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리만-르베그 보조정리

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목차

1. 개요

리만-르베그 보조정리는 적분 가능한 함수에 대한 푸리에 변환이 무한대에서 0으로 수렴한다는 정리이다. 함수 f가 르베그 적분 가능하면, 푸리에 변환은 무한대로 갈 때 0으로 수렴하며, 라플라스 변환과 푸리에 급수에도 적용된다. 이 정리는 적분의 점근적 근사를 증명하는 데 사용되며, 최급강하법과 정상 위상법과 같은 방법의 엄밀한 처리에 기반한다.

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리만-르베그 보조정리
개요
유형수학적 정리
분야조화 해석학
관련 항목푸리에 해석
설명
내용L 함수의 푸리에 변환은 무한대에서 0으로 간다.

2. 공식화

함수 f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}에 대하여, f \in L^1이면, 즉 f의 르베그 적분이 유한하다면 다음이 성립한다.

:z \to \pm\infty일 때, \int^\infty_{-\infty} f(x) e^{-izx}\,dx \to 0.

같은 조건의 함수를 라플라스 변환한 것에도 해당 식이 성립한다. 이 경우에는 더 넓은 범위에서 다음 결과를 얻는다.

:Im(z) \ge 0인 반평면 상에서 |z| \to \infty일 때, \int^\infty_0 f(x) e^{-zx}\,dx \to 0.

이는 n차원 푸리에 변환에도 성립한다. 즉, f \in L^1(\mathbb{R}^n)에 대하여,[1]

:\lim_

3. 증명

1차원(n=1) 경우에 대한 증명은 다음과 같다. 고차원에서의 증명도 유사하다. 이 증명은 크게 두 가지 경우로 나뉜다.


  • f가 연속이고 유한 지지를 갖는 경우
  • 일반적인 적분 가능한 함수인 경우


각 경우에 대한 자세한 증명은 하위 섹션을 참고하라.

3. 1. 연속이며 유한 지지를 갖는 함수

f가 연속적이고 유한 지지(compactly supported)를 갖는다고 가정한다. \xi \neq 0일 때, 치환 \textstyle x\to x+\frac{\pi}{\xi}를 사용하면 다음을 얻는다.

:\hat{f}(\xi) = \int_{\R} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi}\mathrm{d}x = \int_{\R} f\left(x+\frac{\pi}{\xi}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi} \mathrm{d}x = -\int_{\R} f\left(x+\frac{\pi}{\xi}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi} \mathrm{d}x

\hat{f}(\xi)에 대한 두 공식의 평균을 취하면 다음 부등식에 도달한다.

:|\hat{f}(\xi)|\le \frac{1}{2}\int_{\R} \left|f(x)-f\left(x+\frac{\pi}{\xi}\right)\right|\mathrm{d}x.

f가 연속이므로, 모든 x \in \R에 대해 \left|f(x)-f\left(x+\tfrac{\pi}{\xi}\right)\right|는 |\xi| \to \infty일 때 0으로 수렴한다. 따라서, 지배 수렴 정리에 의해 |\hat{f}(\xi)|는 |\xi| \to \infty일 때 0으로 수렴한다.

3. 2. 일반적인 적분 가능 함수

f가 임의의 적분 가능한 함수인 경우, 유한 지지 연속 함수에 의해 L^1 노름으로 근사할 수 있다. 즉, 임의의 \epsilon > 0에 대해, \|f - g\|_{L^1} \leq \epsilon를 만족하는 유한 지지 연속 함수 g를 선택할 수 있다. 그러면

: \limsup_{\xi\rightarrow\pm\infty} |\hat{f}(\xi)| \leq \limsup_{\xi\to\pm\infty} \left|\int (f(x)-g(x))\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi} \, \mathrm{d}x\right| + \limsup_{\xi\rightarrow\pm\infty} \left|\int g(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi} \, \mathrm{d}x\right| \leq \varepsilon + 0 = \varepsilon

이고, 이는 모든 \epsilon > 0에 대해 성립하므로, |\hat{f}(\xi)| \to 0 (|\xi| \to \infty)이다.

4. 다른 표현들

리만-르베그 보조정리는 여러 다른 상황에서도 성립한다.


  • f \in L^1[0,\infty)이면, 리만-르베그 보조정리는 f의 라플라스 변환에도 성립한다.
  • 푸리에 급수에 대한 것도 있다. f가 유계 구간에서 적분 가능한 함수라면, f의 푸리에 계수는 k \to \pm \infty일 때 0으로 수렴한다.
  • 리만-르베그 보조정리는 임의의 분포에 대해서는 성립하지 않는다. 예를 들어 디랙 델타 함수의 푸리에 변환은 상수이고 무한대에서 사라지지 않는다.

4. 1. 라플라스 변환

만약 f \in L^1[0, \infty)이면, 리만-르베그 보조정리는 f의 라플라스 변환에도 성립한다. 즉, \mathrm{Re}(z) \geq 0인 반평면에서 |z| \to \infty일 때, 다음이 성립한다.[1]

:\int_0^\infty f(t) \mathrm{e}^{-tz} \mathrm{d}t \to 0

4. 2. 푸리에 급수

f가 유계 구간에서 적분 가능한 함수라면, f의 푸리에 계수 \hat{f}_k는 k \to \pm \infty일 때 0으로 수렴한다. 이는 f를 구간 외부에서 0으로 확장한 다음, 전체 실수선에서 리만-르베그 보조정리 버전을 적용하여 얻을 수 있다.[1]

4. 3. 분포

리만-르베그 보조정리는 임의의 분포에 대해서는 성립하지 않는다. 예를 들어, 디랙 델타 함수 분포는 형식적으로 실수선에서 유한한 적분을 가지지만, 그 푸리에 변환은 상수이고 무한대에서 사라지지 않는다.

5. 응용

리만-르베그 보조정리는 적분의 점근 근사가 타당함을 증명하는 데 사용될 수 있다. 특히 최급강하법과 정상 위상법과 같은 방법의 엄밀한 처리는 리만-르베그 보조정리에 기반한다.


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