정역

3. 성질

정역은 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

• 정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 $p>0$의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 $x\backslash mapsto\; x^p$은 단사 함수이다.
• 정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.
• 가환환 $R$ 및 아이디얼 $\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
• $\backslash mathfrak\; a$가 소 아이디얼이다.
• $R/\backslash mathfrak\; a$가 정역이다.
• 정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.
• 가환환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[9]Example II.3.0.1|예제 II.3.0.1^영어[10]
• $R$는 정역이다.
• 아핀 스킴 $\backslash operatorname\{Spec\}R$는 정역 스킴이다.
• 웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.
• 정역은 두 개의 0이 아닌 원소의 곱이 0이 아닌 0이 아닌 가환환이다. 다른 말로 표현하면 다음과 같다.
• 정역은 0이 아닌 영인자가 없는 0이 아닌 가환환이다.
• 정역은 영 아이디얼 {0}이 소 아이디얼인 가환환이다.
• 정역은 곱셈에 대해 모든 0이 아닌 원소가 소거 가능한 0이 아닌 가환환이다.
• 정역은 0이 아닌 원소의 집합이 곱셈에 대해 가환 모노이드인 링이다 (모노이드는 곱셈에 대해 닫혀 있어야 하기 때문이다).
• 정역은 모든 0이 아닌 원소 ''r''에 대해, 링의 각 원소 ''x''를 곱 ''xr''로 매핑하는 함수가 단사 함수인 0이 아닌 가환환이다. 이러한 속성을 가진 원소 ''r''을 ''정규''라고 하므로, 링의 모든 0이 아닌 원소가 정규여야 한다는 조건과 같다.
• 정역은 체의 부분환과 동형인 링이다. (정역이 주어지면, 그 정역을 분수체에 포함시킬 수 있다.)
• 가환환 ''R''은 ''R''의 아이디얼 (0)이 소 아이디얼인 경우에만 정역이다.
• 만약 ''R''이 가환환이고, ''P''가 ''R''의 아이디얼이라면, 몫환 ''R/P''는 ''P''가 소 아이디얼인 경우에만 정역이다.
• ''R''을 정역이라고 하자. 그러면 ''R'' 위의 (임의의 개수의 미지수를 갖는) 다항식환은 정역이다. 이것은 특히 ''R''이 체인 경우에 해당한다.
• 소거 성질은 모든 정역에서 성립한다: 정역의 임의의 ''a'', ''b'', ''c''에 대해, ''a'' ≠ ''0'' 이고 ''ab'' = ''ac'' 이면, ''b'' = ''c''이다. 이것을 다른 방식으로 표현하면, 함수 ''x'' ↦ ''ax''는 정역 내의 모든 0이 아닌 ''a''에 대해 단사 함수이다.
• 소거 성질은 모든 정역의 아이디얼에 대해 성립한다: ''xI'' = ''xJ'' 이면, ''x''가 0이거나 ''I'' = ''J'' 이다.
• 정역은 극대 아이디얼에서의 국소화의 교집합과 같다.
• 정역의 귀납적 극한은 정역이다.
• 만약 ''A'', ''B''가 대수적으로 닫힌 체 ''k'' 위의 정역이라면, ''A'' ⊗_''k'' ''B''는 정역이다. 이는 힐베르트 영점 정리의 결과이다.
• ''R''이 정역이면, ''R'' ⊂ ''S''인 정역 ''S''로, ''R''에 대해 초월적인 원소를 포함하는 것이 존재한다.
• 임의의 정역에서 소거율(cancellation property)이 만족된다. 즉, ''a'', ''b'', ''c''를 하나의 정역의 임의의 원소라고 할 때, 「''a'' ≠ ''0''이고 ''ab'' = ''ac''이면 ''b'' = ''c''」가 성립한다. 다른 표현으로, 정역에서 영이 아닌 원소 ''a''가 정하는 사상 ''x'' ↦ ''ax''는 단사이다.
• 임의의 정역은 자신의 극대 아이디얼에서의 국소화 전체의 교집합으로 표현된다.
• 체의 부분환은 정역이다.

4. 나눗셈, 소원 및 기약원

''R''이 정역이라고 하자.

''R''의 원소 ''a''와 ''b''에 대해, ''ax'' = ''b''를 만족하는 ''R''의 원소 ''x''가 존재하면, "''a''가 ''b''를 나눈다''" 또는 "''a''는 ''b''의 약수이다''" 또는 "''b''는 ''a''의 배수이다''"라고 한다.^[8] 이때, ''a'' | ''b''로 표기한다.

''R''의 단원(unit)은 1을 나누는 원소이며, ''R''의 가역원(invertible element)과 같다. 단원은 다른 모든 원소를 나눈다.

''a''가 ''b''를 나누고 ''b''가 ''a''를 나누면, ''a''와 ''b''는 동반 원소(associate element) 또는 상반(associate)이라고 한다.^[8] ''a''와 ''b''는 동반원 일 경우 단원 ''u''가 존재한다.

기약원(irreducible element)은 두 비단위 원소의 곱으로 나타낼 수 없는, 0이 아닌 비단위 원소이다.^[8]

0이 아닌 비단위 원소 ''p''는 소원(prime element)인데, ''p''가 곱 ''ab''를 나누면, ''p''가 ''a'' 또는 ''b''를 나누는 경우이다.^[8] 원소 ''p''가 소원일 필요충분 조건은 주 아이디얼 (''p'')이 0이 아닌 소 아이디얼인 것이다.

기약원과 소원의 두 개념은 모두 환 $\backslash Z$에서 소수의 일반적인 정의를 일반화하며, 음의 소수를 소수로 간주하는 경우이다.^[8]

모든 소원은 기약원이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 이차 정수 환 $\backslash Z\backslash left[\backslash sqrt\{-5\}\backslash right]$에서 3은 기약원이지만, 소원은 아니다.^[8] (3이 인수분해된다면, 각 인수는 노름 3을 가져야 하지만, $a^2+5b^2=3$은 정수 해가 없으므로 노름 3인 원소는 없다), 3은 $\backslash left(2\; +\; \backslash sqrt\{-5\}\backslash right)\backslash left(2\; -\; \backslash sqrt\{-5\}\backslash right)$를 나누지만, 어느 인수도 나누지 않기 때문이다. 유일 인수 분해 정역(unique factorization domain) 또는 GCD 정역(GCD domain)에서는 기약원과 소원이 동치이다.

유일 인수 분해 정리는 $\backslash Z\backslash left[\backslash sqrt\{-5\}\backslash right]$에서 성립하지 않지만, 아이디얼의 유일 인수 분해가 있다. Lasker–Noether theorem을 참조하라.

5. 예

• 정수환 $\backslash mathbb\; Z$는 정역이다.
• 모든 체는 정역이다. 예를 들어, 모든 실수의 체 $\backslash R$는 정역이다.
• 대수적 수체의 대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_K$는 데데킨트 정역이다.
• 계수가 정역에서 나온다면 다항식의 환은 정역이다. 예를 들어, 정수 계수를 갖는 한 변수의 모든 다항식의 환 $\backslash Z[x]$는 정역이고, 복소수 계수를 갖는 ''n'' 변수의 모든 다항식의 환 $\backslash Complex[x\_1,\backslash ldots,x\_n]$도 마찬가지이다.
• 환 $\backslash Z[x]/(x^2\; -\; n)\; \backslash cong\; \backslash Z[\backslash sqrt\{n\}]$은 제곱수가 아닌 정수 $n$에 대해 정역이다. $n\; >\; 0$이면 이 환은 항상 $\backslash R$의 부분환이고, 그렇지 않으면 $\backslash Complex$의 부분환이다.
• ''p''-진 정수의 환 $\backslash Z\_p$는 정역이다.
• 정역의 형식적 멱급수의 환은 정역이다.
• 복소수 평면 $\backslash Complex$의 연결된 열린 집합 $U$에 대해 모든 정칙 함수로 구성된 환 $\backslash mathcal\{H\}(U)$는 정역이다.
• 정칙 국소환은 정역이다.

• 영 링
• $m$이 합성수일 때의 몫 링 $\backslash Z/m\backslash Z$.
• 두 개의 0이 아닌 가환 링의 곱.
• 임의의 $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$에 대한 몫 링 $\backslash Z[x]/(x^2\; -\; n^2)$.
• ''n'' × ''n'' 행렬의 링은 ''n'' ≥ 2일 때 임의의 0이 아닌 링 위에서 정의된다.
• 단위 구간에서 연속 함수의 링.
• 텐서 곱 $\backslash Complex\; \backslash otimes\_\{\backslash R\}\; \backslash Complex$.

6. 대수기하학

대수기하학에서 정역은 기약 대수다양체의 좌표환에 대응된다.^[9] 기약 대수다양체는 영 아이디얼에 의해 주어지는 유일한 생성점을 갖는다. 정역은 약원이자 기약인 환으로도 특징지어진다. 전자의 조건은 해당 환의 멱영근기(nilradical)가 영임을 보장하며, 따라서 해당 환의 극소 소 아이디얼들의 교집합이 영이 되는 것을 보장한다. 후자의 조건은 이 환의 극소 소 아이디얼이 단 하나임을 보장한다. 이로부터 약원이고 기약인 환의 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼 단 하나가 되며, 이것이 정역임을 얻는다. 역은 명백하며, 임의의 정역은 멱영원을 갖지 않으므로 영 아이디얼은 유일한 극소 소 아이디얼이 된다.

가환환은 그의 스펙트럼이 정 아핀 스킴일 때에만 정역이다.^[9]

7. 분수체

정역 *R*의 분수체 *K*는 *R*에 있는 *a*와 *b*를 분수로 표현한 집합 *a*/ *b*이며, 적절한 동치 관계를 가지며, 통상적인 덧셈 및 곱셈 연산이 정의된다. 이는 "*R*을 포함하는 가장 작은 체"이며, 이는 *R*에서 *K*로의 단사환 준동형 사상이 존재하며, *R*에서 체로의 모든 단사환 준동형 사상이 *K*를 통해 인수분해된다는 의미이다. 정수환 $\backslash mathbb\{Z\}$의 분수체는 유리수 $\backslash mathbb\{Q\}$의 체이다. 체의 분수체는 그 체 자체와 동형이다.^[9]

정역 *R*이 주어졌을 때, *R*을 부분환으로 포함하는 최소의 체는 동형을 제외하고 유일하게 정해지며, *R*의 '''분수체''' 또는 '''상체'''라고 불린다. 분수체는 *R*의 임의의 원소 *a* 및 *b*(≠ 0)에 대한 「분수」 *a* ⁄ *b*의 전체(를 적당한 동치 관계에 의해 나눈 것)로 구성된 것으로 생각할 수 있다. 예를 들어, 정수 전체로 구성된 정역의 상체는 유리수 전체로 구성된 체이다. 또한, 체의 상체는 동형을 제외하고 자기 자신과 일치한다.^[9]

참조

_[1] 서적 Dummit and Foote
_[2] 서적 Algebra: Groups, Rings, and Fields https://books.google[...]
_[3] 서적 Noncommutative Noetherian Rings AMS
_[4] 서적 Lang Algebra
_[5] 문서 整環という用語は、代数体の整環 (order) などに対しても用いられる。
_[6] 논문 Unique factorization in regular local rings
_[7] 논문 A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II The Johns Hopkins University Press
_[8] 문서 素数の通常の定義は、ちょうど素数が Z の既約元であることをいうものである。
_[9] 서적 Algebraic geometry Springer
_[10] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves https://web.archive.[...] Oxford University Press 2015-03-03