시에르핀스키 삼각형

1. 개요

시에르핀스키 삼각형은 프랙탈의 한 종류로, 다양한 방법으로 구성할 수 있다. 정삼각형에서 시작하여 가운데 삼각형을 제거하고, 남은 작은 삼각형에 대해 이 과정을 반복하거나, 도형을 축소 및 복제하여 만들 수 있다. 카오스 게임, 화살촉 곡선, 세포 자동자, 파스칼의 삼각형, 하노이의 탑 등 다양한 수학적 개념과 연결되어 나타난다. 시에르핀스키 삼각형은 무한한 둘레를 가지면서 넓이는 0이며, 하우스도르프 차원은 약 1.585이다. 3차원 유사체인 시에르핀스키 사면체도 존재하며, 바츨라프 시에르핀스키에 의해 1915년에 처음 기술되었다.

2. 구성

시에르핀스키 삼각형은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 구성할 수 있다.

* 삼각형 제거: 정삼각형에서 시작하여 중앙의 작은 정삼각형을 반복적으로 제거한다.
* 축소 및 복제: 평면 위의 임의의 도형을 축소하고 복제하여 세 개의 복사본을 서로 겹치지 않게 배치하는 과정을 반복한다.
* 카오스 게임: 카오스 게임 알고리즘을 통해 점들을 무작위로 찍어 시에르핀스키 삼각형에 근사한 도형을 만든다.
* 화살촉 곡선: 시에르핀스키 애로우헤드 곡선을 이용하여 구성한다.
* 세포 자동자: 규칙 90과 같은 세포 자동자를 이용하여 만든다.
* 파스칼의 삼각형: 파스칼의 삼각형에서 짝수는 흰색, 홀수는 검은색으로 칠해 얻는다.
* 하노이의 탑: 하노이의 탑 퍼즐의 상태 그래프는 시에르핀스키 삼각형과 유사한 구조를 갖는다.

2.1. 삼각형 제거

1. 정삼각형으로 시작한다.
2. 이를 4개의 더 작은 합동 정삼각형으로 세분한다.
3. 남아있는 각 작은 삼각형에 대해 2단계를 무한히 반복한다.

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각 제거된 삼각형(트레마)은 위상수학적으로 열린 집합이다. 이 삼각형을 재귀적으로 제거하는 과정은 유한 분할 규칙의 한 예이다.

2.2. 축소 및 복제

평면 위의 임의의 도형(삼각형, 사각형 등)에서 시작하여 다음 단계를 반복하면 시에르핀스키 삼각형으로 수렴하는 도형을 만들 수 있다.

# 평면에서 임의의 도형으로 시작한다. 표준 시에르핀스키 삼각형은 수평 축에 평행한 밑변을 가진 정삼각형을 사용한다.
# 도형을 높이 0.5m 및 너비 0.5m로 축소하고 세 개의 복사본을 만든 다음, 세 개의 축소된 도형이 각 도형이 모서리에서 다른 두 도형에 닿도록 배치한다. 이때, 세 개의 축소된 도형이 원래 면적의 0.75m만 덮을 수 있기 때문에 중앙에 구멍이 나타난다.
# 각 작은 도형에 대해 2단계를 반복한다.

이 과정은 무한히 반복될 수 있으며, 시작 도형이 꼭 삼각형일 필요는 없다. 예를 들어 정사각형에서 시작하는 처음 몇 단계도 시에르핀스키 삼각형으로 수렴하는 경향을 보인다.

실제 프랙탈은 무한히 많은 반복 후에 얻을 수 있는 것이다. 더 공식적으로는 점의 닫힌 집합에 대한 함수를 사용하여 설명한다. 만약 d_A가 점 A에 대해 0.5m의 비율로 팽창을 나타낸다면, 모서리가 A, B, C인 시에르핀스키 삼각형은 변환 d_\mathrm{A} \cup d_\mathrm{B} \cup d_\mathrm{C}^영어의 고정된 집합이다.

이것은 매력적인 고정 집합이므로, 이 연산을 다른 집합에 반복적으로 적용하면 이미지가 시에르핀스키 삼각형으로 수렴한다.

2.3. 카오스 게임

어떤 점을 잡고 각 변환 d_A, d_B, d_C를 무작위로 적용하면, 결과 점들은 시에르핀스키 삼각형에 조밀하게 분포하게 되므로, 다음 알고리즘은 다시 임의로 근접한 근사치를 생성할 것이다:

시에르핀스키 삼각형의 꼭짓점을 p₁, p₂, p₃으로 지정하고, 임의의 점 v₁을 시작한다.
v_n+1 = (v_n + p_rn)/2. 여기서 r_n은 1, 2 또는 3 중 무작위로 선택된 숫자이다. 점 v₁부터 v_∞까지 그린다. 처음 점 v₁이 시에르핀스키 삼각형의 점이었다면, 모든 점 v_n은 시에르핀스키 삼각형 위에 놓이게 된다. 삼각형의 경계 내에 있는 처음 점 v₁이 시에르핀스키 삼각형의 점이 아니라면, 점 v_n 중 어느 것도 시에르핀스키 삼각형 위에 놓이지 않지만, 삼각형에 수렴하게 된다. 만약 v₁이 삼각형 밖에 있다면, v_n이 실제 삼각형 위에 놓이게 되는 유일한 방법은 v_n이 삼각형이 무한히 크다면 삼각형의 일부가 될 부분 위에 있는 경우이다.

카오스 게임 방법:
# 평면에서 세 점을 선택하여 삼각형을 형성한다.
# 삼각형 내부의 임의의 점을 선택하고 현재 위치로 간주한다.
# 세 개의 꼭짓점 중 임의로 하나를 선택한다.
# 현재 위치에서 선택된 꼭짓점까지의 거리의 절반만큼 이동한다.
# 현재 위치를 그린다.
# 3단계부터 반복한다.

이 방법은 카오스 게임이라고 불리며, 반복 함수 시스템의 한 예이다. 삼각형 외부 또는 내부의 어떤 점에서 시작하든, 결국 몇 개의 남은 점을 제외하고는 시에르핀스키 개스킷을 형성할 것이다(시작 점이 삼각형의 윤곽선 위에 있는 경우 남은 점이 없다). 연필과 종이를 사용하면 약 100개의 점을 찍은 후 간략한 윤곽이 형성되고, 수백 개의 점을 찍은 후에 세부 사항이 나타나기 시작한다.

2.4. 화살촉 곡선 (Arrowhead construction)

시에르핀스키 개스킷(삼각형)은 코흐 곡선과 비슷하게, 더 간단한 곡선을 반복적으로 수정하는 과정을 통해 평면상의 곡선으로 구성할 수 있다.

이 구성은 다음 과정을 따른다.

1. 평면에서 단일 선분으로 시작한다.
2. 곡선의 각 선분을 세 개의 더 짧은 선분으로 반복적으로 대체한다. 이때 두 개의 연속적인 선분 사이 각 접합부에서 120° 각도를 형성하며, 곡선의 첫 번째와 마지막 선분은 원래 선분과 평행하거나 60° 각도를 형성한다.

매 반복마다 이 구성은 연속적인 곡선을 제공한다. 극한에서 이들은 단일 연속적이고 방향을 가진(무한히 구불구불한) 경로를 통해 시에르핀스키 삼각형을 추적하는 곡선에 접근하며, 이를 시에르핀스키 애로우헤드라고 한다. 1915년 시에르핀스키의 원래 논문은 곡선(칸토어 곡선)의 예를 보여주는 것이었다.

2.5. 세포 자동자

시에르핀스키 삼각형은 규칙 90과 같은 특정 세포 자동자에서 나타나며, 콘웨이의 생명 게임과 관련된 것도 포함된다. 예를 들어, 단일 세포에 적용된 생명체와 유사한 세포 자동자 B1/S12는 시에르핀스키 삼각형의 네 가지 근사치를 생성한다. 세포 자동자에서 복제 패턴의 시간-공간 다이어그램은 종종 시에르핀스키 삼각형과 유사하다. 시에르핀스키 삼각형은 Ulam-Warburton 자동자 및 Hex-Ulam-Warburton 자동자에서도 발견될 수 있다.

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* 행의 파스칼의 삼각형을 홀수는 검은색, 짝수는 흰색으로 칠하면, 시에르핀스키 삼각형을 근사할 수 있다. 정확하게는, 이 도형의 의 극한이 시에르핀스키 삼각형이다.
* 차원의 세포 자동자 중, 규칙 90은 시에르핀스키 삼각형을 생성한다.

2.6. 파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형에서 2ⁿ개의 행을 구성하고 짝수는 흰색, 홀수는 검은색으로 칠하면 시에르핀스키 삼각형에 대한 근사값을 얻을 수 있다. 좀 더 정확히 말하면, n이 무한대로 접근할 때 패리티에 따라 색칠된 2ⁿ행 파스칼 삼각형의 극한은 시에르핀스키 삼각형이다.

2.7. 하노이의 탑

하노이의 탑 퍼즐은 세 개의 기둥 사이에서 크기가 다른 디스크를 옮기는 것으로, 작은 디스크 위에 더 큰 디스크가 놓이지 않도록 해야 한다. n개의 디스크 퍼즐 상태와 한 상태에서 다른 상태로의 허용된 이동은 무향 그래프, 즉 하노이 그래프를 형성하며, 이는 시에르핀스키 삼각형의 구성에서 n번째 단계 후에 남은 삼각형 집합의 교차 그래프로 기하학적으로 표현될 수 있다. 따라서 n이 무한대로 갈 때 이 그래프 시퀀스는 시에르핀스키 삼각형의 이산적인 유사체로 해석될 수 있다.

3. 성질

* 시에르핀스키 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형 둘레의 길이를 $l$이라 할 때, 두 번째 단계에서 변의 길이는 1.5배가 된다. 이를 무한히 반복하면 길이는 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\backslash frac\; 3\; 2\; \backslash right)^n\; =\; \backslash infty$ (무한대)가 된다.

* 시에르핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형의 넓이를 $S$라 할 때, 두 번째 단계에서는 $\backslash frac\; 3\; 4\; S$가 된다. 이를 무한히 반복하면 넓이는 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\backslash frac\; 3\; 4\; \backslash right)^n\; =\; 0$ 이 된다.

* 정수 차원 $d$에서 객체의 한 변을 두 배로 늘리면 $2^d$개의 복사본이 생성된다. 1차원 객체는 2개, 2차원 객체는 4개, 3차원 객체는 8개이다. 시에르핀스키 삼각형은 한 변을 두 배로 늘리면 3개의 복사본이 생성된다. 따라서 시에르핀스키 삼각형은 하우스도르프 차원 $\backslash tfrac\{\backslash log3\}\{\backslash log2\}\backslash approx\; 1.585$를 가지며, 이는 $2^d=3$을 $d$에 대해 풀어서 얻을 수 있다.

* 시에르핀스키 삼각형의 점들은 바리 중심 좌표에서 간단하게 특징지어진다. 이진법으로 표현된 바리 중심 좌표 $(0.u\_1u\_2u\_3\backslash dots,0.v\_1v\_2v\_3\backslash dots,0.w\_1w\_2w\_3\backslash dots)$에서, 모든 $i$에 대해 $u\_i+v\_i+w\_i=1$이면 그 점은 시에르핀스키 삼각형 안에 있다.

* 하우스도르프 차원은 (≈ 1.584962…)이며, 1차원과 2차원 사이의 값을 갖는다.

* 시에르핀스키 삼각형은 유한한 면적 안에 무한한 길이를 포함한다. 3차원으로 확장하면 표면적은 일정하며 하우스도르프 차원은 2이다. 이 때 공동부에 해당하는 입체는 정삼각형 8면을 가진 정팔면체이다. 이는 프랙탈 도형의 특징 중 하나이며, 인체 내 혈관 분기 구조나 장 내벽 등 자연계의 복잡한 구조 중 일부가 근사적인 프랙탈 도형을 갖는 이유로 생각된다.

4. 고차원 유사체

시에르핀스키 사면체 또는 테트릭스는 시에르핀스키 삼각형의 3차원 유사체이다. 정사면체에서 시작하여 각 모서리의 중점을 연결하여 만들어지는 정팔면체를 제거하는 과정을 무한히 반복하여 구성한다.

초기 변의 길이가 $L$인 사면체로 구성된 테트릭스는 각 반복마다 총 표면적이 일정하게 유지된다. 변의 길이가 $L$인 (반복-0) 사면체의 초기 표면적은 $L^2\backslash sqrt3$이다. 다음 반복은 변의 길이가 $\backslash tfrac\{L\}\{2\}$인 4개의 복사본으로 구성되므로 총 면적은 다시 $4\backslash bigl(\backslash tfrac\{L\}\{2\}\backslash bigr)^2\backslash sqrt3=L^2\backslash sqrt3$이다. 이후의 반복은 복사본 수를 다시 4배로 늘리고 변의 길이를 절반으로 줄여 전체 면적을 보존한다. 한편, 구조물의 부피는 매 단계마다 절반으로 줄어들므로 0에 접근한다.

하우스도르프 차원은 $\backslash tfrac\{\backslash log4\}\{\backslash log2\}=2$이다. 여기서 "log"는 자연 로그를 나타내며, 분자는 이전 반복의 각 복사본에서 형성된 모양의 복사본 수의 로그이고, 분모는 이전 반복에서 이러한 복사본이 축소된 비율의 로그이다.

5. 역사

바츨라프 시에르핀스키는 1915년에 시에르핀스키 삼각형을 설명했다. 그러나 이와 비슷한 패턴은 이미 13세기의 코스마테스크 상감 석공예에서 일반적인 모티프로 나타난다.

6. 명칭

시에르핀스키 삼각형을 지칭하는 '개스킷(gasket)'이라는 단어는 브누아 망델브로트가 만들었는데, 이는 프랙탈이 구멍이 뚫린 형태가 모터의 누출을 방지하는 부품과 유사하다고 생각했기 때문이다.