리만-르베그 보조정리

1. 개요

리만-르베그 보조정리는 적분 가능한 함수에 대한 푸리에 변환이 무한대에서 0으로 수렴한다는 정리이다. 함수 f가 르베그 적분 가능하면, 푸리에 변환은 무한대로 갈 때 0으로 수렴하며, 라플라스 변환과 푸리에 급수에도 적용된다. 이 정리는 적분의 점근적 근사를 증명하는 데 사용되며, 최급강하법과 정상 위상법과 같은 방법의 엄밀한 처리에 기반한다.

2. 공식화

함수 $f:\backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$에 대하여, $f\; \backslash in\; L^1$이면, 즉 $f$의 르베그 적분이 유한하다면 다음이 성립한다.

:$z\; \backslash to\; \backslash pm\backslash infty$일 때, $\backslash int^\backslash infty\_\{-\backslash infty\}\; f(x)\; e^\{-izx\}\backslash ,dx\; \backslash to\; 0.$

같은 조건의 함수를 라플라스 변환한 것에도 해당 식이 성립한다. 이 경우에는 더 넓은 범위에서 다음 결과를 얻는다.

:$Im(z)\; \backslash ge\; 0$인 반평면 상에서 $|z|\; \backslash to\; \backslash infty$일 때, $\backslash int^\backslash infty\_0\; f(x)\; e^\{-zx\}\backslash ,dx\; \backslash to\; 0.$

이는 n차원 푸리에 변환에도 성립한다. 즉, $f\; \backslash in\; L^1(\backslash mathbb\{R\}^n)$에 대하여,

:$\backslash lim\_\{|\backslash xi|\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash widehat\{f\}(\backslash xi)\; =\; 0.$

여기서 $\backslash hat\{f\}(\backslash xi)\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbb\{R\}^n\}\; f(x)\; e^\{-i\backslash xi\; \backslash cdot\; x\}\; dx$는 $f$의 푸리에 변환이다.

3. 증명

1차원($n=1$) 경우에 대한 증명은 다음과 같다. 고차원에서의 증명도 유사하다. 이 증명은 크게 두 가지 경우로 나뉜다.

* f가 연속이고 유한 지지를 갖는 경우
* 일반적인 적분 가능한 함수인 경우

각 경우에 대한 자세한 증명은 하위 섹션을 참고하라.

3.1. 연속이며 유한 지지를 갖는 함수

$f$가 연속적이고 유한 지지(compactly supported)를 갖는다고 가정한다. $\backslash xi\; \backslash neq\; 0$일 때, 치환 $\backslash textstyle\; x\backslash to\; x+\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash xi\}$를 사용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash hat\{f\}(\backslash xi)\; =\; \backslash int\_\{\backslash R\}\; f(x)\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}x\backslash xi\}\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{\backslash R\}\; f\backslash left(x+\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash xi\}\backslash right)\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}x\backslash xi\}\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}\backslash pi\}\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; -\backslash int\_\{\backslash R\}\; f\backslash left(x+\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash xi\}\backslash right)\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}x\backslash xi\}\; \backslash mathrm\{d\}x$

$\backslash hat\{f\}(\backslash xi)$에 대한 두 공식의 평균을 취하면 다음 부등식에 도달한다.

:$|\backslash hat\{f\}(\backslash xi)|\backslash le\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash int\_\{\backslash R\}\; \backslash left|f(x)-f\backslash left(x+\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash xi\}\backslash right)\backslash right|\backslash mathrm\{d\}x$.

$f$가 연속이므로, 모든 $x\; \backslash in\; \backslash R$에 대해 $\backslash left|f(x)-f\backslash left(x+\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{\backslash xi\}\backslash right)\backslash right|$는 $|\backslash xi|\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 $0$으로 수렴한다. 따라서, 지배 수렴 정리에 의해 $|\backslash hat\{f\}(\backslash xi)|$는 $|\backslash xi|\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 0으로 수렴한다.

3.2. 일반적인 적분 가능 함수

$f$가 임의의 적분 가능한 함수인 경우, 유한 지지 연속 함수에 의해 $L^1$ 노름으로 근사할 수 있다. 즉, 임의의 $\backslash epsilon\; >\; 0$에 대해, $\backslash |f\; -\; g\backslash |\_\{L^1\}\; \backslash leq\; \backslash epsilon$를 만족하는 유한 지지 연속 함수 $g$를 선택할 수 있다. 그러면

:$\backslash limsup\_\{\backslash xi\backslash rightarrow\backslash pm\backslash infty\}\; |\backslash hat\{f\}(\backslash xi)|\; \backslash leq\; \backslash limsup\_\{\backslash xi\backslash to\backslash pm\backslash infty\}\; \backslash left|\backslash int\; (f(x)-g(x))\backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}x\backslash xi\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\backslash right|\; +\; \backslash limsup\_\{\backslash xi\backslash rightarrow\backslash pm\backslash infty\}\; \backslash left|\backslash int\; g(x)\backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}x\backslash xi\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\backslash right|\; \backslash leq\; \backslash varepsilon\; +\; 0\; =\; \backslash varepsilon$

이고, 이는 모든 $\backslash epsilon\; >\; 0$에 대해 성립하므로, $|\backslash hat\{f\}(\backslash xi)|\; \backslash to\; 0$ ($|\backslash xi|\; \backslash to\; \backslash infty$)이다.

4. 다른 표현들

리만-르베그 보조정리는 여러 다른 상황에서도 성립한다.

* $f\; \backslash in\; L^1[0,\backslash infty)$이면, 리만-르베그 보조정리는 $f$의 라플라스 변환에도 성립한다.
* 푸리에 급수에 대한 것도 있다. $f$가 유계 구간에서 적분 가능한 함수라면, $f$의 푸리에 계수는 $k\; \backslash to\; \backslash pm\; \backslash infty$일 때 0으로 수렴한다.
* 리만-르베그 보조정리는 임의의 분포에 대해서는 성립하지 않는다. 예를 들어 디랙 델타 함수의 푸리에 변환은 상수이고 무한대에서 사라지지 않는다.

4.1. 라플라스 변환

만약 $f\; \backslash in\; L^1[0,\; \backslash infty)$이면, 리만-르베그 보조정리는 $f$의 라플라스 변환에도 성립한다. 즉, $\backslash mathrm\{Re\}(z)\; \backslash geq\; 0$인 반평면에서 $|z|\; \backslash to\; \backslash infty$일 때, 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; f(t)\; \backslash mathrm\{e\}^\{-tz\}\; \backslash mathrm\{d\}t\; \backslash to\; 0$

4.2. 푸리에 급수

$f$가 유계 구간에서 적분 가능한 함수라면, $f$의 푸리에 계수 $\backslash hat\{f\}\_k$는 $k\; \backslash to\; \backslash pm\; \backslash infty$일 때 0으로 수렴한다. 이는 $f$를 구간 외부에서 0으로 확장한 다음, 전체 실수선에서 리만-르베그 보조정리 버전을 적용하여 얻을 수 있다.

4.3. 분포

리만-르베그 보조정리는 임의의 분포에 대해서는 성립하지 않는다. 예를 들어, 디랙 델타 함수 분포는 형식적으로 실수선에서 유한한 적분을 가지지만, 그 푸리에 변환은 상수이고 무한대에서 사라지지 않는다.

5. 응용

리만-르베그 보조정리는 적분의 점근 근사가 타당함을 증명하는 데 사용될 수 있다. 특히 최급강하법과 정상 위상법과 같은 방법의 엄밀한 처리는 리만-르베그 보조정리에 기반한다.