론스키 행렬식

1. 개요

론스키 행렬식은 주어진 구간에서 정의된 n개의 함수와 그 도함수들을 사용하여 구성되는 행렬의 행렬식이다. 론스키 행렬식은 함수들의 선형 독립성을 판단하는 데 사용되며, 선형 미분 방정식의 해를 구하는 데 유용하다. 만약 함수들이 일차종속이면 론스키 행렬식은 0이 되지만, 론스키 행렬식이 0이라고 해서 반드시 함수들이 선형 종속인 것은 아니다. 론스키 행렬식은 유제프 마리아 호에네브론스키에 의해 1812년에 도입되었으며, 토머스 뮤어가 1882년에 론스키 행렬식이라는 용어를 처음 사용했다.

2. 정의

어떤 구간 $I$에서 정의된 $n$개의 함수 $f\_1,\; f\_2,\; \backslash dots,\; f\_n$가 모두 $n-1$번 미분가능하다고 하자. 그렇다면, $I$에서 이 집합의 론스키 행렬식 $W(f\_1,\; \backslash dots,\; f\_n)$은 다음과 같다.

:$$
W(f_1, \dots, f_n) (x)=
\det\begin{pmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{pmatrix}\qquad(x\in I)


즉, 론스키 행렬식은 함수를 첫 번째 행에, 함수의 첫 번째 도함수를 두 번째 행에, $(n-1)$번째 도함수까지 차례로 배치하여 구성된 정사각 행렬의 행렬식이다.

두 미분가능한 함수 $f$와 $g$의 론스키 행렬식은 $W(f,g)\; =\; f\; g\text{'}\; -\; g\; f\text{'}$이다.

함수 $f\_i$가 선형 미분 방정식의 해일 때, 함수 $f\_i$를 명시적으로 알지 못하더라도 아벨 항등식을 사용하여 론스키 행렬식을 명시적으로 구할 수 있다.

3. 성질

함수들이 주어진 구간에서 선형 종속이면 론스키 행렬식은 그 구간에서 항상 0이 된다. 역으로, 론스키 행렬식이 어떤 구간에서 항상 0이 아니면, 그 함수들은 그 구간에서 선형 독립이다. 론스키 행렬식이 0이 아니면 선형 독립이라는 것은 다음을 통해 알 수 있다. 함수들이 구간 I에서 일차종속이면, 모두 0이 아닌 계수 $k\_1,\; ...,\; k\_n$에 대해 다음 식이 성립한다.

:$k\_1f\_1(x)\; +\; ...\; +\; k\_nf\_n(x)\; =\; 0$

이를 n-1번 미분한 모든 식을 이용해 함수식을 행렬로 만들고 계수로 묶으면 다음과 같다.

:$$
0 =
\begin{pmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{pmatrix},\qquad x\in I.


이때 $k\_1,\; ...,\; k\_n$은 조건에 의해 자명하지 않은 해를 가지므로 I에서 이 행렬의 행렬식은 0이 된다.

하지만 론스키 행렬식이 0이라고 해서 반드시 함수들이 선형 종속인 것은 아니다. 페아노는 함수 $x^2$와 $|x|x$는 연속적인 도함수를 가지며, 론스키 행렬식이 모든 곳에서 0이지만, 0의 어떤 근방에서도 선형 종속이 아니라는 점을 지적했다. 즉, 론스키 행렬식이 0이라는 것만으로는 선형 종속성을 보장할 수 없고, 추가적인 조건이 필요하다.

막심 보셰는 함수가 해석 함수인 경우, 구간에서 론스키 행렬식이 0이면 선형 종속임을 보였다. 보셰는 론스키 행렬식이 0이 되는 것이 선형 종속성을 의미하는 다른 여러 조건도 제시했다. 예를 들어, n개의 함수의 론스키 행렬식이 항등적으로 0이고, 이 함수들 중 n-1개의 함수의 n개 론스키 행렬식이 어떤 점에서도 모두 0이 되지 않으면, 함수들은 선형 종속이다. Wolsson은 론스키 행렬식이 0이 되는 것과 함께 선형 종속성을 의미하는 더 일반적인 조건을 제시했다.

양의 표수 p를 갖는 체에서 론스키 행렬식은 선형 독립적인 다항식에 대해서도 0이 될 수 있다. 예를 들어, $x^p$와 1의 론스키 행렬식은 항등적으로 0이다.

3.1. 선형 미분 방정식과의 관계

라그랑주의 표기법으로 표현된 2계 선형 미분 방정식을 고려해 보자.

:$y\text{'}\text{'}\; =\; a(x)y\text{'}\; +\; b(x)y$

여기서 $a(x)$, $b(x)$는 알려져 있으며, y는 찾아야 할 미지 함수이다. $y\_1$, $y\_2$를 방정식의 두 해라고 하고, 이들의 론스키 행렬식을 다음과 같이 구성한다.

:$W(x)\; =\; y\_1\; y\text{'}\_2\; -\; y\_2\; y\text{'}\_1$

$W(x)$를 미분하고 $y\_i$가 위의 미분 방정식을 따른다는 사실을 사용하면 다음과 같다.

:$W\text{'}(x)\; =\; a(x)\; W(x)$

따라서 론스키 행렬식은 간단한 1계 미분 방정식을 따르며, 다음과 같이 정확하게 풀 수 있다.

:$W(x)\; =\; C~e^\{A(x)\}$

여기서 $A\text{'}(x)=a(x)$이고, $C$는 상수이다.

이제, 해 중 하나, 예를 들어 $y\_2$를 알고 있다고 가정해 보자. 그러면 론스키 행렬식의 정의에 의해, $y\_1$은 다음과 같은 1계 미분 방정식을 따른다.

:$y\text{'}\_1\; -\backslash frac\{y\text{'}\_2\}\{y\_2\}\; y\_1\; =\; -W(x)/y\_2$

그리고 (이론적으로는) 정확하게 풀 수 있다.

이 방법은 고계 방정식으로 쉽게 일반화된다.

4. 일반화된 론스키 행렬식

generalized Wronskian^영어은 각 성분이 $D_i(f_j)$ (여기서 $0 \le i < n$)로 주어지는 $n \times n$ 행렬의 행렬식이다. 단, 각 $D_i$는 $i$차의 상수 계수 선형 편미분 연산자이다. 주어진 함수족이 선형 종속이면 일반화된 론스키 행렬식은 모두 0이 되지만, 일변수의 경우와 마찬가지로 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 모든 일반화된 론스키 행렬식이 0이라고 해서 그 함수들이 선형 종속인 것은 아니다. 하지만, 많은 특수한 경우에는 역이 성립한다. 예를 들어, 고려하는 함수족의 각 함수가 다항식이고, 그 모든 일반화된 론스키 행렬식이 0이면, 그 함수족은 선형 종속이다. 로스는 일반화된 론스키 행렬식에 관한 이 결과를 로스의 정리의 증명에 사용했다. 역이 성립하는 보다 일반적인 조건은 Wolsson (1989b)를 참조하라.

5. 역사

폴란드의 수학자 유제프 마리아 호에네브론스키(Józef Maria Hoene-Wroński^폴란드어)가 1812년에 도입하였다. '론스키 행렬식'이라는 용어는 스코틀랜드의 수학자 토머스 뮤어(Thomas Muir^영어)가 1882년에 최초로 사용하였다.