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슈톨츠-체사로 정리

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목차

1. 개요

슈톨츠-체사로 정리는 두 실수열의 비의 극한을 구하는 정리로, 특히 0/0 또는 ∞/∞ 형태의 부정형 극한을 계산하는 데 유용하게 사용된다. 이 정리는 분모 수열의 조건에 따라 여러 형태로 표현되며, 일반화된 형태는 극한이 존재하지 않는 경우에도 수열의 비의 상극한과 하극한 사이의 관계를 보여준다. 슈톨츠와 체사로에 의해 제시되었으며, 일반적인 극한 계산, 평균의 극한, 그리고 수열의 극한을 구하는 데 다양하게 활용된다.

2. 정의

두 실수열 (a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.


  • 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
  • * (0에 수렴하는 순단조수열) b_1이거나 b_1>b_2>\cdots이며, 또한 \lim_{n\to\infty}b_n=0
  • * (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) b_1이며, \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)[3]
  • * (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) b_1>b_2>\cdots이며, \lim_{n\to\infty}b_n=-\infty (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
  • (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}

그렇다면, '''슈톨츠-체사로 정리'''에 따르면 다음이 성립한다.

  • \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}

슈톨츠-체사로 정리의 일반적인 형태는 다음과 같다.[2] 만약 (a_n)_{n\geq 1}과 (b_n)_{n\geq 1}이 두 수열이고, (b_n)_{n \geq 1}이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면:

:\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.

수열 \{a_n\}_{n \geq 1}과 \{b_n\}_{n \geq 1}을 실수의 수열이라고 하자. b_n이 단조 증가 (또는 단조 감소)하며 무계이고, 극한

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell

이 존재하면,

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\ell

이다.

== 0/0 형태 ==

두 실수 수열 (a_n)_{n \geq 1}과 (b_n)_{n \geq 1}이 있다고 하자. 이제 (a_n)\to 0이고 (b_n)\to 0이며 (b_n)_{n \geq 1}은 엄격히 감소한다고 가정한다.[1] 만약

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,\

이면

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ 이다.[1]

== ∞/∞ 형태 ==

두 개의 수열 (a_n)_{n \geq 1}과 (b_n)_{n \geq 1}이 있다고 하자. (b_n)_{n \geq 1}은 엄격한 단조 증가하고 발산하는 수열(즉, 엄격하게 증가하여 + \infty 로 접근하거나, 엄격하게 감소하여 - \infty 로 접근하는 수열)이고 다음의 극한이 존재한다고 가정하자.[2]

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\

그렇다면, 다음 극한이 성립한다.

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\

일반적인 형태는 다음과 같다. 만약 (a_n)_{n\geq 1}과 (b_n)_{n\geq 1}이 두 수열이고, (b_n)_{n \geq 1}이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면:

:\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.

구체적으로, \{a_n\}_{n \geq 1}과 \{b_n\}_{n \geq 1}을 실수의 수열이라고 하자. b_n이 단조 증가 (또는 단조 감소)하며 무계이고, 극한

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell

이 존재하면,

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\ell

이다.

2. 1. 0/0 형태

두 실수 수열 (a_n)_{n \geq 1}과 (b_n)_{n \geq 1}이 있다고 하자. 이제 (a_n)\to 0이고 (b_n)\to 0이며 (b_n)_{n \geq 1}은 엄격히 감소한다고 가정한다.[1] 만약

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,\

이면

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ 이다.[1]

2. 2. ∞/∞ 형태

두 개의 수열 (a_n)_{n \geq 1}과 (b_n)_{n \geq 1}이 있다고 하자. (b_n)_{n \geq 1}은 엄격한 단조 증가하고 발산하는 수열(즉, 엄격하게 증가하여 + \infty 로 접근하거나, 엄격하게 감소하여 - \infty 로 접근하는 수열)이고 다음의 극한이 존재한다고 가정하자.[2]

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\

그렇다면, 다음 극한이 성립한다.

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\

일반적인 형태는 다음과 같다. 만약 (a_n)_{n\geq 1}과 (b_n)_{n\geq 1}이 두 수열이고, (b_n)_{n \geq 1}이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면:

:\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.

구체적으로, \{a_n\}_{n \geq 1}과 \{b_n\}_{n \geq 1}을 실수의 수열이라고 하자. b_n이 단조 증가 (또는 단조 감소)하며 무계이고, 극한

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell

이 존재하면,

: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\ell

이다.

3. 증명

가장 기본적인, (b_n)_{n\in\mathbb N}이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의한다.

:\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\ell

그렇다면, (b_n)_{n\in\mathbb N}이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 \epsilon>0에 대하여, N\in\mathbb N이 존재하여, 임의의 n\ge N에 대하여 다음이 성립한다.

:(\ell-\epsilon)\Delta b_n<\Delta a_n<(\ell+\epsilon)\Delta b_n

이를 n에 N,N+1,\dots,n를 대입하여 합을 구하면

:(\ell-\epsilon)(b_n-b_N)

이다. 또한 (b_n)_{n\in\mathbb N}의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,

:(\ell-\epsilon)\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)<\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_N}{b_n}<(\ell+\epsilon)\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)

이다. 여기서 \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty이므로, N'\in\mathbb N이 존재하여, 임의의 n\ge N'에 대하여,

:\ell-2\epsilon<\frac{a_n}{b_n}<\ell+2\epsilon

이다. 즉,

:\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell

(b_n)이 단조 증가하고 +\infty로 발산하며, -\infty라고 가정하면, 모든 \epsilon/2 > 0에 대해 \nu > 0가 존재하여 \forall n > \nu에 대해 다음이 성립한다.

:\left|\,\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}-l\,\right| < \frac{\epsilon}{2},

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:l-\epsilon/2<\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} \nu.

(b_n)이 단조 증가하므로 b_{n+1}-b_n>0이며, 양변에 (b_{n+1}-b_n)을 곱하면 다음을 얻는다.

:(l-\epsilon/2)(b_{n+1}-b_n) \nu.

또한, a_n = [(a_n-a_{n-1})+\dots+(a_{\nu+2}-a_{\nu+1})]+a_{\nu+1} 이므로, 위의 부등식을 각 항에 적용하면 다음을 얻는다.

:\begin{align}

&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}=(l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}
&a_n<(l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}=(l+\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}.\end{align}

b_n\to+\infty (n\to\infty) 이므로, 모든 n>n_0에 대해 b_n>0인 n_0>0이 존재하며, b_n으로 두 부등식을 나눌 수 있다.

:(l-\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l-\epsilon/2)}{b_n}<\frac{a_n}{b_n}<(l+\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l+\epsilon/2)}{b_n}.

여기서, c^{\pm}_n:=\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}는 b_n\to+\infty이고 분자가 상수이므로 0으로 수렴한다. 따라서 충분히 큰 n에 대해 |c^{\pm}_n|<\epsilon/2를 만족하고, 다음 부등식을 얻는다.

:l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_n < \frac{a_n}{b_n} < l+\epsilon/2+c^+_n \max\lbrace\nu,n_{\pm}\rbrace =: N > 0.

(b_n)이 단조 감소하고 -\infty로 발산하며, l<\infty인 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

(b_n)이 단조 증가하고 +\infty로 발산하며, l=+\infty인 경우, 모든 2M > 0에 대해 \nu > 0가 존재하여 \forall n > \nu에 대해 다음이 성립한다.

:\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M.

위의 부등식을 이용하여 다음을 얻는다.

:a_n > 2M(b_n-b_{\nu+1}) + a_{\nu+1},\quad\forall n > \nu,

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n},\quad\forall n > \max\{\nu,n_0\}.

c_n := \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n}은 0으로 수렴하므로, 충분히 큰 n에 대해 -M < c_n < M을 만족하고, 다음을 얻는다.

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_n > M,\quad\forall n > \max\{\nu,\bar{n}\} =: N.

(b_n)이 단조 증가하거나 감소하고 각각 +\infty 또는 -\infty에 접근하며 l=\pm\infty인 다른 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

슈톨츠-체사로 정리는 두 수열의 비의 극한에 대한 정리로, 0/0 형태의 부정형 극한값을 구하는 데 사용될 수 있다.

'''경우 1:''' l < \infty이고 (b_n)이 엄격하게 감소하는 경우, 각 \nu > 0에 대해 다음이 성립한다.

:a_n = (a_n-a_{n+1})+\dots+(a_{n+\nu-1}-a_{n+\nu})+a_{n+\nu},

모든 \epsilon/2>0에 대해 \exist n_0가 존재하여 모든 n>n_0에 대해 다음이 성립한다.

:\begin{align}

&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu} = (l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} < a_n\\

&a_n < (l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} = (l+\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu}.\end{align}

두 수열

:c^{\pm}_\nu := \frac{a_{n+\nu}-b_{n+\nu}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}

는 a_{n+\nu},b_{n+\nu} \to 0 as \nu\to\infty이므로 무한소이며, 모든 \epsilon/2 > 0에 대해 다음을 만족하는 \nu_{\pm} > 0가 존재한다.

:\begin{align}

&|c^+_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_+,\\

&|c^-_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_-,

\end{align}

\nu를 적절하게 선택하면 다음을 얻는다.

:l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_\nu < \frac{a_n}{b_n} < l+\epsilon/2+c^+_\nu < l+\epsilon,\quad\forall n > n_0

'''경우 2:''' l=+\infty이고 (b_n)이 엄격하게 감소하는 경우, 모든 2M > 0에 대해 모든 n > n_0에 대해 다음을 만족하는 n_0 > 0가 존재한다.

:\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M \implies a_n-a_{n+1} > 2M(b_n-b_{n+1}).

각 \nu > 0,에 대해

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n},\quad\forall n > n_0.

수열

:c_{\nu} := \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n}

는 0으로 수렴한다. 따라서

:\forall M > 0\,~\exists \bar{\nu} > 0 다음과 같은 -M < c_\nu < M,\,\forall \nu > \bar{\nu},

그리고 \nu를 선택하여 다음을 증명한다.

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_\nu > M,\quad\forall n > n_0.

3. 1. ∞/∞ 형태의 증명 (간략)

(b_n)이 단조 증가하고 +\infty로 발산하며, -\infty라고 가정하면, 모든 \epsilon/2 > 0에 대해 \nu > 0가 존재하여 \forall n > \nu에 대해 다음이 성립한다.

:\left|\,\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}-l\,\right| < \frac{\epsilon}{2},

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:l-\epsilon/2<\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} \nu.

(b_n)이 단조 증가하므로 b_{n+1}-b_n>0이며, 양변에 (b_{n+1}-b_n)을 곱하면 다음을 얻는다.

:(l-\epsilon/2)(b_{n+1}-b_n) \nu.

또한, a_n = [(a_n-a_{n-1})+\dots+(a_{\nu+2}-a_{\nu+1})]+a_{\nu+1} 이므로, 위의 부등식을 각 항에 적용하면 다음을 얻는다.

:\begin{align}

&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}=(l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}
&a_n<(l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}=(l+\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}.\end{align}

b_n\to+\infty (n\to\infty) 이므로, 모든 n>n_0에 대해 b_n>0인 n_0>0이 존재하며, b_n으로 두 부등식을 나눌 수 있다.

:(l-\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l-\epsilon/2)}{b_n}<\frac{a_n}{b_n}<(l+\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l+\epsilon/2)}{b_n}.

여기서, c^{\pm}_n:=\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}는 b_n\to+\infty이고 분자가 상수이므로 0으로 수렴한다. 따라서 충분히 큰 n에 대해 |c^{\pm}_n|<\epsilon/2를 만족하고, 다음 부등식을 얻는다.

:l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_n < \frac{a_n}{b_n} < l+\epsilon/2+c^+_n \max\lbrace\nu,n_{\pm}\rbrace =: N > 0.

(b_n)이 단조 감소하고 -\infty로 발산하며, l<\infty인 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

(b_n)이 단조 증가하고 +\infty로 발산하며, l=+\infty인 경우, 모든 2M > 0에 대해 \nu > 0가 존재하여 \forall n > \nu에 대해 다음이 성립한다.

:\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M.

위의 부등식을 이용하여 다음을 얻는다.

:a_n > 2M(b_n-b_{\nu+1}) + a_{\nu+1},\quad\forall n > \nu,

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n},\quad\forall n > \max\{\nu,n_0\}.

c_n := \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n}은 0으로 수렴하므로, 충분히 큰 n에 대해 -M < c_n < M을 만족하고, 다음을 얻는다.

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_n > M,\quad\forall n > \max\{\nu,\bar{n}\} =: N.

(b_n)이 단조 증가하거나 감소하고 각각 +\infty 또는 -\infty에 접근하며 l=\pm\infty인 다른 경우도 유사하게 증명할 수 있다.

3. 2. 0/0 형태 및 기타 경우

슈톨츠-체사로 정리는 두 수열의 비의 극한에 대한 정리로, 0/0 형태의 부정형 극한값을 구하는 데 사용될 수 있다.

'''경우 1:''' l < \infty이고 (b_n)이 엄격하게 감소하는 경우, 각 \nu > 0에 대해 다음이 성립한다.

:a_n = (a_n-a_{n+1})+\dots+(a_{n+\nu-1}-a_{n+\nu})+a_{n+\nu},

모든 \epsilon/2>0에 대해 \exist n_0가 존재하여 모든 n>n_0에 대해 다음이 성립한다.

:\begin{align}

&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu} = (l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} < a_n\\

&a_n < (l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} = (l+\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu}.\end{align}

두 수열

:c^{\pm}_\nu := \frac{a_{n+\nu}-b_{n+\nu}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}

는 a_{n+\nu},b_{n+\nu} \to 0 as \nu\to\infty이므로 무한소이며, 모든 \epsilon/2 > 0에 대해 다음을 만족하는 \nu_{\pm} > 0가 존재한다.

:\begin{align}

&|c^+_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_+,\\

&|c^-_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_-,

\end{align}

\nu를 적절하게 선택하면 다음을 얻는다.

:l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_\nu < \frac{a_n}{b_n} < l+\epsilon/2+c^+_\nu < l+\epsilon,\quad\forall n > n_0

'''경우 2:''' l=+\infty이고 (b_n)이 엄격하게 감소하는 경우, 모든 2M > 0에 대해 모든 n > n_0에 대해 다음을 만족하는 n_0 > 0가 존재한다.

:\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M \implies a_n-a_{n+1} > 2M(b_n-b_{n+1}).

각 \nu > 0,에 대해

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n},\quad\forall n > n_0.

수열

:c_{\nu} := \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n}

는 0으로 수렴한다. 따라서

:\forall M > 0\,~\exists \bar{\nu} > 0 다음과 같은 -M < c_\nu < M,\,\forall \nu > \bar{\nu},

그리고 \nu를 선택하여 다음을 증명한다.

:\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_\nu > M,\quad\forall n > n_0.

\frac{a_{k+1}-a_k}{b_{k+1}-b_k}- \ell = \eta_k로 두고, \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell가 존재한다고 가정하면, 임의의 \varepsilon>0에 대해, 어떤 이 존재하여, 이면, 다음이 성립한다.

:\left| \frac{a_{k+1}-a_k}{b_{k+1}-b_k} - \ell \right| = | \eta_k | < \varepsilon

임의의 에 대해, 다음이 성립한다.

:a_k-a_{k-1}=(b_k-b_{k-1})(\ell+\eta_k)\!

n \gg N\!라고 하면, a_n-a_N은, 위 식을 에 대해 부터 까지 더함으로써, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:a_n-a_N=(b_n-b_N)\, \ell+\sum_{k=N+1}^n (b_k-b_{k-1})\,\eta_k

a_N을 이항하고 양변을 {b_n}으로 나누면 다음 식을 얻는다.

:

\frac{a_n}{b_n}=

\frac{a_N}{b_n}+\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)\ell + \sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,\eta_k \cdots\cdots (2)



수열 (b_n)\!은 비유계로 엄격히 단조 증가(감소)하므로, 이 우변의 제1항은 0으로 수렴한다. 또한 제2항은 \ell로 수렴한다. 제3항이 0으로 수렴하는 것은 다음 관계에 의해 나타낼 수 있다.

:

\left|\sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,\eta_k\right|

\le \sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,|\eta_k|



::

< \frac{1}{b_n} \sum_{k=N+1}^n (b_k-b_{k-1})\,\varepsilon

< \left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)\varepsilon\le\varepsilon



따라서, (2)식, 즉 수열의 비는 \ell로 수렴한다.

4. 일반화

실수열 (a_n)_{n\in\N}과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 (b_n)_{n\in\N}에 대하여, 슈톨츠-체사로 정리는 다음과 같이 일반화될 수 있다.[4][2]

:\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.

이 일반화된 형태는 극한이 존재하지 않는 경우에도 수열의 비의 상극한과 하한 사이의 관계를 보여준다.

만약 (a_n)_{n\geq 1}과 (b_n)_{n\geq 1}이 두 수열이고, (b_n)_{n \geq 1}이 단조 증가하고 무한대로 발산한다면 위와 같은 관계가 성립한다.[2]

두 수열 a_n=\sum_{k=1}^n r_k 와 b_n=\sum_{k=1}^n d_k 가 \{r_n\}\! 과 \{d_n\}\! 으로 규정된다고 가정하고, 다음 조건들을 만족한다고 하자.


  • d_n=\frac1n 은 조화 수열
  • 각 수열의 요소는 양의 유한 값, 또는, 각 수열은 증가적
  • \{b_n\}\! 가 단조 증가


이때, 극한

:\lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{d_n}=\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}} = \ell

이 존재하면, 다음이 성립한다.

:\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^nr_k}{\sum_{k=1}^nd_k} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell

5. 관련 명제

5. 1. 부분적 역

슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열

:(a_n)=(10,10,100,100,1000,1000,\ldots)

:(b_n)=(10,11,100,101,1000,1001,\ldots)

을 정의하였을 때, (b_n)_{n\in\mathbb N}은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1이지만, \frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 (a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • b_n,\Delta b_n\ne0\qquad\forall n\in\mathbb N
  • \left({b_n \over \Delta b_n}\right){}_{n\in\mathbb N}은 유계 수열이다.
  • \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}


그렇다면, 다음이 성립한다.

  • \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}


"수열의 차의 비의 극한이 존재한다 ⇒ 그 수열의 비의 극한이 존재한다"의 역은 참이라고 할 수 없다. 예를 들어

:\{a_n\}=\{10,10,100,100,1000,1000,\dots\},

:\{b_n\}=\{10,11,100,101,1000,1001,\dots\}

에 대하여,

:\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1

이지만,

:\varliminf_{n \to \infty} \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}= 0, \quad

\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}= 1

이 되므로, 수열

: \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}

의 극한은 존재하지 않는다.

5. 2. 한 가지 변형

슈톨츠-체사로 정리는 다음과 같은 곱의 형태로 변형될 수 있다. 두 실수열 (a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • a_n,b_n>0\qquad\forall n\in\mathbb N
  • (b_n)_{n\in\mathbb N}은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
  • \lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}


그렇다면, 다음이 성립한다.

  • \lim_{n\to\infty}\sqrt[b_n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}

6. 예제

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구할 수 있다.

:\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}\qquad(k\in\mathbb N)

분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, (n^{k+1})_{n\in\mathbb N}\qquad(k\in\mathbb N)는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

:\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}

&=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\\

&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+kn^{k-1}+\cdots}{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}2n^{k-1}+\cdots}\\

&=\lim_{n\to\infty}\frac{1+k\cdot\frac1n+\cdots}{(k+1)+\frac{k(k+1)}2\cdot\frac1n+\cdots}\\

&=\frac1{k+1}\end{align}

:\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1.

:\begin{align}

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}&=\lim_ {n\to\infty}\frac{(n+1)!(n^n)}{n!(n+1)^{n+1}}\\

&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}

\end{align}

여기서 우리는 e를 수열의 극한으로 나타내는 표현을 사용했다.

슈톨츠-체사로 정리는 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 등 다양한 평균의 극한을 구하는 데 사용될 수 있다. 실수열 (a_n)_{n\in\mathbb N}에 대하여 \lim_{n\to\infty}a_n=a일 때, 다음이 성립한다.


  • (산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a
  • (기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a
  • (조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}}=a
  • (멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}n=a\qquad(p\ne0)
  • (일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}n\right)=a (f는 가역 연속 함수)


마찬가지로, w_n>0\forall n\in\mathbb N이며 \sum_{n=0}^\infty w_n=+\infty일 때, 다음이 성립한다.

  • (가중 산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a
  • (가중 기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[w_1+w_2+\cdots+w_n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}=a
  • (가중 조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1+w_2+\cdots+w_n}{\frac{w_1}{a_1}+\frac{w_2}{a_2}+\cdots+\frac{w_n}{a_n}}=a
  • (가중 멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{w_1a_1^p+w_2a_2^p+\cdots+w_na_n^p}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a
  • (가중 일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{w_1f(a_1)+w_2f(a_2)+\cdots+w_nf(a_n)}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\right)=a (f는 가역 연속 함수)


실수로 구성된 수열 (x_n)이 l로 수렴한다고 할 때, a_n:=\sum_{m=1}^nx_m=x_1+\dots+x_n,\quad b_n:=n으로 정의하면, (b_n)은 단조 증가하고 +\infty로 발산한다. 이 때, \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty} x_n=l이므로, \lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\dots+ x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.이 성립한다. 즉, 어떤 실수로 구성된 수열 (x_n)_{n\geq 1}에 대해, \lim_{n\to\infty}x_n이 존재한다면(유한하거나 무한), \lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\dots+x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.이 성립한다.

(x_n)을 l로 수렴하는 양의 실수 수열이라고 하고, a_n:=\log(x_1\cdots x_n),\quad b_n:=n,로 정의하면, \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\log(x_{n+1})=\lim_{n\to\infty}\log(x_n)=\log(l),이다. 로그가 연속이라는 사실을 사용하면, \lim_{n\to\infty}\frac{\log(x_1\cdots x_n)}{n}=\log(l),이고, 로그가 연속적이고 단사 함수이므로, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n를 얻는다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 (x_n)_{n\geq 1}이 주어지고, \lim_{n\to\infty}x_n가 존재하면(유한 또는 무한), \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.이 성립한다.

수열 (y_n)_{n\geq1}이 주어지고, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n},를 계산해야 한다고 가정하고, y_0=1과 x_n=y_n/y_{n-1}를 정의하면, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\dots x_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n},이고, 위의 속성을 적용하면, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{y_{n-1}}.이다. 이 형태는 일반적으로 극한을 계산하는 데 가장 유용하다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 (y_n)_{n\geq 1}이 주어지고, \lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}}{y_{n}}가 존재하면(유한 또는 무한), \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}}{y_{n}}.이 성립한다.

6. 1. 평균의 극한

슈톨츠-체사로 정리는 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 등 다양한 평균의 극한을 구하는 데 사용될 수 있다. 실수열 (a_n)_{n\in\mathbb N}에 대하여 \lim_{n\to\infty}a_n=a일 때, 다음이 성립한다.

  • (산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a
  • (기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a
  • (조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}}=a
  • (멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}n=a\qquad(p\ne0)
  • (일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}n\right)=a (f는 가역 연속 함수)


마찬가지로, w_n>0\forall n\in\mathbb N이며 \sum_{n=0}^\infty w_n=+\infty일 때, 다음이 성립한다.

  • (가중 산술 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a
  • (가중 기하 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[w_1+w_2+\cdots+w_n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}=a
  • (가중 조화 평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\frac{w_1+w_2+\cdots+w_n}{\frac{w_1}{a_1}+\frac{w_2}{a_2}+\cdots+\frac{w_n}{a_n}}=a
  • (가중 멱평균의 극한) \lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{w_1a_1^p+w_2a_2^p+\cdots+w_na_n^p}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a
  • (가중 일반화된 f-평균의 극한) \lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{w_1f(a_1)+w_2f(a_2)+\cdots+w_nf(a_n)}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\right)=a (f는 가역 연속 함수)


실수로 구성된 수열 (x_n)이 l로 수렴한다고 할 때, a_n:=\sum_{m=1}^nx_m=x_1+\dots+x_n,\quad b_n:=n으로 정의하면, (b_n)은 단조 증가하고 +\infty로 발산한다. 이 때, \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty} x_n=l이므로, \lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\dots+ x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.이 성립한다. 즉, 어떤 실수로 구성된 수열 (x_n)_{n\geq 1}에 대해, \lim_{n\to\infty}x_n이 존재한다면(유한하거나 무한), \lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\dots+x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.이 성립한다.

(x_n)을 l로 수렴하는 양의 실수 수열이라고 하고, a_n:=\log(x_1\cdots x_n),\quad b_n:=n,로 정의하면, \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\log(x_{n+1})=\lim_{n\to\infty}\log(x_n)=\log(l),이다. 로그가 연속이라는 사실을 사용하면, \lim_{n\to\infty}\frac{\log(x_1\cdots x_n)}{n}=\log(l),이고, 로그가 연속적이고 단사 함수이므로, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n를 얻는다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 (x_n)_{n\geq 1}이 주어지고, \lim_{n\to\infty}x_n가 존재하면(유한 또는 무한), \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.이 성립한다.

수열 (y_n)_{n\geq1}이 주어지고, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n},를 계산해야 한다고 가정하고, y_0=1과 x_n=y_n/y_{n-1}를 정의하면, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\dots x_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n},이고, 위의 속성을 적용하면, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{y_{n-1}}.이다. 이 형태는 일반적으로 극한을 계산하는 데 가장 유용하다. 즉, 임의의 (엄밀히) 양의 실수 수열 (y_n)_{n\geq 1}이 주어지고, \lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}}{y_{n}}가 존재하면(유한 또는 무한), \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}}{y_{n}}.이 성립한다.

6. 2. 기타 예제

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구할 수 있다.

:\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}\qquad(k\in\mathbb N)

분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, (n^{k+1})_{n\in\mathbb N}\qquad(k\in\mathbb N)는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

:\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}

&=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\\

&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+kn^{k-1}+\cdots}{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}2n^{k-1}+\cdots}\\

&=\lim_{n\to\infty}\frac{1+k\cdot\frac1n+\cdots}{(k+1)+\frac{k(k+1)}2\cdot\frac1n+\cdots}\\

&=\frac1{k+1}\end{align}

:\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1.

:\begin{align}

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}&=\lim_ {n\to\infty}\frac{(n+1)!(n^n)}{n!(n+1)^{n+1}}\\

&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}

\end{align}

여기서 우리는 e를 수열의 극한으로 나타내는 표현을 사용했다.

7. 역사

슈톨츠-체사로 정리는 오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(Otto Stolzde)[5]와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(Ernesto Cesàroit)[6]가 제시하였다. 슈톨츠의 1885년 저서 173~175페이지와 체사로의 1888년 논문 54페이지에 ∞/∞의 경우가 언급되고 증명되었다. 이는 폴리아와 세고(1925)의 문제 70번으로 나타난다.

8. 한국 사회에의 응용

참조

[1] 서적 Real Analysis on Intervals https://www.springer[...] Springer India 2014
[2] 웹사이트 l'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem at imomath.com http://www.imomath.c[...]
[3] 서적 数学分析. 第一册 北京大学出版社 2009-08
[4] 웹인용 L’Hopital’s Theorem http://www.imomath.c[...] 2015-08-28
[5] 인용 Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten http://archive.org/s[...] Teubners 1885
[6] 저널 Sur la convergence des séries 1888


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