따른다면, $Y=\sqrt{X} \sim \mathrm{Rayleigh}(1/\sqrt{2\lambda}) .$ 이다.
반정규 분포는 레일리 분포의 1차원 등가물이다.
맥스웰-볼츠만 분포는 레일리 분포의 3차원 등가물이다.

7. 응용

자기 공명 영상(MRI)에서 σ 추정의 응용을 찾을 수 있다. MRI 영상은 복소수 영상으로 기록되지만, 대부분 크기 영상으로 보이기 때문에 배경 데이터는 레일리 분포를 따른다. 따라서, 위의 공식을 사용하여 배경 데이터로부터 MRI 영상의 잡음 분산을 추정할 수 있다.^[7]

레일리 분포는 영양학 분야에서 식이 영양소 수준과 인간 및 동물 반응을 연결하는 데에도 사용된다. 이러한 방식으로, 매개변수 σ는 영양소 반응 관계를 계산하는 데 사용될 수 있다.^[9]

탄도학 분야에서 레일리 분포는 원형 공산 오차를 계산하는 데 사용된다. 이는 총의 정밀도를 측정하는 척도이다.

물리 해양학에서 유의파고의 분포는 대략적으로 레일리 분포를 따른다.^[10]

참조

_[1] 간행물 The Wave Theory of Light Encyclopedic Britannica 1888
_[2] 서적 Probability, Random Variables and Stochastic Processes
_[3] 논문 Student-t based filter for robust signal detection
_[4] 간행물 Statistical inference for Rayleigh distributions https://archive.org/[...]
_[5] 간행물 Some Problems Connected With Rayleigh Distributions http://nvlpubs.nist.[...]
_[6] 웹사이트 Shot group statistics https://web.archive.[...]
_[7] 논문 Parameter estimation from magnitude MR images
_[8] 논문 Data distributions in magnetic resonance images: a review
_[9] 논문 A mathematical function for the description of nutrient-response curve 2017-11-21
_[10] 웹사이트 Rayleigh Probability Distribution Applied to Random Wave Heights https://www.usna.edu[...] United States Naval Academy

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