정역

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1. 개요

정역(整域, integral domain)은 대수학에서 0이 아닌 두 원소의 곱이 0이 아닌 가환환으로, 영인자가 존재하지 않는 환을 의미한다. 정역은 가환환의 특수한 경우로, 영인자가 없고, 1≠0이며, 곱셈에 대해 가환 모노이드를 이룬다. 정역은 체의 부분환과 동형이며, 스킴(scheme)의 경우, 모든 아핀 열린 집합에서 그 환이 정역인 스킴을 정역 스킴이라고 한다. 정역은 유일 인수 분해 정역, 데데킨트 정역 등과 같은 환의 개념과 연관되며, 체, 정수환, 다항식 환 등이 정역의 예시에 해당한다. 정역은 대수기하학에서 기약 대수다양체와 대응되며, 분수체를 가질 수 있다.

정역

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 나눗셈, 소원 및 기약원
5. 예
6. 대수기하학
7. 분수체

2. 정의

환에서 0이 아닌 두 원소 a, b의 곱 ab가 0이 아니고, 자명환이 아닌 (1 ≠ 0) 가환환을 정역이라고 한다.

정역은 다음의 조건들과 서로 동치이다.
* R＼{0}이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
* R의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
* R는 체의 부분환과 동형이다.
* R는 자명환이 아니며, R의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다. 임의의 환 R의 원소 r∈R에 대하여, (r·): R → R, s ↦ rs 가 단사 함수일 경우 r을 정칙원이라고 한다.

3. 성질

정역은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
::: 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
* 정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 $p>0$ 의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 $x\mapsto x^p$ 은 단사 함수이다.
* 정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.
* 가환환 $R$ 및 아이디얼 $\mathfrak a\subset R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\mathfrak a$ 가 소 아이디얼이다.
* $R/\mathfrak a$ 가 정역이다.
* 정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.
* 가환환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Example II.3.0.1^영어
* $R$ 는 정역이다.
* 아핀 스킴 $\operatorname{Spec}R$ 는 정역 스킴이다.
* 웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.
* 정역은 두 개의 0이 아닌 원소의 곱이 0이 아닌 0이 아닌 가환환이다. 다른 말로 표현하면 다음과 같다.
* 정역은 0이 아닌 영인자가 없는 0이 아닌 가환환이다.
* 정역은 영 아이디얼 {0}이 소 아이디얼인 가환환이다.
* 정역은 곱셈에 대해 모든 0이 아닌 원소가 소거 가능한 0이 아닌 가환환이다.
* 정역은 0이 아닌 원소의 집합이 곱셈에 대해 가환 모노이드인 링이다 (모노이드는 곱셈에 대해 닫혀 있어야 하기 때문이다).
* 정역은 모든 0이 아닌 원소 r에 대해, 링의 각 원소 x를 곱 xr로 매핑하는 함수가 단사 함수인 0이 아닌 가환환이다. 이러한 속성을 가진 원소 r을 정규라고 하므로, 링의 모든 0이 아닌 원소가 정규여야 한다는 조건과 같다.
* 정역은 체의 부분환과 동형인 링이다. (정역이 주어지면, 그 정역을 분수체에 포함시킬 수 있다.)
* 가환환 R은 R의 아이디얼 (0)이 소 아이디얼인 경우에만 정역이다.
* 만약 R이 가환환이고, P가 R의 아이디얼이라면, 몫환 R/P는 P가 소 아이디얼인 경우에만 정역이다.
* R을 정역이라고 하자. 그러면 R 위의 (임의의 개수의 미지수를 갖는) 다항식환은 정역이다. 이것은 특히 R이 체인 경우에 해당한다.
* 소거 성질은 모든 정역에서 성립한다: 정역의 임의의 a, b, c에 대해, a ≠ 0 이고 ab = ac 이면, b = c이다. 이것을 다른 방식으로 표현하면, 함수 x ↦ ax는 정역 내의 모든 0이 아닌 a에 대해 단사 함수이다.
* 소거 성질은 모든 정역의 아이디얼에 대해 성립한다: xI = xJ 이면, x가 0이거나 I = J 이다.
* 정역은 극대 아이디얼에서의 국소화의 교집합과 같다.
* 정역의 귀납적 극한은 정역이다.
* 만약 A, B가 대수적으로 닫힌 체 k 위의 정역이라면, A ⊗_k B는 정역이다. 이는 힐베르트 영점 정리의 결과이다.
* R이 정역이면, R ⊂ S인 정역 S로, R에 대해 초월적인 원소를 포함하는 것이 존재한다.
* 임의의 정역에서 소거율(cancellation property)이 만족된다. 즉, a, b, c를 하나의 정역의 임의의 원소라고 할 때, 「a ≠ 0이고 ab = ac이면 b = c」가 성립한다. 다른 표현으로, 정역에서 영이 아닌 원소 a가 정하는 사상 x ↦ ax는 단사이다.
* 임의의 정역은 자신의 극대 아이디얼에서의 국소화 전체의 교집합으로 표현된다.
* 체의 부분환은 정역이다.

4. 나눗셈, 소원 및 기약원

R이 정역이라고 하자.

R의 원소 a와 b에 대해, ax = b를 만족하는 R의 원소 x가 존재하면, "a가 b를 나눈다" 또는 "a는 b의 약수이다" 또는 "b는 a의 배수이다"라고 한다. 이때, a | b로 표기한다.

R의 단원(unit)은 1을 나누는 원소이며, R의 가역원(invertible element)과 같다. 단원은 다른 모든 원소를 나눈다.

a가 b를 나누고 b가 a를 나누면, a와 b는 동반 원소(associate element) 또는 상반(associate)이라고 한다. a와 b는 동반원 일 경우 단원 u가 존재한다.

기약원(irreducible element)은 두 비단위 원소의 곱으로 나타낼 수 없는, 0이 아닌 비단위 원소이다.

0이 아닌 비단위 원소 p는 소원(prime element)인데, p가 곱 ab를 나누면, p가 a 또는 b를 나누는 경우이다. 원소 p가 소원일 필요충분 조건은 주 아이디얼 (p'')이 0이 아닌 소 아이디얼인 것이다.

기약원과 소원의 두 개념은 모두 환 $\Z$ 에서 소수의 일반적인 정의를 일반화하며, 음의 소수를 소수로 간주하는 경우이다.

모든 소원은 기약원이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 이차 정수 환 $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$ 에서 3은 기약원이지만, 소원은 아니다. (3이 인수분해된다면, 각 인수는 노름 3을 가져야 하지만, $a^2+5b^2=3$ 은 정수 해가 없으므로 노름 3인 원소는 없다), 3은 $\left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)$ 를 나누지만, 어느 인수도 나누지 않기 때문이다. 유일 인수 분해 정역(unique factorization domain) 또는 GCD 정역(GCD domain)에서는 기약원과 소원이 동치이다.

유일 인수 분해 정리는 $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$ 에서 성립하지 않지만, 아이디얼의 유일 인수 분해가 있다. Lasker–Noether theorem을 참조하라.

5. 예

* 정수환 $\mathbb Z$ 는 정역이다.
* 모든 체는 정역이다. 예를 들어, 모든 실수의 체 $\R$ 는 정역이다.
* 대수적 수체의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 는 데데킨트 정역이다.
* 계수가 정역에서 나온다면 다항식의 환은 정역이다. 예를 들어, 정수 계수를 갖는 한 변수의 모든 다항식의 환 $\Z[x]$ 는 정역이고, 복소수 계수를 갖는 n 변수의 모든 다항식의 환 $\Complex[x_1,\ldots,x_n]$ 도 마찬가지이다.
* 환 $\Z[x]/(x^2 - n) \cong \Z[\sqrt{n}]$ 은 제곱수가 아닌 정수 $n$ 에 대해 정역이다. $n > 0$ 이면 이 환은 항상 $\R$ 의 부분환이고, 그렇지 않으면 $\Complex$ 의 부분환이다.
* p-진 정수의 환 $\Z_p$ 는 정역이다.
* 정역의 형식적 멱급수의 환은 정역이다.
* 복소수 평면 $\Complex$ 의 연결된 열린 집합 $U$ 에 대해 모든 정칙 함수로 구성된 환 $\mathcal{H}(U)$ 는 정역이다.
* 정칙 국소환은 정역이다.

다음은 정역이 아닌 예이다.

* 영 링
* $m$ 이 합성수일 때의 몫 링 $\Z/m\Z$ .
* 두 개의 0이 아닌 가환 링의 곱.
* 임의의 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대한 몫 링 $\Z[x]/(x^2 - n^2)$ .
* n × n 행렬의 링은 n ≥ 2일 때 임의의 0이 아닌 링 위에서 정의된다.
* 단위 구간에서 연속 함수의 링.
* 텐서 곱 $\Complex \otimes_{\R} \Complex$ .

6. 대수기하학

대수기하학에서 정역은 기약 대수다양체의 좌표환에 대응된다. 기약 대수다양체는 영 아이디얼에 의해 주어지는 유일한 생성점을 갖는다. 정역은 약원이자 기약인 환으로도 특징지어진다. 전자의 조건은 해당 환의 멱영근기(nilradical)가 영임을 보장하며, 따라서 해당 환의 극소 소 아이디얼들의 교집합이 영이 되는 것을 보장한다. 후자의 조건은 이 환의 극소 소 아이디얼이 단 하나임을 보장한다. 이로부터 약원이고 기약인 환의 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼 단 하나가 되며, 이것이 정역임을 얻는다. 역은 명백하며, 임의의 정역은 멱영원을 갖지 않으므로 영 아이디얼은 유일한 극소 소 아이디얼이 된다.

가환환은 그의 스펙트럼이 정 아핀 스킴일 때에만 정역이다.

7. 분수체

정역 *R*의 분수체 *K*는 *R*에 있는 *a*와 *b*를 분수로 표현한 집합 *a*/ *b*이며, 적절한 동치 관계를 가지며, 통상적인 덧셈 및 곱셈 연산이 정의된다. 이는 "*R*을 포함하는 가장 작은 체"이며, 이는 *R*에서 *K*로의 단사환 준동형 사상이 존재하며, *R*에서 체로의 모든 단사환 준동형 사상이 *K*를 통해 인수분해된다는 의미이다. 정수환 $\mathbb{Z}$ 의 분수체는 유리수 $\mathbb{Q}$ 의 체이다. 체의 분수체는 그 체 자체와 동형이다.

정역 *R*이 주어졌을 때, *R*을 부분환으로 포함하는 최소의 체는 동형을 제외하고 유일하게 정해지며, *R*의 분수체 또는 상체라고 불린다. 분수체는 *R*의 임의의 원소 *a* 및 *b*(≠ 0)에 대한 「분수」 *a* ⁄ *b*의 전체(를 적당한 동치 관계에 의해 나눈 것)로 구성된 것으로 생각할 수 있다. 예를 들어, 정수 전체로 구성된 정역의 상체는 유리수 전체로 구성된 체이다. 또한, 체의 상체는 동형을 제외하고 자기 자신과 일치한다.