레일리 분포

1. 개요

레일리 분포는 척도 매개변수를 갖는 연속 확률 분포로, 확률 밀도 함수와 누적 분포 함수를 통해 정의된다. 이 분포는 기대값, 분산, 최빈값 등의 성질을 가지며, 최대 우도 추정 및 난수 생성을 위한 공식이 존재한다. 정규 분포, 카이 제곱 분포 등 다른 확률 분포와 관계가 있으며, 자기 공명 영상, 영양학, 탄도학, 물리 해양학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:$f(x;\backslash sigma)\; =\; \backslash frac\{x\}\{\backslash sigma^2\}\; e^\{-x^2/(2\backslash sigma^2)\},\; \backslash quad\; x\; \backslash geq\; 0,$

여기서 $\backslash sigma$는 분포의 척도 매개변수이다. 누적 분포 함수는 다음과 같다.

:$F(x;\backslash sigma)\; =\; 1\; -\; e^\{-x^2/(2\backslash sigma^2)\}$

($x\; \backslash in\; [0,\backslash infty)$).

확률 변수를 실수 x (x ≥ 0)로 할 때 레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음 식으로 정의된다.

:$\backslash frac\{x\}\{\backslash sigma^2\}\; \backslash exp\; \backslash left(\; -\backslash frac\{x^2\}\{2\backslash sigma^2\}\; \backslash right)$

기대값은 $\backslash sigma\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}$ , 분산은 $\backslash left(\; 2-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash sigma^2$ 이다.

확률 변수의 관측값이 X로 얻어졌을 때, 파라미터 σ의 최우 추정값은 다음과 같다.

:$\backslash hat\{\backslash sigma\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i^2\}$

3. 성질

레일리 분포는 여러 가지 유용한 성질을 가진다. 확률 변수의 관측값이 $X\_i$로 주어질 때, 파라미터 $\backslash sigma$의 최우 추정값은 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash hat\{\backslash sigma\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i^2\}$

3.1. 모멘트

원점 모멘트는 다음과 같다.

:$\backslash mu\_j\; =\; \backslash sigma^j2^\{j/2\}\backslash ,\backslash Gamma\backslash left(1\; +\; \backslash frac\; j\; 2\backslash right),$

여기서 $\backslash Gamma(z)$는 감마 함수이다.

평균은 다음과 같다.

:$\backslash mu(X)\; =\; \backslash sigma\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\backslash \; \backslash approx\; 1.253\backslash \; \backslash sigma.$

표준 편차는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{std\}(X)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left\; (2-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\}\; \backslash sigma\; \backslash approx\; 0.655\backslash \; \backslash sigma$

분산은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{var\}(X)\; =\; \backslash mu\_2-\backslash mu\_1^2\; =\; \backslash left(2-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\; \backslash sigma^2\; \backslash approx\; 0.429\backslash \; \backslash sigma^2$

최빈값은 $\backslash sigma,$ 이고, 최대 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같다.

:$f\_\{\backslash max\}\; =\; f(\backslash sigma;\backslash sigma)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma\}\; e^\{-1/2\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{0.606\}\{\backslash sigma\}.$

왜도는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\_1\; =\; \backslash frac\{2\backslash sqrt\{\backslash pi\}(\backslash pi\; -\; 3)\}\{(4\; -\; \backslash pi)^\{3/2\}\}\; \backslash approx\; 0.631$

초과 첨도는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\_2\; =\; -\backslash frac\{6\backslash pi^2\; -\; 24\backslash pi\; +\; 16\}\{(4\; -\; \backslash pi)^2\}\; \backslash approx\; 0.245$

특성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash varphi(t)\; =\; 1\; -\; \backslash sigma\; te^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sigma^2t^2\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; \backslash left[\backslash operatorname\{erfi\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash sigma\; t\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\; -\; i\backslash right]$

여기서 $\backslash operatorname\{erfi\}(z)$는 허수 오차 함수이다. 모멘트 생성 함수는 다음과 같다.

:$$
M(t) = 1 + \sigma t\,e^{\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left[\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) + 1\right]

여기서 $\backslash operatorname\{erf\}(z)$는 오차 함수이다.

확률 변수를 실수 x (x ≥ 0)로 할 때 레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음 식으로 정의된다.

:$\backslash frac\{x\}\{\backslash sigma^2\}\; \backslash exp\; \backslash left(\; -\backslash frac\{x^2\}\{2\backslash sigma^2\}\; \backslash right)$

기대값은 $\backslash sigma\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}$ , 분산은 $\backslash left(\; 2-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash sigma^2$ 이다.

확률 변수의 관측값이 $X\_i$ 로 얻어졌을 때, 파라미터 $\backslash sigma$의 최우 추정값은 다음과 같다.

:$\backslash hat\{\backslash sigma\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i^2\}$

3.2. 특성 함수와 모멘트 생성 함수

원점 모멘트는 다음과 같다.

:$\backslash mu\_j\; =\; \backslash sigma^j2^\{j/2\}\backslash ,\backslash Gamma\backslash left(1\; +\; \backslash frac\; j\; 2\backslash right),$

여기서 $\backslash Gamma(z)$는 감마 함수이다.

평균은 다음과 같다.

:$\backslash mu(X)\; =\; \backslash sigma\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\backslash \; \backslash approx\; 1.253\backslash \; \backslash sigma.$

표준 편차는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{std\}(X)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left\; (2-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\}\; \backslash sigma\; \backslash approx\; 0.655\backslash \; \backslash sigma$

분산은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{var\}(X)\; =\; \backslash mu\_2-\backslash mu\_1^2\; =\; \backslash left(2-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\; \backslash sigma^2\; \backslash approx\; 0.429\backslash \; \backslash sigma^2$

왜도는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\_1\; =\; \backslash frac\{2\backslash sqrt\{\backslash pi\}(\backslash pi\; -\; 3)\}\{(4\; -\; \backslash pi)^\{3/2\}\}\; \backslash approx\; 0.631$

초과 첨도는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\_2\; =\; -\backslash frac\{6\backslash pi^2\; -\; 24\backslash pi\; +\; 16\}\{(4\; -\; \backslash pi)^2\}\; \backslash approx\; 0.245$

특성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash varphi(t)\; =\; 1\; -\; \backslash sigma\; te^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sigma^2t^2\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; \backslash left[\backslash operatorname\{erfi\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash sigma\; t\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\; -\; i\backslash right]$

여기서 $\backslash operatorname\{erfi\}(z)$는 허수 오차 함수이다.

모멘트 생성 함수는 다음과 같다.

:$$
M(t) = 1 + \sigma t\,e^{\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left[\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) + 1\right]

여기서 $\backslash operatorname\{erf\}(z)$는 오차 함수이다.

3.3. 미분 엔트로피

미분 엔트로피는 다음과 같이 주어진다.

:$H\; =\; 1\; +\; \backslash ln\backslash left(\backslash frac\; \backslash sigma\; \{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\; \backslash gamma\; 2$

여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

4. 모수 추정

레일리 분포의 모수를 추정하는 방법에는 최대우도추정과 신뢰 구간을 이용하는 방법이 있다. 최대우도추정값을 구하는 공식은 다음과 같다.

:$\backslash hat\{\backslash sigma\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i^2\}$

신뢰 구간을 이용하면 모수가 특정 구간 안에 있을 확률을 추정할 수 있다.

4.1. 최대 우도 추정

$\backslash sigma$ 매개변수의 최대우도 추정공식은 다음과 같다.

:$\backslash sigma\backslash approx\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2N\}\backslash sum\_\{i=0\}^N\; x\_i^2\}$

파라미터 $\backslash sigma$를 갖는 N개의 독립적이고 동일하게 분포된 레일리 확률 변수 $x\_i$의 표본이 주어졌을 때,

: $\backslash widehat\{\backslash sigma^2\}\; =\; \backslash !\backslash ,\backslash frac\{1\}\{2N\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; x\_i^2$는 최대 우도 추정치이며 비편향 추정치이기도 하다.

:$\backslash widehat\{\backslash sigma\}\backslash approx\; \backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{2N\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; x\_i^2\}$는 다음 공식을 통해 보정될 수 있는 편향된 추정량이다.

:$\backslash sigma\; =\; \backslash widehat\{\backslash sigma\}\; \backslash frac\; \{\backslash Gamma(N)\backslash sqrt\{N\}\}\; \{\backslash Gamma\backslash left(N\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\backslash right)\}\; =\; \backslash widehat\{\backslash sigma\}\; \backslash frac\; \{4^N\; N!(N-1)!\backslash sqrt\{N\}\}\; \{(2N)!\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}$

확률 변수를 실수 x (x ≥ 0)로 할 때 레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음 식으로 정의된다.

:$\backslash frac\{x\}\{\backslash sigma^2\}\; \backslash exp\; \backslash left(\; -\backslash frac\{x^2\}\{2\backslash sigma^2\}\; \backslash right)$

확률 변수의 관측값이 $X\_i$ 로 얻어졌을 때, 파라미터 $\backslash sigma$의 최우 추정값은

:$\backslash hat\{\backslash sigma\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i^2\}$

이다.

4.2. 신뢰 구간

(1 - α) 신뢰 구간을 찾으려면 먼저 다음과 같은 경계 $[a,b]$를 찾는다.

:$P\backslash left(\backslash chi\_\{2N\}^2\; \backslash leq\; a\backslash right)\; =\; \backslash alpha/2,\; \backslash quad\; P\backslash left(\backslash chi\_\{2N\}^2\; \backslash leq\; b\backslash right)\; =\; 1\; -\; \backslash alpha/2$

그러면 척도 모수는 다음 경계 내에 속하게 된다.

:$\backslash frac\{b\}\; \backslash leq\; \{\backslash widehat\{\backslash sigma^2\}\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{a\}$

5. 난수 생성

구간 균등 분포에서 추출된 임의 변수 U가 (0, 1) 구간에 주어지면,

:$X\; =\; \backslash sigma\; \backslash sqrt\{-2\; \backslash ln\; U\}\backslash ,$

변수는 모수 $\backslash sigma$를 갖는 레일리 분포를 갖는다. 이는 역변환 표본 추출 방법을 적용하여 얻어진다.

6. 다른 확률 분포와의 관계

* $X\; \backslash sim\; N(0,\; \backslash sigma^2)$와 $Y\; \backslash sim\; N(0,\; \backslash sigma^2)$가 서로 독립인 정규 분포일 때 $R\; =\; \backslash sqrt\{X^2\; +\; Y^2\}$는 레일리 분포 $R\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Rayleigh\}(\backslash sigma)$이다.
* $R\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Rayleigh\}(1)$이면 $R^2$은 자유도가 2인 카이 제곱 분포이다. $R^2\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_2$
* $X$가 지수 분포 $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Exponential\}(x|\backslash lambda)$이면, $Y=\backslash sqrt\{2X\backslash sigma\backslash lambda\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Rayleigh\}(y|\backslash sigma)$이다.
* 카이 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
* 라이스 분포는 레일리 분포를 일반화 한 것이다.
* 베이불 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
* 표준 복소 정규 분포 변수 z의 크기 $|z|$는 레일리 분포를 따른다.
* 자유도 v = 2인 카이 분포는 σ = 1인 레일리 분포와 동일하다: $R(\backslash sigma)\; \backslash sim\; \backslash sigma\backslash chi\_2^\{\backslash ,\}\backslash \; .$
* 만약 $R\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Rayleigh\}\; (1)$이라면, $R^2$는 자유도가 2인 카이제곱 분포를 따른다: $[Q=R(\backslash sigma)^2]\; \backslash sim\; \backslash sigma^2\backslash chi\_2^2\backslash \; .$
* 만약 $R\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Rayleigh\}(\backslash sigma)$라면, $\backslash sum\_\{i=1\}^N\; R\_i^2$는 모수가 $N$과 $\backslash frac\{1\}\{2\backslash sigma^2\}$인 감마 분포를 따른다.
*: $\backslash left[Y=\backslash sum\_\{i=1\}^N\; R\_i^2\backslash right]\; \backslash sim\; \backslash Gamma\backslash left(N,\backslash frac\{1\}\{2\backslash sigma^2\}\backslash right)\; .$
* 라이스 분포는 레일리 분포의 비중심 분포 일반화이다: $\backslash mathrm\{Rayleigh\}(\backslash sigma)\; =\; \backslash mathrm\{Rice\}(0,\backslash sigma)$.
* 형상 모수 k = 2인 와이블 분포는 레일리 분포를 생성한다. 이때 레일리 분포 모수 $\backslash sigma$는 와이블 척도 모수와 $\backslash lambda\; =\; \backslash sigma\; \backslash sqrt\{2\}\; .$에 따라 관련된다.
* 만약 $X$가 지수 분포 $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Exponential\}(\backslash lambda)$를 따른다면, $Y=\backslash sqrt\{X\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Rayleigh\}(1/\backslash sqrt\{2\backslash lambda\})\; .$이다.
* 반정규 분포는 레일리 분포의 1차원 등가물이다.
* 맥스웰-볼츠만 분포는 레일리 분포의 3차원 등가물이다.

7. 응용

자기 공명 영상(MRI)에서 σ 추정의 응용을 찾을 수 있다. MRI 영상은 복소수 영상으로 기록되지만, 대부분 크기 영상으로 보이기 때문에 배경 데이터는 레일리 분포를 따른다. 따라서, 위의 공식을 사용하여 배경 데이터로부터 MRI 영상의 잡음 분산을 추정할 수 있다.

레일리 분포는 영양학 분야에서 식이 영양소 수준과 인간 및 동물 반응을 연결하는 데에도 사용된다. 이러한 방식으로, 매개변수 σ는 영양소 반응 관계를 계산하는 데 사용될 수 있다.

탄도학 분야에서 레일리 분포는 원형 공산 오차를 계산하는 데 사용된다. 이는 총의 정밀도를 측정하는 척도이다.

물리 해양학에서 유의파고의 분포는 대략적으로 레일리 분포를 따른다.