뤼카 다항식

1. 개요

뤼카 다항식은 제2종 뤼카 수열을 이용하여 정의되는 다항식으로, 뤼카 수에서 파생된 다항식 수열이다. 뤼카 수 L_n은 뤼카 다항식 L_n(1)과 같으며, L₀=2, L₁=1을 초기값으로 하고 L_n = L_n-1 + L_n-2의 점화식을 따른다. 뤼카 수는 피보나치 수와 밀접한 관련이 있으며, 피보나치 수 F_n과의 관계식, L_n = F_n-1 + F_n+1, F_2n = L_nF_n 등이 존재한다. 뤼카 수와 피보나치 수의 비는 황금비에 수렴하며, 뤼카 수는 자연계에서도 발견된다. 뤼카 소수는 소수인 뤼카 수를 의미하며, 뤼카 수는 황금비의 거듭제곱을 연분수로 표현하는 데에도 활용된다. 뤼카 다항식은 프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

뤼카 수 $L\_n$은 초기값 $L\_0\; =\; 2$, $L\_1\; =\; 1$을 가지며, 다음 점화식으로 정의된다.

:$L\_n\; =\; L\_\{n-1\}\; +\; L\_\{n-2\}$ (단, n>1 인 자연수)

뤼카 다항식 $L\_n(x)$은 뤼카 수의 개념을 확장한 것으로, 제2종 뤼카 수열 $V\_n(P,Q)$에서 $V\_n(2,x)$와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

:$L\_0(x)=2$
:$L\_1(x)=x$
:$L\_n(x)=xL\_\{n-1\}(x)+L\_\{n-2\}(x)$

뤼카 수는 뤼카 다항식에서 $L\_n(1)$과 같다.

3. 성질

뤼카 수는 피보나치 수와 함께 자연계에 많이 존재한다. 피보나치 수 F와 뤼카 수 L 사이에는 다음과 같은 여러 관계식이 존재한다.

* $L\_n\; =\; F\_\{n-1\}+F\_\{n+1\}$
* $F\_\{2n\}\; =\; L\_n\; F\_n$
* $F\_n\; =\; \{L\_\{n-1\}+L\_\{n+1\}\; \backslash over\; 5\}$

같은 항 번호의 피보나치 수와 뤼카 수의 비 L/F는 n이 커짐에 따라 $\backslash sqrt\{5\}$에 수렴한다.

피보나치 수와 마찬가지로, 뤼카 수도 인접한 2항의 비 L/L은 n이 커짐에 따라 황금비 $\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{1\; +\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$ = 1.61803398…에 가까워진다.

n번째 뤼카 수는 다음 식으로 나타낼 수 있다.
:$L\_n\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\; \backslash right)^n\; +\; \backslash left(\; \backslash frac\{1-\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\; \backslash right)^n=\; \backslash varphi^n\; +\; (1-\backslash varphi)^n\; =\; \{\backslash varphi^n\; +\; (-\backslash varphi)^\{-n\}\}$
여기서 $\backslash varphi$는 황금비이다.

3.1. 일반항

뤼카 다항식의 일반항은 다음과 같다.

:$L\_n(x)=\backslash left(\backslash frac\{x+\backslash sqrt\{x^2+4\}\}2\backslash right)^n+\backslash left(\backslash frac\{x-\backslash sqrt\{x^2+4\}\}2\backslash right)^n=\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash lfloor\; n/2\backslash rfloor\}\backslash frac\; n\{n-k\}\backslash frac\{(n-k)!\}\{k!(n-2k)!\}x^\{n-k\}$

여기서 $\backslash lfloor-\backslash rfloor$는 바닥 함수이다.

특히 뤼카 수의 일반항은 다음과 같다.

:$L\_n=\backslash lfloor\backslash varphi^n+1/2\backslash rfloor=\backslash varphi^n+(-\backslash varphi)^\{-n\}=\backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt5\}2\backslash right)^n+\backslash left(\backslash frac\{1-\backslash sqrt5\}2\backslash right)^n$

여기서 $\backslash varphi$는 황금비이다.

3.2. 피보나치 수와의 관계

뤼카 수는 피보나치 수와 밀접하게 관련되어 있으며, 다음과 같은 다양한 항등식으로 연결된다.

* `L<sub>n</sub> = F<sub>n-1</sub> + F<sub>n+1</sub> = 2F<sub>n+1</sub> - F<sub>n</sub>`
* `L<sub>m+n</sub> = L<sub>m+1</sub>F<sub>n</sub> + L<sub>m</sub>F<sub>n-1</sub>`
* `F<sub>2n</sub> = L<sub>n</sub>F<sub>n</sub>`
* `F<sub>n+k</sub> + (-1)<sup>k</sup>F<sub>n-k</sub> = L<sub>k</sub>F<sub>n</sub>`
* `2F<sub>2n+k</sub> = L<sub>n</sub>F<sub>n+k</sub> + L<sub>n+k</sub>F<sub>n</sub>`
* `L<sub>2n</sub> = 5F<sub>n</sub><sup>2</sup> + 2(-1)<sup>n</sup> = L<sub>n</sub><sup>2</sup> - 2(-1)<sup>n</sup>` , 따라서 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{L\_n\}\{F\_n\}=\backslash sqrt\{5\}$.
* `|L<sub>n</sub> - √5F<sub>n</sub>| = 2/φ<sup>n</sup> → 0`
* `L<sub>n+k</sub> - (-1)<sup>k</sup>L<sub>n-k</sub> = 5F<sub>n</sub>F<sub>k</sub>`; 특히 `F<sub>n</sub> = (L<sub>n-1</sub> + L<sub>n+1</sub>)/5`, 따라서 `5F<sub>n</sub> + L<sub>n</sub> = 2L<sub>n+1</sub>`.

3.3. 생성 함수

뤼카 수의 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; L\_nx^n=\backslash frac\{2-x\}\{1-x-x^2\}$

뤼카 다항식의 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; L\_n(t)x^n=\backslash frac\{1+x^2\}\{1-tx-x^2\}$

다음과 같이 정의한다.

:$\backslash Phi(x)\; =\; 2\; +\; x\; +\; 3x^2\; +\; 4x^3\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; L\_nx^n$

직접 계산하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\Phi(x) &= L_0 + L_1x + \sum_{n = 2}^\infty L_nx^n \\
&= 2 + x + \sum_{n = 2}^\infty (L_{n - 1} + L_{n - 2})x^n \\
&= 2 + x + \sum_{n = 1}^\infty L_nx^{n + 1} + \sum_{n = 0}^\infty L_nx^{n + 2} \\
&= 2 + x + x(\Phi(x) - 2) + x^2 \Phi(x)
\end{align}

따라서,

:$\backslash Phi(x)\; =\; \backslash frac\{2\; -\; x\}\{1\; -\; x\; -\; x^2\}$

이다.

$\backslash Phi\backslash !\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)$는 음의 정수 인덱스를 가진 뤼카 수의 생성 함수이며, $\backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; (-1)^nL\_nx^\{-n\}\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; L\_\{-n\}x^\{-n\}$를 나타낸다.

:$\backslash Phi\backslash !\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{x\; +\; 2x^2\}\{1\; -\; x\; -\; x^2\}$

$\backslash Phi(x)$는 다음 함수 방정식을 만족한다.

:$\backslash Phi(x)\; -\; \backslash Phi\backslash !\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)\; =\; 2$

피보나치 수의 생성 함수는

:$s(x)\; =\; \backslash frac\{x\}\{1\; -\; x\; -\; x^2\}$

이므로,

:$s(x)\; +\; \backslash Phi(x)\; =\; \backslash frac\{2\}\{1\; -\; x\; -\; x^2\}$

이며, 이를 통해

:$F\_n\; +\; L\_n\; =\; 2F\_\{n+1\}$

임을 증명할 수 있다.

또한,

:$5s(x)\; +\; \backslash Phi(x)\; =\; \backslash frac2x\backslash Phi(-\backslash frac1x)\; =\; 2\backslash frac\{1\}\{1\; -\; x\; -\; x^2\}\; +\; 4\backslash frac\{x\}\{1\; -\; x\; -\; x^2\}$

를 통해

:$5F\_n\; +\; L\_n\; =\; 2L\_\{n+1\}$

임을 증명할 수 있다.

부분 분수 분해는 다음과 같다.

:$\backslash Phi(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; \backslash phi\; x\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; \backslash psi\; x\}$

여기서 $\backslash phi\; =\; \backslash frac\{1\; +\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$는 황금비이고, $\backslash psi\; =\; \backslash frac\{1\; -\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$는 그 켤레이다.

이를 사용하여 생성 함수를 증명할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; L\_nx^n\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; (\backslash phi^n\; +\; \backslash psi^n)x^n\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash phi^nx^n\; +\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash psi^nx^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; \backslash phi\; x\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; \backslash psi\; x\}\; =\; \backslash Phi(x)$

3.4. 음의 정수로의 확장

뤼카 수는 점화식을 이용하여 음의 정수 영역으로 확장할 수 있다. 점화식 $L\_\{n-2\}=L\_\{n\}-L\_\{n-1\}$을 사용하면 뤼카 수를 음의 정수로 확장할 수 있다.

-5 ≤ n ≤ 5 에 대한 뤼카 수는 다음과 같다.
:-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11

음수 n에 대한 뤼카 수열은 다음과 같다.
:1, 2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, 123, -199, 322, -521, ...

음수 지수를 가진 항에 대한 공식은 다음과 같다.
:$L\_\{-n\}=(-1)^nL\_n.\backslash !$

4. 뤼카 소수

뤼카 소수(prime Lucas numbers^영어)는 소수인 뤼카 수이다. 처음 몇 개의 뤼카 소수는 다음과 같다.

: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ...

뤼카 소수의 지수는 (예: L₄ = 7) 다음과 같다.

: 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ...

만약 L_n이 소수이면 n은 0, 소수 또는 2의 거듭제곱이다. 그러나, n이 소수여도 L_n이 소수가 된다는 보장은 없다.

뤼카 소수가 무한히 많다는 추측이 있다.

현재, 가장 큰 것으로 알려진 뤼카 확률적 소수는 1,142,392개의 십진 자릿수를 가진 L_5466311이다.

5. 황금비와의 관계 및 활용

뤼카 수는 황금비와 밀접하게 관련되어 있다. 뤼카 수에서 인접한 두 항의 비율 L/L은 n이 커짐에 따라 황금비 $\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{1\; +\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$ = 1.61803398…에 수렴한다.

n번째 뤼카 수는 다음 식으로 나타낼 수 있다.
:$L\_n\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\; \backslash right)^n\; +\; \backslash left(\; \backslash frac\{1-\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\; \backslash right)^n=\; \backslash varphi^n\; +\; (1-\backslash varphi)^n\; =\; \{\backslash varphi^n\; +\; (-\backslash varphi)^\{-n\}\}$
여기서 $\backslash varphi$는 황금비이다.

황금비의 거듭제곱은 뤼카 수를 이용한 연분수로 표현할 수 있다. 양의 정수 n에 대한 연분수는 다음과 같다.

:$\backslash varphi^\{2n-1\}\; =\; [L\_\{2n-1\};\; L\_\{2n-1\},\; L\_\{2n-1\},\; L\_\{2n-1\},\; \backslash ldots]$
:$\backslash varphi^\{2n\}\; =\; [L\_\{2n\}-1;\; 1,\; L\_\{2n\}-2,\; 1,\; L\_\{2n\}-2,\; 1,\; L\_\{2n\}-2,\; 1,\; \backslash ldots]$

예를 들어,
:$\backslash varphi^5\; =\; [11;\; 11,\; 11,\; 11,\; \backslash ldots]$
는 다음 수열의 극한이다.
:$\backslash frac\{11\}\{1\},\; \backslash frac\{122\}\{11\},\; \backslash frac\{1353\}\{122\},\; \backslash frac\{15005\}\{1353\},\; \backslash ldots$
그리고
:$\backslash varphi^6\; =\; [18\; -\; 1;\; 1,\; 18\; -\; 2,\; 1,\; 18\; -\; 2,\; 1,\; 18\; -\; 2,\; 1,\; \backslash ldots]\; =\; [17;\; 1,\; 16,\; 1,\; 16,\; 1,\; 16,\; 1,\; \backslash ldots]$
는 다음 수열의 극한이다.
:$\backslash frac\{17\}\{1\},\; \backslash frac\{18\}\{1\},\; \backslash frac\{305\}\{17\},\; \backslash frac\{323\}\{18\},\; \backslash frac\{5473\}\{305\},\; \backslash frac\{5796\}\{323\},\; \backslash frac\{98209\}\{5473\},\; \backslash frac\{104005\}\{5796\},\; \backslash ldots$

뤼카 수는 해바라기에서 피보나치 수 다음으로 두 번째로 흔하게 나타나는 패턴이다.

6. 역사

프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 땄다.