슈톨츠-체사로 정리

1. 개요

슈톨츠-체사로 정리는 두 실수열의 비의 극한을 구하는 정리로, 특히 0/0 또는 ∞/∞ 형태의 부정형 극한을 계산하는 데 유용하게 사용된다. 이 정리는 분모 수열의 조건에 따라 여러 형태로 표현되며, 일반화된 형태는 극한이 존재하지 않는 경우에도 수열의 비의 상극한과 하극한 사이의 관계를 보여준다. 슈톨츠와 체사로에 의해 제시되었으며, 일반적인 극한 계산, 평균의 극한, 그리고 수열의 극한을 구하는 데 다양하게 활용된다.

2. 정의

두 실수열 $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$, $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
(0에 수렴하는 순단조수열)
(양의 무한대에 수렴하는 순증가수열)
** (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) $b\_1>b\_2>\backslash cdots$이며, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n=-\backslash infty$ (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
* (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash Delta\; a\_n\}\{\backslash Delta\; b\_n\}\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash sqcup\backslash \{\backslash pm\backslash infty\backslash \}$
그렇다면, 슈톨츠-체사로 정리에 따르면 다음이 성립한다.
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash Delta\; a\_n\}\{\backslash Delta\; b\_n\}\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash sqcup\backslash \{\backslash pm\backslash infty\backslash \}$
슈톨츠-체사로 정리의 일반적인 형태는 다음과 같다. 만약 $(a\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 두 수열이고, $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면:
:$\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\backslash leq\; \backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}.$
수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$과 $\backslash \{b\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$을 실수의 수열이라고 하자. $b\_n$이 단조 증가 (또는 단조 감소)하며 무계이고, 극한

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash ell$

이 존재하면,

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=\backslash ell$

이다.

== 0/0 형태 ==
두 실수 수열 $(a\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 있다고 하자. 이제 $(a\_n)\backslash to\; 0$이고 $(b\_n)\backslash to\; 0$이며 $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$은 엄격히 감소한다고 가정한다. 만약
:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=l,\backslash$
이면
:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=l.\backslash$이다.

== ∞/∞ 형태 ==
두 개의 수열 $(a\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 있다고 하자. $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$은 엄격한 단조 증가하고 발산하는 수열(즉, 엄격하게 증가하여 $+\; \backslash infty$로 접근하거나, 엄격하게 감소하여 $-\; \backslash infty$로 접근하는 수열)이고 다음의 극한이 존재한다고 가정하자.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=l.\backslash$

그렇다면, 다음 극한이 성립한다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=l.\backslash$

일반적인 형태는 다음과 같다. 만약 $(a\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 두 수열이고, $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면:

:$\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\backslash leq\; \backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}.$

구체적으로, $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$과 $\backslash \{b\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$을 실수의 수열이라고 하자. $b\_n$이 단조 증가 (또는 단조 감소)하며 무계이고, 극한

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash ell$

이 존재하면,

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=\backslash ell$

이다.

2.1. 0/0 형태

두 실수 수열 $(a\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 있다고 하자. 이제 $(a\_n)\backslash to\; 0$이고 $(b\_n)\backslash to\; 0$이며 $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$은 엄격히 감소한다고 가정한다. 만약
:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=l,\backslash$
이면
:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=l.\backslash$이다.

2.2. ∞/∞ 형태

두 개의 수열 $(a\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 있다고 하자. $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$은 엄격한 단조 증가하고 발산하는 수열(즉, 엄격하게 증가하여 $+\; \backslash infty$로 접근하거나, 엄격하게 감소하여 $-\; \backslash infty$로 접근하는 수열)이고 다음의 극한이 존재한다고 가정하자.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=l.\backslash$

그렇다면, 다음 극한이 성립한다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=l.\backslash$

일반적인 형태는 다음과 같다. 만약 $(a\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 두 수열이고, $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면:

:$\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\backslash leq\; \backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}.$

구체적으로, $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$과 $\backslash \{b\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$을 실수의 수열이라고 하자. $b\_n$이 단조 증가 (또는 단조 감소)하며 무계이고, 극한

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash ell$

이 존재하면,

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=\backslash ell$

이다.

3. 증명

가장 기본적인, $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의한다.
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash Delta\; a\_n\}\{\backslash Delta\; b\_n\}=\backslash ell$
그렇다면, $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 $\backslash epsilon>0$에 대하여, $N\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재하여, 임의의 $n\backslash ge\; N$에 대하여 다음이 성립한다.
:
이를 $n$에 $N,N+1,\backslash dots,n$를 대입하여 합을 구하면
:
이다. 또한 $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,
:
이다. 여기서 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n=+\backslash infty$이므로, $N\text{'}\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재하여, 임의의 $n\backslash ge\; N\text{'}$에 대하여,
:
이다. 즉,
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=\backslash ell$

$(b\_n)$이 단조 증가하고 $+\backslash infty$로 발산하며,

:

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

$(b\_n)$이 단조 증가하므로 $b\_\{n+1\}-b\_n>0$이며, 양변에 $(b\_\{n+1\}-b\_n)$을 곱하면 다음을 얻는다.

:.

또한, $a\_n\; =\; [(a\_n-a\_\{n-1\})+\backslash dots+(a\_\{\backslash nu+2\}-a\_\{\backslash nu+1\})]+a\_\{\backslash nu+1\}$ 이므로, 위의 부등식을 각 항에 적용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}=(l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}&a_n<(l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}=(l+\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}.\end{align}

$b\_n\backslash to+\backslash infty$ ($n\backslash to\backslash infty$) 이므로, 모든 $n>n\_0$에 대해 $b\_n>0$인 $n\_0>0$이 존재하며, $b\_n$으로 두 부등식을 나눌 수 있다.

:

여기서, $c^\{\backslash pm\}\_n:=\backslash frac\{a\_\{\backslash nu+1\}-b\_\{\backslash nu+1\}(l\backslash pm\backslash epsilon/2)\}\{b\_n\}$는 $b\_n\backslash to+\backslash infty$이고 분자가 상수이므로 0으로 수렴한다. 따라서 충분히 큰 $n$에 대해 를 만족하고, 다음 부등식을 얻는다.

:

$(b\_n)$이 단조 감소하고 $-\backslash infty$로 발산하며, 인 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

$(b\_n)$이 단조 증가하고 $+\backslash infty$로 발산하며, $l=+\backslash infty$인 경우, 모든 $2M\; >\; 0$에 대해 $\backslash nu\; >\; 0$가 존재하여 $\backslash forall\; n\; >\; \backslash nu$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\; >\; 2M.$

위의 부등식을 이용하여 다음을 얻는다.

:$a\_n\; >\; 2M(b\_n-b\_\{\backslash nu+1\})\; +\; a\_\{\backslash nu+1\},\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; \backslash nu,$

:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; \backslash frac\{a\_\{\backslash nu+1\}-2M\; b\_\{\backslash nu+1\}\}\{b\_n\},\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; \backslash max\backslash \{\backslash nu,n\_0\backslash \}.$

$c\_n\; :=\; \backslash frac\{a\_\{\backslash nu+1\}-2M\; b\_\{\backslash nu+1\}\}\{b\_n\}$은 0으로 수렴하므로, 충분히 큰 $n$에 대해 을 만족하고, 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; c\_n\; >\; M,\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; \backslash max\backslash \{\backslash nu,\backslash bar\{n\}\backslash \}\; =:\; N.$

$(b\_n)$이 단조 증가하거나 감소하고 각각 $+\backslash infty$ 또는 $-\backslash infty$에 접근하며 $l=\backslash pm\backslash infty$인 다른 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

슈톨츠-체사로 정리는 두 수열의 비의 극한에 대한 정리로, 0/0 형태의 부정형 극한값을 구하는 데 사용될 수 있다.

경우 1: 이고 $(b\_n)$이 엄격하게 감소하는 경우, 각 $\backslash nu\; >\; 0$에 대해 다음이 성립한다.
:$a\_n\; =\; (a\_n-a\_\{n+1\})+\backslash dots+(a\_\{n+\backslash nu-1\}-a\_\{n+\backslash nu\})+a\_\{n+\backslash nu\},$
모든 $\backslash epsilon/2>0$에 대해 $\backslash exist\; n\_0$가 존재하여 모든 $n>n\_0$에 대해 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}$
&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu} = (l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} < a_n\\
&a_n < (l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} = (l+\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu}.\end{align}
두 수열
:$c^\{\backslash pm\}\_\backslash nu\; :=\; \backslash frac\{a\_\{n+\backslash nu\}-b\_\{n+\backslash nu\}(l\backslash pm\backslash epsilon/2)\}\{b\_n\}$
는 $a\_\{n+\backslash nu\},b\_\{n+\backslash nu\}\; \backslash to\; 0$ as $\backslash nu\backslash to\backslash infty$이므로 무한소이며, 모든 $\backslash epsilon/2\; >\; 0$에 대해 다음을 만족하는 $\backslash nu\_\{\backslash pm\}\; >\; 0$가 존재한다.
:$\backslash begin\{align\}$
&|c^+_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_+,\\
&|c^-_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_-,
\end{align}
$\backslash nu$를 적절하게 선택하면 다음을 얻는다.
:

경우 2: $l=+\backslash infty$이고 $(b\_n)$이 엄격하게 감소하는 경우, 모든 $2M\; >\; 0$에 대해 모든 $n\; >\; n\_0$에 대해 다음을 만족하는 $n\_0\; >\; 0$가 존재한다.
:$\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\; >\; 2M\; \backslash implies\; a\_n-a\_\{n+1\}\; >\; 2M(b\_n-b\_\{n+1\}).$
각 $\backslash nu\; >\; 0,$에 대해
:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; \backslash frac\{a\_\{n+\backslash nu\}-2M\; b\_\{n+\backslash nu\}\}\{b\_n\},\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; n\_0.$
수열
:$c\_\{\backslash nu\}\; :=\; \backslash frac\{a\_\{n+\backslash nu\}-2M\; b\_\{n+\backslash nu\}\}\{b\_n\}$
는 $0$으로 수렴한다. 따라서
:$\backslash forall\; M\; >\; 0\backslash ,~\backslash exists\; \backslash bar\{\backslash nu\}\; >\; 0$ 다음과 같은
그리고 $\backslash nu$를 선택하여 다음을 증명한다.
:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; c\_\backslash nu\; >\; M,\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; n\_0.$

3.1. ∞/∞ 형태의 증명 (간략)

$(b\_n)$이 단조 증가하고 $+\backslash infty$로 발산하며,

:

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

$(b\_n)$이 단조 증가하므로 $b\_\{n+1\}-b\_n>0$이며, 양변에 $(b\_\{n+1\}-b\_n)$을 곱하면 다음을 얻는다.

:.

또한, $a\_n\; =\; [(a\_n-a\_\{n-1\})+\backslash dots+(a\_\{\backslash nu+2\}-a\_\{\backslash nu+1\})]+a\_\{\backslash nu+1\}$ 이므로, 위의 부등식을 각 항에 적용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}=(l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}&a_n<(l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}=(l+\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}.\end{align}

$b\_n\backslash to+\backslash infty$ ($n\backslash to\backslash infty$) 이므로, 모든 $n>n\_0$에 대해 $b\_n>0$인 $n\_0>0$이 존재하며, $b\_n$으로 두 부등식을 나눌 수 있다.

:

여기서, $c^\{\backslash pm\}\_n:=\backslash frac\{a\_\{\backslash nu+1\}-b\_\{\backslash nu+1\}(l\backslash pm\backslash epsilon/2)\}\{b\_n\}$는 $b\_n\backslash to+\backslash infty$이고 분자가 상수이므로 0으로 수렴한다. 따라서 충분히 큰 $n$에 대해 를 만족하고, 다음 부등식을 얻는다.

:

$(b\_n)$이 단조 감소하고 $-\backslash infty$로 발산하며, 인 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

$(b\_n)$이 단조 증가하고 $+\backslash infty$로 발산하며, $l=+\backslash infty$인 경우, 모든 $2M\; >\; 0$에 대해 $\backslash nu\; >\; 0$가 존재하여 $\backslash forall\; n\; >\; \backslash nu$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\; >\; 2M.$

위의 부등식을 이용하여 다음을 얻는다.

:$a\_n\; >\; 2M(b\_n-b\_\{\backslash nu+1\})\; +\; a\_\{\backslash nu+1\},\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; \backslash nu,$

:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; \backslash frac\{a\_\{\backslash nu+1\}-2M\; b\_\{\backslash nu+1\}\}\{b\_n\},\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; \backslash max\backslash \{\backslash nu,n\_0\backslash \}.$

$c\_n\; :=\; \backslash frac\{a\_\{\backslash nu+1\}-2M\; b\_\{\backslash nu+1\}\}\{b\_n\}$은 0으로 수렴하므로, 충분히 큰 $n$에 대해 을 만족하고, 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; c\_n\; >\; M,\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; \backslash max\backslash \{\backslash nu,\backslash bar\{n\}\backslash \}\; =:\; N.$

$(b\_n)$이 단조 증가하거나 감소하고 각각 $+\backslash infty$ 또는 $-\backslash infty$에 접근하며 $l=\backslash pm\backslash infty$인 다른 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

3.2. 0/0 형태 및 기타 경우

슈톨츠-체사로 정리는 두 수열의 비의 극한에 대한 정리로, 0/0 형태의 부정형 극한값을 구하는 데 사용될 수 있다.

경우 1: 이고 $(b\_n)$이 엄격하게 감소하는 경우, 각 $\backslash nu\; >\; 0$에 대해 다음이 성립한다.
:$a\_n\; =\; (a\_n-a\_\{n+1\})+\backslash dots+(a\_\{n+\backslash nu-1\}-a\_\{n+\backslash nu\})+a\_\{n+\backslash nu\},$
모든 $\backslash epsilon/2>0$에 대해 $\backslash exist\; n\_0$가 존재하여 모든 $n>n\_0$에 대해 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}$
&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu} = (l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} < a_n\\
&a_n < (l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} = (l+\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu}.\end{align}
두 수열
:$c^\{\backslash pm\}\_\backslash nu\; :=\; \backslash frac\{a\_\{n+\backslash nu\}-b\_\{n+\backslash nu\}(l\backslash pm\backslash epsilon/2)\}\{b\_n\}$
는 $a\_\{n+\backslash nu\},b\_\{n+\backslash nu\}\; \backslash to\; 0$ as $\backslash nu\backslash to\backslash infty$이므로 무한소이며, 모든 $\backslash epsilon/2\; >\; 0$에 대해 다음을 만족하는 $\backslash nu\_\{\backslash pm\}\; >\; 0$가 존재한다.
:$\backslash begin\{align\}$
&|c^+_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_+,\\
&|c^-_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_-,
\end{align}
$\backslash nu$를 적절하게 선택하면 다음을 얻는다.
:

경우 2: $l=+\backslash infty$이고 $(b\_n)$이 엄격하게 감소하는 경우, 모든 $2M\; >\; 0$에 대해 모든 $n\; >\; n\_0$에 대해 다음을 만족하는 $n\_0\; >\; 0$가 존재한다.
:$\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\; >\; 2M\; \backslash implies\; a\_n-a\_\{n+1\}\; >\; 2M(b\_n-b\_\{n+1\}).$
각 $\backslash nu\; >\; 0,$에 대해
:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; \backslash frac\{a\_\{n+\backslash nu\}-2M\; b\_\{n+\backslash nu\}\}\{b\_n\},\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; n\_0.$
수열
:$c\_\{\backslash nu\}\; :=\; \backslash frac\{a\_\{n+\backslash nu\}-2M\; b\_\{n+\backslash nu\}\}\{b\_n\}$
는 $0$으로 수렴한다. 따라서
:$\backslash forall\; M\; >\; 0\backslash ,~\backslash exists\; \backslash bar\{\backslash nu\}\; >\; 0$ 다음과 같은
그리고 $\backslash nu$를 선택하여 다음을 증명한다.
:$\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; >\; 2M\; +\; c\_\backslash nu\; >\; M,\backslash quad\backslash forall\; n\; >\; n\_0.$

$\backslash frac\{a\_\{k+1\}-a\_k\}\{b\_\{k+1\}-b\_k\}-\; \backslash ell\; =\; \backslash eta\_k$로 두고, $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash ell$가 존재한다고 가정하면, 임의의 $\backslash varepsilon>0$에 대해, 어떤 이 존재하여, 이면, 다음이 성립한다.

:

임의의 에 대해, 다음이 성립한다.

:$a\_k-a\_\{k-1\}=(b\_k-b\_\{k-1\})(\backslash ell+\backslash eta\_k)\backslash !$

$n\; \backslash gg\; N\backslash !$라고 하면, $a\_n-a\_N$은, 위 식을 에 대해 부터 까지 더함으로써, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$a\_n-a\_N=(b\_n-b\_N)\backslash ,\; \backslash ell+\backslash sum\_\{k=N+1\}^n\; (b\_k-b\_\{k-1\})\backslash ,\backslash eta\_k$

$a\_N$을 이항하고 양변을 $\{b\_n\}$으로 나누면 다음 식을 얻는다.

:$$
\frac{a_n}{b_n}=
\frac{a_N}{b_n}+\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)\ell + \sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,\eta_k \cdots\cdots (2)


수열 $(b\_n)\backslash !$은 비유계로 엄격히 단조 증가(감소)하므로, 이 우변의 제1항은 0으로 수렴한다. 또한 제2항은 $\backslash ell$로 수렴한다. 제3항이 0으로 수렴하는 것은 다음 관계에 의해 나타낼 수 있다.

:$$
\left|\sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,\eta_k\right|
\le \sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,|\eta_k|

::$$
< \frac{1}{b_n} \sum_{k=N+1}^n (b_k-b_{k-1})\,\varepsilon
< \left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)\varepsilon\le\varepsilon


따라서, (2)식, 즉 수열의 비는 $\backslash ell$로 수렴한다.

4. 일반화

실수열 $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$에 대하여, 슈톨츠-체사로 정리는 다음과 같이 일반화될 수 있다.

:$\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}\backslash leq\; \backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash leq\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}.$

이 일반화된 형태는 극한이 존재하지 않는 경우에도 수열의 비의 상극한과 하한 사이의 관계를 보여준다.

만약 $(a\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$과 $(b\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 두 수열이고, $(b\_n)\_\{n\; \backslash geq\; 1\}$이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면 위와 같은 관계가 성립한다.

두 수열 $a\_n=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; r\_k$ 와 $b\_n=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; d\_k$ 가 $\backslash \{r\_n\backslash \}\backslash !$ 과 $\backslash \{d\_n\backslash \}\backslash !$ 으로 규정된다고 가정하고, 다음 조건들을 만족한다고 하자.

* $d\_n=\backslash frac1n$ 은 조화 수열
* 각 수열의 요소는 양의 유한 값, 또는, 각 수열은 증가적
* $\backslash \{b\_n\backslash \}\backslash !$ 가 단조 증가

이때, 극한

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{r\_n\}\{d\_n\}=\backslash frac\{a\_n-a\_\{n-1\}\}\{b\_n-b\_\{n-1\}\}\; =\; \backslash ell$

이 존재하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{k=1\}^nr\_k\}\{\backslash sum\_\{k=1\}^nd\_k\}\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; =\; \backslash ell$

5. 관련 명제

5.1. 부분적 역

슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열

:$(a\_n)=(10,10,100,100,1000,1000,\backslash ldots)$

:$(b\_n)=(10,11,100,101,1000,1001,\backslash ldots)$

을 정의하였을 때, $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=1$이지만, $\backslash frac\{\backslash Delta\; a\_n\}\{\backslash Delta\; b\_n\}$의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$, $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* $b\_n,\backslash Delta\; b\_n\backslash ne0\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$
* $\backslash left(\{b\_n\; \backslash over\; \backslash Delta\; b\_n\}\backslash right)\{\}\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$은 유계 수열이다.
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash sqcup\backslash \{\backslash pm\backslash infty\backslash \}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash Delta\; a\_n\}\{\backslash Delta\; b\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash sqcup\backslash \{\backslash pm\backslash infty\backslash \}$

"수열의 차의 비의 극한이 존재한다 ⇒ 그 수열의 비의 극한이 존재한다"의 역은 참이라고 할 수 없다. 예를 들어
:$\backslash \{a\_n\backslash \}=\backslash \{10,10,100,100,1000,1000,\backslash dots\backslash \},$
:$\backslash \{b\_n\backslash \}=\backslash \{10,11,100,101,1000,1001,\backslash dots\backslash \}$
에 대하여,
:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; =\; 1$
이지만,
:$\backslash varliminf\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n-a\_\{n-1\}\}\{b\_n-b\_\{n-1\}\}=\; 0,\; \backslash quad$
\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}= 1
이 되므로, 수열
:$\backslash frac\{a\_n-a\_\{n-1\}\}\{b\_n-b\_\{n-1\}\}$
의 극한은 존재하지 않는다.

5.2. 한 가지 변형

슈톨츠-체사로 정리는 다음과 같은 곱의 형태로 변형될 수 있다. 두 실수열 $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$, $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

* $a\_n,b\_n>0\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$
* $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[b\_\{n+1\}-b\_n]\{\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}\}\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash sqcup\backslash \{\backslash pm\backslash infty\backslash \}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[b\_n]\{a\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[b\_\{n+1\}-b\_n]\{\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}\}\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash sqcup\backslash \{\backslash pm\backslash infty\backslash \}$

6. 예제

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1+2^k+\backslash cdots+n^k\}\{n^\{k+1\}\}=\backslash frac\{1\}\{k+1\}\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; N)$

분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, $(n^\{k+1\})\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; N)$는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

:$\backslash begin\{align\}\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1+2^k+\backslash cdots+n^k\}\{n^\{k+1\}\}$
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+kn^{k-1}+\cdots}{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}2n^{k-1}+\cdots}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{1+k\cdot\frac1n+\cdots}{(k+1)+\frac{k(k+1)}2\cdot\frac1n+\cdots}\\
&=\frac1{k+1}\end{align}

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{n+1\}\{n\}=1.$

:$\backslash begin\{align\}$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}&=\lim_ {n\to\infty}\frac{(n+1)!(n^n)}{n!(n+1)^{n+1}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}
\end{align}

여기서 우리는 $e$를 수열의 극한으로 나타내는 표현을 사용했다.

슈톨츠-체사로 정리는 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 등 다양한 평균의 극한을 구하는 데 사용될 수 있다. 실수열 $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$에 대하여 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}a\_n=a$일 때, 다음이 성립한다.

* (산술 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_1+a\_2+\backslash cdots+a\_n\}\{n\}=a$
* (기하 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{a\_1a\_2\backslash cdots\; a\_n\}=a$
* (조화 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\; n\{\backslash frac1\{a\_1\}+\backslash frac1\{a\_2\}+\backslash cdots+\backslash frac1\{a\_n\}\}=a$
* (멱평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[p]\backslash frac\{a\_1^p+a\_2^p+\backslash cdots+a\_n^p\}n=a\backslash qquad(p\backslash ne0)$
* (일반화된 f-평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}f^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{f(a\_1)+f(a\_2)+\backslash cdots+f(a\_n)\}n\backslash right)=a$ ($f$는 가역 연속 함수)

마찬가지로, $w\_n>0\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$이며 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; w\_n=+\backslash infty$일 때, 다음이 성립한다.

* (가중 산술 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{w\_1a\_1+w\_2a\_2+\backslash cdots+w\_na\_n\}\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}=a$
* (가중 기하 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n]\{a\_1^\{w\_1\}a\_2^\{w\_2\}\backslash cdots\; a\_n^\{w\_n\}\}=a$
* (가중 조화 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}\{\backslash frac\{w\_1\}\{a\_1\}+\backslash frac\{w\_2\}\{a\_2\}+\backslash cdots+\backslash frac\{w\_n\}\{a\_n\}\}=a$
* (가중 멱평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[p]\backslash frac\{w\_1a\_1^p+w\_2a\_2^p+\backslash cdots+w\_na\_n^p\}\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}=a$
* (가중 일반화된 f-평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}f^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{w\_1f(a\_1)+w\_2f(a\_2)+\backslash cdots+w\_nf(a\_n)\}\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}\backslash right)=a$ ($f$는 가역 연속 함수)

실수로 구성된 수열 $(x\_n)$이 $l$로 수렴한다고 할 때, $a\_n:=\backslash sum\_\{m=1\}^nx\_m=x\_1+\backslash dots+x\_n,\backslash quad\; b\_n:=n$으로 정의하면, $(b\_n)$은 단조 증가하고 $+\backslash infty$로 발산한다. 이 때, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_\{n+1\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_n=l$이므로, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{x\_1+\backslash dots+\; x\_n\}\{n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n.$이 성립한다. 즉, 어떤 실수로 구성된 수열 $(x\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$에 대해, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n$이 존재한다면(유한하거나 무한), $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{x\_1+\backslash dots+x\_n\}\{n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n.$이 성립한다.

$(x\_n)$을 $l$로 수렴하는 양의 실수 수열이라고 하고, $a\_n:=\backslash log(x\_1\backslash cdots\; x\_n),\backslash quad\; b\_n:=n,$로 정의하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash log(x\_\{n+1\})=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash log(x\_n)=\backslash log(l),$이다. 로그가 연속이라는 사실을 사용하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash log(x\_1\backslash cdots\; x\_n)\}\{n\}=\backslash log(l),$이고, 로그가 연속적이고 단사 함수이므로, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{x\_1\backslash cdots\; x\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n$를 얻는다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 $(x\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 주어지고, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n$가 존재하면(유한 또는 무한), $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{x\_1\backslash cdots\; x\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n.$이 성립한다.

수열 $(y\_n)\_\{n\backslash geq1\}$이 주어지고, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\},$를 계산해야 한다고 가정하고, $y\_0=1$과 $x\_n=y\_n/y\_\{n-1\}$를 정의하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{x\_1\backslash dots\; x\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\},$이고, 위의 속성을 적용하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{y\_n\}\{y\_\{n-1\}\}.$이다. 이 형태는 일반적으로 극한을 계산하는 데 가장 유용하다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 $(y\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 주어지고, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{y\_\{n+1\}\}\{y\_\{n\}\}$가 존재하면(유한 또는 무한), $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{y\_\{n+1\}\}\{y\_\{n\}\}.$이 성립한다.

6.1. 평균의 극한

슈톨츠-체사로 정리는 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 등 다양한 평균의 극한을 구하는 데 사용될 수 있다. 실수열 $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$에 대하여 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}a\_n=a$일 때, 다음이 성립한다.

* (산술 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_1+a\_2+\backslash cdots+a\_n\}\{n\}=a$
* (기하 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{a\_1a\_2\backslash cdots\; a\_n\}=a$
* (조화 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\; n\{\backslash frac1\{a\_1\}+\backslash frac1\{a\_2\}+\backslash cdots+\backslash frac1\{a\_n\}\}=a$
* (멱평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[p]\backslash frac\{a\_1^p+a\_2^p+\backslash cdots+a\_n^p\}n=a\backslash qquad(p\backslash ne0)$
* (일반화된 f-평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}f^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{f(a\_1)+f(a\_2)+\backslash cdots+f(a\_n)\}n\backslash right)=a$ ($f$는 가역 연속 함수)

마찬가지로, $w\_n>0\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$이며 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; w\_n=+\backslash infty$일 때, 다음이 성립한다.

* (가중 산술 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{w\_1a\_1+w\_2a\_2+\backslash cdots+w\_na\_n\}\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}=a$
* (가중 기하 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n]\{a\_1^\{w\_1\}a\_2^\{w\_2\}\backslash cdots\; a\_n^\{w\_n\}\}=a$
* (가중 조화 평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}\{\backslash frac\{w\_1\}\{a\_1\}+\backslash frac\{w\_2\}\{a\_2\}+\backslash cdots+\backslash frac\{w\_n\}\{a\_n\}\}=a$
* (가중 멱평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[p]\backslash frac\{w\_1a\_1^p+w\_2a\_2^p+\backslash cdots+w\_na\_n^p\}\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}=a$
* (가중 일반화된 f-평균의 극한) $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}f^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{w\_1f(a\_1)+w\_2f(a\_2)+\backslash cdots+w\_nf(a\_n)\}\{w\_1+w\_2+\backslash cdots+w\_n\}\backslash right)=a$ ($f$는 가역 연속 함수)

실수로 구성된 수열 $(x\_n)$이 $l$로 수렴한다고 할 때, $a\_n:=\backslash sum\_\{m=1\}^nx\_m=x\_1+\backslash dots+x\_n,\backslash quad\; b\_n:=n$으로 정의하면, $(b\_n)$은 단조 증가하고 $+\backslash infty$로 발산한다. 이 때, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_\{n+1\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_n=l$이므로, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{x\_1+\backslash dots+\; x\_n\}\{n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n.$이 성립한다. 즉, 어떤 실수로 구성된 수열 $(x\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$에 대해, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n$이 존재한다면(유한하거나 무한), $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{x\_1+\backslash dots+x\_n\}\{n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n.$이 성립한다.

$(x\_n)$을 $l$로 수렴하는 양의 실수 수열이라고 하고, $a\_n:=\backslash log(x\_1\backslash cdots\; x\_n),\backslash quad\; b\_n:=n,$로 정의하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_\{n+1\}-a\_n\}\{b\_\{n+1\}-b\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash log(x\_\{n+1\})=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash log(x\_n)=\backslash log(l),$이다. 로그가 연속이라는 사실을 사용하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash log(x\_1\backslash cdots\; x\_n)\}\{n\}=\backslash log(l),$이고, 로그가 연속적이고 단사 함수이므로, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{x\_1\backslash cdots\; x\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n$를 얻는다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 $(x\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 주어지고, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n$가 존재하면(유한 또는 무한), $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{x\_1\backslash cdots\; x\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n.$이 성립한다.

수열 $(y\_n)\_\{n\backslash geq1\}$이 주어지고, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\},$를 계산해야 한다고 가정하고, $y\_0=1$과 $x\_n=y\_n/y\_\{n-1\}$를 정의하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{x\_1\backslash dots\; x\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\},$이고, 위의 속성을 적용하면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{y\_n\}\{y\_\{n-1\}\}.$이다. 이 형태는 일반적으로 극한을 계산하는 데 가장 유용하다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 $(y\_n)\_\{n\backslash geq\; 1\}$이 주어지고, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{y\_\{n+1\}\}\{y\_\{n\}\}$가 존재하면(유한 또는 무한), $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{y\_n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{y\_\{n+1\}\}\{y\_\{n\}\}.$이 성립한다.

6.2. 기타 예제

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구할 수 있다.
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1+2^k+\backslash cdots+n^k\}\{n^\{k+1\}\}=\backslash frac\{1\}\{k+1\}\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; N)$
분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, $(n^\{k+1\})\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; N)$는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.
:$\backslash begin\{align\}\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1+2^k+\backslash cdots+n^k\}\{n^\{k+1\}\}$
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+kn^{k-1}+\cdots}{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}2n^{k-1}+\cdots}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{1+k\cdot\frac1n+\cdots}{(k+1)+\frac{k(k+1)}2\cdot\frac1n+\cdots}\\
&=\frac1{k+1}\end{align}
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{n\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{n+1\}\{n\}=1.$
:$\backslash begin\{align\}$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}&=\lim_ {n\to\infty}\frac{(n+1)!(n^n)}{n!(n+1)^{n+1}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}
\end{align}
여기서 우리는 $e$를 수열의 극한으로 나타내는 표현을 사용했다.

7. 역사

슈톨츠-체사로 정리는 오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(Otto Stolz^독일어)와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(Ernesto Cesàro^{이탈리아어})가 제시하였다. 슈톨츠의 1885년 저서 173~175페이지와 체사로의 1888년 논문 54페이지에 ∞/∞의 경우가 언급되고 증명되었다. 이는 폴리아와 세고(1925)의 문제 70번으로 나타난다.

8. 한국 사회에의 응용