르베그 적분

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1. 개요
2. 정의
3. 리만 적분과의 관계
- 3.1. 직관적인 해석
4. 예
5. 르베그 적분의 성질
6. 구성법
7. 다른 정식화
8. 역사
참조

1. 개요

르베그 적분은 측도 공간에서 정의되는 적분으로, 가측 함수를 적분하는 방법이다. 단순 함수의 르베그 적분을 정의하고, 이를 바탕으로 일반적인 가측 함수의 적분을 정의한다. 르베그 적분은 리만 적분보다 일반적인 적분 방법으로, 리만 적분이 불가능한 함수도 르베그 적분 가능한 경우가 있다. 르베그 적분은 선형성과 단조성을 만족하며, 단조 수렴 정리, 파투 보조정리, 르베그 지배 수렴 정리와 같은 성질을 갖는다. 르베그 적분은 측도론과 적분론으로 구성되며, 앙리 르베그에 의해 1902년에 처음 정의되었다.

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르베그 적분
기본 정보
이름	르베그 적분
로마자 표기	Reubegeu jeokbun
영어	Lebesgue integral
분야	실해석학, 측도론
하위 분야	적분
정의
정의	측도 공간에서 정의된 함수를 적분하는 방법
특징	함수의 치역을 분할하여 적분을 계산
대상 함수	가측 함수
역사
창시자	앙리 르베그
발표 년도	1902년
초기 논문	적분, 길이, 면적에 대한 연구
관련 개념
관련 개념	리만 적분, 스틸체스 적분, 다니엘 적분, 확률론
일반화	벡터 측도에 대한 적분, 미분 형식의 적분
응용	푸리에 해석, 함수해석학, 확률론, 수학적 모델링
성질
수렴 정리	단조 수렴 정리, 파투의 보조정리, 지배 수렴 정리
주요 성질	선형성, 단조성, 절대 연속성
비고	리만 적분으로 계산 불가능한 함수도 적분 가능
참고 문헌
참고 문헌
관련 항목
관련 항목	공리적 확률론

2. 정의

르베그 적분은 르베그 측도를 기반으로 하여 정의하며, 지시 함수와 같이 간단한 함수부터 정의한 다음 점차 일반적인 함수에 대해서 정의한다.

일반적인(음이 아니라고 한정하지 않는) 가측 함수 f가 르베그 적분 가능 조건은 f의 그래프와 x-축에 둘러싸인 영역의 면적이 유한할 때이다. 즉,

: $\int |f|\,\mathrm{d}\mu < + \infty$

이 경우 적분값은 (리만 적분 때와 마찬가지로) x-축 위에 있는 면적에서 x-축 아래에 있는 면적을 뺀 값으로 주어진다.

: $\int f \,\mathrm{d}\mu = \int f^+ \,\mathrm{d}\mu - \int f^- \,\mathrm{d}\mu$

여기서, $f=f^+ - f^-$ 는 f를 두 개의 음이 아닌 값 함수로 분해한 것이며, 각각은 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{align}f^+(x)&=\max\{f(x),0\} & &{}=\begin{cases}f(x), & \text{if } f(x) > 0, \\0, & \text{otherwise}\end{cases}\\f^-(x)&=\max\{-f(x),0\} & &{}=\begin{cases}$

f(x), & \text{if } f(x) < 0, \\

0, & \text{otherwise.}\end{cases}\end{align}

2. 1. 단순 함수

측도 공간

(E, \mathcal E, \mu)

위의 '''단순 함수'''(simple function^영어)는 가측 집합 위의 지시 함수들의 음이 아닌 계수를 가진 유한 선형 결합이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

:

\sum_{i=1}^na_i1_{S_i}\qquad(a_i\ge0,\;S_i\in\mathcal E)

단순 함수들의 집합을

\mathcal S(E)

라 한다. 단순 함수

s\in\mathcal S(E)

의 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int\sum_ia_i1_{S_i}\,d\mu=\sum_ia_i\mu(S_i)

2. 2. 가측 함수

\mathcal B(\mathbb R)

가 실수의 보렐 시그마 대수라고 할 때, 가측 함수

f\colon(E,X,\mu)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))

의 르베그 적분

\int f d\mu

는 다음과 같다.

:

\int f\,d\mu=\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}

\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{-f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}

2. 3. 적분 영역

가측 집합

A\subset E

에 국한된 르베그 적분은 다음과 같이 정의한다.

:

\int_Af\,d\mu=\int 1_Af\,d\mu

유클리드 공간

E=\mathbb R^n

위의 르베그 적분은 보통 르베그 측도를 갖춘 경우를 의미한다.

3. 리만 적분과의 관계

베른하르트 리만이 19세기에 제안한 리만 적분은 함수를 "쉽게 계산할 수 있는 적분"으로 근사하여 정의한다. 리만 적분은 기존에 알려진 문제와 다른 문제에 대해 새로운 결과를 제공했지만,^[1] 함수열의 극한과는 상성이 좋지 않아 해석이 어려웠다. 반면, 르베그 적분은 적분 기호 아래에서 극한을 더 쉽게 다룰 수 있다.^[1]

르베그 적분은 리만 적분과 다른 "쉽게 계산할 수 있는 적분"을 사용하며, 리만 적분보다 더 넓은 종류의 함수에 대해 적분을 정의할 수 있다.^[1] 예를 들어 닫힌 구간 [0, 1]에서 디리클레 함수는 리만 적분으로는 정의되지 않지만, 르베그 적분으로는 적분할 수 있다.^[1]

디리클레 함수(유리수에서 1, 무리수에서 0)는 모든 곳에서 불연속이며, [0, 1]에서 다음과 같은 특징을 갖는다.

리만 적분 불가능: [0, 1]을 어떻게 분할하더라도 각 구간에는 유리수와 무리수가 포함되므로 상적분은 항상 1이고 하적분은 항상 0이다.
르베그 적분 가능: 집합의 정의 함수의 적분은 정의에 의해 0이다.

3. 1. 직관적인 해석

적분의 정의 방법의 차이를 직관적으로 이해할 수 있도록, 산의 (해발 위 부분의) 부피를 계산하는 예를 생각해 보자. 이 산의 경계는 명확하게 정해져 있다고 한다(이것이 적분 범위이다).

'''리만 적분에 의한 방법'''

: 케이크를 자를 때처럼, 산을 세로 방향으로 잘게 나누어 분할한다. 이 때, 각 부분의 밑면은 직사각형이 되도록 한다. 다음으로, 각 부분에서 가장 표고가 높은 곳을 조사하고, 밑면의 면적과 그 표고를 곱한다. 각 부분마다 계산한 그 값을 더한 것을, 위쪽 리만 합이라고 부른다. 마찬가지로, 가장 표고가 낮은 곳에 대해 행하고, 아래쪽 리만 합이라고 부른다. 분할을 세밀하게 해 갔을 때, 위 · 아래의 리만 합이 같은 값으로 수렴할 때 리만 적분 가능하다고 하며, 그 극한값이 산의 부피가 된다.

'''르베그 적분에 의한 방법'''

: 산의 등고선을 지도화한다. 등고선에 따라 지도를 재단하여, 지도를 몇 개의 부분으로 분해한다. 각 부분은 면적을 계산할 수 있는 평면 도형이므로(측도가 정해져 있으므로), 부분의 면적과 그 부분의 가장 낮은 점의 표고를 곱한다. 각 부분의 이 값을 더한 것을 "르베그 합"이라고 부른다. 이 "르베그 합"은 르베그 적분의 구성에 맞는, 단순 함수의 적분에 해당한다. 등고선의 간격을 반으로 줄여 갔을 때의 "르베그 합"의 극한값이 산의 부피가 된다.

4. 예

지시 함수 $1_{\mathbb Q}$ 는 리만 적분이 존재하지 않는다. 그러나 르베그 적분은 존재하며, 다음과 같다.

: $\int 1_{\mathbb Q}\,d\mu=\mu(\mathbb Q)=0$

디리클레 함수라고도 불리는 유리수체 $\mathbb{Q}$ 의 정의 함수 $1_{\mathbf{Q}}$ 는 모든 곳에서 불연속이다.

$1_{\mathbf{Q}}$ 는 [0, 1] 상에서 리만 적분 가능하지 않다. [0, 1]을 어떻게 구간으로 분할하더라도, 각 구간에는 유리수와 무리수가 적어도 하나씩은 포함된다. 따라서 상 적분은 항상 1이고 하 적분은 항상 0이 되어 리만 적분 가능하지 않다.
$1_{\mathbf{Q}}$ 는 [0, 1] 상에서 르베그 적분 가능하다. 집합의 정의 함수의 적분은 정의에 의해 다음과 같다.

:

\int_{[0,1]} 1_{\mathbf{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbf{Q} \cap [0,1]) = 0

5. 르베그 적분의 성질

영집합 위에서만 다른 값을 갖는 함수는 르베그 적분에서 구별되지 않는다. 함수 ''f''와 ''g''가 거의 모든 곳에서 같다는 것은 다음 식을 만족하는 것이며,

: $\mu(\{x : f(x) \neq g(x)\}) = 0$

: $f = g \quad\text{a.e.}$

라고 쓴다.

음이 아닌 가측 함수( $\infty$ 를 함수값으로 허용) ''f''와 ''g''가 거의 모든 곳에서 같다면, 다음이 성립한다.
: $\int_E f\, d \mu = \int_E g\, d \mu.$
가측 함수( $\pm\infty$ 를 함수값으로 허용) ''f''와 ''g''가 거의 모든 곳에서 같다면, ''f''가 적분 가능하다는 것과 ''g''가 적분 가능하다는 것은 동치이며, 적분값은 같다.

르베그 적분은 다음 성질을 갖는다.

선형성: 적분 가능한 함수 ''f'', ''g''와 실수 ''a'', ''b''에 대하여, ''af'' + ''bg''도 적분 가능하며, 다음이 성립한다.

:

\int_E (a f + bg) \,d\mu = a \int_E f \,d\mu + b \int_E g \,d\mu\,

단조성: 0 ≤ ''f'' ≤ ''g''라면, 다음이 성립한다.

:

\int_E f \,d \mu \leq  \int_E g\, d \mu

단조 수렴 정리: {''f''_''k''}_{''k''∈'''N'''}을 음이 아닌 가측 함수의 증가 열이라고 한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

0\leq f_k(x) \leq f_{k+1}(x) \quad \forall k\in \mathbb{N}, \text{ a.e. }\ x \in E.

이때, 다음이 성립한다.

:

\lim_k \int f_k \,d\mu = \int \lim_k f_k \,d\mu.

주의: 좌변 또는 우변의 한쪽이 양의 무한대로 발산하면, 다른 쪽 변도 마찬가지이다.

파투의 보조정리: {''f''_''k''}_{''k''∈'''N'''}를 음이 아닌 가측 함수의 열이라고 한다. 이때, 다음이 성립한다.

:

\int \varliminf_k f_k \,d\mu  \leq  \varliminf_k \int f_k \,d\mu

이 정리에서는 좌변이 양의 무한대로 발산하면, 우변도 양의 무한대로 발산한다.

르베그의 지배 수렴 정리: {''f''_''k''}_{''k''∈'''N'''}을 가측 함수의 열로, ''f''로 개수렴한다고 하고, 적분 가능한 함수 ''g''에 의해 ''E''의 거의 모든 곳에서 임의의 ''k''에 대해 |''f''_''k'' | ≤ ''g''로 위아래에서 억제되어 있다고 한다. 이때 극한 함수 ''f''도 적분 가능하며, 다음이 성립한다.

:

\lim_k \int f_k \,d\mu = \int f \,d\mu

6. 구성법

르베그 적분은 측도를 기반으로 지시 함수와 같이 간단한 함수에서 시작하여 점차 복잡한 함수로 확장하여 정의한다. 르베그 적분론은 가측 집합과 그 위의 측도에 관한 이론(측도론)과 가측 함수와 그 적분에 관한 이론(적분론)의 두 단계로 구성되어 있다.^[1]

측도 공간 $(E, \mathcal E, \mu)$ 에서 정의된 '''단순 함수'''(simple function^영어) $E\to[0,\infty)$ 는 가측 집합 위에서의 지시 함수들의 유한 선형 결합이며, 음이 아닌 계수를 가진다. 즉, 다음과 같은 형태이다.

: $\sum_{i=1}^na_i1_{S_i}\qquad(a_i\ge0,\;S_i\in\mathcal E)$

단순 함수들의 집합은 $\mathcal S(E)$ 로 표기한다. 단순 함수 $s\in\mathcal S(E)$ 의 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다.

: $\int\sum_ia_i1_{S_i}\,d\mu=\sum_ia_i\mu(S_i)$

보렐 시그마 대수 $\mathcal B(\mathbb R)$ 가 실수 집합에서의 보렐 시그마 대수라고 할 때, 가측 함수 $f\colon(E,X,\mu)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ 의 르베그 적분 $\int f d\mu$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\int f\,d\mu=\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}$

\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{-f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}

가측 집합

A\subset E

에 대한 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_Af\,d\mu=\int 1_Af\,d\mu

유클리드 공간

E=\mathbb R^n

에서의 르베그 적분은 주로 르베그 측도를 사용한다.

르베그 적분을 구성할 때, 단순 함수(유한 개의 지시 함수의 실수 계수 선형 결합)를 사용한다. 단순 함수는 가측 함수의 치역을 여러 구간으로 나누어 가측 함수를 근사하는 데 사용된다. 단순 함수의 적분은 각 구간의 측도에 그 높이를 곱한 값의 합이다. 양의 값을 갖는 일반적인 가측 함수의 적분은 해당 함수의 단순 함수 근사의 상한으로 정의된다. 양수와 음수 값을 모두 가질 수 있는 함수의 경우, 함수를 양의 성분과 음의 성분으로 분해하여 각 성분의 적분을 계산한 후 그 차이를 통해 적분을 정의한다.

복소수 값 가측 함수의 경우, 함수를 실수부와 허수부로 분해하여 적분을 정의한다. 복소수 값 가측 함수

h

가 실수 값 르베그 적분 가능 함수

f, g

를 사용하여

h = f + ig

로 표현될 수 있다면,

h

의 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_X h \, d\mu = \int f \, d\mu + i \int g \, d\mu

복소수 값 가측 함수가 르베그 적분 가능이 되기 위한 필요충분 조건은 그 절댓값이 르베그 적분 가능이 되는 것이다.

6. 1. 측도론

측도론은 선분, 평면도형, 입체 등의 길이, 면적, 부피 등의 정밀한 해석을 위해 고안되었다.^[1] 특히 실수 전체의 집합

\mathbb{R}

의 부분 집합에 대해, 그 부분 집합의 길이가 무엇인가라는 질문에 대해 정연한 해답을 제시했다.

집합론의 발전에 의해, 자연스러운 가법성을 갖고, 평행 이동 불변이 되도록 실수체

\mathbb{R}

의 모든 부분 집합에 길이를 정의하는 것이 불가능하다는 것이 밝혀졌다. 이로 인해 가측 집합이라고 불리는 종류의 부분 집합에만 길이를 정의할 필요가 생겼다.

현대에는 측도와 적분이 공리적으로 정의된다. 측도는 집합 ''X''의 적절한 조건을 만족하는 부분 집합의 족 Σ 위에 정의된 적절한 조건을 만족하는 함수 ''μ''이면 무엇이든 좋으며, ''X''가 유클리드 공간이거나, Σ의 원이 면적을 계산하고 싶은 도형일 필요도 없고, ''μ''의 값이 면적과 동떨어진 것이라도 괜찮다. 그래서 유클리드 공간의 도형의 면적을 주는 측도는 특별히 르베그 측도라는 이름이 붙어 있다.

6. 2. 가측 함수

측도 공간 (''X'', ''M'', ''μ'')가 주어졌다고 가정한다. 예를 들어, ''X''를 유클리드 공간, ''M''을 르베그 가측 집합 전체, ''μ''를 르베그 측도 등으로 생각할 수 있다. 확률론에서는 ''μ''(''X'') = 1인 측도 공간(확률 공간)을 사용한다.

르베그 적분에서 피적분 함수가 되는 함수는 가측 함수라고 불린다. ''X'' 위에서 정의된 실수 또는

\pm\infty

값을 가지는 함수 ''f''가 가측 함수 또는 ''M''-가측 함수라는 것은, 임의의 실수

a

에 대해

(a,+\infty]=(a,+\infty)\cup\{+\infty\}

의 ''f''에 의한 역상이 ''M''에 속하는 것이다.

:

f^{-1}((a,\infty]) \in M

위 식이 성립한다. 복소수 값 함수는 그 실수부와 허수부가 모두 가측 함수일 때 가측 함수 또는 ''M''-가측 함수라고 한다. 이처럼 함수의 가측성을 정의하면, 가측 함수 전체로 이루어진 집합은 대수적인 연산(합, 차, 곱, 몫, 실수배 또는 복소수배)에 대해 닫혀 있음을 알 수 있다. 가측 함수 전체 집합은 실수체 또는 복소수체 위의 선형 공간을 이룬다는 것도 알 수 있다. 또한, 완전 가법족 ''M''의 성질로부터,

\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}

의 임의의 부분 집합 ''I''의 가측 함수 ''f''에 의한 역상 ''f''⁻¹(''I'')도 ''M''에 속한다는 것을 알 수 있다. 중요한 것은, 많은 함수열의 극한에 대해 닫혀 있다는 것이다. 예를 들어, 가측 함수의 열 ''f''_''k''에 대해

:

\varliminf_{k\in\mathbb{N}}f_k,\quad\varlimsup_{k\in\mathbb{N}}f_k

로 주어지는 함수도 또한 가측 함수가 된다. 따라서, 가측 함수열이 각 점 수렴하면 극한 함수도 또한 가측 함수이다.

6. 3. 적분의 구성

르베그 측도를 기반으로 하는 르베그 적분은, 지시 함수처럼 간단한 함수부터 시작하여 점차 복잡한 함수로 확장하여 정의한다.

측도 공간

(E, \mathcal E, \mu)

에서 정의된 '''단순 함수'''(simple function^영어)

E\to[0,\infty)

는 가측 집합 위에서의 지시 함수들의 유한 선형 결합이며, 음이 아닌 계수를 가진다. 즉, 다음과 같은 형태이다.

:

\sum_{i=1}^na_i1_{S_i}\qquad(a_i\ge0,\;S_i\in\mathcal E)

단순 함수들의 집합은

\mathcal S(E)

로 표기한다. 단순 함수

s\in\mathcal S(E)

의 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int\sum_ia_i1_{S_i}\,d\mu=\sum_ia_i\mu(S_i)

보렐 시그마 대수

\mathcal B(\mathbb R)

가 실수 집합에서의 보렐 시그마 대수라고 할 때, 가측 함수

f\colon(E,X,\mu)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))

의 르베그 적분

\int f d\mu

는 다음과 같이 정의된다.

:

\int f\,d\mu=\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}

\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{-f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}

가측 집합

A\subset E

에 대한 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_Af\,d\mu=\int 1_Af\,d\mu

유클리드 공간

E=\mathbb R^n

에서의 르베그 적분은 주로 르베그 측도를 사용한다.

르베그 적분을 구성할 때, 단순 함수(유한 개의 지시 함수의 실수 계수 선형 결합)를 사용한다. 단순 함수는 가측 함수의 치역을 여러 구간으로 나누어 가측 함수를 근사하는 데 사용된다. 단순 함수의 적분은 각 구간의 측도에 그 높이를 곱한 값의 합이다. 양의 값을 갖는 일반적인 가측 함수의 적분은 해당 함수의 단순 함수 근사의 상한으로 정의된다. 양수와 음수 값을 모두 가질 수 있는 함수의 경우, 함수를 양의 성분과 음의 성분으로 분해하여 각 성분의 적분을 계산한 후 그 차이를 통해 적분을 정의한다.

복소수 값 가측 함수의 경우, 함수를 실수부와 허수부로 분해하여 적분을 정의한다. 복소수 값 가측 함수

h

가 실수 값 르베그 적분 가능 함수

f, g

를 사용하여

h = f + ig

로 표현될 수 있다면,

h

의 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_X h \, d\mu = \int f \, d\mu + i \int g \, d\mu

복소수 값 가측 함수가 르베그 적분 가능이 되기 위한 필요충분 조건은 그 절댓값이 르베그 적분 가능이 되는 것이다.

7. 다른 정식화

측도론을 사용하지 않는 방법으로, 리만 적분은 콤팩트지지를 갖는 임의의 연속 함수에 대해 정의되므로, 함수 해석 방법을 사용하여 이 적분을 보다 일반적인 함수로 확장할 수 있다. ''C_c''를 '''R''' 상에 정의된 실수값을 가지며 콤팩트 지지를 갖는 함수 전체로 정의한다. 노름은 리만 적분을 사용하여 다음과 같이 정의한다.

: $\|f\| = \int |f(x)| \,dx$

이를 통해 ''C_c''는 선형 노름 공간이 된다. 거리 공간의 완비화(Hausdorff completion)를 통해 완비한 공간으로 확장한 것을 ''L''¹로 한다. 이 공간은 르베그 적분 가능한 함수로 이루어진 공간과 (거의 모든 곳에서 동일한 함수는 동일시한다는 조건으로) 동형이 된다. 또한, 리만 적분은 ''C_c'' 상의 연속인 선형 범함수이며, ''C_c''는 ''L''¹의 조밀한 부분 공간이므로, ''L''¹ 상의 선형 범함수로 유일하게 확장할 수 있다. 이 확장은 르베그 적분과 일치한다.

이 방법의 문제점은 함수를 공간의 점으로 정의하고 있다는 것이며, 이 추상적인 점을 함수로 표현하는 방법이 자명하지 않다는 것이다. 특히 함수열의 각 점 수렴과 적분과의 관계를 나타내는 것은 매우 어렵다. 이 접근법을 일반화하여 국소 콤팩트 공간상의 라돈 측도에 관한 적분의 이론을 구축할 수 있다. 자세한 내용은 국소 콤팩트 공간 상의 라돈 측도를 참조하라.

8. 역사

앙리 르베그는 1902년 박사 학위 논문에서 르베그 적분을 정의하였다.^[8]^[9]

19세기부터 적분을 엄밀하게 만들려는 움직임이 시작되었다. 베른하르트 리만이 제안한 리만 적분은 이 목적을 달성하기 위한 큰 진전이었다. 리만은 함수의 적분을 "쉽게 계산할 수 있는 적분"으로 근사하여 정의했다. 이 정의에 따른 적분은 기존에 해답이 알려져 있던 문제에 대해서는 동일한 결과를 제공했고, 다른 문제에 대해서는 새로운 결과를 제공했다. 그러나 리만 적분은 함수열의 극한과 상성이 좋지 않아, 적분과 극한이 동시에 나타나는 상황에서는 해석이 어려운 경우가 있었다. 반면, 르베그 적분은 적분 기호 아래에서의 극한을 더 쉽게 다룰 수 있었다. 르베그 적분은 리만 적분과는 다른 형태의 "쉽게 계산할 수 있는 적분"을 사용했으며, 이것이 르베그 적분이 리만 적분보다 더 잘 작동하는 이유이다. 또한, 르베그 적분에서는 리만 적분보다 더 넓은 종류의 함수에 대해 적분을 정의하는 것이 가능해졌다. 예를 들어, 디리클레 함수처럼 무리수에서 0, 유리수에서 1을 취하는 함수를 닫힌 구간 [0, 1]에서 생각할 때, 리만 적분으로는 적분을 정의할 수 없지만, 르베그 적분으로는 적분할 수 있다.

참조

_[1] 논문 Intégrale, longueur, aire 1902
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 서적 Intégrale, longueur, aire https://archive.org/[...] 1902
_[9] 서적 Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives Gauthier-Villars 1904

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